今年から高齢者

図がうまく描けず、とりあえずエクセルを使った数値計算で、5桁目まで合えばよしとして。 三角関数（逆関数）で頂角の合計角度を合わせて、三平方の定理、ヘロンの公式、みんな動員。 これでは算数でも数学でもなさそう。疲れた．．．。 あとはこれから考えます。

11月13日（木） 8:56:12　　 　　42630

しらす

寝て起きてもなにも思いつかないので 行きの電車で数学でごり押しすると 4*√(2/3)*√(√(3/5)+√(27/35)+√(6/7))* √(√(3/5)-√(27/35)+√(6/7))*√(√(3/5)+√(27/35)-√(6/7))*√(-√(3/5)+√(27/35)+√(6/7)) =144/35となったはいいものも算数解放が全く思いつかず

11月13日（木） 9:05:29　　 　　42631

ユートニウム

私も算数解法が全く思い浮かばないです。。

11月13日（木） 9:29:18　　 　　42632

ベルク・カッツェ

まず並べ替えでア、イ、ウを三辺とする三角形を作ることを考えました。 ただそのままでは解けそうになかったので、少し工夫を。 並べ替えで同じ長さ同士を合わせる、直角を利用して、直線を作る、合計180度、360度を利用する。 まず三角形ABCを、Aからの垂線で二等分します。そして斜辺同士を合わせると、線対称な四角形ができます。 もとの図形でBCの中点とMとすると、MからACに卸した垂線は相似によりアの半分。よって並べ替えた四角形の直角同士を結ぶとアと同じ長さができます。 頂角の合計が180度なので底角の合計は360度になります。よって残り2つの三角形も同様に四角形にして、BCEFHIを中心に並べると、大きな三角形ができ、その中に求める三角形ができます。 もとの三角形の底辺が等しいから面積比＝高さの比となり、出来上がった大きな三角形の辺を分割する比が分かるので、面積と辺の比より答えは144/35となります。 普段図形はあまり得意でないのですが、今回は珍しく10分ほどで簡単に出てきました。

11月13日（木） 10:48:52　　 　　42633

ベルク・カッツェ

4+6+8＝18 4×4/（6×7）+3×3/（5×7）+2×2/（5×6）＝27/35 18×（1-27/35）＝144/35 出来上がった三角形の面積はもとの三角形三つの面積の合計、そこから面積と辺の比でいらない部分を除いて、求める三角形の面積を出します。

11月13日（木） 10:58:23　　 　　42635

マサル

この問題、石川県を旅行中、七尾から金沢へ電車で移動中にふと思い浮かんだものです。円に外接する三角形を考え、中心と結んで３つの三角形に分割し、それをそれぞれ折り返して...という単純なネタで、何回も問題化にチャレンジしたのですが、なかなか上手い設定が思い浮かばず...という感じでした。 昨日はあまりに忙しく、問題は作ったものの、数学でチェックするといったことが出来なかったのでかなり不安でした。（まだちょっと不安）更新時のトラブルは、なんと3×5×7を115にしていたという恐ろしいミスで、夜某所に出かけたいたときに気づきましたが、修正できる状況になく...失礼いたしました。m(__)m

iMac　　 11月13日（木） 11:34:12　　 HomePage:算チャレ　　42636

ユートニウム

>ベルク・カッツェ さま ああーー！なるほど！！すごいです！ 勉強になりました！！

11月13日（木） 12:59:32　　 　　42637

CRYING DOLPHIN

昨晩は、二等辺三角形の高さ比が2：3：4であること以外は、これといった手がかりすらつかめず… 今回の問題は解けるかどうか心配でしたが、床屋に向かっている途中でひらめいた！ 問題図の三角形を２つずつ並べると、問われている図形が真ん中に出てくることに！ ttp://cdcdcd.sansu.org/pika/junkfoods/san1-q910-takox3chuten.png あとは図を見てください。。(

