＜Melvy＞
マサルさーん，パスワード直し忘れてますよー
　　 10月25日（木） 0:51:28　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　31039
吉川　マサル
スミマセン、今設定いたしました...。m(__)m
iMac　　 10月25日（木） 3:23:46　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　31040
cocolo
これでいいのかいまいち確信が持てないのですが・・・。

ある数の1の位だけが0から9まで変化していく場合
(□・・・△0，□・・・△1，□・・・△2，□・・・△3，・・・，□・・・△9というように，ですね)
それら10個の数を順にこの装置に入れた時に出力される数字の組み合わせは、

1の位が0,1,2,3,4,5,6,7,8,9と変化するにつれ，

�　�0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
�◆�1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
��　2,3,4,5,6,7,8,9,10,0
�ぁ�3,4,5,6,7,8,9,10,0,1
�ァ�4,5,6,7,8,9,10,0,1,2
�Α�5,6,7,8,9,10,0,1,2,3
�А�6,7,8,9,10,0,1,2,3,4
�─�7,8,9,10,0,1,2,3,4,5
��　8,9,10,0,1,2,3,4,5,6
��　9,10,0,1,2,3,4,5,6,7
��　10,0,1,2,3,4,5,6,7,8

のうちのどれかのパターンをとり，
(ちゃんと検証はできてませんが)百の位以上の数への繰り上がりが
起きない限り，上記の順で繰り返されるのではないか，と。

だとすると，
0以外の数字が続く最長のパターンは
�、��□�(百の位以上の繰り上がり)→�□���
となり，「38」が答えとなるのかな，と。
(具体的には999981〜100018など，でしょうか？)

長い上，あやふやで，その上わかりにくい文章ですいません・・・。

どなたかのエレガントな解法を楽しみにしております・・・。
兵庫　　 10月25日（木） 3:59:01　　 　　31041
cocolo
↓の「100018」→「1000018」ですね・・・。
すいません・・・。
兵庫　　 10月25日（木） 4:03:04　　 　　31042
ちゃーみー
#31041 全く同じ解法です。何度も勘違いして誤答を送りましたが…。
とうきょうとめぐろく　　 10月25日（木） 5:47:53　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　31043
ミキティ
お、やっと入れますね。
　　 10月25日（木） 7:17:25　　 HomePage:みきこむ　　31045
認証派
どう考えても 38 なんだけどなーと思いつつも
認証ではねられた答えを送る勇気は出なかった
　　 10月25日（木） 8:15:02　　 　　31046
ハラギャーテイ
おはようございます。

プログラムで２８が求まったが、だめだった。
いくらの数まで計算すればよいのだろうか。どの数の範囲が
38桁も続くのだろうか。
山口　　 10月25日（木） 8:42:34　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　31048
kasama
やっと掲示板が開きましたね(^▽^) 私も #31041 と同じです。
会社　　 10月25日（木） 9:13:46　　 　　31049
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．

今回は完敗です。書き出してみると，下一桁が変化するにつれて余りが一つずつずれて擬似周期をなすかなぁ，
というぐらいで，全く分かりませんでした。
仕方がないので，プログラムで様子を調べながらの認証でした。
装置A をプログラムでシミュレートするのは簡単ですが，入力の数に上限がないので，答えは決まりません。
そこで，最後は認証というわけです。
なお，プログラムでも，入力が 1000000 まででは 28 で，10000000 まででやっと 38 になりました。
実際，最初に 38 を与えるのは，999981 〜 1000018 なので，1000000 までではダメですね。

解法は，掲示板を見て勉強します。
ネコの住む家　　 10月25日（木） 10:55:05　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31050
uchinyan
(少し修正 (^^;)
掲示板を読みました。が，個人的には，あまりスッキリした解法の書き込みはなさそうです。

#31041
周期性に関しては似たようなことを思いつきましたが，ごめんなさい，
＞0以外の数字が続く最長のパターンは
＞�、��□�(百の位以上の繰り上がり)→�□���
の辺りがよく分からないです。
しかも，これ以上長いのがないのも明らかなのでしょうか？
--->
と書きましたが，見直していて少し分かりました (^^;
余りが 0 から始まって 0 で終わる系列ですから，可能性として �、��□��� しかなく，
繰り上がりを含めて一つ伸ばす，ということですね。
ただ，伸ばすのは，本当にこのパターンしかないのかな．．．
--->
大丈夫そうですね (^^;

