ベルク・カッツェ
できたけど三平方使ってしまった・・・もう少し考えてみます。
　　 10月23日（木） 0:18:42　　 　　42557
しらす
BP=7求めてからの綺麗な開放がよくわからないですね
7+PQ=PQ*8/3*2とかでできるけどなんかなーって感じ。
　　 10月23日（木） 0:22:25　　 　　42558
ベルク・カッツェ
線分PCを引いて面積と辺の比を考えれば、BP:PQ＝13：3になりますね。
私のほうはBP=7を算数で出せたら解決です。
　　 10月23日（木） 0:30:01　　 　　42559
CRYING DOLPHIN
算数で解けたけど、なんだか遠回りな気がする。

大まかに解法を書くと、
・△PBMをMを中心として180度回転して△RCMをつくる
・△SMCが正三角形となる点SをAM上にとる
↓
△PBMと△ACSは2辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同
↓
△ARCと△APQは相似な二等辺三角形
13：7＝3：□ より、□＝21/13
誰もいない市街地　　 10月23日（木） 0:31:21　　 HomePage:ブログもある　　42560
しらす
BP=7は三角形ACMにてCからAMにMR=3となるRを引けば
ACRとBPMが合同より出ます
　　 10月23日（木） 0:35:32　　 　　42561
ベルク・カッツェ
＞しらすさん
なるほど、正三角形ができて、二辺と間の角が等しくなる訳ですね。
これですっきりしました、ありがとうございます。
　　 10月23日（木） 0:43:57　　 　　42562
Mr.ダンディ
AMをM側に伸ばした延長線上に、MR=8となる点Rを取ると
△MBR≡△MCA　となり　BR=CA=7
BからPRい下した垂線をBH　とすると、∠BMH=60°より　
MH=3/2=1.5
→　PM=RH=6.5 となり　△BPH≡△BRH
∴　BP=BR=7
メネラウスの定理より　BP:PQ=13:3　となるから
PQ＝7*(3/13)＝21/13
と求めました。
(数学で答えを出していおいてから、計算途中の値を参考にこの解法を見つけました）

〔追記〕２行目にタイプミスがあったので修正いたしました。
（uchinyanさんご指摘ありがとうございました。
　　 10月23日（木） 16:50:29　　 　　42563
ゴンとも
∠AMC=60°は使わなくてもできました。

座標にM(0,0),C(3,0),B(-3,0)として
点M,Cを中心にそれぞれ半径8,7の円の交点として点Aを求め　より
点Pが求まり,点A,Cを通る直線を求め,点P,Bを通る直線を求め
その交点として点Qを求め点Pとの距離を三平方で求めるこれは　xmaxima では

e1:x^2+y^2=64$
e2:(x-3)^2+y^2=49$
solve([e1,e2],[x,y])$
part(%,2)$
rhs(part(%o4,1))$
rhs(part(%o4,2))$
e3:%o6=k*%o5+l$
e4:0=k*3+l$
solve([e3,e4],[k,l])$
part(%,1)$
e5:y=rhs(part(%o10,1))*x+rhs(part(%o10,2))$
e6:%o6*5/8=k*%o5*5/8+l$
e7:0=k*-3+l$
solve([e6,e7],[k,l])$
part(%,1)$
e8:y=rhs(part(%o15,1))*x+rhs(part(%o15,2))$
solve([e5,e8],[x,y])$
part(%,1)$
sqrt((%o5*5/8-rhs(part(%o18,1)))^2+(%o6*5/8-rhs(part(%o18,2)))^2);21/13・・・・・・(答え)
豊川市　　 10月23日（木） 1:01:58　　 　　42564
baLLjugglermoka
BCを延長して、AM＝８を一辺とする正三角形AMRを作る。CR上に��PMSが正三角形になるような点Sをとれば、��BPS∽��ACRなので、BP=7となる。

又、問題の条件からBP:PQ=13:3なので、7×3/13=21/13

と書いたら、上手く解いたようにみえますが、初めは三平方の定理で答えを出して、回答して、正解者掲示板の#42558〜#42560のBP=7をみて、この解法を思いつきました。３人とも流石です。

BQ=AMという予想は見事に外れました(センスなさすぎの発想ですね(汗))

