Taro

帰宅直後でPCが起動しないのでPHSから送りました。 どうしても解答用紙切り替えの時間が余計にかかってしまいますorz

市のはずれ　　 1月29日（木） 0:06:45　　 　　33748

あみー

18の倍数であることはすぐにわかったのだが。 なぜかそれを「112」と送るあたりがわれながら寝ぼけている…。

内緒　　 1月29日（木） 0:08:50　　 MAIL:amimorisama@hotmail.com 　　33749

吉川　マサル

問題完成がホントに直前になってしまい、更新時刻を少し過ぎてしまいました..。m(__)m 問題のネタ的には、確か以前に（もう10年くらい前？）武田浩紀さんがご紹介されていたモノだったような気がします...。ちょっと記憶が定かではないのですが。

PowerBook　　 1月29日（木） 0:09:43　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　33750

はなう

あ、そうか。18か。19の倍数-1と誤解していました。勉強になりました。

1月29日（木） 0:10:39　　 　　33751

SUPER SPECIAL SEMTEX

最初、最小が18桁とわかってなぜか95をたして送信・・・ 18がわからなかったので電卓使いましたｗ

1月29日（木） 0:13:48　　 　　33753

君の船

あーこんばんは。 なんとなく正解しました

海王星　　 1月29日（木） 0:13:58　　 　　33754

みかん

８８８８８…÷１９を計算すると、１８桁のときに商が４６７８３６２５７３０９９４１５２ になって割り切れる。１８桁ワンセットなので、該当する範囲にあるのは１０８のみ。

1月29日（木） 0:15:12　　 　　33756

Taro

18の約数の倍数だと予想しました 答えが１つということなので108と決定してしまいました(^^;

市のはずれ　　 1月29日（木） 0:15:41　　 　　33757

君の船

あのー、なぜ18Ｎ桁のときに19の倍数になるのですか？

海王星　　 1月29日（木） 0:17:53　　 　　33758

ちゃーみー

1 つ見つかれば 18 桁ずつ加えても大丈夫だなーとはすぐにわかったのですが， 1 桁 〜 17 桁のとき全部ダメだなー困ったなーとずいぶん考え込んでしまいました。 そうか，最小の解は 18 桁か orz。

とうきょうとせたがやく　　 1月29日（木） 0:18:32　　 MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 　　33760

だいすけ

さっぱり分からない・・・ しょうがないから、みかんさんと同じように、筆算でどんどん１を 下ろして計算していきました(汗

大阪府吹田市　　 1月29日（木） 0:18:42　　 MAIL:ｄｉｃｅ-ｋ☆ｓｂ．ｄｃｎｓ．ｎｅ．ｊｐ HomePage:だいすけの部屋　　33761

ゴンとも

十進basicの1000桁モードで for a=95 to 125 let x=8*(10^a-1)/9 if mod(x,19)=0 then print a next a end 108が答えと出ました。

豊川市　　 1月29日（木） 0:23:25　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　33763

CRYING DOLPHIN

18桁が最小だというのは調べるしかないのでしょうか…。 Nで割り切れる最小桁数は一般にはN-1桁とならないようなので (反例：1111＝11×101より、101で割り切れるのは4桁が最小)

誰もいない市街地　　 1月29日（木） 0:25:33　　 HomePage:算数とか隧道とか　　33764

君の船

CRYING DOLPHINさん、ありがとうございます。結局は調べ上げなのですね。

海王星　　 1月29日（木） 0:28:17　　 　　33766

だいすけ

なんかありそうなんですけどねぇ 明日学校で友達と考えてみます。

大阪府吹田市　　 1月29日（木） 0:29:29　　 MAIL:ｄｉｃｅ-ｋ＠ｓｂ．ｄｃｎｓ．ｎｅ．ｊｐ HomePage:だいすけの部屋　　33767

君の船

僕も考えて見ます

海王星　　 1月29日（木） 0:32:15　　 　　33768

CRYING DOLPHIN

限界編でゾロ目に関する問題を出したことがあるのですが、 そのときのmailやBBSでのやりとりでは、 ・Nの倍数が存在するなら、最小値はN桁以内にある(これは想定済) ・プログラムで調べた限り(※私はプログラム使えません)では、 　割る数Nと最小桁数に相関関係は見られなかった と記録があります。 ということで、今回の算チャレで何かあるとすれば、恐らく 「19」という数字に何らかの特殊性を見つけるしかなさそう。

