ミキティ
今夜はリアルタイム参戦ですが、重すぎる……。
昔のようにあらかじめフリーメールを用意しないとダメですね……。
　　 10月19日（木） 0:10:37　　 　　28456
呑ちゃん
今回は結構良い成績だと思う。わくわく
不惑をとうに超えたカッパちゃんでした。
酔っぱらい天国　　 10月19日（木） 0:11:46　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　28457
きょろ文
三角形ＡＣＰと合同な三角形をＡＢを斜辺にすれば、
求める三角形の高さが12+3で底辺が3とみえてくる

15*3/2=45/2

ぱっとみ三角形の等積変形で12*3/2かと思った(笑)
√2の隣　　 10月19日（木） 0:13:03　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　28458
CRYING DOLPHIN
フォーム送信、重すぎ。。
でも、送信完了画面が出てなくても送れてたみたい。

△APCと合同な直角三角形を、辺ABのとこにもくっつけたら、
△PBCの高さは15cmで…って感じで解いた。
シャララ　　 10月19日（木） 0:13:42　　 HomePage:算数とか隧道とか　　28459
凡太
重かったですよー。
　　 10月19日（木） 0:14:04　　 　　28460
おかひで博士
さすがに簡単でした。
ちなみに５２２回がらみだったんですね
　　 10月19日（木） 0:14:44　　 　　28461
圭太
重くて急いで前のメールから送ってみた。
今回も何かバグかな？
アルビレックス　　 10月19日（木） 0:14:54　　 HomePage:圭太の研究所　　28462
吉川　マサル
う〜ん、確かに重かったです...。ログを見て原因究明をしてみます。m(__)m
PowerBook　　 10月19日（木） 0:15:05　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28463
スモークマン
みなさんと同じく・・・
初めてreal timeで解けた。。。(^^)
今回は、図形問としては易しいほうですよね？
金光＠岡山　　 10月19日（木） 0:16:27　　 MAIL:crazy_tombo@yahoo.co.jp 　　28465
きょろ文
3分たって掲示板見ようとしたら重かったです
フォーム送信はすぐいけました
√2の隣　　 10月19日（木） 0:18:25　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　28466
ノーザンビレッジ
　点Ｐを通りＢＣに平行な線を引き、ＡＣとの交点をＱ,点ＰからＢＣに垂線を引きＢＣとの交点をＨとする。
　△ＰＨＣ∽△ＡＰＣよりＰＨ:ＨＣ＝4：1
また、ＱＰ//ＢＣより∠ＰＱＣ＝45°だから、ＰＨ：ＱＨ＝1：1
つまり、ＰＨ＝4/5×ＱＣ
ここで、△ＡＰＣにおいて
ＡＣ×ＰＨ×1/2＝3×12×1/2　だから
ＡＣ×ＰＨ＝36
したがって
ＡＣ×4/5×ＱＣ＝36
ＡＣ×ＱＣ＝45

△ＰＢＣ＝△ＱＢＣ
　　　　＝ＡＢ×ＡＣ×1/2×ＱＣ/ＡＣ
　　　　＝ＡＣ×ＡＣ×1/2×ＱＣ/ＡＣ
　　　　＝1/2×ＡＣ×ＱＣ
　　　　＝45/2

　こんな感じでしょうか？
　　 10月19日（木） 0:19:26　　 　　28467
ちゃーみー
ついつい tan の加法定理で解いてしまいました…。
自宅　　 10月19日（木） 0:24:52　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　28468
しんちゃん
PAの延長線上に点Bから垂線BQを引けば、
　　△ACP≡△BAQ
になることから、PQ=12＋3＝15
　　△PBC＝3×15÷2＝22.5
　　 10月19日（木） 0:26:49　　 　　28469
呑ちゃん
わーいわーい。初の１番だ〜！
嬉しいよ〜！
って、サーバーが重かったせいかしら。
酔っぱらい天国　　 10月19日（木） 0:27:48　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　28470
ミキティ
少なくともメールで５分台には送っているんですけど、
もう順位が出ちゃっていますね。無効なのかな？
　　 10月19日（木） 0:31:16　　 　　28471
kasama
#28470 呑さん、おめでとうございます(∂-∂)//""パチパチ
和歌山県　　 10月19日（木） 0:33:57　　 　　28472
sugitakukun
ど〜も、４分〜９分にかけて重かったようですが、上位はそれに引っかかってないようで^^;
まぁ３平方やらいろいろ使って、しかもＢ５１枚が数で埋まってる段階でやり方が力押しすぎるのですがorz

