LAILA

対角線と各辺が2重になった感じの図形になりそうですね。 各頂点の周りには10個が限界なので１０×４＝４０ 中心には４つ。足して４４． 中心の4を足し忘れてだいぶロスしました。

4月9日（木） 0:13:14　　 　　34274

あみー

正直ワカリマセン。 適当ニ認証シタラ入レマシタ(アセ)

内緒　　 4月9日（木） 0:16:57　　 MAIL:amimorisama@hotmail.com 　　34275

あみー

で、正しい解法は？ 私としては52か48にしか思えないのですが…・。

内緒　　 4月9日（木） 0:18:45　　 MAIL:amimorisama@hotmail.com 　　34276

はなう

12C2=66からひくという作戦でしっぱい 66-8（各頂点は3本ずつ交わるので、2×4へる）-6（平行な線が6組ある）-8（ABC,ACD,ABD,BCDの垂心で3本が交わるので、2×4へる）=44． 垂心にうっかりしました。

4月9日（木） 0:19:44　　 　　34277

英ちゃん

イメージが掴めなかったので実際に線を引きました。 定規を探しに部屋へと行ったり来たり

居間　　 4月9日（木） 0:21:44　　 HomePage:ブログ　　34278

あやのりん

66から引いていって・・・ かつ4の倍数で。 いや、分かりません！（ぉ

4月9日（木） 0:22:58　　 　　34279

T.A@れんせい会

掲示板に書き込むのは初めてです。 はじめまして。 8×4C2(二点から6本引かれる直線の交点は8個。点の選び方4C2)+4(各頂点）-4×2（各垂心を3回数えているので2回分引く）=44 回りくどいですねぇ… 私も垂心を忘れてパニックに。

4月9日（木） 0:30:14　　 　　34280

みかん

平行線には注意して４８か所、四角形の頂点の４か所も数えれば５２か所。 よくわからないまま認証して入れたけど…。

4月9日（木） 0:39:17　　 　　34281

BossF

#34277 各頂点は3本ずつ交わるので←私はこれをうっかり（＾＾；；

root of isle　　 4月9日（木） 0:40:02　　 HomePage:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp　　34282

3号機バル

これって AからBDに引いた垂線がCを通った場合、 CからBDに引いた垂線とかぶって、交点の数無限大になりませんか？

4月9日（木） 0:50:39　　 　　34283

スモークマン

やっと垂心に気付きました...^^; 3*(12-4)*4/2+4-(3C2-1)*4=44 面白い問題でした〜♪

金光＠岡山　　 4月9日（木） 1:08:04　　 　　34284

Mr.ダンディ

□ABCDの１つの辺,対角線(及びその延長線)に下りてくる赤い線は２本ずつあるので、12本の対角線は ２本ずつが平行になっています。 よって１本の赤い線からみると、それと交わる他の赤い線は最大10本あり、合計12*10/2＝60（個） の交点がかんがえられますが 点A,B,C,Dおよび、２辺と対角線からなる４つの三角形の垂心では三本の赤い線が集まっているので そこでは３つの交点が1つになったとして、12*10/4−8*2＝44（個）となりました。 上記の（60−8*2）の「60」の出し方で別解を [別解1] 12本から2本取り出し 12Ｃ2、平行な6組は交点がないから　12Ｃ2−6＝60　・・・60-2*8＝44 [別解2] 6組の平行線から2組を取り出すと４つの交点が出来るから　(6Ｃ2)*4＝60　・・・60-2*8＝44 こういう問題を考えつくマサルさんてすごいですね〜

大阪　　 4月9日（木） 8:42:24　　 　　34285

本名

僕は実際に書いて確かめました。

冥王星　　 4月9日（木） 6:55:34　　 　　34288

本名

#34281 ちょ、ちょっと四角形の頂点入れて48個ですよ………。 #34283 注意書き読んだ？

冥王星　　 4月9日（木） 6:57:02　　 　　34289

Mr.ダンディ

#34289本名さん > 注意書き読んだ？ 注意書きを考慮しても、3号機バルさんの書かれておられることは起こりえます。 ただ、(解釈の分かれるところかもしれませんが)「２直線が重なる」場合は「交わる」とは いわないと考えるのが自然かと思えます。 もし「共有点の数」とあれば無限大もありえますが・・

大阪　　 4月9日（木） 8:31:45　　 　　34290

abcba@jugglermoka

計算を間違えまくった挙句、図を描いて数えました。 垂心は定義を知らなかったので今回エレガントには解けず... 勉強します(^^;;

