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吉川 マサル |
| すみません、何度も何度も問題を作り替えて、更新時刻を超えてから文章の作成に入ってしまいました。問題自体が出来たのも更新３分前くらいで、明らかに問題文の推敲不足でした。ううう......言葉が浮かびません。 |
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PowerBook
11月2日（木） 0:20:37
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ 28643 |
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吉川 マサル |
| というか、条件を追加した状態で、問題なしなのかどうか...不安です。 |
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PowerBook
11月2日（木） 0:21:28
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ 28644 |
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ミキティ |
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パスワードなしで入れてしまった……。
まったく分からないので、もう一度考え直してきます……。 |
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11月2日（木） 0:25:25
28645 |
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ミキティ |
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鍵はかかったけど、適当な数値を入れたら入れてしまった……。
まったく分からないので、もう一度考え直してきます……。 |
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11月2日（木） 0:29:45
28646 |
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ひだ弟 |
| 条件追加の状態で一意になりますね。 |
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11月2日（木） 0:34:45
28647 |
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吉川 マサル |
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どうやら問題文追加後だと、答えは正しいようです...。（kasamaさんにCADで計測してもらい、かつtomhさんに三角関数を用いた計算で正しかった、とのお便りを頂きましたので）
もう本当に穴があったら... な感じです。「今回だけは」とかなり気合いを入れて前日のガン検診中からずっと考えてたんですが、なかなか良い出来の問題にならず...。最終形は比較的よい問題になったと思ったんですが、いかんせん完成が遅すぎました。本当にすみません...。 |
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PowerBook
11月2日（木） 0:37:08
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ 28648 |
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CRYING DOLPHIN |
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うーん、算数でどうやって解くか分からん。
（数学で図形の一意性と、ウラ技で解の近似値は求めた） 只今病み上がりなので、再発する前に寝ますぅ。。orz |
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シャララ
11月2日（木） 0:45:03
HomePage:算数とか隧道とか 28649 |
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ミキティ |
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私も、せこせこ計算して一意になることを確認しました。
とりあえず報告を。うーむ、難しい……。 |
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11月2日（木） 1:08:15
28650 |
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吉川 マサル |
| 面の皮が厚すぎですが、想定した解法について。一応、うまく変形すると、直角二等辺三角形が１つと、30°,75°,75°の二等辺三角形が２つできる、ということを想定していました。 |
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PowerBook
11月2日（木） 1:32:50
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ 28651 |
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圭太 |
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対角線みたいな風にわけると、∠A＝15度+105度、∠B＝15度+15度+7.5度、∠C＝75度、∠D＝97.5度+45度+15度、∠E＝105度+45度
となりました。 2+0.5359+5.4641＝8 あら、簡単な数だったのね。（ぉ |
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アルビレックス
11月2日（木） 2:04:52
HomePage:圭太の研究所 28652 |
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uchinyan |
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はい、こんにちは。
というものの、今回の問題、(三平方の定理と)三角関数で答えは出たものの、情けないことに、まだ、算数は分かっておりません．．． 結果からすると、4 * 4 の正方形の半分に等積変形できそうなのですが．．． 掲示板を読む前に、もう少し考えます。今日は仕事にならないかなぁ．．． |
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ネコの住む家
11月2日（木） 10:47:49