誰もいない市街地　　 1月29日（木） 0:45:29　　 HomePage:算数とか隧道とか　　33769

はなう

#33758　#33761　#33765 自分もとても興味のある分野で以前勉強して挫折したことがあります。 最小が何桁なのかどうかを判定する式については、よくわかりません（解明されていないという話も聞いたことが・・） 問題は、10^n≡1　(modP)になる最小のnを発見するのと同じことです。 たとえば、10^19≡1 (mod19)になると、10^19から1を引いた、999999・・・（18桁）が19で割り切れるからです。 ここで、nに関して以下のことがわかっていたと思います。 （証明はフェルマーの小定理とか、循環小数の桁数とかそのあたりですが、詳しくないです） ・nは必ずp以下である ・n-1はp-1の約数である たとえば、19の場合はn=19ですが、13の場合はn=7です。 詳しくは、循環小数の桁数を求める問題をお調べください。結構面白いですよ。71は35桁なのに73は8桁だったりします。これ以上は・・・関連webサイトをごらんください

1月29日（木） 0:58:11　　 　　33770

ぺぷし＠鼻セレブ

ただいま帰宅… 掘り下げてみると面白そうな分野ですね

1月29日（木） 0:56:26　　 　　33771

英ちゃん

1/19 = 0.052631578947368421 052631578947368・・・と小数点第18位まで循環するので、 10^n-1（n=1〜17）は19で割り切れないんですね

居間　　 1月29日（木） 1:04:53　　 HomePage:何か　　33772

あみー

そうですね、フェルマーの最終定理、の本で私も循環小数のくだりを読んで知ったのです＾＾；(その後テキストに応用済み) 仕組みを知っててその順位か、という突っ込みはなしの方向でお願いしますorz

内緒　　 1月29日（木） 1:20:50　　 MAIL:amimorisama@hotmail.com 　　33773

あみー

確か循環節は「割る数がＮであるとき，Ｎ−１の約数になる」という話だったと思います。もちろん割り切れるときは別ですが。 この場合は18の約数になりますが，９だとしても範囲が広すぎて答えが１個にならないので(苦笑)循環節は18なのでしょう。 その場合当然筆算時の余りは１から18が１回ずつなので，18桁のときは19の倍数になるのは自然ですね…。

内緒　　 1月29日（木） 1:24:34　　 MAIL:amimorisama@hotmail.com 　　33774

あみー

ん？循環節がＮ−１の約数であるのなら，１をＮ−１個並べた数は当然Ｎで割り切れるような気がしますね…。 そうでもないのか？うーむ。

内緒　　 1月29日（木） 1:28:13　　 MAIL:amimorisama@hotmail.com 　　33775

Mr.ダンディ

95〜125までで認証すれば正解が分かるのですが、流石にそれだけは避けたかったですね。 888・・・888が19で割れるには、111・・・11も19で割れねばならない。 そこで1001のような数のうちで 1000000001が19で割れることを(電卓で)確認後 　 111・・・11（18桁)÷111111111(9桁)＝1000000001(＝19*ｍ)　がわかり 111・・・11（18桁)が繰り返される数は19ｍで割れることから、桁数が18の倍数なら19で割り切れるとし て、18×6＝108 を求めました。 #33770　なるほど、フェルマーの小定理ね〜。頭に浮かんできませんでした。

