�������裵�������ʬ�β�����

吉川　マサル
ちょっと本業が忙しすぎてチェック不足だったので不安です...。ミスとかはありませんでしょうか？

とりあえず、三角形ＰＲＱが二等辺三角形になることを利用する方法を想定していました。
PowerBook　　 1月18日（木） 0:07:31　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　29121
なか
だいじょうぶです。
入れましたから。
　　 1月18日（木） 0:08:19　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　29122
久保文男
こんばんは。
　　 1月18日（木） 0:18:00　　 　　29123
みかん
角ＡＢＣの条件がなかったので勝手に６０度として作図しました。
まぁ、ズルいやり方ではありますね（汗）。ちなみにまっとうな
やり方はわかっておりません。
　　 1月18日（木） 0:19:58　　 　　29124
まるケン
三角形ＰＢＲをＢを中心に時計方向に６０度、
三角形ＱＲＣをＣを中心に反時計方向に２６度回転させ、ＰＲ＝ＲＱを発見。
あとは、１３度と３０度と１８０度を足したりひいたりで求めました。

ふぅ、ＣＡＤに頼らずに解けて嬉しいです。
　　 1月18日（木） 0:36:09　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　29125
nishimura
BCに関するRの対称点をR'とすると、△PBRと△ABR'は合同になります。
また、・の角度は計算すると、13度になります。
∠BAC+∠BR'C = 43 + (180 - 30 - 13) = 180度なので、
四角形ABR'Cは内接四角形。円周角の定理から、∠BAR'=∠BCR'=13度。
よって60 - 13 = 47度が答えです。
　　 1月18日（木） 0:40:49　　 　　29126
きょろ文
はい、まったくカンです…

#29125
なるほど、よくわかりました
いい問題だと思います＾＾
　　 1月18日（木） 0:44:13　　 MAIL:kyorofumi@msn.com 　　29127
Ｓｈｉｎ　Ｋｏｂａ
PBとQCを延長し、3頂点とRを結べば、すべて同じ長さとなるので、角PRA'が77×２で１５４度となり、この154度を頂角とする二等辺三角形のひとつの底角を６０度から引いて47度となりそうですね。
　　 1月18日（木） 0:50:42　　 　　29128
スモークマン
BC に対してRの対称点をR'とすると、ABR'Cは同じ円周上となり、
△BRR'は正三角形となり、△BPR≡△BAR'
∠BPR=∠BAR'=∠BR'C=(180-(180-60-43)*2)/2=13
∠RPA=60-13=47
ここまで書いて、、、ちょっと下を見ると、、、
#29126
nishimura さんと同じでしたね。(^^;
金光　　 1月18日（木） 1:25:22　　 　　29129
maverick
2ひねりくらいあって良問ですね。
Tokyo　　 1月18日（木） 1:31:22　　 MAIL:tmr6664@gmail.com HomePage:main page　　29130
ma-mu-ta
算数的に解きたかったので、円周角や内接四角形は使わず、
角の和を利用しました。

BCを対称軸としてRの対称な点をR'とすると、
△PBR≡△ABR'、△QRC≡△AR'C となります。(証明略)
PR=AR'=QRより、△PRQは二等辺三角形なので、∠RPA=∠RQA
∠BPR+∠CQR=∠BAR'+∠CAR'=∠BAC=43°
また、∠CQA=∠CAQ=180-(60+43)=77°より、
∠RPA+∠RQA=∠BPA+∠CQA-(∠BPR+∠CQR)=60+77-43=94°
よって、∠RPA=94÷2=47°
　　 1月18日（木） 5:11:21　　 　　29131
小島
前回は学校のテストもありまして月曜にしかはいることができませんでした。しかもやはり国語力がなかったために解くことができませんでした（泣）
　　 1月18日（木） 9:57:22　　 　　29132
小島
問題：ある素数ＸとＹがあります。この２つを足した数をＡとします。Ａの約数をすべてたしたところ、Ａの倍数になりました。（例Ａが６の場合６の約数１・２・３・６をたして１２なので６の倍数になります。）ではＸ＜Ｙで両方とも２桁の場合何通りあるでしょう。
　　 1月18日（木） 10:02:28　　 　　29133
小島
補足：ＸとＹの組み合わせを求めてください。
　　 1月18日（木） 10:03:52　　 　　29134
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．

最初問題を見たときは「うへー，難しそう」と思ったのですが，考えてみたら意外と簡単でした ^^v
しかも，正三角形はあまり重要ではないようで，右側と同様の二等辺三角形でもいいようです。
あ，もちろん，図のような図形が存在する範囲での話ですが。
折角なので，以下では，正三角形ではなく，BP = BA，∠ABP = 2 * ∠RBC だけを仮定して解いておきましょう。

