ミキティ

これほど間違いを重ねた回もなかったです……。○|￣|＿ 100 s=0 110 for a=-5 to 5 120 for b=-5 to 5 130 for c=-5 to 5 140 for d=-5 to 5 150 if a*b*c*d=0 then goto 190 160 x=a+b+c+d 170 x=mod(x,6) 180 if x=4 then s=s+1 190 next d 200 next c 210 next b 220 next a 230 print s 240 end

9月27日（木） 0:17:43　　 　　30850

セクスィ

問題文が実に分かりにくかった。 五段目はQ以外は動けないということか。

9月27日（木） 0:18:53　　 　　30851

きょろ文

六角形書いて頂点に何通りか書いていってやりました

√2の隣　　 9月27日（木） 0:19:31　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30852

Taro

各階に登れるとおり数を書いていきました (Aの真上から順に) 2F 0 2 2 2 2 2 3F 20 16 16 16 16 16 4F 160 168 168 168 168 168 そして、Cの真下に上がる168以外を2倍し、 (160+168×4)×2=1664としました

9月27日（木） 0:22:35　　 　　30853

むらかみ

Ｐから真上に行けると思って計算してました。

9月27日（木） 0:21:51　　 　　30854

セクスィ

問題文が実に分かりにくかった。 五段目はQ以外は動けないということか。

9月27日（木） 0:21:56　　 　　30855

ミキティ

私も、５段目も動いて良いと思っていました。 だとすると、1664＋8336×2＝18336通り？ 正方形のマス目と同じようにやれるんですか……。

9月27日（木） 0:23:00　　 　　30856

Taro

#30855 その場合は20000-1664=18336とおりでしょうか、

9月27日（木） 0:24:09　　 　　30857

吉川　マサル

ただいま帰宅いたしましたー。 　ちょっとした飲み会（とはいっても胃の調子が悪くてお酒は飲んでいないのですが）に参加していました。問題自体は高校生の数学の漸化式の問題としてはオーソドックスかと思いますが、計算量の関係で全４段にするか全５段にするかでちょっと迷いました。 #30855 　スミマセン、いろいろと工夫したのですが...。「こうすれば良い」という案があれば嬉しいのですが..。（実は３通りくらい書いて、結局コレに落ち着いたんですが、やはり冗長な部分や説明不足な部分がありますでしょうか...）

iMac　　 9月27日（木） 0:28:09　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30858

ちゃーみー

下に降りてはいけない，5 段目では動けない の 2 つのルールをつけ加えたら正解になりました (笑)。

とうきょうとめぐろく　　 9月27日（木） 0:29:32　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30859

Shin Koba

（8×8×8×2）＋（2×8×2×10）＋（8×2×10×2）＝1664とーりというよりは、（12×12×12）−〔（（8×2×2）＋（2×8×2）〕＝1664とーりでしょうか。

9月27日（木） 0:30:11　　 　　30860

Holly

かなり迷った末何とかTaroさんと同じような方式の解答にたどり着きました。 ただ左回り/右回りを考え合わせ忘れていたので 最後に気づいて2^4を掛けましたが…。 こういった問題で上位に入れる方々は尊敬します。 自分もかつて無く間違いを重ねました...orz

9月27日（木） 0:31:54　　 　　30861

吉川　マサル

#30859 　あ、「下におりてはいけない」が書いていませんでした。スミマセン...。 　「５段目では動けない」は、「１段目〜４段目において、必ず右回りまたは左回りのいずれかで、別の柱に移動」では舌足らずでしょうか...？

iMac　　 9月27日（木） 0:32:54　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30862

バルタン星人

4回目でようやく正解しました。最初はＰ点から直上しても良いと考えてしまいました。でも根本的に各段で左右回りの１６倍すべきところを単に２倍しかしていませんでした。左右周りをまず無視すると１−３段の移動は５×５ ここで２−３段目の柱をＱの下の柱のものとわけて考え２１と４ Ｑの下でない→２１×４＝８４　Ｑの下４×５＝２０ （８４＋２０）×１６＝１６６４

9月27日（木） 0:33:32　　 MAIL:barutanace@yahoo.co.jp 　　30863

ミキティ

正方形のマス目と同じように (?) やってみました。 こうやって数えるのがスタンダードなんですね……。 　　　　　　　 Ｑ 　　／￣￣￣￣￣＼ 　 |＼＿＿＿＿＿／| 　 | ｜　　　　｜ | 　 | ｜　　　　｜ | 　 | 1664　　1664 | 1680／￣￣￣￣￣＼1664　1680＝168×５か所×２(左右) 　 |＼＿＿＿＿＿／| 　　1664＝168×４か所×２(左右)＋160×１か所×２(左右) 　 | ｜1664　　｜1664 　 | ｜　　　　｜ | 　 | 168　　　168 | 160 ／￣￣￣￣￣＼168　160＝16×５か所×２(左右) 　 |＼＿＿＿＿＿／|　　168＝16×４か所×２(左右)＋20×１か所×２(左右) 　 | ｜168　　 ｜168 　 | ｜　　　　｜ | 　 |　16　　　 16 | 　20／￣￣￣￣￣＼16　20＝２×５か所×２(左右) 　 |＼＿＿＿＿＿／| 　16＝２×４か所×２(左右)＋０×１か所×２(左右) 　 | ｜16　　　｜16 　 | ｜　　　　｜ | 　 |　2　　　　2　| 　Ｐ／￣￣￣￣￣＼2 　　＼＿＿＿＿＿／ 　　　2　　　　2