大阪　　 1月29日（木） 8:52:48　　 　　33776

mathematica使い

力技で For[i = 95, i <= 125, i = i + 1, Print[{i}, " ", {Mod[8*(10^i - 1)/9, 19]}]]

1月29日（木） 3:07:33　　 　　33777

ハラギャーテイ

おはようございます。 桁数の範囲が少ないのでMATHEMATICAで計算。

山口　　 1月29日（木） 4:55:39　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33778

abc

条件３は、8でなくても1,2,3,4,5,6,7,9としてもお同じ結果になりますね。 フェルマーの小定理より10^18≡1(mod19)、更に19に対する10の位数は18なので、10^n≡1(mod19)を満たす最小のnは18です。つまり、999…99（すべての桁が9）の自然数のうち19の倍数である最小の桁数は18です。 　ここで、999…99=9*111…11（すべての桁が1)だから、すべての桁が1の自然数のうち19の倍数である最小の桁数は18となります。このことから、求める答えは108(18*6)となります。

1月29日（木） 8:29:44　　 　　33779

スモークマン

1/19=0.052631578947368421 の繰り返し。 10^18*(1/19)=52631578947368421 なので、 18桁の倍数で割り切れるはず・・・ 95<18*5+18=108<125 でいいのかな・・・？

金光＠岡山　　 1月29日（木） 8:41:34　　 　　33780

abcba@jugglermoka

各桁の数がすべて1であるN桁の数をA_Nとすれば、Nが小さい時はN+1が素数ならばA_NはN+1の倍数になる事がいえますが.....

1月29日（木） 8:53:24　　 　　33781

すぐる学習会

循環小数，大好きです。 高木貞治先生の「初等整数論講義」、 日本評論社「数と図形」などで勉強しています。 今月号の数学セミナーの「エレガントな解答をもとむ」でも 解説があります。

1月29日（木） 9:19:25　　 MAIL:kishimotoakihisa@hotmail.com 　　33782

清川　育男

X=8*(10^n-1)/9 フェルマーの小定理より、 n=18 10^18==1 (mod 19) (10^18)^6==1 (mod 19) n=18*6=108

広島市　　 1月29日（木） 9:47:28　　 　　33783

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． 一目見て「プログラム組んじゃえば終わりだな。」とは思ったものの，ぐっとこらえて暗算モードで。 まず，1/19 が小数点以下 18 桁で，しかも 18 桁だけで，繰り返す循環小数になることに注目します。 これは，事実として知っていました。すると， 10^18/19 - 1/19 = (正の整数) 99...(18個)...99/19 = (正の整数) 9 * 11...(18個)...11 = (正の整数) * 19 9 と 19 は互いに素なので，(正の整数) は 9 で割り切れて， 11...(18個)...11 = (正の整数その２) * 19 88...(18個)...88 = (正の整数その２) * 19 * 8 つまり，8 が 18 個並んだ数は 19 の倍数です。しかもこれが最小です。そうでなければ 1/19 が 18 桁未満で繰り返してしまうので。 これが分かってしまえば後は簡単で，8 が 18 の倍数個並んだ数も 19 の倍数になることより， 95 桁以上 125 桁以下では 18 * 5 = 90, 18 * 6 = 108, 18 * 7 = 126 なので，一つしかないことより，答えは 108 桁になります。 一つしかないことは，1/19 が 18 桁でしか繰り返さないことより明らかですね。 なお，1/19 に関する知識がないとこの解法は無理ですが， 19 に何かを掛けて 8 が並ぶ数を作ると考えれば，下一桁から順次計算して決めていけば一意に決まるので，比較的容易に， 19 * 46783625730994152 = 888888888888888888　<-----　初めて 8 が並びその個数は 18 個 と求まり，それからもできますね。

ネコの住む家　　 1月29日（木） 11:54:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33784