誰もいない市街地　　 11月13日（木） 14:16:43　　 HomePage:ブログもある　　42638

CRYING DOLPHIN

問題を解く上では関係ないですが、 >△ＡＢＣ＝４cm2、△ＤＥＦ＝６cm2、△ＧＨＩ＝８cm2 は、問題図から△ＤＥＦと△ＧＨＩの面積条件が逆ですね。

誰もいない市街地　　 11月13日（木） 14:38:14　　 HomePage:ブログもある　　42639

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． うーむ，難しかった。 算数では切ったり貼ったりだろうなぁ，と思っていろいろやってみたもののなかなかうまくいかず， 取り敢えず数学で解いてその後に再考。やっとうまくいったようです。こんな感じで。 BC の中点を M，EF の中点を N，HI の中点を O とし，B，M から AC に下ろした垂線の足を P，Q，とします。 △ABC は AB = AC の二等辺三角形なので，△ABM ≡ △ACM，∠AMB = ∠AMC = 90°，です。 さらに，BP//MQ，ア = BP，より，ア：MQ = BP：MQ = CB：CM = 2：1，ア = MQ * 2，です。 ここで，△ABM を A を中心に反時計回りに回転し AB を AC に重ね M の移動先を M' とすると， AC に関して対称な □AMCM' ができ，MM'⊥AC なので MM' と AC の交点は Q に一致し，MM' = MQ * 2 = ア， さらに，∠MAM' = ∠CAM + ∠CAM' = ∠CAM + ∠BAM = ∠BAC = ∠A， ∠MCM' = ∠ACM + ∠ACM' = ∠ACM + ∠ABM = ∠ACB + ∠ABC = 180°- ∠BAC = 180°- ∠A，です。 同様にして，△DEF に対して □DNFN'，△GHI に対して □GOIO'，を作ると， イ = NN'，∠NDN' = ∠D，∠NFN' = 180°- ∠D，ウ = OO'，∠OGO' = ∠G，∠OIO' = 180°- ∠G，がいえます。 ここで，BC = EF = HI，∠A + ∠D + ∠G = 180°，より， CM = CM' = FN = FN' = IO = IO'， ∠MCM' + ∠NFN' + ∠OIO' = (180°- ∠A) + (180°- ∠D) + (180°- ∠G) = 180°* 3 - 180°= 360° に注意して，□AMCM'，□DNFN'，□GOIO' を C，F，I が一点に，M = N'，N = O'，O = M'，となるように集めると， ∠AMC = ∠DN'F = ∠DNF = ∠GO'I = GOI = ∠AM'C = 90°，なので，△ADG ができます。 そして，ア，イ，ウ を３辺とする三角形は △MNO になります。そこでこの面積を求めればいいです。 まず，△ADG = □AMCM' + □DNFN' + □GOIO' = △ABC + △DEF + △GHI = 4 + 6 + 8 = 18 cm^2，です。 さらに，∠MAM' = ∠A，∠NDN' = ∠D，∠OGO' = ∠G，より， △AMO = △ABC * AM/AD * AO/AG = △ABC * AM/(AM + DM) * AO/(AO + GO) = △ABC * AM/(AM + DN) * AM/(AM + GO)， △DNM = △ABC * DN/DG * DM/DA = △ABC * DN/(DN + GN) * DM/(DM + AM) = △ABC * DN/(DN + GO) * DN/(DN + AM)， △GON = △ABC * GO/GA * GN/GD = △ABC * GO/(GO + AO) * GN/(GN + DN) = △ABC * GO/(GO + AM) * GO/(GO + DN)， △MNO = △ABC - △AMO - △DNM - △GON ここで， AM：DN：GO = ((△ABC * 2)/BC)：((△DEF * 2)/EF)：((△GHI * 2)/HI) = △ABC：△DE：△GHI = 4：6：8 = 2：3：4 なので， ア，イ，ウ を３辺とする三角形 = △MNO = △ABC - △AMO - △DNM - △GON = △ABC - △ABC * 2/(2 + 3) * 2/(2 + 4) - △ABC * 3/(3 + 2) * 3/(3 + 4) - △ABC * 4/(4 + 2) * 4/(4 + 3) = △ABC * (1 - 2/15 - 9/35 - 8/21) = △ABC * (1 - 27/35) = △ABC * 8/35 = 18 * 8/35 = 144/35 cm^2 になります。