BC に関して R と対称な点を S とし，S と A，B，C とを結びます。また，R と A，Q も結びます。
明らかに，BR = BS，CR = CS，∠RBS = 2 * ∠RBC = ∠ABP，∠RCS = 2 * ∠RCB = ∠ACQ です。
△BPR，△BAS において。
BP = BA，BR = BS，∠PBR = ∠PBA + ∠ABR = ∠RBS + ∠ABR = ∠ABS なので，△BPR ≡ △BAS です。
そこで，RP = SA，∠BPR = ∠BAS です。
△CQR，△CAS において。
CQ = CA，CR = CS，∠QCR = ∠QCA + ∠ACR = ∠RCS + ∠ACR = ∠ACS なので，△CQR ≡ △CAS です。
そこで，RQ = SA，∠CQR = ∠CAS です。
以上のことより，RP = SA = RQ，∠BPR + ∠CQR = ∠BAS + ∠CAS = ∠BAC です。
これらと，BP = BA，CQ = CA，P，A，Q は同一直線上にある，ことなどから，
∠RPA = ∠BPA - ∠BPR = ∠BAP - ∠BPR
∠RQA = ∠CQA - ∠CQR = ∠CAQ - ∠CQR
∠RPA + ∠RQA = (∠BAP - ∠BPR) + (∠CAQ - ∠CQR) = (∠BAP + ∠CAQ) - (∠BPR + ∠CQR)
= (180 - ∠BAC) - ∠BAC = 180 - 2 * ∠BAC
なので，
∠RPA = ∠RQA = 1/2 * (∠RPA + RQA) = 1/2 * (180 - 2 * ∠BAC) = 90 - ∠BAC
になります。
今回の問題では，∠BAC = 43度 なので，∠RPA = 90 - 43 = 47度 になります。
ネコの住む家　　 1月18日（木） 12:41:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29135
uchinyan
掲示板を読みました。
マサルさんの私生活はともかく．．．？ (^^;　ただ，FAQ にちょっと書いてありますね。
以下，ちょっと分からない点もあり検討中ですが，取り敢えず．．．
(少し追加しました。)

#29121
＞三角形ＰＲＱが二等辺三角形になることを利用する方法を想定していました。
はい，RP = RA の三角形ＰＲＱ，ですね。私の解法#29135は，この方向だと思います。

#29124
特殊化による解法。多分，∠ABC = 60度 でしょう。
この場合，BC//PQ になり，確かに図が描きやすそうですね。

#29125
具体的な論証はともかく，実質的には，私の解法#29135と同じだと思います。

#29126，#29129
なるほど。円周角の定理は，算数の範囲かどうか微妙ですが，これも簡明でいいですね。

#29128
＞PBとQCを延長し、3頂点とRを結べば、すべて同じ長さとなるので、角PRA'が77×２で１５４度となり、
PB と QC の交点が A' ですね。ただ，RP = RQ = RA' は今回の問題のポイントなので，説明が欲しいなぁ。
少なくとも，∠ABC = 60度 の特殊化をすれば，これは明らかですが，一般には，どうやるんでしょうか．．．？
なお，RP = RQ は，私の解法#29135などから分かります。
(ちょっと追加)
純粋な算数ではないですし，今回の問題を解くには遠回りですが，次のようにして証明はできました。
まず，角度の関係から，
∠BA'C = 180 - ∠A'PQ - ∠A'QP = 180 - ∠BAP - ∠CAQ = 180 - ∠BAP - (180 - ∠BAP - ∠BAC) = ∠BAC
∠BRC = 180 - ∠RBC - ∠RCB = 180 - 1/2 * (∠ABP + ∠ACQ) = 180 - 1/2 * (180 - 2 * ∠BAP + 180 - 2 * ∠CAQ)
= ∠BAP + ∠CAQ = 180 - ∠BAC
つまり，∠BA'C + ∠BRC = 180 です。そこで，A'，B，C，R は同一円上にあります。
そこで，円周角の関係から，∠BA'R = ∠BCR です。
さらに，#29126，#29129などと同様にして，∠BCR = ∠BPR がいえるので，∠RPA' = ∠RA'P になり，RP = RA' です。
同様にして，∠RQA' = ∠RA'Q もいえ，RQ = RA' もいえます。
しかし，この証明では，今回の問題を解くには遠回りになってしまいます。
ただ，R が △A'PQ の外心になっている，というのは，興味深いです。
(追加終)

#29131
私の解法#29135と同じです。
ネコの住む家　　 1月18日（木） 15:01:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29136
ハラギャーテイ
感でした。考えてもできませんでした。
山口　　 1月18日（木） 15:35:58　　 HomePage:制御工学に挑戦　　29137
スモークマン
#29133
ゴールドバッハの予想からは1個以上あるはずですよね(^^)

A は完全数なので、、、検索し、

完全数・友愛数：http://tombow-web.hp.infoseek.co.jp/alacarte/yuai.htm から、
「１世妃のころには、６，２８，４９６，８１２８の４個が完全数であることが発見されていました。電子計算機が使われるようになって、完全数を発見しようと多くの数学者が努力し
ましたが、現在でも２３個の完全数しか発見されていません。」

ということなので、明らかに題意を満たすA は、28 ですよね。

28/2=14 なので、14 にから奇数を引いて 11 までの素数のときを考えればいいので、13,11 のとき、(11,17) の組み合わせがありますね。

答えは、1通り。

完全数を探す方法はどうすればいいのでしょうか？
金光　　 1月18日（木） 15:56:50　　 　　29138
uchinyan
#29138
私がコメントとするのも何ですが，倍数であればいいので，完全数とは限らないようです。
ネコの住む家　　 1月18日（木） 16:35:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29139
スモークマン
#29133,#29139
そうか・・・案外難しい。。。(^^;

全ての数 A は、(1+2+2^2+・・・)(1+3+3^2+・・・)(1+5+5^2+・・・)・・・で表されるから、
A = 2^a*3^b*5^c*・・・ なら、
A の約数の和は、A*(1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^a)(1+1/3+1/3^2+・・・+1/3^b)(1+1/5+1/5^2+・・・+1/5^c)・・・で表される。
A は整数なので、(1+1/2+1/2^2+・・・+1/2^a)(1+1/3+1/3^2+・・・+1/3^b)(1+1/5+1/5^2+・・・+1/5^c)・・・が、整数になればよい。

1+1/2=3/2
3/2*4/3=2 は、2*3=6 でダメ。
1+1/2+1/4=7/4
7/4*8/7=2 はＯＫ。
このとき、4*7=28 なので、28/2=14 から、11-17 がある。・・・1個。