4月9日（木） 9:43:47　　 　　34292

abc

今回は完敗でした。てっきり、５２と思い込んでしまい、 三角形の垂心に全く気付けませんでした。頭が固くなってきたのかな？

4月9日（木） 10:49:50　　 　　34293

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． うーむ，少し考え込んでしまいました。何かちょっとニクイ感じの問題ですね。こんなふうに。 もし 12 本の赤い実線が，3 本以上が 1 点で交わらず，平行なものがないとしたら， 12 本から 2 本選ぶごとに交点が 1 個できるので，12C2 = (12 * 11)/(2 * 1) = 66 個です。 しかし，A，B，C，D では 3 本が交わっているので 2 * 4 = 8 個減り， 平行な組が □ABCD の辺及び対角線 1 本ごとに 1 組，合計 6 組あるので 1 * 6 = 6 個減ります。 そこで，交点は，66 - 8 - 6 = 52 個以下です。 「これが答えだとしたら簡単過ぎるなぁ。」とは思ったものの，一応認証したら，やはりアウト。 ということは，平行は一般にはいえそうにないので，3 本以上が 1 点で交わることが必ずあるハズです。 そう思って，もう一度図を見ていて「何で垂直なんだ？」と思ったとたんにニンマリ (^^; △ABC などの垂心で交わる場合があるのですね！ というわけで，A，B，C，D の 4 点から 3 点を選んでできる三角形の垂心で交わる場合の 2 * 4C3 = 2 * 4 = 8 個がさらに減ります。 これで，交点は，52 - 8 = 44 個以下。 これ以上は減ることはなさそうに思えたので，認証したら OK でした。 なお，これぐらいだったら，実際に大きな図を書いて確かめるのもいい方法のような気がします。

ネコの住む家　　 4月9日（木） 11:04:27　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34294

CRYING DOLPHIN

う〜ん... 作図することにより、頂点ABCD以外に、3点で交わる箇所が4箇所あり(★)、 その★は三角形の垂心であることは確認できたのですが… 算数の立場では、三角形の五心は範囲外。 百歩譲って、重心と内心は辛うじて説明可としても、垂心は確実に 算数からは逸脱しています。 算数的には、★の存在を垂心以外で説明する必要があります。 4箇所を点で結んだら、四角形ABCDと合同である、というわけでも なさそうだし…証明の方針が立たない。

誰もいない市街地　　 4月9日（木） 11:26:11　　 HomePage:算数とか隧道とか　　34295

uchinyan

掲示板を読みました。 計算の仕方に工夫はあるものの， 大筋，A，B，C，D では 3 本が 1 点で交わる，6 組が平行，三角形の垂心では 3 本が 1 点で交わる， を考慮するというのは，皆さん，同じようです。 ただ，#34274は，少し違うようですが，よく分からず。 なお， #34283 ＞AからBDに引いた垂線がCを通った場合、 ＞CからBDに引いた垂線とかぶって、交点の数無限大になりませんか？ 数学では，交点＝共有点，と解釈することもないわけではないので，そういう心配も分かりますが， #34290 ＞ただ、(解釈の分かれるところかもしれませんが)「２直線が重なる」場合は「交わる」とは ＞いわないと考えるのが自然かと思えます。 に，私も賛成です。算数ですし，まぁ，いいのでは？ また， #34295 ＞算数の立場では、三角形の五心は範囲外。 ＞百歩譲って、重心と内心は辛うじて説明可としても、垂心は確実に ＞算数からは逸脱しています。 ＞ ＞算数的には、★の存在を垂心以外で説明する必要があります。 ふぅ〜ん，そうなんだ。知らなかった。受験算数でもそうなのかな。 算数の分からない私としては，「算数の範囲」云々は，お任せします (^^;

ネコの住む家　　 4月9日（木） 11:44:52　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　34296

本名

#34290 なるほどよく考えればそうかも……。 というかその前に僕は読み違えていたようです。

オペピオン界　　 4月9日（木） 14:58:38　　 　　34297

吉川　マサル

#34296 CRYING DOLPHINさん 　ハイ、「垂心の存在は、（たぶん）算数とは言えない」ことは出題前からの懸念でした。注意書きか、あるいは但し書きで、垂心の存在を書いておくべきかとも思いましたが、それでは「問題を解く楽しみ」としての算チャレの意義が薄れてしまうかなぁと思い、ややマズいことは承知の上で今回のような形式にしてしまいました。スミマセン。 #34285 Mr.ダンディさん >こういう問題を考えつくマサルさんてすごいですね〜 　いえ、考えついたわけではなくて、探してきたというか転がっていたというか...です。原題は、1960年代の数オリで、点が5つあるものでした。

PowerBook　　 4月9日（木） 15:54:57　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work　　34298

鯨鯢(Keigei)