清川　育男

#33784 ψ(19)=18 ですね。

広島市　　 1月29日（木） 12:27:11　　 　　33785

清川　育男

少年ガウス 　２/３１８３１ 　循環節の長さは？

広島市　　 1月29日（木） 12:59:15　　 　　33786

uchinyan

掲示板を読みました。 今回は正解率も高いし「簡単だ」という声が多いかと思ったのですが，思いのほか苦労されているようですね。 どなたかも書かれていますが，この問題の裏には，フェルマーの小定理があると思います。 これは算数の範囲を超える，多分，高校でも普通は習わないので大学レベル？，のですが，若干補っておきましょうか。 フェルマーの小定理とは， 　p を素数とし，a を p と互に素な整数とするとき，a^(p-1) - 1 は p で割り切れる。 というもので，初等整数論において基本的な定理の一つです。 合同式をご存知の方は， 　a^(p-1) ≡ 1 (mod p) の方が分かりやすいでしょう。 証明はそれほど難しくないですが，Webで探せばいくらでも見つかると思うので，省略します。 今回の問題では，p = 19，a = 10 として， 10^18 - 1 = 19 * (正の整数) と書けます。 これから，私の#33784と同じようにして， 99...(18個)...99 = 19 * (正の整数) 9 * 11...(18個)...11 = 19 * (正の整数) 9 と 19 は互いに素なので，(正の整数) は 9 で割り切れて， 11...(18個)...11 = 19 * (正の整数その２) 88...(18個)...88 = 19 * (正の整数その２) * 8 つまり，8 が 18 個並んだものが 19 の倍数になることが分かります。 後は，これから，18 の倍数で 95 〜 125 の範囲のものを探せばいいです。 しかし，やはりどなたかが指摘なさっているように，もし 18 の約数 q で 18 でないもの，2 とか 3 とか，で， 10^q - 1 = 19 * (整数) となったとすると，同様にして，8 が q 個並んだものが 19 の倍数になってしまいます。 実はこのような，a を q 乗して p で割った余りが初めて 1 となるような q を a の位数ということがあります。 そして特に，位数が p-1 のとき，つまり，a を p-1 乗して初めて p で割った余りが 1 となるような a を p を法とする原始根といいます。 実は，10 は 19 を法とする原始根になっています。これは，実際にプログラムなどで計算してみれば分かります。 そして，「１つしかない」ということは，結局，10 が 19 を法とする原始根であることからいえることです。 しかし残念ながら，原始根の一般的なうまい求め方は知られておらず，実際に計算してみるしかないようです。 なお，フェルマーの小定理によるこの話と循環小数の循環節の長さとの関係は，私の#33784の式などと見比べれば，ほとんど明らかでしょう。

ネコの住む家　　 1月29日（木） 13:09:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33787

「数学」小旅行

プログラムですが、ソフトはフリーウェアを使いました。 まずは、いつものRisaAsirで、 for(I=95;I<=125;I++){N=(10^I-1)/9*8;if(N%19==0) print(I);} つぎは、xmaximaで、 for i: 95 thru 125 step 1 do(n:((10^i-1)/9*8),if mod(n,19)=0 then display(i))$ そのほか、フリーのソフトでこんなことができるのをご存じの方は教えてください。書き方がいろいろあっておもしろいと思います。

1月29日（木） 13:36:57　　 　　33788

kasama

#33788 pari/gpで for(i=95,125,n=(10^i-1)/9*8; if(n%19==0,print(i)))

会社　　 1月29日（木） 13:54:56　　 　　33789

「数学」小旅行

#33786 プログラムで恐縮ですが、RisaAsir 使用（＾＾； R=200000%31831;K=R; for(I=1;I<=31831;I++){ K=(K*10)%31831; if(K==R) print(I); } で、５２４４　と出ました。が、これでいいですか？