9月27日（木） 0:58:24　　 HomePage:みきこむ　　30864

SUPER SPECIAL SEMTEX

5段目で動けないの？えー　そこで引っかかってた

9月27日（木） 0:34:32　　 　　30865

バルタン星人

4回目でようやく正解しました。最初はＰ点から直上しても良いと考えてしまいました。でも根本的に各段で左右回りの１６倍すべきところを単に２倍しかしていませんでした。左右周りをまず無視すると１−３段の移動は５×５ ここで２−３段目の柱をＱの下の柱のものとわけて考え２１と４ Ｑの下でない→２１×４＝８４　Ｑの下４×５＝２０ （８４＋２０）×１６＝１６６４

9月27日（木） 0:37:20　　 MAIL:barutanace@yahoo.co.jp 　　30866

CRYING DOLPHIN

頂点や辺に場合の数を書き込む方式で解けることは分かって いたものの…数え間違い多発警報が発令しまくってましたorz 大学(≒ぷぅ)時代のあの無駄な集中力が恋しい。。 また、以下のように問題を読み間違えていたのも痛い。 ・回らずに直上するものも可能？　→ 否！ 　→『必ず』右回りまたは左回りする、の部分の読み落とし ・５段目でも動ける？ → 否！ 回るのは１段目〜『４段目』の見落とし ・高さ方向の移動は自由　→？？ なかなか正解できないので、もしかしたら「こうか？」って考えた案。 でも、この題意で解いたら大変なことになりそうなので却下(^^;

ラクガキ王国　　 9月27日（木） 0:42:36　　 HomePage:算数とか隧道とか　　30867

吉川　マサル

とりあえず、注意書きと問題文に追加説明を加えました。（赤字の部分）ご迷惑をおかけして申し訳ありませんでした。

iMac　　 9月27日（木） 0:47:28　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30868

banyanyan

きちんと問題が読めない馬鹿ですorz。

京都市　　 9月27日（木） 0:53:08　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30869

mhayashi

1-4段目まででQの真下かどうかで場合分けというか樹形図書き出しました・・・けど５段目いらなくない？

関西　　 9月27日（木） 0:55:18　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　30870

英ちゃん

最初問題文をよく読んでおらず、5段目でも動くと考えて答えを求めていました。（0:57分まで） また、上に上っていくのを、下に降りていくと考えて計算していたのですが、計算内容には特に問題はなさそうですね。 求め方は http://www.diced.jp/~eityan/hoka/567.JPG のような図を書いて、濃い黒丸に注意して場合分けし、 (2*4)(2)(2*5)(2)+(2*4)(2*4)(2*4)(2)+(2)(2*5)(2*4)(2)=1664と求めました （式は見やすくするために括弧で分けています。） 今回の問題に似たような問題を大学入試の問題で見たような気がします。

居間　　 9月27日（木） 1:25:16　　 HomePage:虚数なページ　　30871

みかん

「おりてはならない」は暗黙の了解（という名の思い込み）で条件に入れて 考えていましたが、５段目も当然動いていいと考えていました。条件は、 「１段目〜４段目において、必ず（中略）別の柱に移動（※）する」なので、 「５段目の移動の有無は問わない」と読みました。理系の方は出題意図通りに 考えるのが当たり前なのかな？ 結局、交差点に場合の数を書き込んでいく遠回りなしの道順問題ですね。 ３次元で６角柱なので図形に直接書き込むとごちゃごちゃに。１段ずつ スライスして交差点ごとに何通りかを書き込んでいきました。 （#30856） ５段目も動けるなら１８３３６通りで合っていると思います。 この答えで送った人は多いはず。

9月27日（木） 2:14:27　　 　　30872

みかん

ついでに問題文の「各段での回り方（左周り／右回り）が異なれば〜」で、 「回り」「周り」が交ざっているのが気になります。

9月27日（木） 2:16:58　　 　　30873

ダンディ海野

各頂点までの数を調べ、最終的にはミキティさんの#30864の図とまったく同じものが出来ました。 が、次のような経過を通ったため、結構時間がかかってしまいました。 (1)「必ず右回りまたは左回りのいずれかで、別の柱に移動」を見落とし、回らず上に上がってもよい として計算し、26842　通りとした。・・・（この方が注釈は少なくてすんだかも） (2) ５段目も動けるものかと迷った。 「４段目までは必ず回ること」と書かれてあっても、５段目は回ってはいけないことにならないので、 動けるものと思って計算をしたが、出題者の意図は違いそうなのでやり直した。 (3) 下に下がることについては、下がることも考えると無限大になってしまうので、問題表現としては 「下がらない」と書いておかねばなあ・・と思いつつ無視はした。

9月27日（木） 2:43:59　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30874

なか

ミキティさん方式が簡明なわけですが、 漸化式を作るとこんなふうです。 n段目を回り終わったときに、Ｐの柱に至る場合の数をa(n)、 Ｐ以外のある柱に至る場合の数をb(n)、とすると、 a(n)+5*b(n)=10^n に注意して、 a(1)=0,b(1)=2 a(n+1)=10*b(n) b(n+1)=(10^n-a(n+1))/5=10^n/5-2*b(n-1) b(1)=2 b(2)=20-2*2=16 b(3)=200-2*16=168 b(4)=2000-2*168=1664 ちなみに一般項は、b(n)=(10^n-(-2)^n)/6 b(4)=(10^4-16)/6=1664 b(10)=(10^10-1024)/6=1666666496

北国　　 9月27日（木） 4:32:31　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　30875