1+1/2+1/4+1/8=15/8 は、15=3*5 なので、
つまり、15/8*4/3*6/5=(15*4*6)/(8*3*5)=3　でＯＫ。
このとき、8*3*5=120 なので、
120/2=60 から、59-61,53-67,47-73,41-79,37-83,31-89,23-97 がある。・・・7個。

1+1/2+1/4+1/8+1/16=31/16 は、16*31=496 > 99*2=198 でダメ。
次は、63/32 で、63=3^2*7 なので、
63/32*13/9*8/7 はダメ。
次は、127/64 で、64*127>198 でこれ以上はない。

1+1/3=4/3 は、4=2^2 なので、
4/3*7/4 でダメ。
1+1/3+1/9=13/9
13/9*14/13 でダメ。
1+1/3+1/9+1/27=40/27 は、40=2^3*5 なので、
40/27*15/8*6/5=(40*15*6)/(27*8*5) はダメ。
1+1/3+1/9+1/27+1/81=121/81 は、121=11^2 なので、
121/81*133/121=(121*133)/(81*121) でダメ。
これ以上では、分母が 81*3=243>198 でダメ。

1+1/5=6/5 は、6=2*3 なので、
6/5*3/2*4/3 でダメ。

1+1/5+1/25=31/25 は、25*31>198 でだめ。
次の分母は、125 なので、125*2>198 で、もうない。

1+1/7=8/7 は、8=2^3 なので、
8/7*15/8 でダメ。

1+1/7+1/49=57/49 は、57=3*19なので、
57/49*4/3*20/19=(57*4*20)/(49*3*19) でダメ。
それ以上では、49*7*2>198 でダメ。
1+1/11=12/11　は、12=2^2*3 なので、
12/11*7/4*4/3 でダメ。
1+1/11+1/121=133/121 は、2*121>198 でダメ。

1+1/13=14/13 は、14=2*7 なので、
14/13*3/2*8/7 でダメ。
1+1/13+1/169 は、2*169>198 でだめ。

1+1/17=18/17 は、18=2*3^2 なので、
18/17*3/2*12/9 でダメ。

次の、17*17=289 で、198 以上になるので満たすものはない。

17 以上の素数は、同じ理由で（19*20=380>198）、もうない。

結局、1+7=8個かな？ (^^)V

おもしろい問題ですね、、、小島さんのオリジナル問なんですか？
もっとスマートに言えそうですね・・・(^^;
金光　　 1月19日（金） 9:42:47　　 　　29140
Shin Koba
uchinyanさんへ。直感的に折り返し図形をイメージし、RB、RCが共にRB、QCへの垂直二等分線になると判断しましたが、安易に過ぎて、すみません。何ともみっともない限りで・・・。勉強させていただきます。（uchinyanさんの証明を見て・・・。）

　　 1月18日（木） 22:14:12　　 　　29141
uchinyan
#2914
RB，RC が PB，QC と直交するには，∠PBR = 90 が必要なので，∠ABR = 30 でなければなりません。これには ∠ABC = 60 が必要になります。
そしてこのときには，確かに垂直二等分線になっています。
その意味では，特殊化の解法だったといえそうですね。
ただ，R が △A'PQ の外心になることは，#29136の追加部分で示したとおりより一般的にいえるようです。
面白いと思います。こちらこそ勉強になりました ^^
ネコの住む家　　 1月18日（木） 23:34:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29142
小島
すいません。スモークマンさん。いつも思いつきから問題を書いているのでこれといった方法は自分でもよくわかりません。ちなみに今回の問題の答えは８通りであっています。
春日井　　 1月19日（金） 16:45:49　　 　　29143
まるケン
順位表、「第８０位　吉川　マサルさん」って？？？
　　 1月19日（金） 17:37:30　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　29144
スモークマン
#29143
小島さんへ。
思いつきなんですか・・・(^^)
どういった辺りからそんな風な問題を思いつかれるんでしょうか？
ちょっと興味あります。よかったら教えて下さい。Orz
今回の答えがこれで合ってるっていうのは、コンピューターか何かで確認されたっていうことなんですか？？
そこも知りたいところ。。。(^^;

友人が、気功の測定器を仕入れたから測りに来てみてっていわれたことがあるんです、、、なんだか変でしょ？だって、気功が何か分かってないのにさあ・・・(^^)
金光　　 1月19日（金） 19:39:42　　 　　29145
英ちゃん
円周角を使いました。
ログを読んだら「すごいよ!!マサルさん」が読みたくなってきました。
今から読もうと思います。
居間　　 1月19日（金） 20:37:22　　 HomePage:虚数なページ　　29146
小島
友達が僕が出している問題のようなものが好きでよくこれより簡単な問題を出してくるのでおもしろいと思った問題をアレンジしてつくっています。ちなみに僕のだす問題は時間をかけて順番に解いてゆけばおのずと答えがでるものばかりです。８通りという答えもすべての通りを書き出したうえで、確認してだしました。今からだす問題は理科の授業で疑問に思ったことをアレンジして問題にしました。よかったらといてみてください！
春日井　　 1月19日（金） 22:49:13　　 　　29147
小島
問題：次に表すものは地球が太陽の周りを１周する（公転）のにかかる時間（1年）を基準にしたときに太陽の周りを１周するのにかかる時間（年）を表しています。
水星　０．２５　　金星　０．６　　地球　１　　火星　２
木星　１２　　土星　３０　　天王星　８４　　海王星　１６５
（あくまで計算で出しやすくするための数字であり正確なものではありません。）
では最初がこの順番（水金地火木土天海）で太陽を含む惑星が１直線になっているとき、次ぎに１直線になるのは何年後か。（何ヶ月かとだすと複雑になるので何年かということだけで考えてください。）また、そのとき海王星から順番にかくとどういうふうになるか。（太陽は必ずふちにあるとはかぎりませんよ。）
春日井　　 1月19日（金） 23:06:17　　 　　29148
maverick
#29144 「吉川 マサル」さんは先週から参加していますよ。意図はよくわからないのですが。まさかサクラとも思えませんし。

