Mr.ダンディ

(2^2)*(3^2)*5＝180　ですね。

6月19日（木） 0:06:56　　 　　41932

長野　美光

約数の個数が　１８＝3×3×2　なので、 (奇数)^5×(偶数)^2　か　(奇数)^2×(奇数)×(偶数)^2 と考え、奇数に３または５、偶数に２を入れて求めました。

はままつ　　 6月19日（木） 0:08:51　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　41933

スモークマン

同じく... 3^5>3*5*7>3^2*5　←訂正 Orz... 奇数の約数が6個あるので…偶数は2^2 であれば、2*6=12個になりますね。 けっきょく… 2^2*3^2*5=180♪

金即是空 ^^;v　　 6月19日（木） 0:19:32　　 　　41934

サガ

約数6個の数は素因数分解したときに素数の6乗の形、あるいはある素数×別の素数の2乗の形になります。 そのうち奇数で最小のものは3×3×5、これに×2×2を付け足すと偶数の約数が12個できるので解答となります。 ちなみに最初うっかり×2だけにして90と送信してしまいました。

6月19日（木） 0:13:27　　 　　41935

ベルク・カッツェ

またミスを・・・6乗→5乗ですね。うっかりばかりですみません。 なんか登録しておくと訂正できるようですが、パスを忘れそうなので・・・。

6月19日（木） 0:15:24　　 　　41936

あめい

今回はすぐに出すぎて、逆に何か引っかけがあるか疑いながら入力したら入れてしまいました。 みなさんと同じで１８＝６×３か３×３×２で ２＾5×３＾2＝２８８，２＾2×３＾2×５＝１８０なので小さい方の１８０になりました。 (２＾5×３＾2では偶数の約数が12個にならないですね。・・・またラッキー解答でした）

お馬崎　　 6月19日（木） 1:42:44　　 　　41937

ベルク・カッツェ

今度は名前まで間違えていたという。 #41935も私です。失礼しました。 さすがにミス多すぎるので、今度から訂正できるように個人データ登録してきました。

6月19日（木） 0:23:30　　 　　41938

今年から高齢者

2^mと3^nを使うこと、偶数の約数が奇数の約数の倍の個数ということでm=2まではすぐに判ったのですが、その後がいけない。6個なので3×2ばかりが頭から離れず、3^3と5^2とか．．． その他にも、1とそれ自身を約数にするのかな？なんて疑問が湧いてきて・・・基本的なところが判っていないことを反省！！！

6月19日（木） 0:41:08　　 　　41939

baLLjugglermoka

先週は出題者でしたので２週間ぶりの回答です。皆様、先週の問題を楽しんで頂き有難う御座いました。 図形問題は、「面積」、「長さ」、「角度」のどれかを求めますが、最もパズル的な問題は「角度」だと思います。そして、算数の知識が少なくて済むのは、円が出てこない(多角形だけの)問題だと思います。 今度は数学で最も奥が深いといわれている「整数」の問題の面白い問題を作ってみたいです。（できれば算数解法で解かないと、とんでもない遠回りする問題を作りたいです。） と思っていたら、今週の問題はズバリの分野でとても楽しめました。今後も算チャレで整数の問題を沢山出題して欲しいです。 明後日は、お台場のお笑いパフォーマンスイベントでトリをつとめます。頑張ります!!