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． 多分，数学的には漸化式かなぁ，とは思いながらも，地道に下の段から数えていきました。 最初，「必ず〜別の柱に移動」を読み落としていて，移動しない場合も足し込み，首を傾げていました (^^; 各段で移動した後の各柱，つまり各頂点，の場合の数を，下の段から数えていきます。 ただし，５段目は移動しないので，点 Q に来るにはその真下の点 Q' から来るしかありません。 したがって，実質，４段目の点 Q' まで来る場合の数を求めればいいです。 各段の各点には，他の点から右回り，左回りで来るので， (n 段目の各点まで来る場合の数) = (他の点の真下の n-1 段目の場合の数) * 2 の他の点による和 です。ただし， １段目は下の段がないので特別で，点 P は 0 通り，それ以外は点 P からの移動で 2 通りずつ になります。さて， n 段目：各点まで来る場合の数の，点 P 又はその柱上の点から反時計回りでの並び と書くことにすると， １段目：0, 2, 2, 2, 2, 2 ２段目：20, 16, 16, 16, 16, 16 ３段目：160, 168, 168, 168, 168, 168 ４段目：1680, 1664, 1664, 1664, 1664, 1664 点 Q' は４段目の５番目なので，答えは 1664 通りになります。

ネコの住む家　　 9月27日（木） 12:23:29　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30876

uchinyan

掲示板を読みました。 最初，５段目は動けない，下には降りられない，などで混乱があったようですね。 翌日参加は，こうした点は気楽です (^^; #30850 プログラム。こうしてみると，mod 6 そのものですね。 #30852，#30853，#30861，#30864，#30867，#30872？，#30874，#30875，#30876 下の段から順次計算していく解法。 #30875 ＞n段目を回り終わったときに、Ｐの柱に至る場合の数をa(n)、 ＞Ｐ以外のある柱に至る場合の数をb(n)、とすると、 ちなみに，私の#30876の考え方による漸化式は， a(n) = b(n-1) * 2 * 5 = 10 * b(n-1) b(n) = a(n-1) * 2 + b(n-1) * 2 * 4 = 2 * a(n-1) + 8 * b(n-1) a(1) = 0, b(1) = 2 で，もちろん，一般項は， b(n) = (10^n - (-2)^n)/6 です。 #30856 ＞私も、５段目も動いて良いと思っていました。 ＞だとすると、1664＋8336×2＝18336通り？ #30857 ＞その場合は20000-1664=18336とおりでしょうか、 #30872 ＞５段目も動けるなら１８３３６通りで合っていると思います。 ５段目が動ける場合は，少し題意があいまいになります。 私の計算では，Q の真下から上がってきて動かないのを含めるならば， 1664 * 2 * 4 + 1680 * 2 + 1664 = 18336 通り で，皆さんと同じ。この方が自然なのかな？ Q の真下から上がってきて動かないのは排除する，つまり５段目も「必ず」動く，ならば， 1664 * 2 * 4 + 1680 * 2 = 16672 通り です。 #30860 さすがに，この式だけではよく分からないのですが，最初の式は#30871と同じようです。 となると，場合分けなのかな？ #30863(，#30866) 左右周りを後で考え移動だけをさせて，Q の下の柱かどうかの場合分けによる解法。 これもなかなか面白い考え方です。 #30870 Q の真下かどうかで場合分け(樹形図)による解法。 #30871 よく分からないのですが，済みません (^^;，一応， ＞のような図を書いて、濃い黒丸に注意して場合分けし、 ということなので，場合分けによる解法，としておきましょうか。 あ，#30883と同じですね。やっと分かったような (^^; #30878 ＞大筋は、3段目までの動き方全ての場合の数から、3段目の回転が終わった時点でQにいる場合の数を差し引いて、 ＞最後に4段目でQに向かって左右いずれかから回って上がり、という風に考えました。 という解法。地道ですが，この方法でも漸化式を作ることが可能で，発展性のある解法だと思います。 この場合の漸化式は，b(n+1) = (10^n - b(n)) * 2, b(1) = 2 で，#30875と同じですね。 #30883 ＞各段でQの真下を通る場合と通らない場合に分けて ＞4段目にQの真下を通らないようにすれば ３段目かな？ ＞(8×2×10+8×8×8+2×10×8)×2=1664 ４段目は Q の真下に来なければならないので，３段目は Q の真下を通れません。そして，４段目で Q に来るのに 2 通り。 ２段目が Q の真下の場合，３段目は 2 * 5 = 10 通り，２段目は 2 通り，１段目は Q の真下ではないので 2 * 4 = 8 通り，で， この場合は， 8 * 2 * 10 通り。 ２段目が Q の真下でない場合，３段目は 2 * 4 = 8 通り，ですが，１段目が Q の真下かどうかで場合分けが必要です。 １段目が Q の真下でない場合，２段目で 2 * 4 = 8 通り，１段目で 2 * 4 = 8 通り，で，この場合は 8 * 8 * 8 通り。 １段目が Q の真下の場合，２段目で 2 * 5 = 10 通り，１段目で 2 * 1 = 2 通り，で，この場合は 2 * 10 * 8 通り。 以上をまとめると，上記の計算式になりますね。

ネコの住む家　　 9月27日（木） 23:32:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30877