1月29日（木） 13:58:56　　 　　33790

「数学」小旅行

#33789 ありがとうございます。 これは！！＿簡単な表記ですね。さっそくダウンロードしてみます。

1月29日（木） 14:01:47　　 　　33791

uchinyan

#33786 ＞２/３１８３１ ＞循環節の長さは？ 5244 でしょうか。 φをオイラー関数として φ(31831) の約数を調べればいいですが，どのみち大変そうな気がしたので，プログラム組んじゃいました (^^; ガウス少年は，これをあっという間に解いたのかなぁ．．．

ネコの住む家　　 1月29日（木） 14:11:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33792

清川　育男

#33790 ５２４４。正解です。

広島市　　 1月29日（木） 14:12:41　　 　　33793

「数学」小旅行

#33789 ありがとうございます。 これは！！＿簡単な表記ですね。さっそくダウンロードしてみます。

1月29日（木） 14:12:52　　 　　33794

???

十進basicです。 OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH LET n=0 FOR j=1 TO 125 LET n=n*10+8 IF j>=95 AND MOD(n,19)=0 THEN PRINT j END IF NEXT j END

1月29日（木） 14:13:13　　 　　33795

「数学」小旅行

#33794 教えていただいた、ＰＡＲＩ／ＧＰでやってみました。 r=2;for(i=1,31831,r=(r*10)%31831;if(r==2,print(i))) で、５２４４　出ました！ ありがとうございました。

1月29日（木） 14:53:18　　 　　33796

「数学」小旅行

#33795 ありがとうございます。さっそくインストールしてみました。 OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH LET r=2 FOR j=1 TO 31831 LET r=MOD(r*10,31831) IF r=2 THEN PRINT j END IF NEXT j END で、５２４４　出ました。ありがとうございました。

1月29日（木） 15:14:16　　 　　33797

君の船

フェルマーの小定理ですが、数検１級にもチラホラ見かける定理ですね。（証明せよというわけでなく、この定理を使って解け。みたいな）

海王星　　 1月29日（木） 17:24:41　　 　　33798

???

ついでにubasicです。 10 N=0 20 for J=1 to 125 30 N=N*10+8 40 if and{J>=95,N@19=0} then print J 50 next J 60 end

1月29日（木） 18:16:17　　 　　33799

「数学」小旅行

#33799　ありがとうございました。 どれぐらいあるのでしょう・・・ほんとにすごいです。 これもダウンロード・解凍して使ってみました。おもしろい（＾0＾）

1月29日（木） 18:56:16　　 　　33800

円

フェルマー？知らないなあ。小六なので普通に解いたんですが・・・　どなたか教えて下さい

1月30日（金） 18:59:13　　 　　33801

ハラギャーテイ

#33801 整数論という分野の数学があって、整数について研究をした結果を定理にしたものがたくさんあります。 役に立たない整数論みたいに言われていたのですが、コンピュータの発達によって 暗号化やコンピュータの保護など大いに役に立つことがわかって最近ブームである 研究分野です。中国人の剰余定理などは誰が発見したかはわからないのですが、 暗号システムの公開鍵番号などの主要な定理です。 答えになっていませんが、知りたいことはフェルマーの定理として検索すればたくさんの 情報が得られます。定理を応用しないで答えを求めたあなたのほうが偉いと思います。

山口　　 1月31日（土） 9:27:49　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33802

君の船

数学は科学の女王、整数論は数学の女王なり（ガウスの言葉）

海王星　　 1月31日（土） 16:26:04　　 　　33803

ハラギャーテイ

整数論も微分幾何学などもっと上の数学で証明しなければならない時代です。それで数学の王様は？

山口　　 1月31日（土） 16:37:14　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33804