で、#28458なんかを見てまたorzとなるわけで。

まだまだ精進が足りないのであります。
　　 10月19日（木） 0:40:57　　 　　28473
fumio
こんばんは、解けました。ははは。
呑さん、１位おめでとうございます。
さすがですね。
　　 10月19日（木） 0:51:06　　 　　28474
呑ちゃん
#28472 #28474
kasamaさん。fumioさん。ありがとうございま酒。
嬉しくって記念撮影までしてしまいました。
お馬鹿でしょ。
酔っぱらい天国　　 10月19日（木） 0:58:05　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　28475
圭太
解析してたのかな。
呑ちゃんさんおめでとう！調べたら意外にも初でしたね。＾＾；

アルビレックス　　 10月19日（木） 1:02:54　　 HomePage:圭太の研究所　　28476
ma-mu-ta
△APCと合同な三角形を ACに対応する辺がBAと重なるように
△ABCの外側に作って、△BQAとする。
すると、∠CAP+∠ACP+90°＝∠CAP+∠BAQ+90°＝ 180°だから、
Q,A,P は同一直線上の点となり、QP＝QA+AP＝3+12＝15(cm)
∠BQP＝∠QPC＝90°で、BQ//CPより、
QPは、CPを底辺とする △PBCの高さとなるから、
△PBC＝3×15×1/2＝22.5(c��)
　　 10月19日（木） 3:13:13　　 　　28477
いちたすには
ＡＰＣの外側→ＡＢＣの外側
　　 10月19日（木） 5:27:20　　 　　28478
ハラギャーテイ
おはようございます。三角関数ですぐに解けました。
山口　　 10月19日（木） 6:44:43　　 HomePage:制御工学に挑戦　　28479
uchinyan
はい、おはようございます。今回は、簡単でしたね。
B から PC の延長上に垂線を下ろしその足を H とし、A から BH に垂線を下ろしその足を Q とします。すると、□AQHP は長方形です。
さらに、∠BAQ = ∠BAC - ∠QAC = 90 - ∠QAC = ∠QAP - ∠QAC = ∠CAP、∠BQA = 90 = ∠CPA、AB = AC なので、△ABQ ≡ △ACP です。
そこで、BQ = PC = 3cm、BH = BQ + QH = BQ + AP = 3 + 12 = 15cm です。
これらから、△PBC = 1/2 * PC * BH = 1/2 * 3 * 15 = 45/2 cm^2 になります。
なお、□AQHP は、実は、正方形ですね。
ネコの住む家　　 10月19日（木） 9:05:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28480
まるケン
私も、何人かの方々と同じく、辺AB側にも同様の直角三角形を貼り付けました。

手元の算チャレノート(もう、かれこれ何冊目になることやら、、、)には、１辺が１５ｃｍの正方形に内接する正方形の図が描かれています。

ところで、２分過ぎ頃に送ったメール、届いてないですか？
再送しなきゃダメ？
ぐすん、、、

　　 10月19日（木） 10:21:16　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　28481
「数学」小旅行
　わたしの解き方も紹介したいと思います。
　ＰからＡＣに垂線ＰＨを引き、その延長とＢＣとの交点をＱとします。
△ＰＨＣ∽△ＡＰＣなので、ＰＨ：ＨＣ＝４：１。
また、△ＨＱＣは直角二等辺三角形なので、ＨＣ＝ＨＱ。
だから、△ＰＡＣ：△ＱＡＣ＝ＰＨ：ＱＨ＝４：１。
△ＰＢＣ＝□ＰＡＱＣ＝△ＰＡＣ＋△ＱＡＣ＝５／４＊△ＰＡＣ
＝５／４＊（３＊１２＊１／２）＝４５／２　てな具合です。
　　 10月19日（木） 10:44:20　　 　　28482
uchinyan
掲示板を読みました。

