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だいすけ |
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最近、算チャレ更新の直前になって、算チャレのことを
忘れてしまって、毎週リアルタイムでできてません・・・ ちなみに、台形ＡＭＱＢで３：４：５を見つけて △ＡＱＭ×１２÷３です。 |
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9月17日（木） 0:15:22
35056 |
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ちゃーみー |
| 4 面が合同なので直方体に埋め込んで考えました。1 分台では絶対無理…。 |
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とうきょうとせたがやく
9月17日（木） 0:18:11
MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 35057 |
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cocolo |
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三角錐ABCDのすべての辺が，
面の長方形の対角線になるような直方体を作って考えました。 そうするとQがその直方体の頂点になるんですよね。 あとは相似(3:4:5の三角形が出てきました)を使って長さを求めて， 12×6×1/2×9×1/3＝108(立方センチメートル) *あとで思いましたが，↑この直方体の体積の1/6なんですね。 12×12×1/2×9×1/6＝108(平方センチメートル) |
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兵庫
9月17日（木） 2:26:07
35058 |
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Mr.ダンディ |
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今回は難しい！
はじめは、数学を使っての力技で解きました。 【算数による解法】 MからACに垂線MHを下ろすと、△MAB が二等辺三角形だから、HはABの中点となります。 対称性よりAPとBHは交わるのでその交点をRとします。 △ABM でAH：HB＝1：1、BP:PM＝2：1 より AR:RP＝3：1 （平行線の補助線を引くなり、メネラウスの定理を使うなりすると求まります） ゆえに AR＝10×3/4＝15/2 となるから AH＝6であることとあわせて △ARHは 3：4：5の三角形。 △PAB∽△PQMより QM＝6(cm) ,∠AQM＝∠RAH よって、点Aから面QCDに下ろした垂線の長さは 15×(3/5)＝9 (cm) ∴（求める立体の体積）＝(1/3)×△QCD×9＝(1/3)×36×9＝108 （cm^2) もっと楽な解法がありそう。 |
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大阪
9月17日（木） 1:55:11
35059 |
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おかひで博士 |
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正四角柱の４つの頂点を結んだ三角すい
正四角柱の高さは３：４：５で出ました これの底面積が1/3、高さが3/2 |
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兵庫県
9月17日（木） 9:05:15
35060 |
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abc |
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等面四面体（４つの三角形のすべての面が合同な四面体、特にこの問題では二等辺三角形）を題材にしてうまく作られていると思いました。
この四面体は、合同な三角形の３つの辺の長さが６つの面の長方形の対角線の長さに等しい直方体に埋め込まれるという有名性質があり、このことを利用して解きました。 まず、直方体AEBF-GCHD（ただし、向かい合う２つの四角形AEBFとGCHDは対角線ABとCDが12�僂寮喫�形）を作り線分APQを引くと点Qは、点Hに一致する。（∵△MPQ∽△BPA、 相似比1:2、∴MQ〃BA,MQ:BA=1:2 より） 直角三角形ABQ(H)でAB=12�僉�AQ(H)=15�僂茲�BQ(H)=9�僉�(いわゆる3:4:5) よって、（四面体AQCDの体積）＝(四面体BCDQ(H)の体積） ＝（1/3)*(直角二等辺三角形CDH(Q)の面積)*(辺BH(Q)の長さ） ＝(1/3)*(12*12*1/4)*9＝108(��^2) |
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9月17日（木） 12:09:12
35061 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今朝，問題を見て 「まぁ，座標でゴリゴリやればできるけど．．．(しばし，頭の中で立体をいろいろ動かしてみる。)．．．なぁ〜んだ，簡単じゃん！」 というわけで，次の解法になりました。 (解法1) 条件より，立体は △ABM を含む平面に関して対称です。そこで，△QCD は QC = QD の二等辺三角形で QM⊥CD です。 また，△ACD と △BCD は合同なので AM = BM です。 ここで，△ABM を含む平面による断面図を考えると．．． △MAB は MA = MB の二等辺三角形で，MP：PB = 1：2 = 5：10 = QP：PA なので MQ//AB で， MQ：AB = MP：PB，MQ：12 = 1：2，MQ = 6 cm です。 