edit: もしかしたら解答用紙を使ったメールの遅延のテストかも知れませんね。
Tokyo　　 1月20日（土） 1:31:44　　 MAIL:tmr6664@gmail.com HomePage:main page　　29151
ピタゴラス
#29148
４６２０年後なんて変な答えがでました。
順番は海、天、土、木、火、地、金、水、太陽です
　　 1月20日（土） 1:27:10　　 　　29152
スモークマン
#29148
180度でもいいので、0.125,0.3,1/2,1,6,15,42,82.5 年で半周する。
まず、大きい方から考える。82.5 と 42 との公倍数は、3*4*7*55 年。
これは、15,6,1,1/2,3/10,1/8 で割れるので、3*4*7*55=4620 年かかる。

3*4*7*55/165=28,/84=55,/30=/2*3*5=2*7*11,/12=7*55,/2=2*3*7*55,/1=3*4*7*55,/(6/10)=2*7*55*10,/(1/4)=3*4^2*7*55 周しており、最初と同じ、
海、天、土、木、火、地、金、水、（太）の順番。

もっと簡単に出せそうね？ (^^;

海王星が164年の公転周期だったら、8610年で、
木だけが分母に2が余るから、海、天、土、火、地、金、水、（太）、木　の順になったんですよね？
金光　　 1月20日（土） 2:22:30　　 　　29154
maverick
#29154 半分の2310年じゃないですか？
木星と天王星が反対側です。

間違ったかな？

Tokyo　　 1月20日（土） 2:28:54　　 MAIL:tmr6664@gmail.com HomePage:main page　　29155
スモークマン
#29155
maverickさんへ。Orz〜
そうですね。。。84 と 165 の最小公倍数　の半分でいいのか！！
でも、きちんと言うにはどう言えばいいのかなあ？？

2310年=2*3*5*7*11 だけど、2^2 を持つ木・天が反対側なんだ！
結局、
海、土、火、地、金、水、（太）、木、天 の順番。

金光　　 1月20日（土） 2:36:40　　 　　29156
maverick
#29156 スモークマンさん、小数の最小公倍数っていうのが腑に落ちなかったので2で割ってみたのです。2^2が曲者でしたね。
Tokyo　　 1月20日（土） 3:00:34　　 MAIL:tmr6664@gmail.com HomePage:main page　　29157
小島
maverickさんスモークマンさんおみごと！反対にもくるというのがみそですね(^^) 現在はほとんど地球から見て太陽のほうに他の惑星が１直線になりそうらしいですよ（聞いた話）
春日井　　 1月20日（土） 4:20:35　　 　　29159
ma-mu-ta
#29148 小学生風に。
年の単位で考えるのだから、地球の公転＝1年より、一直線になるのは、
それぞれの惑星が始点と同じか反対側に来るときとなります。
まず、数の大きい天王星と海王星が太陽と一直線になるときを考えます。
天王星が始点に来るのは84年毎で、84と165の最小公倍数4620年後。
天王星が反対側に来るのは、最初が42年後であとは84年毎になるので、
84÷42=2より、4620÷2＝2310年後。…(2310−42)÷84＝27→反対側。
従って、次に一直線になるのは2310年後と考えて、他の惑星を調べます。
土星…2310÷30＝77→始点、
木星…2310÷12＝192.5、(2310−6)÷12＝192→反対側、
火星…2310÷2＝1155→始点、地球…2310÷1＝2310→始点、
金星…2310÷0.6＝3850→始点、水星…2310÷0.25＝9240→始点。
以上より、次に一直線になるのは2310年後で、海、土、火、地、金、水、(太)、木、天の順番となります。

（追記）面白そうだったのでやってみましたが、遅かったようですね。
　　 1月20日（土） 5:12:15　　 　　29160
スモークマン
#29159
小島さんへ。
次々おもしろい問題を考えつかれますね！(^^)

#29160
ma-mu-taさんへ。
考え方が整理できました。ありがとうございました。Orz

問題（有名らしい）・・・友人から
3*3*3のキューブ（ルービックキューブ）を斧でわり
27このキューブに分けるとしたら、最低何回斧を
ふるえばよいでしょうか。ただし、割った部分を
ほかの部分の上に置いて、1度にそれらを
割ってもよいとします。
金光　　 1月20日（土） 5:10:24　　 　　29161
スモークマン
奇数の完全数があるのかないのか未解決らしい。
その証明？

何となくいい感じになったので、、、粗筋をば・・・（またかい(^^;）

#29140 のアルゴリズムで考えると、

分母が2の時の分子は奇数、その分子の素因数は必ず奇素数なので、奇素数が分母の分子は、偶数・奇数の繰り返し。
3/2*4/3=2
7/4*8/7=2
で、(2^m-1)/2^(m-1)*2^m/(2^m-1)=2 から、2^m-1 が素数の時なら
2^(m-1)*(2^m-1) は完全数といえる。

一方、(2^m-1)/2^m の 2^m-1 が合成数の時は、いくつかの素因数（奇素数）に分解され、偶数/奇素数^奇数　か、奇数/奇素数^偶数　の掛け算が 2 にならないといけない。
偶数/奇素数^奇数を２つ以上持つと、分母に 2^m の因子が必要となり、奇数ではなくなる。
1個も持たない時は、明らかに、奇数/奇素数^偶数　の積の繰り返しでしかあり得ないが、
これでは、積は奇数なので、2にはなりえない。

