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mhayashi |
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三角形ＰＥＣが直角二等辺三角形だと気付けば・・・という問題かなぁ．
とりあえず，ＣＥを結び，三角形ＣＤＥをＣＥを軸に折り返し，台形を作りました． |
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KANSAI
10月1日（木） 0:10:03
HomePage:M.Hayashi's Web Site 35107 |
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CRYING DOLPHIN |
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一辺が5cmの正方形に、直角をはさむ2辺が4cmと1cmの三角形を8つ
並べた図形の一部だということは、問題を見た瞬間にわかったが… そのあとの計算で躓きましたorz |
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誰もいない市街地
10月1日（木） 0:12:02
HomePage:算数と隧道 35108 |
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Taro |
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酒入っているでまともに解く気が失せました(汗)
てなわけで数学で解いてみました。 角Cの部分で8:15:17の直角三角形が現れたのでひたすら計算しました。 |
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別世界☆
10月1日（木） 0:14:08
35109 |
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ちゃーみー |
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#35109
同じです．< 8:15:17 |
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とうきょうとせたがやく
10月1日（木） 0:17:41
MAIL:kakuromaster@star.cims.jp 35110 |
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みかん |
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△ＰＢＣを辺ＰＣで折り返し、△ＰＢ’Ｃ、
△ＡＰＥを辺ＥＰで折り返し、△Ａ’ＰＥをつくる。 Ａ’とＢ’とＰは一直線上であり、Ａ’ＥとＢ’Ｄは平行の関係になる。 Ａ’Ｂ’とＥＤの交点をＱと置けば、三角形の相似によりＡ’Ｑ：ＱＢ’＝１：３ Ａ’Ｂ’＝３ｃｍより、Ａ’Ｑ＝３／４ｃｍ、ＱＢ’＝９／４ｃｍ。 あとは三角形の面積を加減して、 （１×４÷２）×４＋（３×９／４÷２）−１×３／４÷２ ＝８＋２７／８−３／８ ＝１１ｃｍ＾２ |
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10月1日（木） 0:19:01
35111 |
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ばち丸 |
| ええい。知るか。ってんで三角関数を使ったらわりと易しかった。 |
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10月1日（木） 0:30:11
35112 |
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むらい |
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補助線を引きまくりました。 使った力技は、三平方と相似です。
引いた補助線は、ＥＰとＥＣ あと、ＣＤの延長線とＰＥの交点をＦとします △ＡＰＥ≡△ＢＣＰ より△ＡＰＥ＝△ＢＣＰ＝２ △ＰＢＣ∽△ＦＰＣ で三平方と相似比を使って △ＦＰＣ＝17/8 またＣＦ＝17/4 △ＥＰＣ＝17/2 とＦＤ：ＤＣ＝１３：４より △ＥＦＤ＝39/8 以上より ２＋２＋17/8＋39/8＝１１ 台形ＡＢＣＥが１２．５だからそれより小さいことから 認証攻めも考えましたが、計算で出したので自分なりには満足です。 |
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サイタマ
10月1日（木） 0:34:11
35113 |
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kamomenanamina |
| ピタゴラスの定理の証明に出てくる図形ですね |
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10月1日（木） 0:32:50
35114 |
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スモークマン |
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5cm の正方形に 4cm の正方形が傾いてくっついてて...