また，M，P から AB に垂線を下ろしそれぞれの足を H，I とすると， HI：IB = MP：PB = 1：2，AH：HB = 1：1 = 3：3，AI：IB = (AH + HI)：IB = (3 + 1)：2 = 4：2 = 2：1 = AP：PQ なので， PI//QB，∠ABQ = ∠AIP = 90°，AQ = AP + PQ = 10 + 5 = 15 cm，AB = 12 cm より，△AQB は 3：4：5 の直角三角形で，QB = 9 cm です。 そこで，MQ//AB だったので，A から MQ に下ろした垂線の長さが QB = 9 cm であることになります。 以上より，△QCD が QM に関して対称だったことより， 三角すいAQCD = 三角すいA-QCD = △QCD * (A から △QCD に下ろした垂線の長さ) * 1/3 = △QCD * (A から QM に下ろした垂線の長さ) * 1/3 = (CD * QM * 1/2) * QB * 1/3 = (12 * 6 * 1/2) * 9 * 1/3 = 108 cm^3 になります。 (解法2) (解法1)の最後の式 (12 * 6 * 1/2) * 9 * 1/3 = (12 * 12) * 1/4 * 9 * 1/3 からすると， 底面が，対角線の長さが 12 cm の正方形で，高さが 9 cm の直方体に埋め込むことができそうです。 実際，AB と CD は，対称性より 90°のねじれの位置にあり，MP：PB = 1：2 = 5：10 = QP：PA より MQ//AB なので， AB を対角線とする正方形，CD を対角線とする正方形を考え，それらを平行に配置して上面及び底面と考え， AC，AD，BC，BD を側面の長方形の対角線とするような直方体を考えることができます。 このとき，Q は，CD を対角線とする正方形 の頂点になります。 また，AQ = 10 + 5 = 15 cm は，この直方体の対角線なので，△AQB は 3：4：5 の直角三角形になり， 直方体の高さ = QB = 9 cm です。 そこで，三角すいAQCD は，この直方体の 1/2 * 1/3 = 1/6 で， (12 * 12 * 1/2 * 9) * 1/6 = 108 cm^3 になります。 個人的には，いきなり(解法2)は少し辛いですが， 立方体や直方体など，よく分かった立体への埋め込みや立体からの切り出しは算数ではよくやる手法なので， 算数に慣れている人は，むしろこの解法の方が自然かもしれませんね。 |
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ネコの住む家
9月18日（金） 18:10:04
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 35062 |
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uchinyan |
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掲示板を読みました。
#35056 三角すいAQCD = △AQM * CD * 1/3 と考え，△AQM を 3：4：5 の直角三角形を用いて求める解法。 最初の着眼点が若干違いますが，#35059などとやっていることは同じだと思います。 #35057，#35058，#35060，#35061，#35062の(解法2) AB を対角線とする正方形，CD を対角線とする正方形，AC，AD，BC，BD をそれぞれ側面の長方形の対角線とするような直方体を考える解法。 #35059，#35062の(解法1) 三角すいAQCD = △QCD * (A から QM に下ろした垂線の長さ) * 1/3 と考え，垂線の長さ を 3：4：5 の直角三角形を用いて求める解法。 #35064 三角すいAQCD = 三角すいABCD * 1/3 * 15/10 と考え，三角すいABCD = △MAB * CD * 1/3 として求める解法。 多分，△MAB を求めるのは，#35056や#35059などと同じような考え方だろうと思います。 なお， #35061 ＞等面四面体（４つの三角形のすべての面が合同な四面体、特にこの問題では二等辺三角形）．．．は、 ＞合同な三角形の３つの辺の長さが６つの面の長方形の対角線の長さに等しい直方体に埋め込まれる ＞という有名性質があり、 なるほど，これは知りませんでしたが，そう言われればそのようですね。 勉強になりました。 |
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ネコの住む家
9月17日（木） 13:52:58
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 35063 |
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abcba@jugglermoka |
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3:4;5が即効で使えると思い込んで間違えまくりました。
底辺が12、高さが9の二等辺三角形が長さが12の辺に垂直に位置しているので、54×12÷3=216が大きな三角錐の体積でそこから1/3倍して15/10倍して求めました。てこずったけど算数で解けたので自分の中ではよしとしておきます(^^: 今回も楽しませてそして勉強させて頂き有難う御座いました。 独り言: 図形問題は苦手なのに立体パズルはなぜか得意....数学とパズルの違いが原因かな? |
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9月17日（木） 13:11:53
35064 |
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吉川 マサル |
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今回は、以前から算数の問題にしてみたくて、しかし三平方の定理の縛りがあってなかなか実現しなかった、「等面四面体」ネタです。ねじれの位置にある３組の辺の長さを与えて体積を求めさせるというシンプルな問題（今回なら、AB=CD=4,AC=BD=5,AD=BC=6とか）のほうが美しいとは思うのですが、それだとどーしても3:4:5だけでは問題が作れず...ちょっと苦労しました。そのせいもあって、あまり美しくない問題になってしまった感はありますが、その辺はご容赦を。