だから、1個だけ偶数/奇素数^奇数　があり、あとは、奇数/奇素数^偶数だけの積の時。
しかも、偶数/奇素数^奇数　の偶数は、2が1個だけのもの。
素数は、4m+1 型と、4m-1 型なので、
4m+1 型は、
1+1+1+1=4 から、3,7,11,・・・奇素数の4k-1 乗のものは、2^2 を持つので不適。
4m-1型は、
1-1=0,1-1+1-1=0 なので、奇数乗は全て2^2 を持ち不適。

よって、4m+1 型の素数のうち、(4k+1)乗 のものだけを考えればよい。
1+(4m+1)=4m+2 のとき、4m+2=2*(2m+1) なので、2m+1 が、奇素数か、奇素数の積に分かれる場合がある。

・2m+1 が奇素数の時、
奇数/奇素数^偶数　でなければならない。しかし、分母はその奇素数は最低2個あるが、分子には1個なので、割り切れない。

・2m+1 が奇素数の積に分かれる時、
奇数/奇素数'^偶数*奇数/奇素数''^偶数　となり、分子、分母の奇素数の数があわないので割り切れない。

1+(4m+1)+(4m+1)^2+(4m+1)^3+(4m+1)^4+(4m+1)^5=4M+6=2(2M+3)
2M+3=2m'+1 で、上と同様のことがいえる。

一般に、4M+6+4k=4M'+6=2(2M'+3) なので、上と同様のことが言え、割り切れるものがない。
つまり、存在しない。
金光　　 1月20日（土） 13:29:07　　 　　29162
みかん
（#29161）スモークマンさん
６回でいいのかな？　斧の刃先が二またに分かれていて、１回の切断で同時に
２平面の断面が作れるというのなら別だけど（
　　 1月20日（土） 13:57:30　　 　　29163
uchinyan
うへ〜，またちょっと見ない間にすごい盛り上がりですねぇ。いずれにせよ，皆さん夜型のようで，私にはついていけない．．．(^^;

#29148
小島さんの惑星の問題は，それぞれは１年辺り，
水星　　4 * 360 = 8 * 180 度
金星　　5/3 * 360 = 10/3 * 180 度
地球　　1 * 360 = 2 * 180 度
火星　　1/2 * 360 = 1 * 180 度
木星　　1/12 * 360 = 1/6 * 180 度
土星　　1/30 * 360 = 1/15 * 180 度
天王星　1/84 * 360 = 1/42 * 180 度
海王星　1/165 * 360 = 2/165 * 180 度
進むので，年単位で考えるらしいから，それぞれが自然数で，180度の倍数になるようにすればいいです。
その場合の最小は，明らかに，分母の 3，6，15，42，165 の最小公倍数，11 * 7 * 6 * 5 = 2320 年で，
そのとき，地球−太陽の直線から見て
水星　　0 度　　要するに 180度 の偶数倍
金星　　0 度　　要するに 180度 の偶数倍
地球　　0 度　　要するに 180度 の偶数倍
火星　　0 度　　要するに 180度 の偶数倍
木星　　180 度　要するに 180度 の奇数倍
土星　　0 度　　要するに 180度 の偶数倍
天王星　180 度　要するに 180度 の奇数倍
海王星　0 度　　要するに 180度 の偶数倍
なので，確かに，木星と，天王星だけが反対側に来ますね。

#29161
スモークマンさんのルービックキューブの切断の問題は，
ナイーブには，斧が曲がっていない限り，中央のキューブの各面を切り出すのに６回は必要な気がするんですが．．．
まぁ，そんな甘くないのでしょうね (^^;
あ，６回でできることは明らかでしょう。

#29162
スモークマンさんの奇数完全数の話は，使っているアルゴリズムがよく分かっていないので，現時点ではよく分かりません。
ただ，これは，未解決の難問ですから，慎重に吟味する必要がありそうです。
ネコの住む家　　 1月20日（土） 14:12:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29164
uchinyan
#29162　スモークマンさんの奇数完全数の話
ざっと見てよく分からないところ。
＞偶数/奇素数^奇数を２つ以上持つと、分母に 2^m の因子が必要となり、奇数ではなくなる。
「どの」分母？
「2^m の因子」とは，何？　前の行の
＞一方、(2^m-1)/2^m の 2^m-1 が合成数の時は、
の 2^m ？　もっともこの式の分母は 2^(m-1) では？
「奇数ではなくなる」とは何が？
＞1個も持たない時は、明らかに、奇数/奇素数^偶数　の積の繰り返しでしかあり得ないが、
＞これでは、積は奇数なので、2にはなりえない。
これはよさそうですね。

次の段落は，仮定が正しいかの問題もありますが，4m+1，4m-1 で分類して何をしたいかが見えて来ないです。

したがって，その後も趣旨がよく分からないです．．．

ごめんなさい。もう少し噛み砕いてもらわないと．．．
ネコの住む家　　 1月20日（土） 14:42:52　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29165
小島
問題：ほんの少し理科の力がいります。
線ＰＱと５つの鏡があります。光をＰから１つの鏡の真ん中にだします。（鏡はすべてＰＱと平行です。）このとき光の線とＰＱの間の角度が３０°になりました。
この光は反射してＰＱを通過して２つ目の鏡の真ん中にあたります。２つ目以降はＰから１つ前の鏡までの光が通った距離分だけＰＱと離れています。
（Ｐから１つ目の鏡までが１�僂箸垢襪硲欧通椶龍世硲丕僂錬鵜冓森圓芭イ譴討い泙后�）
いま５つ目の反射した光とＰＱの交点（Ｑ）ができました。
ＰＱの長さが５２７２９５２／７２９のとき光はＰからＱまで何�僂任靴腓Α�
図があればいいのですが、このわかりにくい問題の図は乱れたジグザグだと思ってください。
きれいな数字がみつからなくてすいません（半泣）ちなみに電卓がないときついかもしれません。今週は３問もつくることができました（喜）
春日井　　 1月21日（日） 11:50:16　　 　　29166
小島
すごい答えになるので答えは最初にできる三角形（Ｐ、１つ目の鏡、最初の光とＰＱの交点）の面積をもとめてください。
本当にすいませんでした。
春日井　　 1月20日（土） 16:24:38　　 　　29167
スモークマン
#29165
uchinyanさんへ。
今日は忙しくって、、、今晩にはご返事できる（？）と思います。
アルゴリズムは、#29140 のものを使って考えました。。。