君の船

「女王」とは、「美しさ」を意味するものですから、こういう金言があるのですよ。王様は何を意味するでしょうか

海王星　　 1月31日（土） 16:55:32　　 　　33805

ハラギャーテイ

女王がいるなら王様がいておかしくないと思います。ガウスの時代は数学にたくさんの分野もなく、単純だったと思います。 また美しいものならニュートンの法則も美しい限りだと思います。電気磁気学も美しい限りと思います。 伊藤 清先生も第一回ガウス賞を取られて、偉大な数学者の名前を思い出させてくれました。 ガウスの前の時代は数学と物理の区別はなく、物理と化学と数学等が一緒だったと 思います。有名な日本の数学者も学生からなぜ数学だけなのとからかわれたとテレビで言っていました。 ガウスも電気磁気学で有名な単位で電気磁気学ではラグランジュなど多くの数学の定理が 出てきます。科学はもともと一つだと思います。でも近世になって分裂し、高校の科目のように 分けられました。でも最先端の研究はもはや高校の科目のようにわかれていません。 生物学も化学、物理、電気、数学のかたまりで分子のレベルで研究されています。素粒子の研究も 数学の研究と変わらないような時代です。 参考に下記のurlを付けます。 http://www.math.tsukuba.ac.jp/college/door/mathmatics-physics.html

山口　　 1月31日（土） 17:40:53　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33806

君の船

数論は美しいものです。女王は美の象徴だからこそ、数論＝女王　という格言が生まれるのであって。。。 では、王様は何の象徴といえるか？

海王星　　 1月31日（土） 17:53:50　　 　　33808

ハラギャーテイ

ガウスが現在いないのでどういう意味で言われたか、はっきりしないと思う。 ただ昔の人が言ったので今では数論は美しいとは言えないと思う。 #33743 と同じ議論になるのでここで止めます。 科学は一つのものであったということ以外、王様の議論は止めます。現在の数学科の卒業研究題目は 一見して数学科であることを忘れるようだと思います。

山口　　 1月31日（土） 19:11:12　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33809

君の船

「数学の女王」と述べられているが故に、 王様はもしかして・・・「数学」？ んなわけないか。

海王星　　 1月31日（土） 19:15:08　　 　　33810

ハラギャーテイ

「数学は科学の女王にして奴隷」という本も売れているようで！？

山口　　 1月31日（土） 21:07:49　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33811

君の船

あ、そうなんですか！？

海王星　　 1月31日（土） 21:24:05　　 　　33812

ハラギャーテイ

ガウスの業績は多種多様、正規分布はGaussian Distributionと呼ばれ、ガウスが最小２乗法など 応用数学にも道を開いている。ただ整数論を書いた後で整数論は女王と言ったとしたら コマーシャルにもたけていたことになりそう。数論に業績があったのはむしろ後世の数学者、 彼は代数的数論の創始者みたい。創始者自身が「数論は女王」と呼んだのは面白い。 後世の人が数論が美しいと言えば正しいような気もする。がんばって数学者になって 数論は美しいと言ってください。

山口　　 1月31日（土） 21:43:11　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33813

ゼロスターよりの使者

お久しぶりです。またまたバテバテです。 前回は好きな図形だったのですが、気力体力ともに力尽きてしまっていました。 今回もやっと今ひたすら計算して求めましたが、循環小数って面白いですね。 浮浪さんの問題にも、出てましたね。 １/７の循環小数が…。 そういえば、今日は土曜日で、そろそろ出題の時間ですね。 ではまた。

zerostar　　 1月31日（土） 21:48:24　　 　　33814

pao

もっとシンプルにこんな感じではどうでしょうか？ Ｎけたの整数　８８８…８８＝１９ｍ をみたすＮをもとめる ８と１９は互いに素であることを以下自由に使用する よって余りは１９回で循環する 数列化して　８、　８８、　８８８、…、８８８…８８（Ｎ桁） に対して頭に　０　をつけた ０、８、８８、８８８、…、８８８…８８（Ｎ桁） を考え　０は　１９で割り切れるものとして考えれば Ｎ＝１８が導ける あとは皆さんと同じく　１８の倍数を探す シンプルでよいと思うのですがだめですか？