もう一つ「ご容赦を」ネタがあって、算チャレのTOPページに、政治ネタのリンクをしまいました。ご気分の悪い方もいらっしゃるかとは思いますが...お許しを。m(__)m 「その点を最も評価していた」者として、やや感情的になっている感があることは重々承知していますが、まさに「やるなら今しかないかな」ということで。 |
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PowerBook
9月17日（木） 13:23:21
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work 35065 |
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#35065 |
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「週刊ダイアモンド上杉隆氏の記事 非記者クラブメディアを排除した鳩山首相初会見への落胆」へのリンクがおかしい？コレもことですか↓
http://diamond.jp/series/uesugi/10094/ |
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9月17日（木） 13:37:37
35066 |
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吉川 マサル |
| スミマセン、直しました..。m(__)m |
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PowerBook
9月17日（木） 13:47:07
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work 35067 |
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スモークマン |
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いい加減にはいりましたが...^^;Orz
#35056 だいすけさんのがクリアーでわかりやすいな♪ BQ=9 は...AB-CD間の距離として出せますね ^^ 平行四辺形MBAQ'をかんがえたら...MQ'の中点Q"とAを、結ぶとAQ"⊥MQ" AQ=15,QM"=12 からわかりますね ^^ |
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金光＠岡山
9月17日（木） 14:21:52
35068 |
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栗りん |
| 何を考えたのか△ABDが二等辺と思い込んでしまった・・・情けないやぁ・・・ |
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水の中
9月17日（木） 22:37:09
35069 |
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だいすけ |
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#35068
ありがとうございます！ そんな感じです！ 点ＭからＡＢに垂線ＭＨを下ろすと、ＡＭ＝ＢＭより ＡＨ＝ＢＨ＝６ｃｍ ＡＢ//ＭＱで、ＭＱも６ｃｍなので、 ＡＢ⊥ＢＱ，ＢＱ⊥ＭＱですから、 △ＡＢＱは３：４：５なので・・・ って考えました。 実質、同じことですね。 |
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9月17日（木） 22:51:02
35070 |
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baka |
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馬鹿な私には難しい…
民主党、頑張って生活を良くしてください |
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9月18日（金） 4:00:16
35071 |
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とまぴょん |
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＞ねじれの位置にある３組の辺の長さを与えて体積を求めさせるというシンプルな問題
ここに、レスをつけてみます。少し脱線ですが・・・ 等面四面体の体積Ｖって、ヘロンっぽい式で表現できるんですね・・・・・ 等面を形成する三角形の三辺をa,b,cとして、さらに、s＾2＝（a^2+b^2+c^2)/2 とすると Ｖ＝1/3√（s＾2-a^2)（s＾2-b^2)（s＾2-c^2) 今回の問題では、a=12, b=c=3√17 として計算できて、Ｖ＝216 となりますね。 |
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9月19日（土） 18:02:59
35073 |
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ばち丸 |
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等面四面体は少し昔に東大入試で悪問がでておりました。
今回はそうとは知れず△ＡＭＢ×ＣＤ×１／３×１／３×３／２でした。 |
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9月21日（月） 16:04:25
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ばち丸 |
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とまぴょんさん#35073
直方体ＡＢＣＤ−Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’でＡ、Ｃ、Ｂ’、Ｄ’を取ると等面四面体になります。たとえばＡＣ＝ａ、ＡＤ＝ｂ、ＡＤ’＝cとでもおくと容易にこの式は導き出せます |
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9月21日（月） 16:12:25
35075 |