#28458, #28459, #28481
#28469, #28477, #28486や、#28480と同様に、△PBC を、PC を底辺として面積を求める方法です。
△APC に合同な三角形を AB を斜辺として作って高さを求めるのがポイントです。
ただ、説明だけでは、#28469, #28477, #28486流か、#28480流か、よく分かりませんが。

#28467
＞点ＰからＢＣに垂線を引きＢＣとの交点をＨとする。
多分、ここらは、BC ではなくて AC ですね。これならば、OK、です。
ただ、他の解法と比べて、少し、複雑かなぁ．．．

#28468, #28479
三角関数。ただ．．．
#28468　(若干、修正しました。)
＞ついつい tan の加法定理で解いてしまいました…。
うーん、tan ですか。私ならば．．．
BC = sqrt(2) * AC、AC * sin(∠ACP) = 12、AC * cos(∠ACP) = 3
なので、sin の加法定理を使って、
△PBC = 1/2 * BC * (PC * sin(180-45-∠ACP)) = 3/2 * BC * sin(45 + ∠ACP)
= 3/2 * BC * (sin(45)cos(∠ACP) + cos(45)sin(∠ACP))
= 3/2 * (sqrt(2) * sin(45) * AC * cos(∠ACP) + sqrt(2) * cos(45) * AC * sin(∠ACP))
= 3/2 * (3 + 12) = 3/2 * 15
= 45/2 cm^2
としますが．．．

#28469, #28477, #28486
私の#28480の解法と基本的な考え方は同じだと思いますが、△ACP に合同な三角形が AB に関して180度回転した位置にあるようです。
大差ないとは思いますが、補助線、補助点？、の数が若干減るので、この方がいいかもしれません ^^

#28478
＞ＡＰＣの外側→ＡＢＣの外側
あ、ホントだ。問題文が間違っていますね。気付かなかった (^^;

#28480
私の解法。
△APC を A の回りに時計回りに C を B に一致するように回転させ、直接に正方形を作る方が、より簡明だったように思います。

#28482
なるほど。これも面白い考え方ですね。ただ、やはり、若干複雑かなぁ．．．
ネコの住む家　　 10月20日（金） 21:51:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28483
ちゃーみー
図形の問題は算数で粘ろうとしても高校数学という誘惑に負けてしまいます。
#28483
tan∠ACB=1 , tan∠ACP=4 なので加法定理で tan∠BCP=-5/3，
とすれば簡単に出せると思います。
自宅　　 10月19日（木） 19:20:12　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　28485
なか
私も、多くのみなさまと同じように、辺ＡＢに直角三角形をくっつけました。
http://www3.sansu.org/tables/san522_452.gif
北国　　 10月19日（木） 19:46:03　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　28486
みかん
すでに書かれているのと同じ、辺ＡＢに直角三角形をつけるというやり方です。
算チャレの図形問題が正攻法で解けるのは珍しいことです・・・。相性が悪いんかな？
　　 10月19日（木） 21:25:13　　 　　28487
スモークマン
今回の問題はごく普通に考えればいいだけですよね？
珍しく(^^; サービス問だったのかな？

明日から出張なので後ろ髪を引かれなくっていいんですけどね。(^^)
金光　　 10月19日（木） 23:35:37　　 　　28488
吉川　マサル
#28485,#28484
　私もチェックのために加法定理で解きましたが、その手法はuchinyanさんと同様のものでした。確かにちゃーみーさんの方法のほうが計算が簡単ですね。やはり暗算でしょうか？(^^;

#28488
　特に簡単にしようという意識はなかったのですが、算チャレ参加者の方々にとっては簡単だったようです...。とはいえ、一般の方々や小６の受験生にとっては、「こりゃあ簡単だ」ということにはならないと思うのですが...。（三角形をくっつける、とかそういうのって、フツウの授業ではあんまり出てこないものだと思いますし）どうなんでしょう？＞中学入試に詳しい方々
PowerBook　　 10月20日（金） 14:51:37　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　28489
uchinyan
ちなみに、複素数を使った解法。恐ろしく簡単です。ほとんど暗算モードかもしれません。
あくまでも、ご参考。