6月19日（木） 1:00:11　　 　　41940

おすまん

＃今週も無事に入れました♪ （が、検証不足でした… 涙） #41939 今年から高齢者さま 僕も同じように悩んでおりました…（^^; 奇数の約数が、1,3,5,7,11,13の6個!!という大いなる勘違いで 誤答を送信して認証ではじかれてから、 約数の個数が、素因数分解後の「べき指数＋１」を掛け合わせたもの、 を利用しました。　 脊髄反射で、18= 2 x 3 x 3(L^1 x M^2 x N^2) で考えていましたが、 2x9 (L^1 x M^8)、3x6(L^2 x M^5)などは、条件に合わないことを 「認識した上で」排していなかったので、反省です…　orz

somewhere in the world　　 6月19日（木） 1:12:41　　 　　41941

小西孝一

最初、1,3,3,5なら、3,3も一個ずつ数えるのかと思い、迷いました。 全部違う数だと思い直して、180に至りました。

6月19日（木） 1:16:57　　 　　41942

ゴンとも

数式処理(mupad light 2.5.3)でやりました。 問題文の約数の条件で1番目から100番目は 180,252,300,396,468,588,612,684,700,828 972,980,1044,1100,1116,1300,1332,1452,1476,1548 1575,1692,1700,1900,1908,2028,2124,2156,2196,2205 2300,2412,2420,2475,2548,2556,2628,2844,2900,2925 2988,3100,3204,3332,3380,3388,3468,3492,3636,3700 3708,3724,3825,3852,3924,4068,4100,4275,4300,4332 4508,4572,4700,4716,4732,4851,4932,5004,5175,5300 5364,5436,5445,5652,5684,5733,5780,5868,5900,6012 6076,6100,6228,6292,6348,6444,6516,6525,6700,6876 6948,6975,7092,7100,7164,7220,7252,7300,7436,7497

豊川市　　 6月19日（木） 1:32:53　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　41943

Mao-Dsph

(奇数の約数を6個持つ整数)*4で考えることまで行ったのに ずっと105*4 = 420 だと思い込んでた(´Д｀)

6月19日（木） 1:34:16　　 　　41944

数樂

3^2×5を基準に考えて解きました。 解けてよかったです。

Tokushima　　 6月19日（木） 2:08:51　　 HomePage:数樂　　41945

約数の定義

約数の定義に1が入っている事を忘れてて、出題ミスかと勘違いしそうになりました。 求める整数をnとする。素因数分解の式の奇数部分に着目。 奇数の約数が6個だから3*2（1*6だと数が大きくなりすぎる）。 n = 2 * (2^(m-1) * 3^2 * 5^1) と表して、 m*(2+1)*(1+1) = 偶数約数の数 = 12 つまりm=2 n = 2^2 * 3^2 * 5^1 = 180

6月19日（木） 2:32:18　　 　　41946

ばち丸

まったくばかですね 3^5×2^2→（一晩経過。もちろん寝てる）→5×3^2×2→5×3^2×2^2=180 でやっと入れました。

6月19日（木） 6:24:16　　 　　41947

ばち丸

#41940 baLLjugglermoka様がおっしゃるように角度の問題はパズル的だと思いますが、小学生は1:2:√3の三角形も1:1:√2の三角形も使えません。制約が多いので私の頭では上手に発展できません。少し広げて考えていただくということで

6月19日（木） 6:40:35　　 　　41948

ばち丸

先週の問題の解答でヒントをいただいたのだ。ご親切にお返ししなくては。 □ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝１、ＣＤ＝２、ＤＡ＝√3、∠Ｂ＝50°、∠Ｃ=70°の時、∠Ｄは何度ですか。 想定と全然違う解法が出てくることを祈っています。

6月19日（木） 6:47:04　　 　　41949

ばち丸

先週の問題の解答でヒントをいただいたのだ。ご親切にお返ししなくては。 □ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝１、ＣＤ＝２、ＤＡ＝√3、∠Ｂ＝50°、∠Ｃ=70°の時、∠Ｄは何度ですか。 想定と全然違う解法が出てくることを祈っています。

6月19日（木） 6:47:11　　 　　41950

あめい

偶数が６個ということは２^a×□＾b×○＾c・・の形でａ×（ｂ＋１）×（ｃ＋１）・・・＝６となるということなんですね。するとａの候補は１，２，３，６。 数チャレしていると何となく覚えていた(思い出した)性質の(自分の)不備・不完全さが浮き彫りになってきておもしろいです。