25no12

こんにちは。 最初、段数を勘違いして168通り、なんかやけに単純だなぁと思いつつ掲示板に入ろうとしても入れず、1段間違えていることに気が付きました。 いずれにせよ、たかだか5段なので、地道に数えました。 以下、n段目でQの真下にいる場合も「Qにいる」と表現しています。 大筋は、3段目までの動き方全ての場合の数から、3段目の回転が終わった時点でQにいる場合の数を差し引いて、最後に4段目でQに向かって左右いずれかから回って上がり、という風に考えました。 1段目の回転：5本のどれかに向かう、右回りか左回りか⇒10通り 2段目の回転：5本のどれかに向かう、右回りか左回りか⇒10通り 3段目の回転：5本のどれかに向かう、右回りか左回りか⇒10通り※ただし、Qで終わる場合は除く 4段目の回転：Q以外からQに向かう、右回りか左回りか⇒2通り 3段目の回転でQで終わる場合を考える 2段目の回転はQ以外 1段目の回転はQの場合とQ以外の場合がある 1段目Q、2段目Q以外 1段目：Qに向かい、右回りか左回りか⇒2通り 2段目：QからQ以外に向かうので5本のどれか、右回りか左回りか⇒10通り 1段目Q以外、2段目Q以外 1段目：PからQ以外に向かう、右回りか左回りか⇒8通り 2段目：Q以外からQ以外に向かう、右回りか左回りか⇒8通り 上記二つ合わせると、2段目がQ以外⇒2*10+8*8=20+64=84通り 3段目の回転はQ以外からQへ向かうので、右回りか左回りか⇒2通り したがって、1段目Pでスタートして、3段目回転終わった時点でQにいる場合⇒84*2=168通り 求める場合の数は、3段目でQ以外で終わって、4段目の回転でQに向かう場合なので、 (10*10*10-168)*2=1664通り

9月27日（木） 12:23:51　　 　　30878

uchinyan

#30849　25no12さんへ ＞こんなサイトを見つけました 情報ありがとうございます。ただ，これは知っていました。 ＞この「改良ルーロー四面体」が定幅であることから、 ＞もとのルーロー四面体（改良ルーロー四面体を含む）でも幅1未満の二つの平行な平面で挟み込むことができないことになります。 はい。 ＞「改良ルーロー四面体」の証明に関しては、一部推測（？）を含んでいるような記述になっていますが、 ＞いずれにせよ、1をはっきりと下回るようなtを取ることは無さそう・・・と言って良さそうに思います。 はい，そうなのですが，本当にそうなのかな？，というのが，サイトを読んでもよく分かりませんでした。 なお，それが正しいならば，私の最初の間違っていた直感が，実は正しかったことになります (^^; しかし，個人的には，ここらの検証には，dobaさんのような地道な考察が必要だと感じており， defさんの最初のご質問も，そこらをちゃんと考えるアイディアがないか，というものだったと理解しています。 dobaさんのスゴイ(としか言いようがない！)考察は，現在検討中ですが，#30846までは正しそうな感触です。 「感触」というのは，私のイメージが追いつかないので，正しく理解しているのかなぁ，という不安があるので (^^; #30848に関しては，投影図辺りの話が，分かったような分からないような，要するに分かっていない，です．．． そもそも，投影図ってどうやって描いてるんだろうか？　ツールとか使ってるのかな？ いずれにせよ，ここらからはしんどそうですね．．．

ネコの住む家　　 9月27日（木） 12:57:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30879

25no12

#30879 uchinyanさん、ご存知でしたか。 ＞はい，そうなのですが，本当にそうなのかな？，というのが，サイトを読んでも ＞よく分かりませんでした。 「本当にそうなのかな？」の部分、実は私も分かってないです・・・。 （該当サイトの「厳密には違うはずだけど数値としては一致する」というあたりの表現が微妙なんですよね） dobaさんの考察は・・・実はまだ理解していないです。 個人的には、座標を設定して四面体をいろいろと回転したときの平面z=0への投影図を考察しようとしていたのですが、場合分けが大変そうで、改良ルーロー四面体のサイトを見つけたことで、投げ出してしまいました。

9月27日（木） 15:24:02　　 　　30880

doba

#30879 uchinyanさん #30880 25no12さん 一応、今までの検討の流れを整理しておくと、 基本的にやろうとしているのは、 「ルーローの四面体を２つの平行な平面α，βで挟む（どちらとも接し、交わらないようにする）時、 αβ間の距離は１より小さくならない」 ことの検証です。 これを、この立体と各平面との接し方で場合分けして考えています。 #30846でやったのは、 「少なくとも片方の平面と、エッジや頂点以外の曲面で接する場合」と 「両方の平面と、頂点で接する場合」についての検討です。 これらを除外することで、あとは、 「少なくとも片方の平面と、頂点以外のエッジで接する場合」について検討すればよいことになります。 #30848で、この「少なくとも片方の平面と、頂点以外のエッジで接する場合」について述べています。 ここでは、まず、α，βが直線になり、なおかつ分かりやすい図になるような投影の仕方を工夫して、 あとは実際に図を書いてみた上での考え方を示しています。 ＞そもそも，投影図ってどうやって描いてるんだろうか？　ツールとか使ってるのかな？ えっと、思いっきりフリーハンドです（笑） 直線ＣＤ方向から見た図をまず書いて、それを直線ＣＤを軸に回転させながら、 正三角形ＰＣＤを含む面γへの投影を考えています。 ただ、「Ａを中心とした半径１の球面」と「エッジＣＤ＝Ｍを中心とした半径√3/2の円周」の 関係については、非常に微妙なので、半径１のボールに半径√3/2の輪ゴムを貼り付けて回転させる ことをイメージして検討してます。 ただ、それでは他の人には伝わらないので、これからこのあたりの図をもう少しきれいに 描いてみようかと思います。