ネコの住む家　　 11月13日（木） 15:41:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42640

uchinyan

掲示板を読みました。 うーむ，今回は皆さんも苦労されているようですね。 いつもの常連さんでもまだ正解に至っておられない方が多いようですし，正答率も低いようです。 算数解法としては．．． #42633＋#42635，#42640 それぞれの二等辺三角形を半分にし並べ替えて四角形を作り，さらにそれらを集めて三角形を作って考える解法。 #42638 それぞれの二等辺三角形を二つずつ並べて四角形を作り，さらにそれらを集めて六角形を作って考える解法。 実は，この二つの解法は等価です。後者は前者の辺の長さにして２倍の三角形が出てきます。 私も最初は#42638のように考えたのですが，その辺が２倍の三角形の面積を出そうとしてうまくいかず， 一度は数学で答えを出しました。その際に BC などの中点に注目すればいいことに気付き， また，どうせ後で半分にするなら最初から半分にするか，と思って，#42640のようになりました。 結果として，#42633＋#42635と全く同じでしたね。 なお，数学でもそれほど簡単にはいかないようです。 今回は解法が少なくてつまらないので，ご参考までに，私の数学解法を書いておきますね。

ネコの住む家　　 11月14日（金） 13:41:29　　 　　42641

南京都卒

凄くよく出来た問題だと思いました。 あれこれ考えて、あ、なんか出来たといった感じです。 パズルを解いているみたいでとても楽しかったー

11月14日（金） 13:38:59　　 　　42643

uchinyan

私の数学解法です。 条件を式にして計算するだけという単純な方法ですが，少し工夫をしないと計算が大変になります。 数学の単純な方法でもう少し簡単にできないのかな。 BC の中点を M，EF の中点を N，HI の中点を O とし，∠BAC = 2α，∠EDF = 2β，∠HGI = 2γ，とします。 さらに，BC = EF = HI = 2x とすると，面積の条件より，AM = 4/x，DN = 6/x，GO = 8/x，となり， tanα = x^2/4，tanβ = x^2/6，tanγ = x^2/8 角度の条件より，α + β + γ = 180°/2 = 90°，なので， tan(α + β) = tan(90°- γ) = 1/tanγ，(tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ) * tanγ = 1， (x^2/4 + x^2/6)/(1 - x^2/4 * x^2/6) * x^2/8 = 1，(10x^4)/(24 * 8 - 8x^4) = 1， 10x^4 = 24 * 8 - 8x^4，18x^4 = 24 * 8，x^4 = (16 * 6)/9，x^2 = 4√6/3 これより，三平方の定理を使って， AB^2 = BM^2 + AM^2 = x^2 + 16/x^2 = 4√6/3 + 16/(4√6/3) = 4√6/3 + 2√6 = 10√6/3 DE^2 = EN^2 + DN^2 = x^2 + 36/x^2 = 4√6/3 + 36/(4√6/3) = 4√6/3 + 9√6/2 = 35√6/6 GH^2 = HO^2 + GO^2 = x^2 + 64/x^2 = 4√6/3 + 64/(4√6/3) = 4√6/3 + 8√6 = 28√6/3 ア = a，イ = b，ウ = c，として，面積の条件を使って， a^2 = ((△ABC * 2)/AB)^2 = ((4 * 2)/AB)^2 = 64/AB^2 = 64/(10√6/3) = 16√6/5 b^2 = ((△DEF * 2)/DE)^2 = ((6 * 2)/DE)^2 = 144/DE^2 = 144/(35√6/6) = 144√6/35 c^2 = ((△GHI * 2)/GH)^2 = ((8 * 2)/GH)^2 = 256/GH^2 = 256/(28√6/3) = 32√6/7 ア，イ，ウ を３辺とする三角形の面積を S とすると，ヘロンの公式より， (4S)^2 = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) = (- a^2 + (b + c)^2)(a^2 - (b - c)^2) = - a^4 + 2(b^2 + c^2)a^2 - (b^2 - c^2)^2 = - (16√6/5)^2 + 2(144√6/35 + 32√6/7)(16√6/5) - (144√6/35 - 32√6/7)^2 = - 1536/25 + 2(304√6/35)(16√6/5) - (16√6/35)^2 = - 1536/25 + 58368/175 - 1536/1225 = (- 75264 + 408576 - 1536)/1225 = 331776/1225 S^2 = 20736/1225 = (2^8 * 9^2)/35^2 = (144/35)^2 S = 144/35 つまり，ア，イ，ウ を３辺とする三角形 = 144/35，になります。

