ちゃーみー
この問題，数ヶ月ほど前に塾で教えたことがあって知ってました。
2004 年の都立大の問題だったかな？
原題は座標 + 微分で解かせる誘導がついていましたが，
図形的にうまく解く方法があると知って感動したものです。
とうきょうとせたがやく　　 8月28日（木） 0:23:13　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　32775
はなう
#32775 どうやるのが図形でとけるんでしょうか？ご教授ください・・

円の中心をＯとして、∠ＣＯＰ＝θ、∠ＢＯＱ＝φとすると、
いろいろ計算していくと、求める部分の面積は、

9×（sinθ-sinφ）であることがわかります。あとは、（sinθ-sinφ）の極大値が出そうな条件をひたすら探って、最後は「これかな？」って感じで解きました。
　　 8月28日（木） 0:30:38　　 　　32776
ちゃーみー
調べたみたら違う問題でした (笑)。でも類似の構図ではありました。

円の中心を O とすると，BC を底辺と見たときの高さの比に注目して
△BPC = (9/7) * △BOC である。
あとは △BOC の最大値を求めればよく…という感じです。
とうきょうとせたがやく　　 8月28日（木） 0:35:07　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　32777
sugitakukun
いやいやいや参りましたorz
久しぶりに30分以上悩みましたが、なんとか算数の範囲（？）で解けました。

（解法）半円の中心をOとする。

まず、△OACと△OPCの面積比が7:9であることから、OCを底辺として考えればその高さの比が7:9であるので、△OBCと△PBCの面積比も7:9。
よって、△OBCを最大にする場合を考えればよい。

次に、BCの中点をMとする。このとき、Mは弦の中点であるからBCとOMは直角に交わる。
一方、△OMBは△OBCの半分であるが、これは斜辺（OB）が2cmであり、残りの長さが任意である直角三角形である。
よって、この△OMBを最大にするのは、これが直角二等辺三角形のときであり、その面積は 2×1÷2=1(cm^2)

なので、△OBCの面積の最大値が2cm^2であるので、求める△PBCの面積の最大値は 2×9/7=18/7(cm^2)…（解）
K府K市S区　　 8月28日（木） 0:42:05　　 MAIL:sugitakuunikun@msn.com HomePage:White Shadow　　32778
はなう
#32778 #32777 なるほど！ＯＢＣに行き着けばよいのですね
　　 8月28日（木） 0:45:17　　 　　32779
banyanyan
今回は参りました。
円の問題は中心と半径と中心角が基本ですね。
その基本を忘れていましたorz。
（子供にはえらそうに言っているんですけど(笑)）
はじめ５分考えてわからなかったので、おなかも減っていたので
とりあえず晩御飯を食べることにしました。
ようやく中心をＯとしてＯＢＣにたどり着き、無事解決しました(´▽｀) ホッ。
　　 8月28日（木） 1:04:06　　 HomePage:明るい家族計画−算数　　32780
きょろ文
一時間が限界です・・・
仕方なく数学で解きました

∠ＣＡＰ=θとおいて
面積は
9*√(4sin^2-49sin^4)　　　　θ省略
sin^2=xとおいて　二次方程式の最大値で
sin^2=2/49で最大

そして答えが18/7
　　 8月28日（木） 1:07:57　　 MAIL:kyorofumi@msn.com 　　32781
黒アイス
あれま！算数の解法がありましたか！びっくり！
私なんか三角関数と微分を使ってしまいました。（大学入試並みになったぞ）
△PBCではなく△OBCに注目するとは考えもしませんでした。すごい！
　　 8月28日（木） 1:09:18　　 　　32782
きょろ文
#32778 #32777 な、なるほど・・・