9月27日（木） 16:31:47　　 　　30881

def

漸化式やるまでもなく地道に計算しました。ミキティ氏と同じです。 >25no12氏 ありがとうございます。 まさか、数学の部屋に類題があったとは。 これネタ元を言うと2chの「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問」というところのレス番号435にあった問題です。一部改題してますが。 投稿者(435)さんのHPはここに書いていいのかわからないので割愛しますが、その質問掲示板で私が質問したやりとりで、435の問題は実は数学オリンピックメダリストのご友人から提供された問題とのことです。投稿者のご友人はどうか知りませんが、435さんは答えをどうやら知らないようなのでこちらで質問させていただきました。 >uchinyan氏 はい、私も投影図あたりが微妙によくわかりません。 >doba氏 ありがとうございます。 doba氏の筋を追いつつ、別のやり方もないか模索中です。 接することがわかっているなら、反転させるとうまくいきそうか？というのが今検討中です。

9月27日（木） 17:23:27　　 　　30882

abcba

各段でQの真下を通る場合と通らない場合に分けて 4段目にQの真下を通らないようにすれば (8×2×10+8×8×8+2×10×8)×2=1664 順路の中では、PはQの真下を通らない点という扱いができます。 #30875,#30877で御指摘されましたn段目でP以外の点に到達する順路の組み合わせの総数b(n)は 正N角形の場合は b(n) = ((2N-2)^n - (-2)^n)/N 　　 =2^n((N-1)^n-　(-1)^n)/N =2^n×整数 故にb(n)は 2^nの倍数になる。 という事ですね。 b(n)は正N角形に拡張しても、とてもエレガントな式で記述できるので驚きました。

9月27日（木） 18:22:43　　 　　30883

uchinyan

#30883 正N角形の場合 ＞b(n) = ((2N-2)^n - (-2)^n)/N ＞　　 =2^n((N-1)^n-　(-1)^n)/N 確かにそうですね。 ＞=2^n×整数 ＞故にb(n)は 2^nの倍数になる。 ただ，これは，各段ごとに右回り左回りがあるので，当然のようにも思います。

ネコの住む家　　 9月27日（木） 18:38:12　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30884

doba

#30848で言うところの、γへの投影図を、 http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/Reuleaux.jpg に置いておきます。 左がγへの投影で、右がＡＢＮを通る平面への投影です。 ３つある一番上が、接点Ｐが丁度Ｅと一致する時で、 一番下がＰがＡと重なる時です。 （実際には、ＰがＡに限りなく近いがＡとは異なるエッジＡＢ上の点となる場合までが議論の対象です。） 赤の実線で示したのは球面がルーローの四面体の輪郭として見えている所で、 青の実線で示したのは、エッジです。 緑の実線は、核となっている正四面体です。 また、赤の点線は、頂点Ａを中心とする半径１の球面で、 青の点線は、エッジＣＤを含む、点Ｍを中心とする半径√3/2の円周です。 （なお、エッジＡＢとエッジＣＤ以外のエッジは、輪郭には出現しないので、図から省略しています。） 青の点線で示した円周は、赤の点線が輪郭となる球面に張り付いています。 γへの投影上での赤の点線の円（以下、赤の円）と青の点線の楕円（以下、青の楕円）の関係ですが、 30°回転した所（中段の図）では、両者は１点で接しています。（接点はエッジＣＤの真ん中） 図ではほとんど差が見えませんが、γへの投影において、 赤の円は、点Ｃ，Ｄを通っていないことに注意して下さい。 ＰとＣ，ＰとＤの距離は１ですが、点Ａの投影は点Ｐから(2√3-√6-1)/4＝0.0036…だけ下に離れているので、 赤の円も、Ｃ，Ｄより下を通ります。 この状態では、γへの投影上でルーローの四面体のＣＤ間の輪郭となっているのは、青の楕円（エッジＣＤ）です。 Ｐ＝Ａの時点（下段の図）では、両者は２点で接しています。（接点はＣとＤ） 非常にわかりにくいですが、交わっているのではなく、接していることに注意して下さい。 （青の点線の円が赤の点線の球面に張り付いているので、投影が交わることはありえません。） この状態では、γへの投影上でルーローの四面体のＣＤ間の輪郭となっているのは、赤の円です。 問題は、中段の図と下段の図の間の状態ですが、両者はＣとＤの途中の２点で接しています。 投影上の輪郭を形成するのは、その２点間では赤の円、外側では青の楕円となります。 #30848でも述べたように、この図で我々が検討しないといけないのは、 点ＰがＥからＡまで移動する間に、γへの投影上でのＣＤ間の輪郭が、 点Ｐを中心とする半径１の円周（すなわち、ルーローの三角形ＰＤＣの輪郭）よりも 常に外側にあるかということです。 （この点Ｐを中心とする半径１の円周（以下円Ｐ）は、図には書いていません。差が細かすぎて書けません（苦笑）） 上段図から中段図の間では、円Ｐと青の楕円は２点ＣＤのみで交わり、 ＣＤ間では楕円の方が下側にあることがすぐ確認できるので、問題ありません。 したがって、全ての厄介事は、中段図と下段図の間の微妙な領域に全て含まれることになります。 中段の図の状態でも、円Ｐは、青の楕円と２点ＣＤのみで交わっており、円Ｐの方が内側にあります。 その後、下段の状態に至るまでの途中のどこかのポイントで、 円Ｐと青の楕円は２点ＣＤで交わる他に、ＣＤの真ん中の１点で接します。 そこから、下段の状態に至る途中では、円Ｐと青の楕円は、 ２点ＣＤと、その間のさらに２点の計４点で交わります。 この時、この４点を順にＣ，Ｘ，Ｙ，Ｄとし、 さらに青の楕円と赤の円の接点をＣに近い方からＺ，Ｗとすると、 赤の円の方が円Ｐよりも外側にあることから、青の楕円上での並び順は Ｃ→Ｚ→Ｘ→Ｙ→Ｗ→Ｄとなるはずです。 ＸＹ間では青の楕円は円Ｐの内側に入ってしまいますが、 実際にはＺ，Ｗ間で輪郭として現れているのは赤の円の方なので、 立体の投影のＣＤ間の輪郭が、円Ｐの内側に入り込むことはありません。 以上で、（計算して確認しないといけない部分を補えば） 点ＰがエッジＥＡ上（点Ａを除く）にある時は、γへの投影上で ルーローの四面体の輪郭は、ルーローの三角形の外側に常に存在することが わかります。 なお、γへの投影上で、Ｎを原点として、Ｍの座標を(0,t)と置くと、 赤の円：x^2 + (y-t-√(1-2t^2)/2)^2 = 1 青の楕円：(4/3)x^2 + (2/3t^2)(y-t)^2 = 1 円Ｐ：x^2 + (y-√3/2)^2 = 1 となり、 上段図：t=√2/2 中段図：t=√6/4 下段図：t=√3/3 です。