ネコの住む家　　 11月14日（金） 13:46:35　　 　　42644

baLLjugglermoka

今回の問題は、僕が図形問題が超苦手なうえ、難易度もとんでもなかったので、解くのにめちゃくちゃ時間が掛かりました。でも、24時間以内に解けたのでよしとします。 解法は#42638と同じです。

11月14日（金） 22:22:01　　 　　42645

スモークマン

やっとこどっこい…^^; 最初の１０分くらい正解者０だったので...芽茶難しい問題なんだと… いろいろ考えてもわからず...諦めてごりごりの計算で…^^;; #42644 uchinyanさんの計算はスマートね☆ 図形的な解法は凄いですねぇ☆ って...見ても求め方がよくわからなかったりしてるわたしです^^;;…熟読玩味ぃ〜Orz〜

金即是空 ^^;v　　 11月14日（金） 23:27:50　　 　　42646

Jママ

こんにちは 難しかったですが面白い問題でした。 一辺が5(2+3):7(3+4):6(4+2)の三角形の 3つの角度がそれぞれの二等辺三角形の頂角と 等しくなることに行き着いたのですが、その内接円との 接点を結んだ三角形がそのまま求める形になることには 後からしか気がつきませんでした。←目が節穴 初めは三角関数とヘロンの公式で計算ミスして 144/25となってしまい、苦労したのに入れなかった、 と半ばふてくされかけたのを思い直して 向き直ったらベルク・カッツェさんと等しい 考え方に気がつき算数での144/35となりました。

11月15日（土） 15:42:38　　 　　42647

巷の夢

やっと入れました。CRYING DOLPHIN様の図は直ぐにかけたのですが、ベルク・カッツェ様の面積比から合計したものを引くという発想が出ず、ずっと三つの三角形の斜辺の二つの長さの比にこだわり、最後は各々の正接の比から、底辺の長さの４乗が512/3となることからやっと辿り着きました。疲れました。

11月16日（日） 15:10:03　　 　　42648

次郎長

疲れ果てました。 こんな複雑な計算をするはずがないと心が折れそうになりながら、辿り着きました。皆さんの模範解答は時間を見つけてゆっくりと。ああしんどかった

11月16日（日） 21:06:23　　 MAIL:okada-masayoshi@topman.co.jp 　　42649

Mr.ダンディ

今回は特に難しかった。（連続正解が途切れそうで冷や汗ものでした） 力技でどうにか正解に至ったので、これから皆さんの解法を勉強させてもらいます。

11月16日（日） 21:13:16　　 　　42650

マサル

すみません、昨日は夕方ごろに急に、どうしても断れないお誘いが入り、急遽中止ということになってしまいました。申し訳ありません。てきとーな問題で更新しちゃおうか、とも思いましたが、ちょうど前回（現在公開中のもの）の難度が高く、正解者も少ないようでしたので、期間延長という感じでお休みとさせていただきました。m(__)m

MacbookPro　　 11月20日（木） 15:32:03　　 HomePage:算チャレ　　42651

ハラギャーテイ

やり方は正しかったのですが、計算式を打ち込むのに 苦労しました。MATHEMATCAで方程式は数値計算です。 最後はヘロンの公式でした。

山口　　 11月19日（水） 7:50:05　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42652

てい

おもしろかった。それぞれの二等辺三角形を頂角の二等分線で分割し，斜辺でつないで作った四角形を３つ底辺だった辺でつなげば，３辺が５：６：７の三角形ができます。求める三角形はそれらの辺を２：３，２：４，４：３に内分する点を結んだ三角形ですね。

11月19日（水） 13:11:58　　 　　42653

ヤッコチャ

一週間ぶりに考えると、C-Dさんの#42638の図と同じで、やっと辺の比と面積比の関係に気付きました。今回の問題は大変面白い問いだと思います。

11月20日（木） 4:26:51　　 　　42654

ハラギャーテイ

習慣になっているので、算チャレを解こうと思って来てみました。 禁断症状が起こらなければ良いのですが、頭を活性化させる ボケ防止は今週に何をしましょう？

山口　　 11月20日（木） 4:41:07　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　42655