P(0), C(-3), A(12i) とおけて、B((-3-12i)*(-i)+12i) = B(-12+15i) です。
そこで、△PBC = 1/2 * PC * (B の虚数部分) = 1/2 * 3 * 15 = 45/2 cm^2 になります。
ネコの住む家　　 10月20日（金） 17:46:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28491
ノーザンビレッジ
△APC に合同な三角形を AB を斜辺として作ると、
中２の直角三角形の合同でよくみかける下記のような問題ですね。

「∠A＝90°の直角二等辺三角形ABCがある。点Aを通る直線に点B,Cから垂線を下ろし、交点をQ,Pとするとき、△BQA≡△APCを証明せよ。」

これに気付けば、すぐに高さがPQだと分かったんですね。
ただ、この証明問題の図を台形だと感じたことは今まで一度もありませんでしたが。^^;
　　 10月20日（金） 22:40:56　　 　　28493
スモークマン
#28489　ただいま〜(^^)
マサルさんへ。
△PBC の面積は、底辺 x 高さ だから、素直に、高さを求めるために、B から AC に垂線を下ろせば、そこには △PAC と合同な△ ができちゃうので。。。あえて、△をくっつけるとかという操作を考えなくてもできちゃうと思ったもので。。。(^^;

ちなみに、直角三角形ABC に、同様の操作をしてできる△PBC の面積の最大の時は、△ABC と同じ面積になりますね。
金光＠岡山　　 10月21日（土） 15:22:28　　 MAIL:crazy_tombo@yahoo.co.jp 　　28494
uchinyan
#28494
＞B から AC に垂線を下ろせば、
ここはちょっと？ PC か、PA か。

＞ちなみに、直角三角形ABC に、同様の操作をしてできる△PBC の面積の最大の時は、△ABC と同じ面積になりますね。
問題の設定がよく分からないので誤解しているのだろうと思いますが、何か変な感じが．．．？
ネコの住む家　　 10月21日（土） 18:07:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28495
スモークマン
#28495
＞＞B から AC に垂線を下ろせば、
＞ここはちょっと？ PC か、PA か。
uchinyanさん、ご指摘ありがとうございました。Orz
PA に垂線を下ろす。の間違いでした。

＞＞ちなみに、直角三角形ABC に、同様の操作をしてできる△PBC の面積の最大の時は、△ABC と同じ面積になりますね。
＞問題の設定がよく分からないので誤解しているのだろうと思いますが、何か変な感じが．．．？
すみません、どうも違ったようです。。。

AC を直径にした円に点 P を取るときにできる △PBC の最大の面積は、
AC^2=m^2=PA^2+PC^2=x^2+y^2
△PBC=PC*(PC+PA)/2=y(y+x)/2
k=y^2+xy=m^2-x^2+xy=m^2-(x-y/2)^2+y^2/4
から、x=y/2 のとき、k=m^2+y^2/4 で最大。
x^2+y^2=(y/2)^2+y^2=5/4*y^2=m^2 から、Max(k)=m^2+y^2/4=6/5*m^2
つまり、最大は、△ABC の 6/5 倍かな？
金光　　 10月22日（日） 8:14:00　　 　　28496
嫌韓
同じ解法があるかもしれませんが
ＢからAPの延長線に垂線を下ろすその交点をＨとすると△APC≡△BHA
よってAH=CP=3 BH//CPより△PBC=CP(HA+AP)=3(3+12)/2
　　 10月21日（土） 20:09:46　　 　　28497
uchinyan
#28496
＞つまり、最大は、△ABC の 6/5 倍かな？
う〜ん、違うような気がします。私の計算では、(sqrt(2) + 1)/2 倍になりました。
最大の評価がおかしいように思います。図を描いて考えてみてください。
ネコの住む家　　 10月22日（日） 0:17:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28498
スモークマン
#28498
uchinyanさんへ。
#28496 （式の一部訂正しました）の考え方が、どこかおかしいでしょうか？
今のところわたしにはわからない。。。(^^;
金光　　 10月22日（日） 8:23:27　　 　　28499
なか
#28429　uchinyan さんに一票

��ＰＢＣの面積は、ＢＣを底辺と考えれば、Ｐがいちばん高くなるときなので、
∠ＰＣＡ＝２２・５度の場合で、このとき面積は(sqrt(2) + 1)/2 倍になります。
(ＰＢ→ＢＣ訂正済み）
北国　　 10月22日（日） 16:16:27　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　28500
とまぴょん
#28429 uchinyanさんに私も一票