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28653 |
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ma-mu-ta |
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一応、算数で。
ADを結び、△ADEの反対側に正三角形AFDを作る。 FB,FE,FC及びBDを結ぶと、角や辺の関係により（証明・略）、 △ABFは、斜辺4cmの直角二等辺三角形 △AFEと△EFDは、頂角30度の合同な二等辺三角形 また、BD//FCとなるので等積変形により、△BCD＝△BFD 従って、五角形ABCDE＝五角形ABFDE＝△ABF＋△AFE＋△EFD ここで、FA＝FB＝FE＝FD＝□とすると、 △ABF＝4×4×1/4＝4より、□×□×1/2＝4 すると、△AFE＝△EFD＝□×(□×1/2)×1/2＝4×1/2＝2 よって、五角形ABCDE＝△ABF＋△AFE×2＝4＋2×2＝8(c��) |
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11月2日（木） 14:14:01
28654 |
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吉川 マサル |
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#28654
あ、これ、私が想定していた解法とほぼ同じです。 |
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PowerBook
11月2日（木） 14:50:36
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ 28655 |
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ts |
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#28654,28655
こんな感じだったんですね。 http://ff.sansu.org/sansu/524.gif ma-mu-taさんの解法を貼り付けさせてもらっています。 |
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11月2日（木） 16:35:26
28656 |
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なかくん（nakakun） |
| 正２４面体に問題の図を書き込むとぴったりおさまります。そこから等積変形をすると少し楽ですね。それでも、重複部分をうまく使ったりしないといけませんので簡単ではありませんが。角ＥＤＣが１５７．５度になることから推測。 |
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11月2日（木） 19:07:11
28657 |
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なかくん（nakakun） |
| 失礼しました。正２４角形の間違いです。こういう図だと、まず、正１２角形が浮かびますね。 |
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11月2日（木） 19:51:10
28659 |
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uchinyan |
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#28659
ふーむ、正24角形という背景があるのですか。 正直言って、頭が鈍ってしまっているようで、スッキリとした算数解法がいまひとつできないでいます (^^; 私も、ma-mu-taさんの#28654に似た解法を検討していました。 ただ、私の場合は、BC に関して BD と対称な線を引き、A よりこの線に垂線を下ろし、その足を F とします。 すると、△ABF は直角二等辺三角形で、角度の関係と円の性質、円周角＝中心角／２、などを使って、△AFD は正三角形であることが示せて、 以下、ma-mu-taさんと同様なことがいえるようです。ちなみに、F はこの円の中心になっています。 ただし、円の性質を使っているので、純粋には算数ではないです。 ma-mu-taさんのや、なかくんさんのは、純粋な算数なのかな？ |
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ネコの住む家
11月2日（木） 21:23:36
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28660 |
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なかくん（nakakun） |
| はい、図に表せなくてもどかしいですが、円と内接する正２４角形を描き問題の図を描き込むと、「半径×半径が８になること」及び「頂角１５°の二等辺三角形と頂角１６５°の二等辺三角形の面積が等しい」ということからすぐに求まります。 |
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11月2日（木） 22:30:34
28661 |
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uchinyan |
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ma-mu-taさんの解法と類似しているし、円の性質を使っているので、純粋には算数ではないですが、
苦労した証として (^^;、ご参考までに、#28660で概略を述べた私の解法を書いておきます。 BC に関して BD と対称な線を引き、A からこの線に垂線を下ろし、その足を F とします。 すると、∠FBC = ∠DBC = 7.5度、∠ABF = ∠ABC + ∠FBC = 37.5 + 7.5 = 45度、∠AFB = 90度、∠BAF = 45度 で、 △AFB は、直角二等辺三角形です。 また、BA を A の方に、DE を E の方にそれぞれ延長し、その交点を G とします。 すると、∠EAG = 180 - ∠BAE = 180 - 120 = 60度、∠AEG = 180 - ∠AED = 180 - 150 = 30度、∠AGE = 90度、になります。 そこで、△BDG を考えると、∠BGD = ∠AGE = 90度、∠DBG = ∠CBA - ∠DBC = 37.5 - 7.5 = 30度 なので、∠BDG = 60度 です。 また、△EAD において、∠AED = 150度、EA = ED なので、∠EAD = ∠EDA = 15度 です。 そこで、∠ADB = ∠GDB - ∠EDA = 60 - 15 = 45度 になります。 