6月19日（木） 8:05:34　　 　　41951

巷の夢

基本が大事と言うことを思い知らされました。奇数×奇数＝奇数、偶数×奇数＝偶数そして偶数×偶数＝偶数　正にこれだけで今回の問題は解けるのですね。この亜田尾は皆様が投稿なさっていらっしゃる通りですね。何時もながらマサル様の出題意図に感嘆しております。

6月19日（木） 8:18:22　　 　　41952

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． これは約数の個数の数え方を知っていれば易しいでしょう。ただ，知らないと厳しいかな。こんな感じで。 アは偶数の約数も奇数の約数ももつので，ア = 2^イ * 3^ウ * 5^エ * 7^オ * …，と書けます。 さらに，偶数の約数は，奇数の約数に 2 を掛けるごとに 1 個ずつ増えるので， 偶数の約数の個数が奇数の約数の個数の 12/6 = 2 倍ということは 2 を 2 回掛けられることになります。 そこで，イ = 2 と決まります。 さらに，奇数の約数の個数は (ウ + 1) * (エ + 1) * (オ + 1) * … と書け，これが 6 = 6 * 1 = 3 * 2 に等しいので， 最小の整数を求めることから，ウ = 2，エ = 1，それ以降は無し，と決まります。 つまり，最小のアは，2^2 * 3^2 * 5^1 = 180，になります。

ネコの住む家　　 6月19日（木） 14:36:29　　 　　41953

uchinyan

掲示板を読みました。 今回は，アを素因数分解してその指数を使って約数の個数を考える，と，皆さん同じようですね。

ネコの住む家　　 6月19日（木） 11:48:07　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41954

uchinyan

ばち丸さんの問題，70°かな。 詳細は皆さんの様子を見て必要そうならばまた。

ネコの住む家　　 6月19日（木） 11:56:48　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41955

まるケン

#41943 には、奇数解が含まれています。すなわち、偶数の約数は0個な数が。 1575 や 2205 などなど、、、 私もいつものrubyでやってみました。 180,252,300,396,468,588,612,684,700,828 972,980,1044,1100,1116,1300,1332,1452,1476,1548 1692,1700,1900,1908,2028,2124,2156,2196,2300,2412 2420,2548,2556,2628,2844,2900,2988,3100,3204,3332 3380,3388,3468,3492,3636,3700,3708,3724,3852,3924 4068,4100,4300,4332,4508,4572,4700,4716,4732,4932 5004,5300,5364,5436,5652,5684,5780,5868,5900,6012 6076,6100,6228,6292,6348,6444,6516,6700,6876,6948 7092,7100,7164,7220,7252,7300,7436,7596,7900,8028 8036,8092,8172,8228,8244,8300,8388,8428,8604,8676

ないしょ　　 6月19日（木） 12:57:58　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　41956

あめい

ぱち丸さんの問題、私も70°です。想定解は１：２：√３の三角形を作るパターンでしょうか？ 他の方法、正三角形作ったり色々考えていますが浮かびません。

6月19日（木） 13:16:59　　 　　41957

スモークマン

ばち丸さんの問題 遅ればせながら...わたしも70° みなさんと同じかな ^^ 正三角形の半分(BC上にDC'=2 というD'を作る) 180-2*70+30=70°♪ 追記... これまた不十分でしたか…^^; 斜辺の長さ1で底角50°と斜辺の長さ2で底角70°の二等辺三角形を1直線上でくっつけて並べたとき、 頂点同士を結んだら...正三角形の半分が現れ、題意を満たしているからってのならいいですかね ^^…Orz

金即是空 ^^;v　　 6月19日（木） 18:32:03　　 　　41958

マサル

（突然ですが） 　香川県（具体的には高松市）にお住まいの、あるいは通勤が可能の、算数の先生はこちらにいらっしゃいませんでしょうか？いえ、知人（国語の先生、優秀です）が塾を開くのですが、算数の先生を急募していまして...