ACの中点をOとして、∠POC=2θとおけば

求める面積比＝{sqrt(2)/2}* Sin(2θ-π/4)+1/2

と簡単に計算できます。つまり2θ＝3π/4のとき最大となります。
　　 10月22日（日） 10:43:03　　 　　28501
なか
#28496 スモークマンさん
スモークマンさんの答案を拝見いたしました。

>k=y^2+xy=m^2-x^2+xy=m^2-(x-y/2)^2+y^2/4
>から、x=y/2 のとき、k=m^2+y^2/4 で最大。

k = m^2-(x-y/2)^2+y^2/4 で、
y^2/4 が x に依存しないなら、x=y/2 のとき最大でよいのですが、
ここでは y^2/4 もまた x の関数なので、最大値をとるx は少しずれます。
実際には、x=(√2-1）y のとき最大。
北国　　 10月22日（日） 13:09:14　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　28502
スモークマン
#28496,#28502
なかさんご指摘ありがとうございました。Orz
なるほど、ことはそう単純ではなかったんだ。。。(^^;
底辺がBC だから、たしかに図形から∠PCA=45/2 のとき、p までの高さは最大になりますね！

ということで、わたしもみなさんと同じく uchinyanさんに一票！(^^;
金光　　 10月22日（日） 13:19:24　　 　　28503
uchinyan
#28496のスモークマンさんの問題ですが、なかさん、とまぴょんさん、ありがとうございます。
私も、まず、なかさん流に図形的に考えて、その後で、とまぴょんさん流に数式でチェックしました。
以下の下書きをしているうちに、議論が進んで解決してしまいましたが、
折角なので、ちょっと長くなりますが、一応、丁寧に書いておきます。
関心のない方には、ごめんなさい m(__)m

図形的に考えるのが一番簡単だと思います。ただ、うっかりミスだと思いますが、なかさんの#28500の
＞��ＰＢＣの面積は、ＰＢを底辺と考えれば、Ｐがいちばん高くなるときなので、
ここは、ＢＣを底辺と考えれば、ですね ^^
そうすれば、(高さ) <= m/2 + m/sqrt(2) * 1/2 = m * (2 + sqrt(2))/4 なので、
△PBC = 1/2 * BC * (高さ) <= 1/2 * (sqrt(2) * m) * m * (2 + sqrt(2))/4 = m^2 * (sqrt(2) + 1)/4
△ABC = 1/2 * m^2 なので、
△PBC/△ABC = (m^2 * (sqrt(2) + 1)/4)/(m^2/2) = (sqrt(2) + 1)/2
これが一番簡単だと思いますが．．．

真面目に、スモークマンさんの#28496の式、
　x^2 + y^2 = m^2 の条件の下で、k = y^2 + xy の最大を考える
のは、高校レベル以上の問題になります。

図形的考察との関係が分かりやすいのは、とまぴょんさん流の三角関数を用いる方法です。
x = m * sinθ、y = m * cosθ とおけることから、
k = y^2 + xy = (m * cosθ)^2 + (m * sinθ) * (m * cosθ) = m^2 * ((cosθ)^2 + sinθcosθ)
ここで、倍角＆半角の公式を使って、(cosθ)^2 = (1 + cos(2θ))/2、sinθcosθ = 1/2 * sin(2θ) なので、
k = m^2 * ((1 + cos(2θ))/2 + 1/2 * sin(2θ)) = 1/2 * m^2 * (sin(2θ) + cos(2θ) + 1)
ここで、三角関数の合成の公式 or sin の加法定理を使って、
sin(2θ) + cos(2θ)
= sqrt(2) * (sin(2θ) * 1/sqrt(2) + cos(2θ) * 1/sqrt(2))
= sqrt(2) * (sin(2θ) * cos(45) + cos(2θ) * sin(45))
= sqrt(2) * sin(2θ+45) <= sqrt(2)
最後の不等式の等号は、2θ+45 = 90, θ = 45/2 = 22.5度 で成立します。
そこで、
k <= 1/2 * m^2 * (sqrt(2) + 1) = m^2 * (sqrt(2) + 1)/2
です。なお、
△PBC/△ABC = (k/2)/(m^2/2) = (m^2/2 * (sqrt(2) + 1)/2)/(m^2/2) = (sqrt(2) + 1)/2
です。