1月31日（土） 23:57:24　　 　　33815

なっち

はじめてお邪魔します。 この問題、小学生にはどう指導するのがよいのでしょうか？ やはり、余りに注目し 1÷19=0…1　→1×10＋1=11 11÷19=0…11　→11×10＋1=111 111÷19=5…16　→16×10＋1=161 161÷19=　　… と、割り切れるまで頑張って貰うんでしょうね。。。

2月1日（日） 16:39:03　　 　　33816

o

こんな問題入試に出たらおお事だ。 大学入試でも大変だ。わたしは、正答率を大きく下げて入りました。 数列とか使ってやってたが諦めた。

2月1日（日） 17:47:23　　 　　33817

ばち丸

怠けていたが、ぎりぎりになってふとやる気になり、やっと入れた。 1/19は10^18倍しても余りは一緒で(PCのアクセサリーの電卓で確認)、しかも((10^n)-1)/9は整数なのでnは18の倍数になるという仕掛けでした。

2月2日（月） 0:03:09　　 　　33818

ばち丸

毎度おなじみの宣伝です。遊びに来てね http://blog.goo.ne.jp/akeot/ 今週は少しやりがいがあると思いますよ

2月2日（月） 0:07:01　　 　　33819

みかん

（#33816　なっちさん） 私の書き込み（#33756）ではかなり端折っていますが、８８８８８…÷１９ をまず計算するのがいいでしょう。１８桁目の８で商が４６７８３６２５７３０９９４１５２ となって割り切れます。ということは１９桁目の８の上には０がたち、２０桁目から ３６桁目の８の上にも４６７８３６２５７３０９９４１５２が同様にたっていくわけです。 あとはその繰り返しなので、８が１８の倍数だけ並ぶときに割り切れます。 １８桁も割り算を続けるというのはちょっと手間ですが、算数的に解くには これしかないでしょう。

2月2日（月） 23:28:02　　 　　33820

ハラギャーテイ

循環小数ですが、今月の数学セミナーの問題は（立ち読みなのでよく覚えていない） 循環小数の循環節に０から９が同数個出る場合が問題でした。エレガントな回答を 求むのページです。エレガントどころではなく、解くのが難しいのがこのページの 実感です。来月号は私の最後の研究テーマであるウェーブレットについてです。 いまさら書く内容があるのかという気もしますが、数学初心者用と思えば納得もします？

山口　　 2月3日（火） 6:34:11　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33821

ハラギャーテイ

#33821 循環節の説明をもう一度立ち読みしてきました。今月号で解答も載っていました。 証明せよというのは算チャレの問題になりにくいので次のようにします。 ｐを整数とします。1/pの循環節には０から９までの数が同じ頻度で現れるという。 一番小さいｐを求めよ。 次週に証明題を書きます。

山口　　 2月3日（火） 15:51:01　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33822

uchinyan

#33822 自信はないですが，p = 61，つまり，1/61 でしょうか。

ネコの住む家　　 2月4日（水） 8:17:19　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33823

ハラギャーテイ

#33823 正解です。 10で割れる循環節の長さが正解でした。それも一番小さいものです。（プログラムで確かめました） でもすべての10で割れる循環節の長さが正解ではないようです。（証明の問題を参照してプログラムで確認） 問題 素数ｐは次の二つの条件を満たすとします。 1)　１／ｐの循環節の長さはｐ-１桁である。 2)　ｐ−１は１０で割り切れる。 このとき１／ｐの循環節には０から９までの数が同じ頻度で現れることを証明せよ。 すなわち各数字が(p-1)/10個づつ現れることを証明せよ これが数学セミナーのエレガントな解を求むの問題でした。私はさっぱりわからんでした。 循環節の長さが１０の倍数は明らかですが！またこれ以外の数もあることは私の問題（数を求めよ）では 十分条件になるだけですから。