会社　　 6月19日（木） 15:57:52　　 HomePage:算チャレ　　41959

???

VBSCRIPT a=12+8:d=0 while d=0 m=0:n=0 for j=1 to a m=m-((a mod j)+(j mod 2)=0) n=n-(a mod j=0 and j mod 2=1) next if m=12 and n=6 then d=1:msgbox a else a=a+2 wend

6月19日（木） 16:54:08　　 　　41960

ゴンとも

#41956　まるケン　さん　レスありがとうございます。 >#41943 には、奇数解が含まれています。すなわち、偶数の約数は0個な数が。 >1575 や 2205 などなど、、、 すみません　mupad light 2.5.3 で for n from 1 to 2169 step 2 do if numlib::numdivisors(n)=6 then print(2^2*n) end_if end_for: でその100個を羅列できました。

豊川市　　 6月19日（木） 18:38:00　　 　　41961

今年から高齢者

#41941,#41946：同じように悩まれた？方がいて、心強い？？？かぎりです。 それに加え、#41953を読んでいて、思いついた問題。 1と自分自身を含まない場合で考えると今回の問題は成立しないと思います。 奇数の約数の個数と偶数の約数の個数の合計（約数の個数とも言える！）が18になるような最小値は240と計算しましたが．．．。 では、1と自分自身を含まない偶数の約数の個数と奇数の約数の個数の合計が32以上の最小の数は？

6月19日（木） 21:59:08　　 　　41966

ばち丸

皆様：正解です。 スモークマン様：そんなこと気が付きません！ちなみにDD'=2でBC=4cos70°+2cos50°になっているという意味で良いのでしょうか

6月20日（金） 4:56:20　　 　　41967

???

1260

6月20日（金） 5:10:10　　 　　41968

今年から高齢者

#41968:ありがとうございます。 #41953を読んで、多分32個や33個の場合には最小値にならないだろうと推定して、32個を設定したのですが、まだ計算していませんでした。 1と1260を抜いて34個の約数で、2*2*3*3*5*7ですね

6月20日（金） 8:31:57　　 　　41969

スモークマン

#41967 ばち丸様へ ^^ 想定解ではなかったようね…^^; 図からだと…たしかに、BC=4cos70°+2cos50° になってますね ^^

金即是空 ^^;v　　 6月20日（金） 9:01:08　　 　　41970

老算兵

かなり遠回りしました。 １が約数に含まれることに気付くのが遅かった。

福岡県　　 6月20日（金） 11:29:19　　 　　41971

あめい

#41966の今年から高齢者さんの問題、私も1260です。 1と自分自身を含まない偶数の約数の個数と奇数の約数の個数の合計が32以上＝約数が３４個以上なので、#41953のuchinyanさんの表し方を参考にさせていただくと、 ３４＝１７×２・・・最小２^16×３ ３５＝７×５・・・最小２^6×３^4 ３６＝(２^2と５以外は細かい積の方が小さくなるので)＝３×３×２×２・・・最小２^2×３^2×５×７＝１２６０となりました。

6月20日（金） 11:48:36　　 　　41972

今年から高齢者

#41972あめいさんの説明が推定したとおりです。 その先にもっと小さいものがないことは、uchinyanさんの方法を使うと証明できそうですね。

6月21日（土） 0:01:00　　 　　41973

みかん

ワールドカップのグループリーグの対戦表を見ながら考えた問題。 ４チームのうち上位２チームが勝ち抜きなので、２勝したら勝ち抜き確実、 １勝１分けで微妙なところ、というのが大体の目安みたいですね。 では、以下の場合は存在するでしょうか？　具体的に各チームの勝ち・負け・引き分けの パターンを示してください。 （１）２勝したのにグループリーグを突破できない （２）勝ち点が３点でグループリーグを突破する ＜参考＞勝ち点のルール １対１の試合で勝ったチームには３点を与える。負けたチームは 点を与えない。引き分けの場合は双方に１点ずつ与える。 ＜参考＞順位付けの方法 （１）上記の勝ち点の多い順 （２）勝ち点が同じ場合、３試合の合計の得失点差が大きい順 （３）得失点差も同じ場合、同順位で並んだチーム同士の試合で勝った方が優先