マサルさんの想定解法はどんなのかな？
ネコの住む家　　 10月26日（金） 11:04:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31051
uchinyan
#31036
既に数楽者さんの#31038の解答がありますが，カッコつけると，コーシー・シュワルツの不等式，
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) >= (ac + bd)^2，等号は a/c = b/d
を使う手もありますね。
a = 1, b = 1, c = √x, d = √y として，
(1^2 + 1^2)(x + y) >= (√x + √y)^2
√x + √y <= √2 * √(x + y)，等号は x = y
そこで，k >= √2 ならば
√x + √y <= √2 * √(x + y) <= k * √(x + y)
が常にいえるので，k の最小値は √2 です。
ネコの住む家　　 10月25日（木） 11:22:12　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31052
ダンディ海野
#31046の認証派さんと同様
何回も誤答を送るのもと思い、認証できてからと何回も検算をしたが３８以外に考えられず、
ええいっ！　と送ったら入れました。（自信喪失一歩手前。よかった！！）

解法は　cocoloさんの#31041と同じでした。（cocoloさんのパターン番号をそのまま使うと）

�、��□�(百の位以上の繰り上がり)→�□��� となるには
下２桁が00である数は、百位以上の各位の数の和＝１(mod11)
下２桁が99である数は、百位以上の各位の数の和＝３(mod11)　でなければならない。

(百の位以上の繰り上がり)が何桁繰り上がればこのようになるかですが、
百位以上が　100・・0である は、百位以上の各位の数の和＝１(mod11)
百位以上が　9がｎ桁である数は、百位以上の各位の数の和＝9*ｎ(mod11)　だから
9*ｎ(mod11)＝3(mod11) である最小のｎは、ｎ＝４
よって、百位以上が 9999 ,10000 のとき、すなわち 「999981〜1000018 の範囲で３８個続く」
となりました。
以上のように、cocoloさんの#31042と同じ結果がでました。

続く大きい数の範囲は「38999981〜39000018」「47999981〜48000018」「56999981〜57000018」
「65999981〜66000018」・・・・・ですかね。
　　 10月25日（木） 12:30:23　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　31053
水田X
昼のお弁当たべながら解けました。９９９９...が味噌だろうな。９が何個ならんだら１１で割ったときの余りが１０だろう？って感じで解きました。
　　 10月25日（木） 13:05:19　　 　　31054
25no12
私もcocoloさんと同じ。
　　 10月25日（木） 13:13:42　　 　　31055
吉川　マサル
昨晩は正解者掲示板のパスワード設定ミスにより皆様にご迷惑をおかけいたしました。申し訳ありませんでした。m(__)m

　実はちょっと外せない呑み会がありまして、自動更新セットして出かけていたのですが、その際に正解者掲示板のパスワードの設定を間違えた、というのが真相です。運悪くPHSの電源がなくなってしまっていて（前にいつ充電したのか思い出せない...）、同席した方のケータイで問題が更新されていることと、正解者が５〜６名出ていることまでは確認したのですが、正解者掲示板に入れるか否かのチェックはしていませんでした。m(__)m
かいしゃ　　 10月25日（木） 13:22:10　　 HomePage:算チャレ　　31056
馬Ｅ
良問ですね。
整数論は大好きです。