ていうか相変わらず図形問題は超苦手です...
　　 10月23日（木） 0:55:17　　 　　42565
あめい
座標で三平方で出しました。
みなさんのを見せていただきながら算数で求めてみました。（いまだにメネラウスの定理が使えないのも理由ですが）
#42561のシラスさんの合同な三角形を使わせていただいて、
ＡＭ上にＭＲ＝３となる点Ｒをとり、ＲＣを結ぶと△ＰＢＭ≡△ＡＣＲ　よって ＢＰ＝７
Ｐを通るＢＣの平行線とＡＣとの交点をＳ，Ｐを通るＡＣの平行線とＢＣの交点をＴとおくと、
△ＡＰＳ∽△ＡＭＣで相似比が３：８なのでＰＳ＝９／８
ＰＳ＝ＴＣなのでＢＴ＝６−９／８＝３９／８
△ＰＢＴ∽△ＱＰＳより　　３９／８：７＝９／８：ＰＱ　∴ＰＱ＝２１／１３
お馬崎　　 10月23日（木） 2:13:18　　 　　42566
ma-mu-ta
AM上にMR＝MC＝3となる点Rをとり、CRを結ぶと、
△MCRは正三角形で、△PBM≡△ACR となるから、BP＝CA＝7
BM：MC＝3：3 より、CPを結んで △ABP＝△ACP＝�� とすると、
AP：PM＝3：5 より、△PBM＝△PCM＝��
BP：PQ＝凹四角形ABCP：△ACP＝(��＋�ァ椨�)：��＝13：3
したがって、PQ＝BP×3/13＝7×3/13＝21/13
　　 10月23日（木） 2:34:33　　 　　42567
仮面浪人クウガ
メネラウスの定理よりＡＱ:ＱＣ=3:10だからＡＱ=21/13
∠ＭＡＣ＝θとして��ＡＭＣに余弦定理を用いてcosθ=13/14
��ＡＰＱに余弦定理を用いてＰＱ=21/13 ,,

∠ＡＭＣ＝６０の条件を使わなかったので不思議に思いましたが
正三角形を使う解法をみて腑に落ちました。
　　 10月23日（木） 6:22:41　　 　　42568
今年から高齢者
あーでもない、こーでもないの末、PQの基準になる長さとしてBPを求めるのに三平方の定理に走ってしまいました。
その際、196の平方根を16としたり、13を11と書き間違えて、長時間をロス．．．。
　　 10月23日（木） 7:51:35　　 　　42569
巷の夢
��ＢＭＰの角Ｍは120°、因って、余弦定理よりＢＰ＝７となる。メネラウスの定理よりＰＱ：ＢＰ＝３：１３であるからＰＱ＝２１/１３となる。
真白き富士の嶺　　 10月23日（木） 8:01:38　　 　　42570
Jママ
こんにちは
うっかりすっかり日を勘違いしてました…orz
算数で粘るも結局座標でした。
皆さんのようにBP=7となる三角形の合同に気づけば
解けたのですが…センスの問題かな(笑)
いつも良問をありがとうございます♪
　　 10月23日（木） 11:25:07　　 　　42571
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，算チャレとしては標準的で，個人的には何故かホッとする問題でした (^^;
こんな感じで。

∠AMC = 60°に注目して，BC の延長上に △AMD が正三角形になるような点 D をとり，
BQ を延長し AD との交点を R，M から BQ に平行な線を引き AC，AD との交点を S，T，とします。
△AMD が正三角形より，∠MAD = ∠ADM = ∠AMD = 60°，AD = DM = AM = 8 cm，です。
MT//BR，DT：TR = DM：MB = 8：3，TR：RA = MP：PA = 5：3，DT：TR：RA = 40：15：9，DA：RA = 64：9，
AR = AD * RA/DA = 8 * 9/64 = 9/8 cm，です。
ここで，△APR と △MAC に注目すると，∠PAR = 60°= ∠AMC，AP：AR = 3：(9/8) = 8：3 = MA：MC，なので，
△APR ∽ △MAC，∠RPA = ∠CAM，となって，∠QPA = ∠QAP，△QAP は QA = QP となる二等辺三角形，です。
つまり，PQ = QA なので，QA を求めればいいです。そこで，
MS//BQ，CS：SQ = CM：MB = 1：1，SQ：QA = MP：PA = 5：3，CS：SQ：QA = 5：5：3，CA：QA = 13：3，
QA = CA * QA/CA = 7 * 3/13 = 21/13 cm，となるので，
PQ = QA = 21/13 cm，になります。

なお，皆さんお気付きと思いますが，△AMC は３辺の長さが与えられているのでそれだけで三角形は確定し，
もちろん，矛盾はしない設定になっていますが，∠AMC = 60°は実は不要です。
実際，数学ではこの条件なしに解けます。
多分，これは算数として解くために必要なんだろう，と思います。ホント？ (^^;
ネコの住む家　　 10月23日（木） 11:49:29　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42572
CRYING DOLPHIN
#42572
「AC＝7cm」の条件がなくても、算数の範囲でその値が求まることは確認しました。
ただし、△ACMを3つ並べて一辺11cmの正三角形をつくるという、現状の本質とは
かなりずれた方法になりますが。
誰もいない市街地　　 10月23日（木） 13:39:56　　 HomePage:ブログもある　　42573
ハラギャーテイ
遅くなりました。三角関数です。でも面倒くさかったです。
山口　　 10月23日（木） 13:56:27　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42574
マサル
ご指摘の通り、今回の問題には冗長な条件があります。その意味で、ちょっと出来には不満だったりします....。（3:5:7の三角形の存在も、業界では良く知られていますし）
iMac　　 10月23日（木） 14:39:28　　 HomePage:算チャレ　　42575
uchinyan
掲示板を読みました。