山口　　 2月4日（水） 12:52:12　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33824

uchinyan

#33824 数学セミナーの問題の提示，ありがとうございます。さすがに難しそうですね。 与えられた条件から，私のフェルマーの小定理の話で述べた 10 が p を法とする原始根になっており， 1 〜 p-1 の余りがすべて現れる場合のようです。 ただ，一見しただけでは，その後がひらめかないです (^^;　暇なときにでも考えてみます。 ハラギャーテイさんの問題は，p は素数ではなく整数(さすがに正の整数ですが)なので，フェルマーの小定理だけでは無理で， それを拡張したオイラーの定理を使うことになるようです。 詳細は省きますが，これと，循環節の長さは明らかに 10 の倍数になることをうまく使うと， p が因数に 10n+1 型の素数を含む場合に絞られるようで，ここまでは暗算， さらに，それらを元に最後は力業，プログラム，で調べました。 全然エレガントではないです．．． いずれにせよ，循環小数は奥が深いですね。

ネコの住む家　　 2月5日（木） 12:42:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33825

ハラギャーテイ

uchinyanさん ありがとうございました。今月の数学セミナーには解答が出ています。循環小数は 十進に対して説明が多いようですが、なぜでしょう？定理は簡単にｎ進法に変えられる からでしょうか。でも奥が深くてしかも定理が少ないようでした。（雑誌の説明）

山口　　 2月4日（水） 17:04:01　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33826

uchinyan

#33824 数学セミナーの問題，何か明らかな気がしてきました。勘違いしてるのかな？ まず，循環節の中に 0 〜 9 の 10 個の数字が現れるのだから，p >= 11 です。 また，1÷p の計算で出てくる余りは 1 〜 p-1 すべてが現れます。 これは，そうでなければ，循環節が p-1 桁にならないからです。 すると，割り算の計算手順より，出てくる余りを 10 倍して p で割っていくのですが， 1 〜 p-1 の最初の 1 〜 a までを 10 倍して p で割った商の数字は 0 のはずなので，10a は余りで，10a <= p-1 となっているはずです。 そこで，a <= (p-1)/10 ですが，p-1 は 10 の倍数なので (p-1)/10 は正の整数です。 また，a は，こうなる最大の余りなので，a = (p-1)/10 です。 そこで， 1 〜 a = (p-1)/10 -10倍/p-> 10/p 〜 10a/p = 1 - 1/p　商の数字は 0 a+1 = (p+9)/10 〜 2a = (2p-2)/10 -10倍/p-> 1 + 9/p 〜 2 - 2/p　商の数字は 1 2a+1 = (2p+8)/10 〜 3a = (3p-3)/10 -10倍/p-> 2 + 8/p 〜 3 - 3/p　商の数字は 2 ．．． 9a+1 = (9p+1)/10 〜 10a = p-1 -10倍/p-> 9 + 1/p 〜 10 - 10/p　商の数字は 9 となり，一つの循環節の中に現れる商の数字は 0 〜 9 が a = (p-1)/10 個ずつになります。

ネコの住む家　　 2月4日（水） 17:05:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33827

ハラギャーテイ

uchinyanさん そのようです。でもエレガントにとあるのでいろいろ書いてあるみたいでした。図書館に コピーを頼むと最新号なのでと断られました。２月１３日以降になればコピーできるそうです。 実は購読していなくて、立ち読みか図書館です。次号はウェーブレットなので買ってみます。 数理科学と数学セミナーは以前から読むようにしていますが、だいぶ内容が易しくなったようです。

山口　　 2月4日（水） 17:48:38　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　33828

uchinyan

#33828 ＞そのようです。でもエレガントにとあるのでいろいろ書いてあるみたいでした。 そうですね，「エレガントに」でした (^^;　失礼しました。 私も以前は数理科学と数学セミナーは購読していたのですが，最近は，仕事も違うので読まなくなってしまいました。 また読んでみようかなぁ．．．

ネコの住む家　　 2月4日（水） 18:20:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　33829