algebra

△ＣＰＢに余弦定理を用いて，ＢＣ＝(√6＋√2)／2 相似から，ＡＣ＝2＋√3，ＡＰ＝1＋√3 ＱＲ＝1，∠ＱＡＣ＝∠ＲＣＡ＝15°，ＱＲ‖ＡＣより，ＡＱ＝√2 △ＡＰＱに余弦定理を用いて，ＰＱ＝4

5月9日（木） 0:27:46　　 　　40504

algebra

訂正：ＰＱ＝4 誤 → ＰＱ＝2　正

5月9日（木） 0:29:32　　 　　40505

ようせん

都合が良ければ行きたかったんですが、無理でしたorz 今回もしっかり解きたかったorz勘で当たってしまった・・・orz

5月9日（木） 0:31:42　　 　　40506

Mr.ダンディ

とりあえず、三角関数を使って、答え２を出しました。（Mr.ダーティ　でした）

5月9日（木） 0:43:12　　 　　40507

abcba@baLLjugglermoka

なんとなく∠PQR=60度、∠QRP=直角、になりそうだと思いました。

5月9日（木） 1:22:41　　 　　40508

スモークマン

やっとこさぁ ^^; BCに関してPと対称な点P'をとり...P'RとBCの交点をR'とすると、 △R'P'Cは二等辺三角形から、PB=BP'=R'C=1 △RR'Cは、正三角形の半分で、R'Cは底辺だから、RR'=2 四角形PQRR'は平行四辺形なので、PQ=RR'=2　♪

5月9日（木） 1:31:31　　 　　40509

ゴンとも

A原点,ACx軸として座標において計算すると・・・ Q((3+sqrt(3))/2,-(sqrt(3)+1)/2),P((1+sqrt(3))/2,(-1+sqrt(3))/2) より sqrt(factor(((3+sqrt(3))/2-(1+sqrt(3))/2)^2+(-(sqrt(3)+1)/2-(-1+sqrt(3))/2)^2));2・・・・・・(答え)

豊川市　　 5月9日（木） 2:20:51　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　40510

ma-mu-ta

こんな図ができて、正三角形と二等辺三角形のオンパレード。 面白くて線をいっぱい引いてしまいましたが、結局、PQ＝PB×2＝2cm http://yahoo.jp/box/ydmxOZ

5月9日（木） 4:13:44　　 　　40511

次郎長

ぼけて１時間早く起きてしまった。ネクタイを締めてから１時間間違っていることに気づいた。会社で取り組む積りだったが、自宅で朝早くから頭を使うことになった。今日は働けない。

5月9日（木） 5:54:36　　 　　40512

マサル

私は正十二角形への埋め込みを想定（というか、そのようにして問題を作成）していました。（正十二角形は、１２個の正三角形と６つの正方形に分割できるので...）

iMac　　 5月9日（木） 11:06:18　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　40513

あめい

底角１５°の二等辺三角形と正三角形が合体したパターンをいくつか書いているうちにma-ru-taさんの青の正三角形が８の字になっている形ができました。今日もトータル３時間くらいかかっており、発想力のなさを「嘆く・なにくそ」ととに楽しませていただきました。 発想力といえば以前近くの高校の入試の面接で「３４５６／３４５７と３４５７／３４５８はどちらが大きいでしょう」といった問題が出たそうです。生徒は１−１／３４５７と１−１／３４５８だから小さい方を引く３４５７／３４５８が小さいと答えたそうですが、こういう出題のセンスや答え方のセンス好きです。

5月9日（木） 11:06:45　　 　　40515

あめい

関係ない話の訂正ですいません。 ３４５７／３４５８の方が大きいと答えた

5月9日（木） 11:17:38　　 　　40516

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． う〜む，あまりうまく算数では解けませんでした。 今朝問題を見たときは，例によって頭の中で折り返したり補助線をいろいろと引いてみて，こんな感じで。 図がないと何がなんだか分からないと思いますし，半ば直感なのでいい加減ですが，一応。 AQ と CR を延長し交点を S，A から BC に垂線を下ろしその足を H，AH に関して S と対称な点を T，とすると， △AST は正三角形，□TBCS は正方形になってよく見る図になります。 この図で，△SAC は二等辺三角形，△CSP は正三角形，なので，△STP は △CBP と合同な二等辺三角形，となって， PQ と TR の交点を M とすると，SM に関する対称性から，□QRPT は長方形，PQ = PM * 2， さらに，AH に関する対称性から，△CMS と △BMT も △CBP と合同な二等辺三角形，となり， やはり対称性などから，△PMT は正三角形，PM = PT = PB = 1 cm，となって， 結局，PQ = PM * 2 = 1 * 2 = 2 cm，かな，と思いました。 多分，これで合っているのでは，思いますが， 図がないと説明がしづらいし，一つ一つ証明するのもシンドそうなので， 今回はこんなところでご勘弁を (^^; あ，もちろん，数学では 2 cm になることを確認しています。

ネコの住む家　　 5月10日（金） 11:24:20　　 　　40517

マサル

http://www.sansu.org/toi838NETA.gif こんな感じで作った問題です。ちょっとダサい問題になってしまいました...