#29166
まだ充分読めてないんですよね。(^^;
なんだか文字化けしてないですか？
昨日から寝てないもので、、、
明日、クリアーな（？）頭でチャレンジしてみま〜す。(^^)
金光　　 1月20日（土） 18:48:39　　 　　29168
maverick
#29166 小島さんへ 私が正しく読んでいれば(そして解いていれば)Pから最初の鏡までの光の距離をxとすると5つめの鏡まで139x,Qまで217xの距離だけ光が進むんですが729964という数が217で割り切れないんですね(もちろん√3/2とか入ってもどうしても半端な数字になります)。何か読み違えていますか？

と途中で質問したりして…
Tokyo　　 1月20日（土） 21:10:25　　 MAIL:tmr6664@gmail.com HomePage:main page　　29169
小島
すいません。自分の計算ミスです。後日改めて正確な数字をだします。
春日井　　 1月21日（日） 10:43:57　　 　　29171
小島
訂正しておきました　29166を見てください。
春日井　　 1月21日（日） 11:51:03　　 　　29173
スモークマン
#29165 uchinyanさんへ。

遅くなりました。。。

＞＞偶数/奇素数^奇数を２つ以上持つと、分母に 2^m の因子が必要となり、奇数ではなくなる。
>「どの」分母？「2^m の因子」とは，何？　

このアルゴリズムからいくと、分子に偶数が出てくると、それを打ち消すためには、(1+1/2)以上のものが必要になるので、つまりは、素因数に2を持つことになり奇数でなくなるということが言いたいんですが・・・

>前の行の
＞＞一方、(2^m-1)/2^m の 2^m-1 が合成数の時は、
>の 2^m ？　もっともこの式の分母は 2^(m-1) では？

ここは、ご指摘のように、奇数を考えてるんだから、意味ないことを言ってますね。OrZ〜

>「奇数ではなくなる」とは何が？

最初の意味です。分子に偶数のものが2個以上来ると、最低1個は分母に2が必要＝分母の素数を掛けたもの（考えている完全数の候補）は偶数

＞＞1個も持たない時は、明らかに、奇数/奇素数^偶数　の積の繰り返しでしかあり得ないが、
＞＞これでは、積は奇数なので、2にはなりえない。
>これはよさそうですね。♪

>次の段落は，仮定が正しいかの問題もありますが，4m+1，4m-1 で分類して何をしたいかが見えて来ないです。

奇素数は、
1+1/3=4/3
1+1/3+1/3^2=13/3^2
1+1/3+1/3^2+1/3^3=40/3^3 と、当然ながら、分母が奇数乗なら分子は偶数、偶数乗なら分子は奇数になってるので、奇素数の偶数乗を考えればいいことになり、、、
あっ、そうか、おっしゃる通り奇素数に分ける必要なんて意味ないですね。。。Orz〜

ということは、、、
偶数/奇素数^奇数*奇数/奇素数^偶数*奇数/奇素数^偶数*・・・=2 になるかということですが、
分子に出てくる奇数は、新たな奇素数か分母と異なる奇素数による合成数のはず。
なぜなら、1+1/p+1/p^2+1/p^3+・・・ +p^n :n は偶数は、
(p^(n+1)-1)/(p^n*(p-1))=(p^n-p^(n-1)+p^(n-2)-・・・+1)/p^n なので、整数にはなれない。

最初の偶数/奇素数p^奇数乗　を少なくとも整数にするためには、分子の偶数=2*奇素数q*奇素数r*・・・の、
の奇素数の中には、分母の奇素数は含まれないから、積が整数になるためには、分子に最初の分母の奇素数を持つα、つまり、奇数/α^偶数　という因子を掛けなければならない。・・・
残念ながら、ここから行き詰まりました。。。(^^;

また考えてみまっす！Orz〜
金光　　 1月21日（日） 16:40:17　　 　　29174
小島
ヒント：すべての三角形は相似な関係になります。
春日井　　 1月21日（日） 15:33:46　　 　　29175
スモークマン
#29166 鏡反射問
PQ*2/6*2/3*PQ/√3*1/6*1/2=PQ^2/54√3・・・?
勘違いしてるかな・・・？
金光　　 1月21日（日） 17:03:57　　 　　29176
スモークマン
#29166 鏡問^2

最初の三角の辺の長さ：1
次の三角の辺：1*2=2
次は：(1*2+2)*2=8
次：((1+2)*2+8)*2=28
次：((1+2+8)*2+28)*2=100

つまり、1+2+8+28+100=139
139*k=PQ
求める三角=2k*2k/√3/2=2k^2/√3=2*(PO/139)^2/√3
で、、、√3 が出てくるようです。。。？