6月21日（土） 0:37:02　　 　　41974

ハラギャーテイ

Mathematicaによる計算です。MathematicaにはDivisors という関数があります。約数のリストを出すものです。 約数が18個になるものを求めると180,252,288,300と 求まったので出来ました。 こうしたらできるとわかっていたのですが、 遅くなりました。

山口　　 6月21日（土） 10:31:22　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41975

ばち丸

みかん様 どちらもあります。４チームをＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとするとき (1)Ｄが全敗でＡ，Ｂ，Ｃが３すくみのとき（３すくみとはグーチョキパーの関係）Ｄは０勝３敗、Ａ，Ｂ，Ｃは２勝１敗。２チームしかリーグを突破できないから１チームはあぶれる。 (2)Ｄが全勝でＡ，Ｂ，Ｃが３すくみの時、Ｄは９点、Ａ，Ｂ，Ｃは３点ずつなので２チームがリーグを突破するので、Ａ，Ｂ，Ｃのどれか１つは突破できる。 中学入試にちょうど良さそうです。ここのページの原点であり実に良いと思いました。ゲームの得失点という尾ひれがついているので複雑怪奇に見えるところもまた良いです。

6月22日（日） 4:29:56　　 　　41976

8√！

次の定理（？）を使う。 整数アを素因数分解したとき、（Ａのa乗）×（Ｂのb乗）×（Ｃのc乗）…… となったとき、整数アの約数の個数は、（a+1）×（ｂ+1）×（ｃ+1）…… となる。 指数（a,b,cなど）が小さければ、整数アの数も小さくなる。約数の個数は （6+12＝）１８個なので、 18＝２×３×３より、指数は３つでそれぞれ、1,2,2であるので、整数アは、 Ａ×（Ｂの２乗）×（Ｃの２乗）で表される。また、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ、 2,3,5のいずれかで、整数アを小さくするには、指数が大きい数字に小さな値を代入すればいいので、 ５×（２の２乗）×（３の２乗）＝５×４×９＝１８０ Ａ，１８０