会社　　 5月9日（木） 15:29:52　　 HomePage:算チャレ　　40518

uchinyan

掲示板を読みました。 今回は皆さん苦戦しているようですね。 #40513，#40518 正12角形に埋め込んで考える解法。マサルさんの想定解です。 なるほど，これは分かりやすい。確かにその手はありますね。ただ，気付くのは難しいなぁ．．． ちなみに，#40511などの ASC も異なる正12角形の一部になっていますが，想定解とは少し違いますね。 #40511，？#40515，#40517 AQ と CR を延長し交点を S，A から BC に垂線を下ろしその足を H，AH に関して S と対称な点を T，として考える解法。 詳しくは#40511の図をご覧ください。 そうそう，私の#40517はまさにこの図です。ということは正しそうですね。 #40509 ＞BCに関してPと対称な点P'をとり...P'RとBCの交点をR' として考える解法。ただ．．． ＞△R'P'Cは二等辺三角形から、PB=BP'=R'C=1 二等辺三角形になるのかな？ なったとしても，PB=BP'=1 はいいですが BP'=R'C=1 がいえるのかな．．．？ ＞△RR'Cは、正三角形の半分で、 これも明らかではないような。 ＞R'Cは底辺だから、RR'=2 ＞四角形PQRR'は平行四辺形なので、 これもよく分からない．．． ＞PQ=RR'=2　♪ ちなみに，#40504にあるように，AQ = √2 なので CR = AQ = √2 です。 R'C = 1 だとすると，△RR'C は正三角形の半分にはなりません。 私が何か勘違いしているのかな？ #40506，#40508 勘による解法？ #40504，#40507，#40510，#40520 数学による解法。

ネコの住む家　　 5月10日（金） 11:35:55　　 　　40519

uchinyan

ちなみに，私は二つの数学解法で確認していますが， 三角関数を使わない方が#40509と少し似ているので，ご紹介しておきましょうか。 まず，△CBP ∽ △ABC で BC = a cm とおくと，AB = AC = a^2 です。 また，C から AB に垂線を下ろしその足を H とすると，∠CAB = 30°より，CH = AC/2 = a^2/2 です。 さらに，□QACR は等脚台形なので，R から AC に垂線を下ろしその足を I とすると，CI = (a^2 - 1)/2 で. △CRI ∽ △CBH なので，RC = ((a^2 - 1)/2) * a/(a^2/2) = a - 1/a になります。 ただし，△CBH に三平方の定理を使って， BH^2 + CH^2 = BC^2，(1/2)^2 + (a^2/2)^2 = a^2，a^2 + 1/a^2 = 4 一方で，BC 上に PD = PB = 1 cm となる点 D を取ると，△PBD ∽ △CBP なので，BD = 1/a となって， DC = BC - BD = a - 1/a = RC がいえます。 そして，∠ACB = ∠ABC = 75°，∠RCA = ∠QAC = 15°，∠RCB = 90°となって，△CDR は直角二等辺三角形です。 また，P，Q から BC に垂線を下ろしその足を J，K とすると， QK//RC，QR//AC，∠RQK = ∠RCA = 15°= ∠DPJ となって QR//PD，さらに PD = PB = QR より， □PQRD は平行四辺形で，PQ = DR です。 そこで， DC^2 = RC^2 = (a - 1/a)^2 = a^2 + 1/a^2 - 2 = 4 - 2 = 2 PQ^2 = DR^2 = DC^2 * 1/2 * 4 = 2 * 1/2 * 4 = 4 PQ = 2 cm になります。

ネコの住む家　　 5月10日（金） 11:27:30　　 　　40520

ハラギャーテイ

三角関数を使いました。角度や長さが適当に与えられているので数学的方法なら簡単です。 でもこれを算数的に解くのはとても難しいと思いました。

山口　　 5月9日（木） 17:02:31　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　40521

zzzzzzzzzz

補助線かきまくってたらできました！ 4時間かけて・・・w

5月9日（木） 18:49:00　　 　　40523

スモークマン

#40519 uchinyanさんへ ^^ ご指摘の通りでした...^^; マサルさんの図を見てて...嘘だったことを確認できた ^^;; ので...書き込みしようとしてたのですが...間に合いませんでした...申し訳ございません...〜m(_ _)m〜 いかにいい加減な図を考えてたかってことバレバレ...あな恥ずかし...Orz...

5月9日（木） 20:20:32　　 　　40524

kurokori

#40517の図を使わせてもらうと、こんなふうに解けそうです。 まずATSが正三角形であり、ATBが二等辺三角形なのでAT=TS=TBからTBCSが正方形とわかります。するとPC=AT、RC=AQ、∠PCR=∠QATより△ATQ=△CRPであり、TQ=PRとなります。さらにTPとACとQRが並行であることから、TPRQは長方形であり、SUを軸にしてAとC、TとP、QとRが左右対称になるので、∠SAU=∠UCS=30度、よって∠UCB=60度であり、△UBSは正三角形となります。最後に∠PTB=∠TBP=∠PBU=∠BUP=15度からTP=PB=PU=UQとなって、PQ=PB×2=2(cm)となる。 TP//AC//QRからの左右対称に気付けるかどうかがポイントになりそうですね。

5月9日（木） 21:06:16　　 　　40525

かっちゃん

むずかしいですね・・・

5月9日（木） 22:13:39　　 　　40526

kurokori

間違えた、 #40511の図ですね

5月10日（金） 4:38:19　　 　　40527

Mr.ダンディ

補助線を引きまくって悪戦苦闘していたのですが #40518 のマサルさんの想定解の図をみると、大変シンプルなものであり　驚きです。 シンプルな図ですが、私の頭ではこのような図を思いつくことはとても無理ですね。 （正多角形へのはめ込みも、一瞬頭によぎったのですが・・・）

5月10日（金） 18:55:01　　 　　40528

HARU

がんばったらできた^^

5月10日（金） 19:22:32　　 　　40529

mukku

なんとか

5月11日（土） 0:17:23　　 　　40530