まだ題意を読み違えてるか・・・(^^;
金光　　 1月21日（日） 23:22:03　　 　　29178
maverick
#29166 鏡問題
最初の鏡までをxとすると5個目の鏡まで178xかかってしまいます。(毎回違う！ 前回間違えたのかな。すみません)
光の距離x,3x,10x,36x,128xで計178xです。PQからそれぞれの鏡までの距離は1/2x,x,4x,14x,50xです。明らかにスモークマンさんとも違うなぁ。うーん。でもいずれにせよ最後には√3がでてきますね。
Tokyo　　 1月22日（月） 0:16:50　　 MAIL:tmr6664@gmail.com HomePage:main page　　29180
uchinyan
#29166 鏡問題
私も考えてみましたが，
・最初の鏡までを x とすると，P から５番目までの鏡のジグザグの線は，maverickさんと同じ，
・直線のPQは，k = sqrt(3) * x として，スモークマンさんと同じ，
となりました。
いずれにせよ，小島さんの想定解答が勘違いか，題意が正しく伝わっていないかでしょう。
ネコの住む家　　 1月22日（月） 11:25:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29181
スモークマン
奇数の完全数がらみ(^^;で教えて欲しいのですが・・・

m が奇数、p を素数とするとき、
2*m^2=1+p+p^2+p^3+・・・+p^(2k-1)
を満たすようなことがありますかね？

これがないといえれば、、、
奇数の完全数がないことの一里塚になりそうなんですが。。。(^^)
金光　　 1月22日（月） 17:33:45　　 　　29182
uchinyan
#29183
やはり，小島さんの方が間違っているようですよ。よく確認してみてください。
ネコの住む家　　 1月22日（月） 21:03:14　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29184
uchinyan
#29182
えと，
2 * 3^2 = 18 = 1 + 17
ネコの住む家　　 1月22日（月） 21:07:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29185
スモークマン
#29185
uchinyanさん、ありがとうございます！
あるんだ〜(^^;

あのあと考えてたんですが、、、

2*q^偶数/p^奇数が最初だとすると、

・一番簡単な場合、2*q^2/p を考える。

2*q^2/p に、p/q^2 を掛ければ２となるとき、

2*q^2=1+p
p=1+q+q^2

を満たしているはず。

つまり、

2*q^2-1=1+q+q^2 から、
q^2-q=q(q-1)=2 を満たすものは、(p,q)=(7,2) だから、奇素数ではない。

2*q^2m/p^(2k-1) は、

2*q^2m=1+p+p^2+・・・+p^(2k-1) ということだから、

まず、これを満たすようなp,q が、あるのかってことがまず問題。

これは、uchinyanさんから、その存在は少なくとも一つはあることが指摘されましたので、

つぎは、一番安易な場合として、
p^(2k-1)/q^2m を満たすものがあるか？

つまり、

p^(2k-1)=1+q+q^2+・・・+q^2m　なんですが・・・？

つぎに、、、

2*q^2a*r^2b*・・・/p^(2m-1) のものから始まっていることになり、これに、α/q^2a,β/r^2b,・・・の積を考えることとなる。このとき、α*β*・・・ = p^(2m-1)*・・・にならないといけないし、かつ、α=s^2a'*t^2b'*・・・,β=u^2c'*v^2d'*・・・でないとダメ。でないと、s,t,u,v が新たな奇素数であり奇数乗であると、打ち消す分母にその新たな奇素数^奇数が必要になるため、その時は分母に余分な2が増えるから。
ということは、s,t,u,v は、新たな奇素数とすると、p が含まれないことになり、この場合割り切れない。
新たな奇素数でないとすると、全て p になるはず。
つまり、α=p^x,β=p^y,・・・
x+y+・・・=2m-1
p^x/q^2a,p^y/r^2b,・・・ という数があればよい。
あるなら、
1+q+q^2+q^3+・・・+q^2a=p^x
1+r+r^2+r^3+・・・+r^2b=p^y が同時に言えなければならない。
また、2*q^2a*r^2b*・・・/p^(2m-1)　なので、
1+p+p^2+p^3+・・・+p^(2m-1)=2*q^2a*r^2b*・・・にもならないといけない。

なんて、、、泥沼のようなことを考えています。。。(^^;;
金光　　 1月22日（月） 22:37:20　　 　　29186
大岡　敏幸
久しぶりに覗きました（＾＾；　今回の問題は個人的には少し難問でした。
辺ＢＣを軸にＲと反対側にＲ’をおきます。△ＢＲＲ’は正三角形より（証明略）△ＢＰＲ≡△ＢＡＲ’　よって∠ＲＰＡ＝６０°−１３°＝４７°
当初は△ＰＲＱが二等辺三角形になって求まるのかな等と考え１時間考えてもできませんでした（＾＾；　久しぶりに頭が柔らかくなった気がします。
石川県　　 1月22日（月） 22:52:46　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　29187
大岡　敏幸
少し不安なので、ここで質問します。マサルさんの所へ去年１２月中旬頃送ったｐｈｏｔｏ届きましたか？何か届いて無いような気が・・・（＾＾；
石川県　　 1月22日（月） 23:11:32　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　29188
スモークマン
偶数の完全数の求め方

これはすでに証明されているのですが、、、
わたしのアルゴリズムでいくと、、、

偶数の完全数
奇素数/2^m*2^(m+1)/奇素数　なら、=2 だから、
奇素数=1+2+2^2+2^3+・・・+2^m=2^(m+1)-1 であれば、
2^(m+1)-1 の約数の和は、1+2^(m+1)-1=2^(m+1) であるから、たしかに成り立ち、
この時の完全数は、2^m*(2^(m+1)-1)

p*q/2^m*2^a/p＊2^b/q が成り立つとすると、
2^a=1+p
2^b=1+q
a+b=m+1
が成立しなくてはならない。

2^a=1+p から、p=2^a-1
2^b=1+q から、q=2^b-1
p*q=1+2+2^2+2^3+・・・+2^m
から、
p*q=(2^a-1)*(2^b-1)=2^(a+b)-2^a-2^b+1=2^(m+1)-2^a-2^b+1 これが、
1+2+2^2+2^3+・・・+2^m=2^(m+1)-1 と等しくなくてはならないが、
2=2^a+2^b を満たすためには、a=b=0 の時のみ。
つまり、p=0,q=0 となり矛盾。
おそらく、分子の奇素数の数が増えても同じことは言えそうですよね？
よって、2^(m+1)-1 が素数の時のみの 2^m*(2^(m+1)-1) が、完全数。