もとの点がｎ個のときの交点は n(3n^5-21n^4+51n^3-47n^2+6n+32)/24 個になることを論理的に導きました。自信がないので、コンピュータを使い、もとの点の座標をランダムに与えたとき交点が何個になるかを求める方法で、ｎ＝８ までは確認できました。

4月9日（木） 17:51:05　　 　　34299

Mr.ダンディ

#34298 マサルさん > ・・・それでは「問題を解く楽しみ」としての算チャレの意義が薄れてしまうかなぁと思い・・・ まさに「垂心が個数に関わる」に気が付くかがこの問題のポイントで、この問題の面白くしてい るところなので、やむを得ない判断かと思えます。 （垂心を扱っていない小学生にとっては、厳し〜い問題だったでしょうが） > いえ、考えついたわけではなくて、・・・・原題は、1960年代の数オリで、点が5つあるものでした。 原題があるのですか・・・・でも、すごい！（私などならアレンジをしたものを含めても数週間で ネタ切れしてしまいますね）

大阪　　 4月9日（木） 17:51:17　　 　　34300

tfnt

算数の範囲での垂心の存在説明は、以下のようなものでどうでしょうか。 まず鋭角三角形ABCの場合、辺BC,CA,ABの中点を順に点L,M,Nとする。 三角形ABCの折り紙があり、LM,MN,NLを谷折にして三角形LMNが底面の四面体PLMNを作る。 これらの操作を真上から見ると、線分APは線分MNと垂直、線分BPは線分NLと垂直、線分CPは線分LMと垂直、のように見えてくる。 ということで3本の垂線は一点で交わる。 ∠Aが鈍角の鈍角三角形ABCの場合、点Bを通り線分ABに垂直な直線と、点Cを通り線分ACに垂直な直線との交点を点Dとすれば 三角形BCDは鋭角三角形なので垂心が存在する。これを点Hとする。 線分BCの中点を点Lとし、点Lに関して180°回転させれば 点Hが点Aに移ること、点Dの移る先が三角形ABCの垂心となることが、平行四辺形の性質を利用することで導かれる。

4月9日（木） 19:13:24　　 　　34301

なか

垂心の存在の証明。 これで小学生にも説明できる？ http://www3.sansu.org/tables/suishin.gif

北国　　 4月9日（木） 19:43:53　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　34302

あ

#34302 うまい説明ですね

4月10日（金） 2:39:23　　 　　34303

あ

#34299 #34301 難しすぎて理解できません　お許しを…

4月10日（金） 2:44:45　　 　　34304

あ

#34298 マサルさん　素敵！

4月10日（金） 2:46:58　　 　　34305

Mr.ダンディ

#34299　鯨鯢(Keigei)さんの式 >もとの点がｎ個のときの交点は n(3n^5-21n^4+51n^3-47n^2+6n+32)/24 個になることを論理的に導きました。 #34304 > 難しすぎて理解できません　お許しを… 暇にまかせて私も求めてみたら、同じ式が導かれました。 (1) 1頂点から引ける垂線の数・・(n-1)Ｃ2＝(n-1)(n-2)/2 (2) すべての垂線は　(n-2)本が平行になったものが n(n-1)/2 組 (3) どの3本も1点で交わらないとすると交点の数は　{n(n-1)/2}Ｃ2×(n-2)^2 (4) １つの頂点で減る交点の個数は、{(n-1)(n-2)/2}Ｃ2−１ (5) 垂心の個数は nＣ3個で、1つの垂心で交点は2個ずつ減る。 (3)で求めた数から(4)(5)で減る数を引く・・・という手順でした。

大阪　　 4月10日（金） 12:45:01　　 　　34306

君の船

ちょっと戸惑いました。

海王星　　 4月10日（金） 17:55:34　　 　　34307

犬

むずかしい

4月11日（土） 15:44:06　　 　　34309

あ

#34306 ダンディさん　素敵！

4月11日（土） 15:44:23　　 　　34310

猫

#34309 そうだね

4月11日（土） 15:45:44　　 　　34311

ちば丸

ばち丸の弟のちば丸です。ａｂｃさんとは逆で、私は垂心のほうはすぐ気が着いたが、肝心のＡＢＣＤが３つの直線の交点になっているのに全く気が着かず、七転八倒でした。難しいですね。 ちなみに兄貴のばち丸は休養中です。

4月12日（日） 23:02:32　　 　　34312

本名

#34312 実際はどのような関係？

オペピオン界　　 4月13日（月） 16:27:04　　 　　34313

ちば丸

#34313 ばち丸さん、別に怒ってないようだから本当のこと書いたけど良かったんだと思いますよ（どこかで出てきたら困るな。）

4月13日（月） 21:46:38　　 　　34314