うーむ，結構，まずは数学で解いた，という書き込みが多いようです。
算チャレとしては，標準的，かと思いましたが，やや難，かも知れないな。
それと，まず，BP = 7 cm，又はそれと等価な部分の長さ，を求める算数解法が多いようです。
これと全く関係しない解法は#42572ぐらいだけかな。
いずれにせよ，BQ 方向の長さの情報がないので，何らかの方法でそれを求めることになりますが，
これには，二等辺三角形又はそれと等価な合同，を使う点では一致しているようです。

#42558，#42566
BP = 7 を求め，その後，比を使って解く解法。
BP = 7 の求め方としては，例えば，
△ACM において C から AM に MR = 3 となる R を引いて考える，
#42560，#42563，#42565，のように考える，
△MBP を三つ用意して正三角形を作る，
などの方法があります。
比の部分は，例えば，#42566の他に，
M から BQ に平行な線を引き AC との交点を M'，Q から AM に平行な線を引き BC との交点を Q'，として，
CM'：M'Q：QA = 5：5：3，CQ：QA = 10：3，BM：MQ'：Q'C = 13：3：10，BP：PQ = BM：MQ' = 13：3，
PQ = BP * 3/13 = 21/13
とか，#42567のように面積比を使う，メネラウスの定理を使う，などがあります。

#42560
△PBM を M を中心に 180°回転して △RCM を作り，△SMC が正三角形となる点 S を AM 上に取って考える解法。
対称性，BQ//RC，などにより，△ARC と △APQ は相似な二等辺三角形，であることを利用します。

#42563
AM の延長上に MR = 8 となる点 R，B から PR に下した垂線を BH，とし，
△MBR ≡ △MCA，△BPR は BP = BR の二等辺三角形，メネラウスの定理，などを使って解く解法。
#42560と少し似た解法です。
ただし，
＞△MBC≡△MCA
は，△MBR ≡ △MCA，の書き間違いでしょう。

#42565
BC を延長して AM = 8 を一辺とする正三角形 AMR を作り，CR 上に △PMS が正三角形になるような点 S をとり，
△BPS ∽ △ACR ，BP = 7，BP：PQ = 13：3，などより求める解法。

#42567
AM 上に MR = MC = 3となる点 R をとり 正三角形MCR を作り合同を使って BP = CA = 7 を求め，
その後，面積比を使って，BP：PQ = 13：3，を求め解く解法。
メネラウスの定理の代わりに面積比hを使った感じですね。

#42572
BC の延長上に △AMD が正三角形になるような点 D をとり，
BQ を延長し AD との交点を R，M から BQ に平行な線を引き AC，AD との交点を S，T，として，
相似を使って PQ = QA を示して解く解法。

#42557，#42564，#42568，#42569，#42570，#42571，#42574
数学による解法。

なお，条件過多に関しては，マサルさんからも#42575で肯定のコメントがありました。
また，#42573
＞「AC＝7cm」の条件がなくても、算数の範囲でその値が求まることは確認しました。
＞ただし、△ACMを3つ並べて一辺11cmの正三角形をつくるという、．．．
なるほど，確かに可能ですね。
しかし，AC = 7 cm を隠すと，算数としては難易度が上がりそうな気もしますね。
ネコの住む家　　 10月23日（木） 16:14:18　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42576
ましゃ
う〜ん。くやしい。数学的に解いてしまった。
ＢＰ＝７を出しての解法です。
　　 10月23日（木） 16:36:52　　 　　42577
次郎長
全く閃かなかった。
朝問題見て、大阪への阪急電車（の中で解けば解けるというのが私のジンクス）でも解けず、帰りは阪神電車の中で座標を使った強引に答えを求めました。皆さんのを見て勉強します。どこから取り組んだらよいのか全く分からず。
　　 10月23日（木） 20:03:33　　 　　42578
数樂
既出ならごめんなさい。
こうやって解きました。http://www.mathtext.info/sanchare/sanchare907.pdf
徳島県　　 10月24日（金） 3:34:50　　 HomePage:数樂　　42579
数樂
下の解法　間違ってたらごめんなさい。m(_)m
徳島県　　 10月24日（金） 3:36:41　　 HomePage:数樂　　42580
おすまん
中線がらみだったので、算数(若しくは、初等幾何）で解こうと
頑張りましたが、give up … orz

結局、余弦定理でBP=7cm を求めてからメネラウス、でした。

somewhere in the world　　 10月27日（月） 1:02:34　　 　　42581