三角関数を使わないで評価する場合は、よくやるように、二次方程式の判別式に持ち込む手でしょうか。
k = y^2 + xy より、y = 0 で k = 0 又は x = k/y - y です。後者の場合、x^2 + y^2 = m^2 に代入して、
(k/y - y)^2 + y^2 = m^2
2 * y^2 - (2k + m^2) + k^2/y^2 = 0
2 * (y^2)^2 - (2k + m^2) * (y^2) + k^2 = 0
ここで、y = 0 で k = 0 の場合も上式に含まれているので、以降は特に場合分けは不要です。
y は実数なので、少なくとも、y^2 も実数でなければなりません。
ただ、0 以上の実数でなければならないのですが、そのことは、後でチェックします。
そこで y^2 の二次方程式と見ると、
判別式 = (2k + m^2)^2 - 4 * 2 * k^2 >= 0
4 * k^2 - 4 * m^2 * k - (m^2)^2 <= 0
(2 * k - m^2)^2 - 2 * (m^2)^2 <= 0
(2 * k - (sqrt(2) + 1) * m^2) * (2 * k + (sqrt(2) + 1) * m^2) <= 0
- (sqrt(2) + 1)/2 * m^2 <= k <= (sqrt(2) + 1)/2 * m^2
実は、k > 0 だけで十分ですが、いずれにせよ、k の最大は、(sqrt(2) + 1)/2 * m^2 です。
ただし、y^2 は 0 以上の実数でなければならないのですが、k = (sqrt(2) + 1)/2 * m^2 のとき、判別式 = 0 なので、
y^2 = (2k + m^2)/4 = (sqrt(2) + 2)/4 * m^2 > 0
で、y > 0 の解があるので、大丈夫です。
したがって、k の最大は、(sqrt(2) + 1)/2 * m^2 になります。

スモークマンさんの#28496の問題点は、#28502のなかさんのご指摘のとおりですね。
y^2 = (sqrt(2) + 2)/4 * m^2 より、x^2 = (2 - sqrt(2))/4 * m^2 なので、
x^2/y^2 = (2 - sqrt(2))/(sqrt(2) + 2) = (sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1) = (sqrt(2) - 1)^2
x/y = (sqrt(2) - 1)
x = (sqrt(2) - 1) * y
になります。
ネコの住む家　　 10月22日（日） 14:54:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28504
１８９
やっと解けました〜(笑)
辺ABに直角三角形つけました・・・
　　 10月22日（日） 22:02:15　　 　　28505
スモークマン
かってに問題をば、、、(^^)

(2^223-1)(2^447-1)(2^1339-1) は、7で割り切れるでしょうか？
金光　　 10月22日（日） 22:57:56　　 　　28506
y.kobayashi
>かってに問題をば、、、(^^)

(2^223-1)(2^447-1)(2^1339-1) は、7で割り切れるでしょうか？

答え　割り切れる　　２＾３ｋ−１は７の倍数なので２＾４４７−１は７の倍数　よって与式は７で割り切れる

２＾３ｋ−１が７の倍数であることは数学的帰納法で証明できると思います
ヽ(^―^)ノ
　　 10月23日（月） 0:14:01　　 　　28511
スモークマン
#28511
y.kobayashiさん、正解！
そうなんです。2^n-1 が、7で割れるような整数nの条件は n が3の倍数なんですね。実は、2^2007-1 を因数分解したものを考えて問題にしたんですが、447 そのものが 3 の倍数だったからすぐ言えちゃいましたね！(^^;
金光　　 10月23日（月） 2:01:40　　 　　28512
uchinyan
#28511
＞２＾３ｋ−１が７の倍数であることは数学的帰納法で証明できると思います
一般に、
x^n - 1 = (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1)
なので、これを認めれば、
2^(3k) - 1 = (2^3)^k - 1 = 8^k - 1 = (8 - 1) * (整数) = 7 * (整数)
となり、明らかですね。
ネコの住む家　　 10月23日（月） 15:56:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28513
y.kobayashi
>2^(3k) - 1 = (2^3)^k - 1 = 8^k - 1 = (8 - 1) * (整数) = 7 * (整数)
となり、明らかですね。