9月27日（木） 23:31:39　　 　　30885

小西孝一

携帯から、注意不足 でした。

ど田舎　　 9月28日（金） 11:05:01　　 　　30886

小西孝一

問題文をしっかり読んで やっとミスに気付きました。 やっぱ阿保です。（汗

ど田舎　　 9月28日（金） 11:22:28　　 　　30887

uchinyan

#30885 dobaさん，ご説明ありがとうございます。 がしかし，まだ私には，難しくて，というかイメージが膨らまず，ついていけてないです (^^; もう少しじっくりと考えかつ眺めてみますね。 なお，細かい計算のチェックを除けば，これで，#30833の(2)と(4)がいえたことになっているのでしょうか？　 こういう質問をするのは分かっていない証拠です (^^; (4)はいえたような気がするのですが，(2)は？

ネコの住む家　　 9月28日（金） 11:48:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30888

doba

#30888 uchinyanさん すみません、#30833についての訂正をしておくのを忘れてました。 結果的にこの(2)と(4)が言えなくはないですが、実は、これを分けて議論する 必要はなくなっています。つまり、#30885の図で、 (*) 接点のうちの片方が(II)のとき、α，β間の距離は１以上であることを示す ことが出来るので、これと(1),(3)で証明完となります。 ちなみに、(4)については(*)から自動的に言えますが、(2)については γへの投影図における輪郭を形成するＣＤ間の曲線の、点Ｃ、点Ｄにおける 方向ベクトルを調べることで、点Ｐにおけるαの可動範囲のどこであっても βが点Ｃないし点Ｄで接することはないことが言えると思います。 （αとβは投影図上では直線になっています。） この図形は、たしかにかなりイメージしづらいですよね。私の基本的なイメージは 次のようなものです。 #30885の図の一番上で、球Ａと球Ｂが重なっている状態を考えます。 その重複部分の「どら焼き型」がイメージできたら、エッジＣＤを含む 青の点線がそのどら焼き型のエッジとして見えてくるはずです。 この重複部分を、以下「どら焼きＡＢ」と呼びます。 そして、球Ａの輪郭である赤の点線と青の点線の組合せにより、 どら焼きＡＢの半分のドーム型がイメージできるかと思います。 同様にして、球Ｃと球Ｄの重複部分のどら焼き型（以下「どら焼きＣＤ」）を イメージします。エッジＡＢはどら焼きＣＤのエッジの一部となります。 ルーローの四面体は、この２つのどら焼き型の重複部分となります。 今回の図は、線分ＣＤを固定して、これを軸に回転させているので、 実はどら焼きＣＤは固定されています。 つまり、この一連の図は、どら焼きＣＤを固定して、 どら焼きＡＢを直線ＣＤを軸に回転させ、両者の重複部分を見る、 ということをやっているわけです。 左側のγへの投影では、ＰＤ間、ＰＣ間の輪郭はどちらもどら焼きＣＤの輪郭であり 固定されています。一方、ＣＤ間の輪郭は、必ずどら焼きＡＢの輪郭となっています。 なお、一番イメージしづらいのは、やはりＣＤ間の輪郭の形状の変遷と、 それと円Ｐの比較の部分だと思います。 30°回転の状態からＰ＝Ａの状態までの間の、赤の円、青の楕円、円Ｐの関係が どのように変化するかを少し誇張して書いた図を用意してみました。 http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp0.jpg オレンジ色の曲線が円Ｐ相当で固定。（この両端がＣとＤのつもりです。） 赤色の曲線が赤の円相当で、円Ｐと同じ形で少し下に離れた状態から 徐々に円Ｐに近づいていきます。 青色の曲線が青の楕円相当で、常にＣ，Ｄを通り、ｙ軸方向のサイズが徐々に 縮んでいきます。 図の上から順に(a)〜(e)とすると、各曲線の関係は次のように推移します。 (a) オレンジと青は、両端のみで交わる 　　青と赤は、真ん中の１点で接する (b) オレンジと青は、両端のみで交わる 　　青と赤は、２点で接する (c) オレンジと青は、両端で交わり、かつ、真ん中の１点で接する 　　青と赤は、２点で接する (d) オレンジと青は、両端および途中の２点の計４点で交わる 　　青と赤は、２点で接する (e) オレンジと青は、両端で接する 　　青と赤は、両端で接する（赤とオレンジは一致する） 見づらいので，このオレンジと青の関係、青と赤の関係だけを抜き出したのが http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp1.jpg http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp2.jpg です。また、実際のＣＤ間の輪郭は、青と赤が接する２点間では赤で、それ以外は青なので、 この輪郭とオレンジの関係を示したのが http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp3.jpg となります。 #30885の図の中段が、(a)に相当し、下段が(e)に相当します。 図では赤の円と青の楕円はＣＤ間ではほとんど一致しているようにしか見えませんが、 実際には中段から下段までの微妙な変化の中で、この両者および円Ｐの関係は このように細かく変化しています。