その対角線と...3:4:5 の△からピタゴラスで計算しまくりました...^^; 4+17/2-3/2=11 |
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金光＠岡山
10月1日（木） 0:42:02
35115 |
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CRYING DOLPHIN |
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これが出題者の想定解か？
ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/toi665-oriori.gif 1×4÷2×3＋3×3÷2＋1×1÷2＝11 でもここまでくれば3：1の相似使った方が早いかー (といいつつその方針で計算ミスを重ねたのはどこのry) |
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誰もいない市街地
10月1日（木） 0:50:42
HomePage:算数と隧道 35116 |
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スモークマン |
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#35116
なるほど...美しい♪ わたしの表現間違ってました...5cm の正方形に、√17の正方形が斜めにくっついてる...^^; |
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金光＠岡山
10月1日（木） 1:00:06
35117 |
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Mr.ダンディ |
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次の手順で解きました。
(1) ABを１辺とする正方形ABFGをCと同じ側につくり、GF上にGI＝1（cm)である点Ｉをとる。 （すると、□EPCIは面積17cm^2 の正方形） (2) △BPCをCPに関して折り返したものを△B'PCとすると、△B'DIの3辺は 3,4,5 (cm) (3) 5角形ABCDE≡5角形GAPB'I より、ED＝5（cm) (4) 3:4:5 ,相似を使って、Eから直線DB'に下ろした垂線の長さは３cmとなるので、△EDC＝3/2 (cm^2) (5) 5角形ABCDE＝□ABCE−△EDC＝(1/2)□ABFG−3/2＝25/2−3/2＝11（cm^2） -----以上でした------ |
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大阪
10月1日（木） 16:08:40
35118 |
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ゴンとも |
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すいません三角関数で・・・
先ず、題意の図形をB(0,0),C(4,0),E(5,1),A(0,5)とおき ここでtan(赤丸)=-1/4だから tan(2*赤丸)=2*tan(赤丸)/(1-(tan(赤丸))^2) =2*(-1/4)/(1-(-1/4)^2)=-8/15 より 直線CD:y=-8*(x-4)/15 ここでx=aとして D(a,-8*(a-4)/15) これと C(4,0)との距離が1より (a-4)^2+(-8*(a-4)/15)^2=1 これを解くと solve((a-4)^2+(-8*(a-4)/15)^2=1,a); a=83/17・・・・・・(不適解∵図より),a=53/17 より D(53/17,-8*(53/17-4)/15=8/17) より 5+(5+8/17)*(53/17-1)/2+(4-53/17)*(8/17)/2=11・・・・・・(答え) |
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豊川市
10月1日（木） 6:29:19
MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 35120 |
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パズル&ゲーム10種競技 |
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AEの延長上にAS=4の点Sをとる
SC上にST=4の点Tをとる △EDC合同△ETCより(角PCE=45も使用する） 4*5-（（3*5-3*4）/2+3*4/2）＝11 もう一度だけHPの宣伝をさせてください。 http://www.geocities.jp/tsuyoshik1942/ 先週ここで宣伝させていただいたおかげでにぎわってきました。 紙面を汚すのはこれで最後とします。 |
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10月1日（木） 7:08:13
35122 |
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ハラギャーテイ |
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おはようございます。
DからBCに平行な線を引き、あとは三角関数です。 |
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山口
10月1日（木） 8:44:20
HomePage:制御工学にチャレンジ 35123 |
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鯨鯢(Keigei) |
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CDの延長とEPの交点をQとする。
台形ABCEの面積は 25/2 だから直角二等辺三角形CPEの面積は 17/2。 また、△CBP∽△CPQ より、CB：CP＝CP：CQ だから、CB*CQ＝CP^2。 4*CQ＝2*△EPC となって、CQ＝17/4。 よって、△CDE＝(4/17)△CQE＝(4/17)(3/4)△CPE＝3/2。 求める面積＝台形ABCE−△CDE＝25/2−3/2＝11 |
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10月1日（木） 9:26:02
35124 |
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abcba@jugglermoka |
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皆様と大筋ほとんど同じ解法ですがとりあえず.....
三角形AEPをEPを軸に折り返した図形AEFPを90回転で描いていったら5×5の正方形内部にに3×3の正方形がある形になりました。 FPとDEの交点をGするとGを含む２つの相似な直角三角形ができてそれぞれの面積は3/8,27/8でAEFP２つ分の面積とABCDEの面積の差が(27/8)-(3/8)=3になっている事がわかります。求めるABCDEは面積が27/8のGを含む直角三角形を含んでいるので、 4×2+3=11と解きました。 |