999…99から下二桁を減らして考えると、99〜81は桁の合計を11で割った余りは8以外で、80で8が初登場。それを11で割れる数にすればよい。

最小の場合は999980(桁の合計は44）
　100…00から100…18までは桁の合計が１〜10しか出てこない。

　よって999981〜1000018までの38個です。

　その次は99999999999999981〜100000000000000018までの38個。

　9999999・・・99の次で1000…0にリセットされることがポイントかな。
　　 10月25日（木） 13:30:35　　 　　31057
uchinyan
#31053
＞続く大きい数の範囲は「38999981〜39000018」「47999981〜48000018」「56999981〜57000018」「65999981〜66000018」・・・・・ですかね。
はい。プログラムで入力を 100000000 まで調べたところ，38 個続くのが，
999981 〜 1000018，38999981 〜 39000018，47999981 〜 48000018，
56999981 〜 57000018，65999981 〜 66000018，74999981 〜 75000018，
83999981 〜 84000018，92999981 〜 93000018
となるようです。まぁ，当たり前か。
ネコの住む家　　 10月25日（木） 14:13:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31058
uchinyan
#31057
＞その次は99999999999999981〜100000000000000018までの38個。
そこまでは行かなくていいようですよ。
ネコの住む家　　 10月25日（木） 13:35:49　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　31059
banyanyan
なかなか入れないので何度も考え直してしまいました。で、ふと正解者一覧を見ると名前が載っているので(ノ゜��゜)ノびっくり!!
しばらくして、やっと入ることができました。全然入れないので何時間も考え直してしまいました。
ところがなぜか掲示板に書き込みができず。ブラウザを変えたせいかなあ。
　　 10月25日（木） 13:36:55　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　31060
abcba
この問題は28と答える人がいるかもしれませんね。僕も最初この問題を見て直感で28と答えそうになったんですけれど、下2桁と百の位以上にわけて、百の位以上の和が11で割った余りが3の場合で百の位以上の数字が全て9の場合は
最高位が繰り上がれば10000...となることを考えれば
19+19=38と求めました。
百の位以上の和を11で割った余りを考えました。
余り0〜7の場合は最大28個
余り2の場合は最大37個
余り1の場合は最大36個
そして余り3の場合は最大38個です。
　　 10月25日（木） 16:39:49　　 　　31061
スモークマン
やっと入れた。。。^^;
いい加減な考えですが、、、
28でだめなら、繰り上がりはうまくいっても1回したら2回目は、繰り上がれないから、+(11-1)の38かと。。。^^;
みなさんの見て勉強します Orz〜
金光＠岡山　　 10月25日（木） 22:53:17　　 　　31062
バルタン星人
やはり３８であってたのですね。３８を入れても部屋に入れなかったので
昨夜は諦めてしまいました。
１１の倍数になる時にちょうど繰り上がりによって余りが１になるのを見つける。
繰り上がるとき、１０の位では８その上は＋９ずつ減るので
８＋９×５＝５３の時、５４→１の変化となる。
すなわち１００００００の時の前後が最高の連続になると考えました。
しかし、昨日は部屋に入れず悩み饅頭になっていました。
もう少し我慢して再チャレンジすれば悩まずに済んでいたとは・・・。
　　 10月25日（木） 23:59:36　　 MAIL:barutanace@yahoo.co.jp 　　31063
abcba
#31061
>余り0〜7の場合は最大28個
>余り2の場合は最大37個
>余り1の場合は最大36個
>そして余り3の場合は最大38個です。
慌ててキーボードを打ち込んでいたので上の余分なのを
書いたまま送信してしまいました。

下２桁と百の位以上に分けるやり方で求まるのは
各桁の和を11+kで割った場合の余りを表示する
装置Bを考えた場合で、０以外が連続して現れる最大個数は
2×(10k+9)個である。
ただし、Kは０以上8以下
　　 10月26日（金） 0:36:33　　 　　31064
abcba
#31064
>Kは０以上8以下
Kは０以上7以下の間違えです。

　　 10月26日（金） 0:38:38　　 　　31065
スモークマン
なんとなく意味が分かったかな。。。^^
連続する28の次の数29が繰り上がればもっと連続可能なことが分かり、
そのときは、下二桁は81+29=100
このあとは、118までしか取れない。
結局、81〜118までの38個。
ただし、最初の81の8は、その前の数字8の和が11の倍数になっていればよく、繰り上がったとき10・・・0になるものがあればよい。つまり、99・・98=11m ならよい。
9a+8=11m から、a=m+(2m-8)/9 から、2m-8=9t、m=4t+(t+8)/2、t=2k
m=9k+4、a=11k+4 から、たとえば、最小の a=4
999981〜1000018
でもこれでは、、、上の桁が、99・・・の場合しか求められない？
繰り上がってから以降は、118までが最高だから、連続する28の次の数29が繰り上がる場合が最高のはず。^^v
金光＠岡山　　 10月26日（金） 4:05:24　　 　　31066
スモークマン
#31066
わたしの途中の計算も間違ってるし、、、おお嘘あるね Orz〜^^;
金光＠岡山　　 10月26日（金） 9:08:09　　 　　31067
スモークマン
そうか、、、繰り上がる所は、19,28,37,46,,,, だから、最長が19の所で、
19+81=100
100 からは、1+18=10 だから、118まで。
9・・・981〜1・・・018 までが最長。38個。
9・・・98 の和は11の倍数になるもの。
これでいいですね。
金光＠岡山　　 10月26日（金） 9:42:32　　 　　31068
小西孝一
まだわかりません。
ど田舎　　 10月27日（土） 8:39:26　　 　　31069
小西孝一
解けなくて鬱になりました。プログラムです。
これから勉強します。
ど田舎　　 10月27日（土） 9:10:05　　 　　31070
スモークマン
面白かった問題
2/3! + 3/4! +・・・+ 11/12! を規約分数の形で表すとき、その分子を2002で割った余りを求めよ。
金光＠岡山　　 10月27日（土） 9:29:30　　 　　31071
ダンディ海野
#31071 スモークマンさんの問題
2/3! + 3/4! +・・・+ 11/12!＝(1/2!-1/3!)+(1/3!-1/4!)+・・・+(1/10!-1/11!)+(1/11!-1/12!)
＝1/2！−1/12！＝(3*4*5*・・・*11*12−1)/12!