これが、奇数の完全数の存在を言う時に急に難しくなるのはなぜなんでしょう・・・？(^^;

オイラーさんはどのように証明されたのかgoogっても分からない・・・(^^;

ここまで書いて、p^2a*q^2b*・・・/2^m の時はどうなんだってことは言えてないのに気付いたりして。。。。(^^;;
また考えてみます〜〜〜Orz〜
金光　　 1月23日（火） 0:28:58　　 　　29190
吉川　マサル
#29188

　はい、届いておりますー。で、逆質問ですが、その返信も送ったような気がする（1/8,9,10が云々）んですが、それは届いてます？(^^;
PowerBook　　 1月23日（火） 13:02:56　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　29192
uchinyan
#29190
偶数の完全数

オイラーさんがどう証明したのかは定かではありませんが、私も以前に考えたことがあります。
間違っているかもしれませんが、次のように、比較的簡単にできました。

a が偶数の完全数とします。
a は偶数なので、n を 1 以上の整数、b を奇数として、a = 2^n * b と書けます。
ここで、正の整数 c の約数の和を s(c) で表すと、2^n と b とは互いに素なので、
s(a) = s(2^n * b) = s(2^n) * s(b) = {2^(n+1) - 1} * s(b)
一方で、a は完全数なので、
s(a) = 2 * a = 2^(n+1) * b
です。そこで、
2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b)
明らかに、2^(n+1) と 2^(n+1) - 1 とは互いに素なので、k を 1 以上の整数として、
b = {2^(n+1) - 1} * k
となります。
ここで、k が 1 でないとすると、b は、少なくとも、
1, k, 2^(n+1) - 1, {2^(n+1) - 1} * k
という因数をもちます。そこで、
s(b) >= 1 + k + {2^(n+1) - 1} + {2^(n+1) - 1} * k = 2^(n+1) * (k+1)
そこで、
2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b) >= {2^(n+1) - 1} * 2^(n+1) * (k+1)
b >= {2^(n+1) - 1} * (k+1) > {2^(n+1) - 1} * k
ここで、{2^(n+1) - 1} * k = b なので b > b となり、これは矛盾です。
そこで、k = 1 になり、
b = 2^(n+1) - 1
になります。
ここで、b が素数でない場合を考えてみます。
すると、1, 2^(n+1) - 1 以外の因数 d, e, de = b があり、先ほどと同様に、
s(b) >= 1 + d + e + {2^(n+1) - 1} > 2^(n+1) + d
2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b) > {2^(n+1) - 1} * {2^(n+1) + d} = 2^(n+1) * {2^(n+1) + d} - {2^(n+1) + d}
b > 2^(n+1) + d - 1 - d/2^(n+1) = {2^(n+1) - 1} + d * {2^(n+1) - 1}/2^(n+1)
ところが、2^(n+1) - 1 = b、d/2^(n+1) > 0 なので、
b > b + d * b/2^(n+1) = b * (1 + d/2^(n+1)) > b
これは矛盾です。そこで、b = 2^(n+1) - 1 は素数になります。
b = 2^(n+1) - 1 が素数のときに a = 2^n * {2^(n+1) - 1} が完全数になることは、明らかですね。

結局、偶数の完全数は、
2^n * {2^(n+1) - 1}　ただし 2^(n+1) - 1 は素数
と決まります。

この証明では、2^n, 2^(n+1), s(2^n) = 2^(n+1) - 1 がうまい具合に現れてくれるのがポイントになっています。
奇数の場合は、残念ながら、こうした偶然はなさそうで、より深い考察が必要になるように思っています。
ネコの住む家　　 1月23日（火） 15:05:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29193
小島
本当にすいませんでした（泣）。自分の勉強不足でした（反省）。３０°・６０°９０°なら１：√3：２になります。この問題は後日改めて考えさせていただきます。
春日井　　 1月23日（火） 16:52:02　　 　　29194
スモークマン
#29193
uchinyanさん、ありがとうございます！！
納得です♪
ta
たしかにこのアナロジーでは、奇数には適応しにくいですね。。。？(^^;
金光　　 1月23日（火） 18:29:01　　 　　29195
maverick
問題です。数学ですがいいですよね。知ってたら簡単、知らないと悩んで面白い問題です。
1/sqrt(1+x^2)の不定積分を求めてください。もちろん置換積分です。最低２通りありますが片方で結構です。

edit: あとからみると、こういうのって浮いて見えるなあ。
edit2: TeXが使えると便利だなあ。
Tokyo　　 1月23日（火） 23:39:51　　 MAIL:tmr6664@gmail.com HomePage:main page　　29196
uchinyan
#29194　小島さんへ
作問＆出題は，問題を解くよりもはるかに難しいと思います。でも，その分，勉強になることも多いと思います。
これからも面白い問題を思い付いたら紹介してくださいね。
ちなみに，惑星の問題は，個人的には，とてもいい問題だと思っています ^^/
ネコの住む家　　 1月23日（火） 21:12:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　29197
大岡　敏幸
#29192
はい、私の方も確認出来ました（＾＾）　
ちなみに春先が丁度良いかもしれません。時間があったら是非。
石川県　　 1月24日（水） 22:56:18　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　29198
呑ちゃん
お休みなさい皆様。
もうダメで酒。シラフだけど限界。
あじゅ〜！
酔っぱらい天国　　 1月24日（水） 23:38:35　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　29199

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