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10月1日（木） 9:38:20
35125 |
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吉川 マサル |
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#35116（C-Dさん）
ハイ、想定解法（というよりも問題作成過程？）そのものです。これにC-Dさんがお気付きになることは予想していましたが、しかし、 #35108 > 問題を見た瞬間にわかったが… これはビョーキですって？(^^;（誉めてますｗ） |
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PowerBook
10月1日（木） 11:34:00
MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:Men @ Work 35126 |
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fumio |
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おはようございます。久しぶりですが、やっぱ難しいですね。
頭の体操になります。ははは。 |
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10月1日（木） 12:00:10
35127 |
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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
「何か変な図形だなぁ。」というのが第一印象。ある意味，それがヒントなのかもしれませんね。 面白い問題なので，いろいろと考えました。まぁ，絶対にどなたかと同じだと思いますが，一応 (^^; (解法1) CD を D の方に延長して P，E から垂線を下ろしその足を H，I とし，さらに，E と P を結び CD の延長との交点を Q とします。 まず明らかに，△PEA，△CPB，△CPH は合同で，∠EPC = 90°です。 そして，∠QPH = ∠EPC - ∠CPH = 90 - ∠CPB = ∠PCB なので，△PQH は △CPB，△PEA と相似で，また明らかに，△EQI とも相似です。 そこで，PQ：PE = PH：PA = PB：PA = 1：4，EQ：PQ = (PE - PQ)：PQ = (4 - 1)：1 = 3：1，EI：PH = EQ：PQ，EI：1 = 3：1，EI = 3 cm， 一方で，QH：PH = PB：BC，QH：1 = 4：1，QH = 1/4 cm，DQ = CH + QH - CD = 1/4 + 4 - 1 = 13/4 cm です。 以上より， 五角形ABCDE = △PEA + △CPB + △CPH + △PQH + △DEQ = △CPB * 3 + △PQH + △DEQ = BC * PB * 1/2 * 3 + PH * QH * 1/2 + DQ * EI * 1/2 = 4 * 1 * 1/2 * 3 + 1 * 1/4 * 1/2 + 13/4 * 3 * 1/2 = 6 + 1/8 + 39/8 = 11 cm^2 になります。 なお，最後の計算は， 五角形ABCDE = □ABCE - △ECD = (AE + BC) * AB * 1/2 - CD * EI * 1/2 = (1 + 4) * (4 + 1) * 1/2 - 1 * 3 * 1/2 = 25/2 - 3/2 = 11 cm^2 の方が簡単かもしれませんね。 (解法2) (解法1)の最後の式を見ていて，「そうか，AB を一辺とする正方形から CD，ED を辺とする平行四辺形を引いて半分すればいいのか。」 と思って，再考してみた解法です。 まず，補助線の設定は，(解法1)と同じにし，さらに，図形全体を EC の中点 M を中心に 180°回転し， それぞれの点の移動先の点を「'」をつけて表すことにします。このとき，E = C'，C = E' です。 すると，(解法1)をベースに考えれば分かると思うので，細かい証明は面倒なので省略しますが， □ABA'B'，□PCP'E，□HDH'D' はすべて正方形で，特に，D' は EP' 上にあり，ED'//DC，ED//D'C，D'H = DH = 3cm，がいえます。 そこで，□EDCD' は平行四辺形で，CD = 1 cm を底辺にすると高さは EH = 3 cm になり， 五角形ABCDE = (□ABA'B' - □EDCD')/2 = (5 * 5 - 1 * 3)/2 = 22/2 = 11 cm^2 になります。 これはきれいで，いかにも算数ですが，私には最初からはとても思いつかないな，と思います。 (解法3) (解法2)を考えているときに，副産物としてできた解法です (^^: 補助線の設定は，(解法1)と同じにします。すると， 五角形ABCDE = □ABCE - △ECD で，□ABCE = 25/2 cm^2 はすぐに分かるので，△ECD を求めればいいです。 まず，△ECP = □ABCE - △PAE - △CPB = 25/2 - 2 * 2 = 17/2 cm^2 です。 さらに，△CQP，△CPH，△PQH は角度の関係から相似で，△CPH と △CPB は合同なので， CH：PH = 4：1，PH：QH = 4：1，CH：PH：QH = 16：4：1，CQ：CH = (16 + 1)：16 = 17：16 CQ = 17/16 * CH = 17/16 * 4 = 17/4 cm △CQP：△CPH = CQ：CH = 17：16，△CQP = 17/16 * △CPH = 17/16 * (4 * 1 * 1/2) = 17/8 cm^2 △ECQ = △ECP - △CQP = 17/2 - 17/8 = 51/8 cm^2 △ECD：△ECQ = CD：CQ = 1：(17/4)，△ECD = 4/17 * △ECQ = 4/17 * 51/8 = 3/2 cm^2 そこで， 五角形ABCDE = □ABCE - △ECD = 25/2 - 3/2 = 11 cm^2 になります。 今回は，掲示板を読むのが楽しみだけど，解法がいろいろあって大変かも (^^; |
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ネコの住む家
10月1日（木） 13:50:23
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 35128 |
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uchinyan |
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掲示板を，やっと読みました。やはり，大変でした。