6月22日（日） 11:26:29　　 　　41977

uchinyan

みかんさんの問題， ばち丸さんのとおりと思います。いずれも，得失点差の勝負になりますね。 例えば，(1)では， A：A-B = 0-1，A-C = 2-0，A-D = 1-0，２勝１敗０引き分け，勝ち点 ６，得失点差 ＋２ B：B-A = 1-0，B-C = 0-1，B-D = 1-0，２勝１敗０引き分け，勝ち点 ６，得失点差 ＋１ C：C-A = 0-2，C-B = 1-0，C-D = 1-0，２勝１敗０引き分け，勝ち点 ６，得失点差 ±０ D：D-A = 0-1，D-B = 0-1，D-C = 0-1，０勝３敗０引き分け，勝ち点 ０，得失点差 −３ となると，A，B は突破，C は２勝したのに突破できません。 (2)も同様です。ただ，こんな場合もあります。 A：A-B = 0-0，A-C = 1-0，A-D = 1-0，２勝０敗１引き分け，勝ち点 ７，得失点差 ＋２ B：B-A = 0-0，B-C = 0-0，B-D = 0-0，０勝０敗３引き分け，勝ち点 ３，得失点差 ±０ C：C-A = 0-1，C-B = 0-0，C-D = 0-0，０勝１敗２引き分け，勝ち点 ２，得失点差 −１ D：D-A = 0-1，D-B = 0-0，D-C = 0-0，０勝１敗２引き分け，勝ち点 ２，得失点差 −１ この場合，勝ち点で A と B が突破ですが，B は１勝もしていないのが面白いです。 それどころか，勝ち点２で突破もあるようです。 A：A-B = 1-0，A-C = 2-0，A-D = 3-0，３勝０敗０引き分け，勝ち点 ９，得失点差 ＋６ B：B-A = 0-1，B-C = 0-0，B-D = 0-0，０勝１敗２引き分け，勝ち点 ２，得失点差 −１ C：C-A = 0-2，C-B = 0-0，C-D = 0-0，０勝１敗２引き分け，勝ち点 ２，得失点差 −２ D：D-A = 0-3，D-B = 0-0，D-C = 0-0，０勝１敗２引き分け，勝ち点 ２，得失点差 −３ この場合，A の突破は当然ですが，B も得失点差で突破できます。 さすがに，勝ち点１で突破は無理そうですね。 それと，まずありえないとは思いますが，全６試合とも引き分けだったらどうするのでしょうね。 この場合，勝ち点はすべて３，得失点差はすべて±０，勝ち負けは一切ないので， 提示されている順位付けの方法は意味を成しません。 PKのトーナメントでもするのかな？ これは極端としても，例えば， A：A-B = 1-0，A-C = 1-0，A-D = 2-0，３勝０敗０引き分け，勝ち点 ９，得失点差 ＋４ B：B-A = 0-1，B-C = 0-0，B-D = 1-0，１勝１敗１引き分け，勝ち点 ４，得失点差 ±０ C：C-A = 0-1，C-B = 0-0，C-D = 1-0，１勝１敗１引き分け，勝ち点 ４，得失点差 ±０ D：D-A = 0-2，D-B = 0-1，D-C = 0-1，０勝３敗０引き分け，勝ち点 ０，得失点差 −４ などの場合は，B，C の順位は提示されている順位付けの方法では付きませんね。 やっぱりPKかなぁ。

ネコの住む家　　 6月22日（日） 13:22:24　　 　　41978

???

勝ち点７以上で、例外なく決勝トーナメントに進出。勝ち点１以下で、例外なく進出できず。 昔は出場チーム数が２４や１６でした。グループリーグから決勝トーナメントに進出するチーム数が同一ではなく、上の人の話し合いで決めていたようです。よくこれで公平といえるな、と子供ながらに思っていました。今は公平に２チームずつになり、安心しました。

6月22日（日） 21:36:32　　 　　41979

みかん

リーグ戦の対戦表の問題にお付き合いいただきありがとうございます。 書き込んでから２点で突破があり得ると気づきましたが、さすがに現実的ではないかなぁと。 順位付けの（３）でも優劣がつかなかった場合は ・総得点の多い方が優先 ・１位のチームと勝った方が優先 あたりが考えられますが・・・。そんなところまで想定してルールが決まっているのかな。 全６試合とも無得点の引き分けだったら→仕方ないのでくじ引きですかね？ リーグ戦をネタにした問題で他にはこんなものはどうでしょう。 #41976〜#41979で一部は答えは出ていますが、ちょっと問題形式にしてみました。 （１）３試合を合計した勝ち点としてありえない点数は（？）点である。 ただし、（？）の範囲は０から９の整数とする。 （２）確実にグループリーグを突破するのは何点を獲得した時か。 理由を説明したうえで、その点数を答えなさい。 （３）(#41974)に書いてある通りの順位付けの方法では突破するチームが 必ずしも確定しません。どのような場合に確定しないのか、各チームの勝敗の 組み合わせを例示しなさい。 えっと、本職の方は「これって問題のネタに使えるかも」っていつも考えている のでしょうか。夏休みあたりの教材に使っていただければ嬉しいなぁ、と思います。

6月23日（月） 21:06:35　　 　　41980