3*4*5*・・・*11*12 は2〜12の整数で割れるから、分子は2〜12のどの整数でも割れず、この分数は既約分数である。
したがって、3*4*5*・・・*11*12−1 を2002で割ったあまりを求めればよい。
2002＝2*7*11*13
3*4*5*・・・*11*12＝2*7*11*{3*4*5*(6/2)*8*9*10*12}
3*9≡1(mod13),4*10≡1(mod13),5*8≡1(mod13),(6/2)*12≡10(mod13)より
3*4*5*(6/2)*8*9*10*12≡10(mod13)
よって、3*4*5*・・・*11*12−１＝2*7*11*(13ｍ+10)−1　（ｍ：整数）
　　　　　＝2*7*11*13*ｍ＋(2*7*11*10−1)＝2002ｍ＋1539
とおけ、「分子を 2002で割った余りは、1539 である」となりました。
　　 10月27日（土） 21:34:23　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　31072
スモークマン
#31072
ダンディ海野さんへ。Orz〜 華麗ですね♪
>2/3! + 3/4! +・・・+ 11/12!＝(1/2!-1/3!)+(1/3!-1/4!)+・・・+(1/10!-1/11!)+(1/11!-1/12!) ＝1/2！−1/12！＝(3*4*5*・・・*11*12−1)/12!

には気付かなかった。。。^^;
わたしはここに書くのは恥ずかしいようなややこしい計算をしてしまいましたが、、、
これで行くと、、、2002＝2*7*11*13 だから、、、
2/3!+3/4!+・・・+11/12!=1/2!-1/12!
=(3*4*5*・・・*12-1)/12!
3*4*5*・・・*12=3*4*5*・・・*11*(13-1)
=-3*4*5*6*7*8*9*10*11
-3*4*5*6*7*8*9*10*11/2*7*13
=-3*2*5*6*8*9*10/13・・・・・・以下訂正（簡略化を図りました）^^;
=-3*2*5*6*(-5)*(-4)*(-3)/13
=3^2*2*5^2*6*4/13
=(-4)*2*(-1)*6*4/13
=-5*6*4/13
=-4^2/13
=-3/13
つまり、
-3*2*7*11=-462
-462-1=-463
つまり、
2002-463=1539

ちなみに、、、わたしの煩雑な計算は、、、
逐一計算＆幾ばくかの工夫で、、、^^;

2/3!+3/4!=(2*3+3)/4!
11/4!+4/5!=((2*3+3)*5+4)/5!
59/5!+5/6!=(((2*3+3)*5+4)*6+5)/6!
359/6!+6/7!=((((2*3+3)*5+4)*6+5)*7+6)/7!
常に分子はそれまでの分母の因子を持たない。
(((((2*3+3)*5+4)*6+5)*7+6)*8+7)*9+8)*10+9)*11+10)*12+11
2002=2*1001=2*7*11*13 なので、
その次を考える。
((((((2*3+3)*5+4)*6+5)*7+6)*8+7)*9+8)*10+9)*11+10)*12+11)*13+12
((5*7+6)*8+7)*9+8)*10+9)*11+10)*12+11)*13+12
6*8+7)*9+8)*10+9)*11+10)*12+11)*13+12
6*8)*9+8)10+9)*11+10)*12+11)*13+12
6*8*9+8=440*10+9=4409=405*11+10=4465=461*12+11=5543=1539


金光＠岡山　　 10月28日（日） 8:19:23　　 　　31073
小西孝一
ダンディさん
スモークマンさん
2/3!=1/2!-1/3!・・・には全然気付きませんでした。
もともと代数とか計算とか苦手というか全部苦手な私です。
なのに群論やってる。家庭教師が欲しいです。
ど田舎　　 10月28日（日） 8:38:52　　 　　31074
大岡　敏幸
久しぶりに来ました（＾＾）　今回はてこずりました。なのでプログラムでやってしまいました（＾＾；　それにしても今回は算数的には面白い問題ですね。楽しめました。　
　　 10月29日（月） 11:01:26　　 　　31075
英ちゃん
やっと入れました
桁数があがる前後当たりが怪しいと考えました。
居間　　 10月29日（月） 19:18:07　　 HomePage:日記自己日記　　31076