ここで、FA = FB、∠AFB = 90度、∠ADB = 45度 に注意すると、A, B, D は F を中心とする円の円周上にあることが分かります。 つまり、FA = FB = FD です。 △FAD において。FA = FD、∠FAD = ∠BAE - ∠BAF - ∠EAD = 120 - 45 - 15 = 60度 なので、 ∠FDA = ∠FAD = 60度 で、△FAD は正三角形です。 △FAE、△FDE において。FA = FD、EA = ED、FE：共通、なので、△FAE ≡ △FDE になり、 ∠FAE = ∠FAD + ∠EAD = 60 + 15 = 75 = 150/2 = ∠AED/2 = ∠FEA = ∠FED = ∠FDE、FA = FE = FD になります。 つまり、△FAE、△FDE は、頂角が 30度、底角が 75度 の二等辺三角形です。 次に、△FBD において。FB = FA = FD なので、∠FDB = ∠FBD = ∠FBC + ∠DBC = 7.5 + 7.5 = 15度、∠BFD = 150度 です。 ここで、これらのことと、∠BCD = 75度 に注意すると、C も F を中心とする円周上にあり、FB = FC です。 そこで、∠FCB = ∠FBC = 7.5度 = ∠DBC になり、FC//BD になります。 これから、△BCD = △BFD になり、 五角形ABCDE = □ABDE + △BCD = □ABDE + △BFC = 五角形ABFDE = △ABF + △FAE + △FDE = △ABF + 2 * △FAE になります。そして、 △FAE = 1/2 * FD * (1/2 * FA) = 1/4 * FA * FA = 1/2 * (1/2 * FA * FA) = 1/2 * △ABF △ABF = 1/2 * AB * (1/2 * AB) = 1/4 * AB * AB なので、 五角形ABCDE = △ABF + 2 * 1/2 * △ABF = 2 * △ABF = 2 * 1/4 * AB * AB = 1/2 * 4 * 4 = 8 cm^2 になります。 |
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ネコの住む家
11月2日（木） 23:40:43
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28662 |
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uchinyan |
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#28661
ごめんなさい。 非常に興味深いのですが、正24角形への埋め込み方をもう少し説明してくださるとうれしいのですが．．． 正24角形の一辺が AE なのでしょうか？ 内角の 165度 はどこに現れるのでしょうか？ 120度、150度、157.5度、75度 との差はどうするのでしょうか？ B は、それ以外の点と、正24角形の中心に関して反対の位置にあるようにするのでしょうか？ ．．． |
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ネコの住む家
11月3日（金） 0:06:14
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28663 |
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しんちゃん |
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なるほど、正24角形への埋め込み、確かにわかりやすくなりますね。
円周を24等分して目盛りをつけて、どこか1点をAとし、Aから反時計周りに6進んだ点をB、 Bから13進んだ点をC、Cから1進んだ点をD、Dから2進んだ点をEとすれば良いようです。 すると、ma-mu-taさんの解法の点Fが、円の中心ですね。 私は、三角関数を持ち出してしまいました。 |
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11月3日（金） 1:26:39
28664 |
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なかくん（nakakun） |
| 図がなくてすみません。正２４角形の１辺にあたるのは、ＤＣです。ＡＥ、ＤＥは正２４角形の頂点を１つおきに結んだ、ようするに正１２角形の１辺ということです。ＡＢは６つはなれた頂点を結んだ直線。Ａと右回りに６つはなれた頂点をＸ（Ｃの隣）とすれば、△ＡＢＸが∠Ａを直角とする直角二等辺三角形になります。円の中心をＯとすれば、四角形ＥＡＯＤは半径×半径÷２＝８（半径×半径＝４×４÷２）。また、△ＤＣＯ＝△ＯＣＢ。・・・といった感じです。わかりにくくてすみません。 |
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11月3日（金） 1:34:02
28666 |
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なかくん（nakakun） |
| 四角形ＥＡＯＤは半径×半径÷２＝４でした。 |
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11月3日（金） 1:36:27
28667 |
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スモークマン |
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う〜ん、、、またいい加減に入ってしまいました・・・(^^;
難し〜 直角二等辺三角形と、その斜辺の長さが等しい正三角形の組み合わせの図から、逆に作って行くと、必然的にこんな角度と図が作れるんですね〜 斜辺 x なら、4^2=2*x^2 なので、x^2/2+x^2/2=x^2=4^2/2=8 という仕組みになってるわけなんですね。 それにしても解法を気付く人ってすごいな〜 |
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金光
11月3日（金） 2:19:57
28668 |
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ma-mu-ta |
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またまた深夜というか早朝の参加となりましたが、遅ればせながら…。
#28666 なかくんさんの正24角形というのは、正12角形として考えるとイメージし易いですね。（時計の文字盤に例えると、Oを文字盤の中心として、Aは12時、Eは1時、Dは2時、Xは3時、Bは9時の点ということになりますね。） 実は、問題を見たときにすぐに思い浮かべたのが、正12角形の中心を通る対角線で分割してできた二等辺三角形の面積を求めるという基本問題です。 長さは１辺だけであとは角度が示されているだけ、それで面積を求めるというのは、算数の問題として使える解法がそう多くはないので…。 #28656 図にすると分り易くていいですね。ありがとうございます。 |