自分はずっとＣとＢの高さの差に注目してました・・・・
なるほどＯＢＣか・・・

これは友人に自慢できそうな問題ですね
ぜひ本に乗せてもらいたいです(笑)
　　 8月28日（木） 1:18:34　　 MAIL:kyorofumi@msn.com 　　32783
ばち丸
sugitakukunさんの答えとよく似ております。
円の中心をＯ、ＯからＡＣに下ろした垂線の足をＭ、ＰからＡＣにおろした垂線の足をＲとすると、△ＡＭＯ∽△ＡＲＰより、ＲＰ＝９／７×ＯＭ
よって△ＢＰＣの面積は常に△ＯＢＣの面積の９／７倍である
ときに△ＯＢＣは２等辺三角形で、面積は∠ＢＯＣ＝９０度のとき最大値を取るので△ＢＰＣの面積の最大値は２×２×１／２×９／７＝１８／７と出ました
　　 8月28日（木） 1:24:25　　 　　32784
ばち丸
http://blog.goo.ne.jp/akeot/
こちらも問題を更新いたしました。残念ながら今回の問題ほど気が利いた問題ではございません。知っている人は知っているかもな。
　　 8月28日（木） 1:26:36　　 　　32785
吉川　マサル
ふぅ、今帰宅しました。

　まさかこの問題を１分台で解く方がいらっしゃるとは...。(^^;　ちゃーみーさんの知っている問題とは違いそうですが、元ネタが大学入試問題であることは確かです。30年くらい前のものです。（確か青山学院だったかと）
iMac　　 8月28日（木） 1:37:35　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:ブログのほう　　32786
Ｍｒ．ダンディ
難しい問題でした。
算数での解法をあきらめて数学に切り替えて考えました。

皆さんと同様、ＢＣを底辺としたとき、(△ＢＣＯの高さ)：(△ＢＣＰの高さ)＝5：7　より
ＢＣ＝2ｘ(cm)　とおくと (△ＢＣＤの高さ)＝√(4-x^2) となって
△ＢＣＰ＝f(x)＝(9ｘ/7)√(4−x^2)

ｆ'(x)＝0　となるときが極大値であろうと　解くとｘ＝√2 となり
∴f(√2)＝18/7

算数で考え直そうと思っているときに、sugitakukunさんの解法が目に入ってきて、つい読んで・・納得！

「斜辺が一定であるである直角三角形の面積は直角二等辺三角形である」ということに気がつけば、算数
による解法になるというところがポイントでしたね。（惜しかった！）

このことは斜辺を直径とする半円を描いたとき高さを最大にするには・・・と考えれば式は不要ですね。
　　 8月28日（木） 9:06:48　　 　　32787
CRYING DOLPHIN
「見てくれは算数で解けなさそうな問題」としては、算チャレ屈指の
問題なのに、これでも算数で解けるんだ。。

描画ソフトででっかい図を描いて検証した結果、どうやら
　四角形ＢＱＰＣの対角線の交点をＲとすると
　△ＱＲＢと△ＰＲＣが直角二等辺になるとき
が面積最大になるだろうということは推定できたのですが、証明が
できませんでした。

久し振りにルネッサ…完敗です(謎
ラクガキ王国　　 8月28日（木） 8:48:34　　 HomePage:算数とか隧道とか　　32788
ちゃーみー
#32786
調べたら 1989 年の青山学院大でした．
知らなかったら間違いなく計算で解いていますねぇ．
下記の図形的な解法に気付くまでに，私は 30 分近くかかりました (授業をする前の日)．
　　 8月28日（木） 9:12:11　　 　　32789
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，難しかった．．．取り敢えず，数学，しかも微分！，で解いてしまいましたが，その後で，「ハッ」と気付いた解法です。

PQ の中点，要するに円の中心，を O とします。
△OBC に注目し，△BPC と比較すると，
BC は共通，BC を底辺としたとき △OBC の高さ = △BPC の高さ * 7/9 で，△BPC = △OBC * 9/7 になります。
そこで，△BPC を最大にするには △OBC を最大にすれば OK です。
これに気付けば後は簡単で，△OBC は OB = OC = 2 cm の二等辺三角形なので，面積が最大になるのは ∠BOC = 90°のときです。
したがって，△OBC の最大は 2 * 2 * 1/2 = 2 cm^2，△BPC の最大は 2 * 9/7 = 18/7 cm^2 になります。

算数で解けてうれしい ^^/
ネコの住む家　　 8月28日（木） 11:05:51　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　32790
uchinyan
掲示板を読みました。算数解法は，やはり，円の中心を O として，△OBC をうまく使うことのようですね。