#35107 ＞とりあえず，ＣＥを結び，三角形ＣＤＥをＣＥを軸に折り返し，台形を作りました． という解法ですが，C，E を結んだ時点で台形はできているのでは？ 「三角形ＣＤＥをＣＥを軸に折り返し」という辺りからすると，むしろ，#35122に近そうです。 #35108，？#35114，#35116，#35118，#35125，#35128の(解法2) 与えられた図形が，一辺が 5 cm の正方形の内部に，直角をはさむ二辺が 4 cm と 1 cm の三角形を 8 個並べた図形の一部になる， ことを使う解法。ただし，詳細は少しずつ違うようで，興味深いです。 #35116の図が分かりやすいですが，正方形を三つ，順次内側に置いていくような図になりますね。 なお，#35118 ＞(3) 5角形ABCDE≡5角形GABB'I より、ED＝5（cm) 多分，「5角形ABCDE≡5角形GAPB'I」の間違いかな。 #35109，#35110，#35112，#35120，#35123 数学による解法。三角関数のようです。(#35120は，座標も。) ＞角Cの部分で8:15:17の直角三角形が現れたのでひたすら計算しました。 ∠DCB = ∠PCB * 2 をもつ直角三角形がそうなりますね。 #35111 △PBC を PC で折り返し △PB'C とし，△APE を EP で折り返し △A'PE を作ると， A'，B'，P が同一直線上にあり，A'E//B'D になることを使う解法。 #35113 数学による解法。三平方の定理と相似を使ったとのこと。 三平方の定理を使った，とあるので数学になりますが，方針は，#35128の(解法1)に似ているようです。 #35115 数学による解法。三平方の定理と，多分，相似，を使った解法の様子。 こちらは，発想は，#35108などに近いようです。 #35122 ＞AEの延長上にAS=4の点Sをとる ＞SC上にST=4の点Tをとる ＞△EDC合同△ETCより(角PCE=45も使用する） という解法。これも分かりやすい解法だと思います。ただ， ＞4*5-（（3*5-3*4）/2+3*4/2）＝11 多分，4 * 5 - ((3 * 5 - 3 * 4)/2 * 2 + 3 * 4/2) = 20 - 9 = 11 の間違い。 #35124，#35128の(解法3) まず △ECP を求め，次に 相似を使って △ECD を求めて，□ABCE から引くという解法。 #35128の(解法1) CD の D の方の延長と EP の交点を基に 五角形ABCDE を三角形に分割し，相似などを使ってそれらの面積を求める解法。 |
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ネコの住む家
10月1日（木） 15:59:07
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 35129 |
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Mr.ダンディ |
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#35129
> (3) 5角形ABCDE≡5角形GABB'I より、ED＝5（cm) > 多分，「5角形ABCDE≡5角形GAPB'I」の間違いかな。 uchinyanさん、ご指摘有難うございます。 仰る通りで、タイプミスをしておりました。（訂正致しました） #35126 >> 問題を見た瞬間にわかったが… > これはビョーキですって？(^^;（誉めてますｗ） ・・こんなビョウキに罹ってみたい ！・・ |
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大阪
10月1日（木） 16:20:13
35130 |
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ゼロ崎だっ！！！ |
| ちょーーっと時間かかっちゃったけど、面白かったぜ！！！ |
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10月1日（木） 18:30:47
35131 |
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パズル&ゲーム10種競技 |
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#35129
uchinyanさん、ご指摘の通りです。 #35122の式に間違いがありました。 |
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10月1日（木） 18:48:39
35132 |
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おいら＠ＮＹ |
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力技でした。
CDを延長してABとの交点をFとし 点PからCFへ垂線を引き、CFとの交点をJとする。 AEを延長上にAG=4cmとなる点Gを置く。 点DからCGに垂線を引き、CGとの交点をHとする。 △CBF∽△PJF PJ=PB=1cm、BC=4cmより FJ= 8/15 cm FP=17/15 cm △PJF∽△DHC より DH=5/17 cm HC=8/17 cm 求める面積は長方形ABCGより 三角形DCHと台形DHGEの面積を引いたもの。 △DCHの面積は、60/289 台形EGCDの面積は、2541/289 求める面積は 20 - 60/289 - 2541/289 = 20 - 2601/289 = 20 - 9 = 11 なんだか他の解放と較べると恥ずかしい・・ |
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10月2日（金） 4:52:25
35133 |
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しんちゃん |
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久しぶりでお邪魔しました。
どなたかと同じかもしれませんが、解法を書いてみます。 ＥＰとＰＣを2辺とする正方形ＥＰＣＱをつくり、ＱとＤを結ぶ。 次に、点ＥからＤＱに垂線ＥＨを引く。 すると、△ＡＰＥ，△ＢＣＰ，△ＤＱＣ，△ＨＥＱ は合同になるので、 ＤＱ＝ＥＨ＝４(cm) 四角形ＥＰＣＤ＝正方形ＥＰＣＱ−△ＣＤＱ−△ＥＤＱ ＝１７−２−８ ＝７(cm^2) これに、△ＡＰＥと△ＢＣＰの分を足して、 ７＋２＋２＝１１（cm^2） |
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10月2日（金） 17:50:43
35134 |
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hazawa |
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△PBCを辺PCで折り返し、△PB'Cをつくる。
△APEを辺EPで折り返し、△A'PEをつくる。 すると∠A'B'Cが90°になりA'B'＝3なので △CDEの面積は、3/2 台形ABCEの面積 25/2なので 11 |
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10月2日（金） 19:23:17
35135 |
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あみー |