9月28日（金） 15:14:31　　 　　30889

doba

#30889 自己レス どら焼きＡＢに着目してもう一度よく考えてみたら、 ＣＤ間の曲線の変遷について、あまり細かい議論をする必要はなさそうですね。 どら焼きＡＢから見た円Ｐの軌跡、すなわち、 Ａを中心としてＣ，Ｄを通る半径１の円周における弧ＣＤを 直線ＣＤを軸に回転させてできる曲面が、 どら焼きＡＢからはみ出すことはないことを示せば、 γへの投影で、どら焼きＡＢの輪郭の投影である曲線ＣＤから円Ｐが はみ出すことはないのは明らかです。 上記回転体がどら焼きＡＢからはみ出さないことは、 球Ａと球Ｂについてそれぞれ議論すれば簡単に言えますね。 なお、#30885で、記事の修正に失敗して肝心の画像へのリンクがうまく張られていないので 再掲しておきます。 http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/Reuleaux.jpg 長々とこの話題にこだわってしまい、すみません。 そろそろ私の方は終わりにします。

9月28日（金） 15:52:03　　 　　30890

uchinyan

#30889 dobaさん，詳しい説明をありがとうございます。定性的には大分イメージがつかめました。 赤，青，オレンジの微妙な位置関係は，詳細には，計算によって確認するのでしょうが，これはひとまず，dobaさんを信じます (^^; (歳をとると，こういう根気のいる作業が面倒になっていけません．．．orz) (2)も，接平面α，βの状況を考えると，確かに，C，D で接しているのは無理そうに思えてきました。(少しいい加減．．．(^^;) 結局のところ，defさんの最初のご質問の答え，ルーローの四面体を周又は内部に含む立方体の一辺の最小値は 1 というわけですね。 ふぅー．．．orz #30890 ＞長々とこの話題にこだわってしまい、すみません。 いえいえ，とんでもありません。詳しい考察を大変ありがとうございます。ご苦労様でした m(__)m defさん，どうでしょうか？

ネコの住む家　　 9月28日（金） 17:24:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30891

小西孝一

やっと、帰ってきました。 皆に参加したいけど、夏風邪の微熱も続いていて・・・ 後でログ読んで勉強させて下さいね。m(_)m

ど田舎　　 9月28日（金） 17:29:42　　 　　30892

def

>doba氏 長々とお付き合いくださり、誠にありがとうございました。 >uchinyan氏 私の質問なのにお付き合いくださり、ありがとうございました。証明はまだ読んでいる途中です。

9月28日（金） 17:34:54　　 　　30893

doba

#30893 いえいえ、時々骨のある問題を考えるのは趣味みたいなものなので（笑） こちらこそ面白いネタをありがとうございます。

9月28日（金） 23:45:35　　 　　30894

水田Ｘ

久々に（わたしにとっての）難問とかせていただきありがとうございます。 この立体を上空からみたら六角形になる。階は違うが最終点Ｑとおんなじ位置をｑとする。そしてその点に止まったかとまっていないかを１，０でかんがえる。その場合以下の３とおりが考えられる。 ０００１、　最後の４段目以外はｑでとまらない。 １００１、　１段目でｑで泊り最後にまたｑにくる。 ０１０１　　同様なかんがえ 以下をたすと４＊４＊４＋１＊５＊４＋４＊１＊５＝１０４ 右回り左回りをかんがえて２＊２＊２＊２＝１６倍すると１６６４

9月29日（土） 8:38:13　　 　　30895

小西孝一

ちなみに私の解法は能無しで恥ずかしいのですが・・・ ８Ｘ（２Ｘ１０Ｘ２＋８Ｘ８Ｘ２）＋２Ｘ１０Ｘ８Ｘ２＝１６６４ です。 何の工夫もないです。（汗

ど田舎　　 9月29日（土） 12:59:08　　 　　30896

スモークマン

やっと入れた。。。^^; ずいぶん計算を誤ってました、、、 (2*2*4*2*5)*2+(2*2*5*2+2*2*4*2*4)*2*4=320+1344=1664 これからみなさんのを見せてもらいます ^^v Orz〜

金光＠岡山　　 9月29日（土） 12:19:09　　 　　30897

小西孝一

スモークさん 結局は、私と同じですね。 ・・・何故に×数が多いのかな・・・？ 私は、ＱをＱ５その下をＱ４以下Ｑ３、Ｑ２，Ｑ１として Ｑ４からはＱ５＝Ｑへ行けないのと、Ｑ３からはＱ４へ行けないから 自由になるのとＱ２からはＱ３へ行けない、ということに注意して 計算式を立てたら ８Ｘ（２Ｘ１０Ｘ２＋８Ｘ８Ｘ２）＋２Ｘ１０Ｘ８Ｘ２ となりました。 他の人はもっとエレガントに解いてるみたいですが（汗