変な話ですが，今回は数学解法にいろいろな解法があって楽しそうです。
ちなみに私は，座標を導入し，B，C の y 座標の差を最大にする場合を求めましたが，皆さんの解法もじっくり読んでみます。
ネコの住む家　　 8月28日（木） 11:26:28　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　32791
清一
難しい。
　　 8月28日（木） 18:47:06　　 　　32792
Atomos
正弦定理とか余弦定理とかが使えなかったので、小学生の知識で解きました。
補助線を引いて全部三角形にして面積比を求めました。
面積が最大になるのは円の中心をＯとすると、
∠COP=90度のときなので、
∴△ACP=9*2/2=9cm^2
∴△BPC=9*18/63=18/7cm^2
です。
　　 8月28日（木） 21:59:03　　 　　32793
cocolo
ムチャクチャ苦しみました…。いや、楽しみました(負け惜しみ)。

△QBCと△PBCの面積比は、底辺をBCと考えた時の高さの比を考えて、5:9。→�イ鉢�とする。
円の中心をOとした時、△OBCの面積は、△QBCと△PBCの面積の平均になるので�А�
この比は一定となるので、△OBCの面積が最大となるとき、△PBCの面積も最大となる。
△OBCの面積が最大になるのは∠BOC＝90°となるときで面積は2cm^2。
よって、△PBCの面積は2×9/7＝18/7(cm^2)

いやぁ…完敗です…。たっぷり楽しませてもらいました(負け惜しみ)。

と、ここまで書いて某常連さんからのご指摘で、
「△OBC：△PBCのBCを底辺としたときの高さの比が7：9はすぐ出ますよね？」と…。

ダメダメだぁ！！
　　 8月28日（木） 22:34:37　　 　　32794
清川　育男
難しかったです。今回は問題の図は拡大されている正確なのですね。
2+571428/999999=18/7 プログラムで循環するまで細分化してやっと。
　　 8月29日（金） 14:38:33　　 　　32795
次郎長の本家
苦しかった。難しかった。もう諦めようと何回も思いました。
ここ何回か連続で解けているので、それだけの思いで頑張りました。
オリンピックの４００ｍリレーくらい頑張りました。
もう少し易しい問題にしてください。ああ疲れた。
　　 8月29日（金） 15:50:46　　 　　32796
とまぴょん
計算しますた。円の中心を原点とするｘｙ座標系を立て、直線ACの傾きをｍB,Cのｘ座標をα、βとして、後はひたすたら計算（含　微分）。　
結果はｍ＝√（2/47）のとき最大。面積は上手く√が消えてくれて解に到達。
　　 8月29日（金） 22:52:07　　 　　32797
清川　育男
>今回は問題の図は拡大されているが正確なのですね。
間違いですね。
広島市　　 8月30日（土） 4:20:43　　 　　32798
ハラギャーテイ
Mathematicaによる数式処理です。

すごい式の羅列でした。Mathematicaの処理能力に
脱帽です。
山口　　 8月30日（土） 22:06:50　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　32799
ばち丸
http://blog.goo.ne.jp/akeot/
たびたびすいませんね。ばち丸です。新しく問題をアップしました
お暇な方、遊んでください。よろしくお願いいたします。
　　 9月1日（月） 23:33:34　　 　　32800
あ
図書館で数学オリンピックの本を発見
ちゃーみーさんの名前載ってました　さすがです
　　 9月2日（火） 0:36:20　　 　　32801
ばちさん
０ですか？
　　 9月2日（火） 15:26:05　　 　　32802
だいすけ
円の途中に点があるときは中心と結ぶっていう鉄則は分かっていて、
結んでもいたのですが、
面積比を考えるというところまではたどり着きませんでした。
結局友達に頼ってしまいました(>_<);
我が家　　 9月2日（火） 17:33:56　　 HomePage:だいすけの部屋　　32803
ハヤ
算数で解こうと思ったものの、もう我慢できませんでした。
　　 9月2日（火） 23:25:34　　 　　32804
#32800
a^10000=1504・・・・6253.999999・・・なので、４ですか？
　　 9月3日（水） 9:22:34　　 　　32805
だいすけ
私のHPの問題更新しました。
http://wwwa.dcns.ne.jp/~orienteering/link1-2.html
もしよかったら解いてみてください(_ _)

広告してすみません
我が家　　 9月3日（水） 16:55:20　　 HomePage:だいすけの部屋　　32806