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11月3日（金） 4:47:08
28669 |
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uchinyan |
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なるほど！
正24角形による解法、皆さんの解説のお陰で納得です。 これは、確かに算数だし、うまいですねぇ〜 ただただ、脱帽です (^^; (少し追加) 結局、私の#28662は、問題の図形が正24角形にうまく埋め込めることを証明していることになっています。 もう少しで手が届くところまで行きながら．．．orz まぁ、この一歩が大きいのが常ですけど (^^; (追加終) |
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ネコの住む家
11月3日（金） 11:03:20
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28670 |
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uchinyan |
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改めて、掲示板を読みました。
明示的な解法は、ma-mu-taさんの正三角形を作る#28654、なかくんさんの正24角形へ埋め込む#28666他、私の円を使う#28662、の 三つのようです。 これらの解法で現れる図形は、すべて、#28656です。 マサルさんの #28651＞一応、うまく変形すると、直角二等辺三角形が１つと、30°,75°,75°の二等辺三角形が２つできる、ということを想定していました。 #28655＞あ、これ、私が想定していた解法とほぼ同じです。 からすると、想定解法も、この方向のようですね。 いずれにせよ、なかくんさんの正24角形への埋め込みが「秀逸」だと思います。 |
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ネコの住む家
11月3日（金） 11:20:20
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28671 |
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uchinyan |
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#28641
＞クイズ ＞0=(00)<(11)<(22)<(33)<(1111)<(44)<(1010)<(55)<(66)<(99)<(88)<(77)<180 ＞の心は？ 時計の長針と短針のなす角度かな、と思ったのですが、(66)<(99) だけが合わないです。 やっぱり、違うのかな．．．どうもさえない．．． |
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ネコの住む家
11月3日（金） 12:03:45
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 28672 |
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ts |
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#28666
こんな感じですね。 http://ff.sansu.org/sansu/524-a.gif |
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11月3日（金） 14:06:18
28673 |
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スモークマン |
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#28672
uchinyanさんへ。正解です！ わたしの方がミスってました。Orz。。。こっちの方がもっとさえない (^^;; |
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金光
11月3日（金） 15:39:17
28674 |
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ハラギャーテイ |
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遅くなりました。
三角関数とMathematicaです。 |
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山口
11月3日（金） 18:44:52
HomePage:制御工学に挑戦 28675 |
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きょろ文 |
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何とか算数で解けました。うれしかったです。
解法はtsさんと同じですかねー。 |
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√2の隣
11月3日（金） 23:46:35
MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド 28676 |
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なか |
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留守にしていて遅くなりました。
私も、時計の文字盤とふみました。 |
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北国
11月7日（火） 22:41:15
MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page 28677 |
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トトロ＠Ｎ |
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なんとか更新前に解けた。最近は仕事が忙しくて家では寝るだけの生活が続いています。
今日は休みで久しぶりに起きているのでこの後の更新にもチャレンジします。 |
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兵庫県明石市
11月8日（水） 23:48:07
28678 |