視野が狭いので、uchinyanさんの方法は思い浮かびませんでした orz
　　 10月23日（月） 18:18:39　　 　　28516
ますぽん
２回間違えたけど、できました。
　　 10月23日（月） 21:52:59　　 　　28517
スモークマン
#28512
2^2007-1 の因数分解は、わたしの勘違いでした。。。Orz〜 (^^;
2^2007-1=(2^223-1)(2^447-1)(2^1339-1) とすると、
両辺から-1を除いて、2^223 で割ると、左辺は偶数、右辺は奇数になっちゃいます。（友人の指摘)
わたしの勝手な思い込み計算をしてました。。。

なお、2^n-1 が、7で割れるような整数nの条件は・・・
友人の解答は、
合同式で以下のごとく
nを3で割った余りをr
2^3≡1(mod7)より
2^n≡2^(n-3)≡・・・≡2^r
2^0≡1、2^1≡2、2^2≡4だから
2^n-1≡7となるのはnが3の倍数のとき
金光＠岡山　　 10月23日（月） 22:14:38　　 MAIL:crazy_tombo@yahoo.co.jp 　　28518
uchinyan
では、2^2007 + 1 は 513 で割り切れるでしょうか？
ネコの住む家　　 10月23日（月） 23:13:35　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28519
なか
#28519
x=512 とすると、2^2007+1 = (2^9)^223+1 = x^223+1
これを 513=x+1 で割った余りは、剰余定理により(-1)^223+1 = 0
つまり、2^2007+1 は 513 で割り切れる。
北国　　 10月23日（月） 23:36:29　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　28520
y.kobayashi
>では、2^2007 + 1 は 513 で割り切れるでしょうか？

２＾｛９（２ｋ−１）｝＋１は５１３の倍数であることが証明できるので
２＾２００７は５１３で割り切れますヽ(^―^)ノ
証明は数学的帰納法ということで…orz
　　 10月24日（火） 0:23:52　　 　　28521
uchinyan
#28520, #28521
正解です ^^
ネコの住む家　　 10月24日（火） 8:15:08　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28522
香取巻男
この問題の本質は　等辺・等高の△の面積は同じと相似の２点から解法できる。数日前の掲示板に掲載されていたのに、忽然とDeleteされているので、ここに復刻します。

まず　点Pから辺ACに垂線を下ろしその交点をM、さらに辺BCとの交点をQとする。△APC∽△PMC　よってPM:MC=4:1 ここで　線分PQと線分ABは平行であることにきずく。　よって△MQCは直角二等辺△であることがわかる。(MQ=MC)
よって　MQ:MP=4:1 よって四角形AQCP＝△PAC×5/4=18*5/4=22.5
ところが　△PBC＝四角形AQCP (冒頭の等辺・等高の△の面積は同じ)
　　　　　△PBC=△PAQ+△PQC・・・１
　　四角形AQCP =△PBQ+△PQC・・・２　　　△PAQ＝△PBQ (等辺・等高の△の面積は同じ)

よって　△PBC=22.5
別に複素数も、三角関数もピタゴラスも不要ですね！
これぞ算数の真髄です。
　　 10月24日（火） 14:12:27　　 MAIL:sokurates2001@yahoo.co.jp 　　28523
香取巻男
訂正　　△PBC=△PAQ+△PQC・・・１　の左辺は四角形AQCPに訂正。
四角形AQCP =△PBQ+△PQC・・・２　の左辺は△PBCに訂正。
失礼しました。
　　 10月24日（火） 14:33:03　　 MAIL:sokurates2001@yahoo.co.jp 　　28524
香取巻男
訂正　　△PBC=△PAQ+△PQC・・・１　の左辺は四角形AQCPに訂正。
四角形AQCP =△PBQ+△PQC・・・２　の左辺は△PBCに訂正。
失礼しました。
　　 10月24日（火） 14:33:18　　 MAIL:sokurates2001@yahoo.co.jp 　　28525