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当日０時までに帰宅できず参戦なし。
まあ、芝中の過去問で，正方形から直角三角形を４枚内側に折り，中央に小正方形を作る問題があります。この問題でいえば１辺５�僂寮喫�形の４隅から１�傳喚僂鬘緩臉泙觧�になります。 で，12.5㎠(正方形の半分)から１×３÷２＝1.5㎠を引く、ですね。 来週以降も０時帰宅は難しそうでちょっと残念です。 |
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10月2日（金） 20:16:14
35136 |
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あみー |
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文字化けた…。
㎠(意味わからん)は「cm2」です。 |
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10月2日（金） 20:17:17
35137 |
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英ちゃん |
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お久しぶりです。規則正しい生活のおかげで参加するタイミングを失っています（笑）
折り返しです。 |
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居間
10月3日（土） 10:04:07
HomePage:ブログ 35138 |
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あみー |
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文字化けた…。
㎠(意味わからん)は「cm2」です。 |
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10月3日（土） 14:51:30
35139 |
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doba |
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#35142
４問とも、別解もなく、理詰めで解けるので、 問題として成立していると思いますよ。 このルールのパズルはどこかで解いた記憶があるので 初出ではないような気はしますが。 １問目 １━━━┓ ┏━━┓┃ ┃４┓２┛ ┃┃┃５┓ ３┛┗┛６ ２問目 ３━━━━┓ ┃┏━━┓┃ ┃１┏４┃┃ ┗━┛┃┃┃ ５━┓┃２┃ ┗６┗┛┗┛ ３問目 ┏┓┏┓６┓ １┃５┗━┛ ┏┛┗┓┏２ ┃３━４┃┃ ┃┗━━┛┃ ┗━━━━┛ ４問目 ┏━━━━┓ ┗２┏━５３ ┏┛┃┏┛┃ ┃┏┛６┏┛ ┃４━━┛１ ┗━━━━┛ |
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10月3日（土） 19:59:21
35144 |
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あみー |
| 異常にアクセス多いのは何が原因なんでしょう…。 |
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10月4日（日） 13:55:09
35146 |
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ばち丸 |
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#35146
さあ。マサルさんの問題の面白さに多くの人が気づいたんじゃないの |
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10月4日（日） 22:36:35
35147 |
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mhayashi |
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#35129 uchinyan さん
＞＞台形を作りました． ＞C，E を結んだ時点で台形はできているのでは？ あちゃー。台形→五角形（というか長方形＋台形）の間違いでした． なんのこっちゃだと思いますので，以下に図を置いておきます． http://mhayashi.s59.xrea.com/images/misc/sansu665_udsf11.png 種明かしすごーい → #35116 こういうことだったのですね． |
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KANSAI
10月6日（火） 1:20:48
HomePage:M.Hayashi's Web Site 35148 |
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hide |
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なんとなく暇だったんで、こんな事したんですが答え合ってますか？
今、n,mを互いに素な自然数とし、ｎ＜m/2,n≠1,m≧3が成り立っている。 このとき半径１の円に内接する正m/n角形の面積Sをn,mを用いて表せ。 答え PI=円周率 θ=PI/m A=tna{θ(m-1)/2} とすると S=((2A/(A^2+1))^2)*tan(θ(m-2n+2))*sinθ*m^2/2 となりました。（括弧つけすぎかな？） もっと簡単にできる気がしないでもないんですが、ギブアップ。 どなたか、正誤判断してください。 |
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10月7日（水） 16:06:57
35149 |
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スモークマン |
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#35149
hideさんへ ^^ 条件がよく分かりません... 互いに素なら...m/n は整数にはならないです...? たとえば...5/2角形とか、7/3角形とかって想像できない...Orz... |
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金光＠岡山
10月7日（水） 18:11:08
35150 |
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あみー |
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正ｍ角形/正ｎ角形 ではないでしょうか
今日は間に合ったから参加できます＾＾； |
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内緒
10月7日（水） 23:53:23
MAIL:amimorisama@hotmail.com 35151 |