ど田舎　　 9月29日（土） 13:20:06　　 　　30898

スモークマン

#30898 小西さんへ。^^ pの上の場合の数、それ以外の場所の場合の数 0,2・・・1段目 2*5*(2),2*4*(2)・・・2段目 2*5*(2*4*(2)),2*(2*5*(2))+2*4*(2*4*(2))・・・3段目 2*5*(2*(2*5*(2))+2*4*(2*4*(2))),2*(2*5*(2*4*(2)))+2*4*(2*(2*5*(2))+2*4*(2*4*(2)))・・・4段目 Qの真下は、後者の数なので。。。 とにかくこれだけのことを地道に計算してただけなんですが、、、何度も間違えてたようです。。。考え方がおかしいのかと諦めかけてました。^^; エレガントでないとか間違いやすいことがよく分かりました。 もっと上の段だったら、入れてないでしょうね・・・^^;;

金光＠岡山　　 9月29日（土） 13:38:53　　 　　30899

小西孝一

スモークマンさん 今回は正解率も低いし、正解しただけでも良しですよね♪

ど田舎　　 9月29日（土） 17:44:08　　 　　30900

スモークマン

小西さんへ。 今回は問題自体は難しくないと思いますが、、、 なぜにこんなに正解率が低いのか不思議。。。^^; 問題文の解釈で悩んでる方が結構いらっしゃるのでは・・・？ ちなみにわたしは、なかなか計算間違いしてただけですが、、、入れないとき、1周以上ってところを1周は可能なのかなとかいろいろ考えてしまいました。。。 そのほかも、Pからはすぐ上でもいいのかななんてね。 実際は文章そのままを正確に反映すればいいんですけど。^^;v

金光＠岡山　　 9月29日（土） 20:11:46　　 　　30901

スモークマン

#30895 水田Xさんへ。 面白い解法に思えるのですが、、、 >４＊４＊４＋１＊５＊４＋４＊１＊５＝１０４ の心が分かりません。。。^^; 教えて頂けませんでしょうか？Orz〜

金光＠岡山　　 9月29日（土） 21:38:39　　 　　30902

小西孝一

#30901 スモークマンさんへ 実は私も問題自体は根気良くやれば、出来るので難しくは無いと思います。 やっぱり問題文の解釈で悩んでいるというのが正解だと思います。 私も１周以上はしないという所で、１周はいいのかどうか迷いました。 まぁ、下の方にも書きましたがスモークさんの言われるように、 問題文を落ち着いてしっかり読めば、直ぐ答えは出せますよね。 それにしても正解率低いですよね。 ちなみに今まで寝てました。

ど田舎　　 9月29日（土） 23:10:06　　 　　30903

小西孝一

#30902 スモークマンさんへ 水田さんと私と考え方が殆ど同じようなので まず、Ｑ１をさけて４、２段目に上がっていて、次にＱ３をさけて４、次にＱ４をさけて４ ４Ｘ４Ｘ４ 最初にＱ１を選んで１、Ｑ２に上がってるので次にＱ３に行かず３段目は全部選んで５、 ４段目はＱ４をさけて４ １Ｘ５Ｘ４ 最初の場合のＱ３を通る場合 まず２段目へ上がるのに４通り４、Ｑ３を選んで１、次はＱ４へは行かない ので４段目全部Ｏ．Ｋ．で５ ４Ｘ１Ｘ５ ４＊４＊４＋１＊５＊４＋４＊１＊５＝１０４ 上では点だけで考えたので右回り左回りを考えて２ｘ２ｘ２倍 最後４段目Ｑ４へ移動するのに右回り左周りで各々２通り あわせて ２Ｘ２Ｘ２Ｘ２＝１６倍して １０４Ｘ１６＝１６６４ じゃないでしょうか。 水田さん違ってたらゴメンナさい。

ど田舎　　 9月30日（日） 0:56:46　　 　　30904

小西孝一

今日はたっぷり昼寝（夜寝？）したのでまだ起きてる訳です。^^;

ど田舎　　 9月30日（日） 1:09:51　　 　　30905

スモークマン

#30904 小西さんへ。 なるほど、、、意味がやっと分かってきました。。。 #30895水田Ｘさんの ０００１ １００１ ０１０１ の意味は理解できてたんですが、、、 合わせ技で何となく。。。^^;v Orz〜　　 当直で起こされたもので、、、^^;

金光＠岡山　　 9月30日（日） 4:15:04　　 　　30906

水田Ｘ

スモークマンさん　小西さんの書いてあるとおりです！わたしの解法が話題になるなんて光栄です。現在はFlashmemoryの工場で働いてますが、来年には韓国を抜いて世界一になる予定です。この問題は会議中にこっそり考えてもわからなかったですが、土曜日の早朝にとつぜんひらめき起こされました。><

9月30日（日） 8:59:00　　 　　30907

スモークマン

#30907 水田Ｘさんへ。 まさに、Aha 体験（降臨？）ですね ^^ 日本の高品質の商品で世界をリードし続けて下さいませ Orz〜v

金光＠岡山　　 9月30日（日） 10:44:50　　 　　30908

小西孝一

#30907 水田Ｘさん 絶対韓国を抜いて下さいね。世界一だ〜＼(^o^)／

ど田舎　　 9月30日（日） 17:36:22　　 　　30909

水田X

小西さん　スモークマンさん　ありがとうございます。日の丸半導体復活に微力ながら貢献できればと。そのためにもサンチャれで基礎体力を鍛えないと^o^

10月1日（月） 18:15:16　　 　　30910

ばち丸

水田Xにまたまた先を越されてしまった。愚劣ながら樹形図を書いてしまいましたよ。上のほうから書けば割と書きやすい。

10月3日（水） 1:37:16　　 　　30911

水田X

ぼくはその地道な解法がわからなかったから、たまたまひらめいたのかも。日の丸危うし？！^o^

10月3日（水） 11:55:57　　 　　30912