CRYING DOLPHIN
12.5で入れるけど25/2では入れないのね。

円に内接する四角形より、対角の和が180度(※)。
※とAB＝AD＝5cmの条件より、△ADCをAを中心に時計回りに回転させ、
ADとABが一致するようにすると、四角形ABCDは△AECに変形できる。
Bは辺ECを2：3に分ける。また、AからECに向けて垂線AHを下ろすと、
EH＝CHより、EB：BH：HC＝4：1：5となる。(★)
△ABHの面積は、お馴染みの(30-75-75)型三角形の面積の半分より、
5×2.5÷2÷2＝25/8cm^2。
★より、△ABE＝△ACDの面積は△ABHの面積の4倍より、25/8×4＝25/2cm^2。

※の部分は厳密には数学ですが、ここをうまく算数で説明する方法は…？
誰もいない市街地　　 2月12日（木） 0:24:03　　 HomePage:ブログもある　　42906
deu
久しぶりにリアルタイムで参加できました．
#42906 とほとんど同じです．
※は，中心と結んでたくさん二等辺を作れば算数で説明できる，ということなのかな．
　　 2月12日（木） 0:27:47　　 　　42907
スモークマン
やっと気付けましたぁ…^^;
みなさんと同じですが…一応アーカイブすをば Orz...
右の△を回転したら、2辺がACの二等辺三角形…
Aから底辺に対線を降ろすと…
頂角30°斜辺5の二等辺三角形(底辺(1))=5*(5/2)*(1/2)=25/4
△ACDの底辺は(2)なので…(25/4)*2=25/2
♪
さいしょ...円周角やらを使って考えてたり…^^;
金即是空 ^^;v　　 2月12日（木） 0:41:32　　 　　42908
Mr.ダンディ
とりあえず、AからBCへの垂線を下した垂線をAHとし
△ACDをADがABに重なるように回転させたとき

三角関数をつかって
△ABH=(1/2)*5sin75*5cos75
=(25/4)*sin150＝25/8
△ACD=AC'D=△ACH*4＝25/2

と求めた後、算数の範囲で考えたところ
#42906とまったく同じ計算式となりました。
-----------------------------
《※の△ABH=25/8　については、下記の通りで算数の範囲では・・》
BHに関してAと対称な点をA'とし、A'から直線ABに下した
垂線をA'H'とすると∠A'BH'=30°より
A'H'=BA'/2=5/2
△ABH=△ABA'/2=(1/2)*5*(5/2)÷2＝25/8
　　 2月12日（木） 0:58:58　　 　　42909
今年から高齢者
算数ではなかなかきっかけがつかめず、三角関数を使ってしまいました。
算数での解き方はこれからです。
　　 2月12日（木） 1:43:33　　 　　42910
今年から高齢者
今日で、算チャレ20年目に入りましたね！（ただ、私が参加したのは２年ほど前からですが）。
19年前の1996年2月12日が第１回でした。一番の長寿番組？ではないでしょうか。スゴイ！
あと一つ、個人的なことですが、ほぼ1年前から過去問を1年ずつ遡りながら解いていて、数日前に全問終了しました。
とは言っても、1年に、0〜2問くらいは解けないのがあって．．．．皆さんの掲示板への書き込みを参考にさせて頂きました。
他にも、1年に数問は何日も気づけなかったのがありました。もう一度同じ問題に挑戦しても、解けるかどうかは自信がありません。多分同じことでしょう。
解答を、MSワードで作成してきたので、文書作成に、解くよりも何倍も時間がかかりました。
でも、面白かった。
もっともっと続けて欲しい。
　　 2月12日（木） 2:06:32　　 　　42911
.
919回な気がします
　　 2月12日（木） 1:04:05　　 　　42912
ベルク・カッツェ
最初のうち図が出ていませんでしたね。
角ACB＝角ACDに気づけば、ACで折り返すと三角形ABCが頂角30度の二等辺三角形になり、求める面積はその2倍なので12.5になります。
　　 2月12日（木） 1:07:24　　 　　42913
ベルク・カッツェ
ちなみに去年の2月10日は私が算チャレを教えてもらった日、もう一年になります。今のところ皆勤賞。
　　 2月12日（木） 1:11:42　　 　　42914
ゴンとも
75度のcos,sinの値と余弦定理ですぐ終わる問題でした。
何回も使っているのでよく値も知っているが
75度のcos,sin(cos(75*%pi/180),sin(75*%pi/180))を xmaxima で求めておくと

rhs(part(solve(trigsimp(trigexpand(cos(2*a)))=cos(150*%pi/180),cos(a)),2))$
load(sqdnst)$
sqrtdenest(%th(2))$
rat(factor(%)),algebraic$
rootscontract(%)$
sqrt(factor(1-%^2))$
sqrtdenest(%)$
rat(%),algebraic$
%th(4);rootscontract(%th(2));
(sqrt(6)-sqrt(2))/4,(sqrt(6)+sqrt(2))/4

ここでBC=3*a,CD=2*aとするとACが共通で余弦定理
5^2+(3*a)^2-2*5*3*a*cos(75*%pi/180)=5^2+(2*a)^2-2*5*2*a*cos(105*%pi/180)　単位円で考えて
(3*a)^2-2*5*3*a*cos(75*%pi/180)=(2*a)^2+2*5*2*a*cos(75*%pi/180)
4*a^2-40*a*cos(75*%pi/180)=0　ここから先は数式処理と手計算で両方でやってみました。

xmaxima で
e1:4*a^2-40*a*(sqrt(6)-sqrt(2))/4=0$
e2:5*2*a*(sqrt(6)+sqrt(2))/8=x$
rhs(part(part(solve([e1,e2],[a,x]),2),2));25/2・・・・・・(答え)

手計算　で
4*a*(a-10*cos(75*%pi/180)) ここで先の値より
4*a*(a-5*(sqrt(6)-sqrt(2))/2)=0 より　a=5*(sqrt(6)-sqrt(2))/2
△ADC=AD(=5)*CD(=2*a=5*(sqrt(6)-sqrt(2)))*sin(75*%pi/180)/2 ここで先の値より
△ADC=5^2*(sqrt(6)-sqrt(2))*(sqrt(6)+sqrt(2))/8=25/2・・・・・・(答え)
豊川市　　 2月12日（木） 2:05:36　　 　　42915
baLLjugglermoka
円周角を使ってしまいました。特に平面図形問題は数学解法に頼るという悪い癖が(笑)

∠D=105度なので、BC上に∠BAE=30となるEをとれば、2��ABE=��ACDなので5×2.5=12.5。#42913では角ACB＝角ACDは円周角の性質を使わずにどうやって導けばよいんだろう.....

算数解法はこれから考えます。
　　 2月12日（木） 1:45:03　　 　　42916
4329日目の解答者
BC=3x、CD=2xとすると、余弦定理より
AC^2=AB^2+BC~2-2AB・BCcos75°=25+9x^2-30xcos75°
AC^2=AD^2+CD^2-2AD・CDcos105°=25+4x^2+20xcos75°
よって25+9x^2-30xcos75°=25+4x^2-20xcos75°なのでx=10cos75°
よって��ADC=AD・DCsin75°/2=5・20cos75°sin75°/2=(5・10/2)・2sin75°cos75°=25sin150°=25/2
と三角関数という高校で習う知識をふんだんに使って解いたんだがこれでよかったのだろうか
　　 2月12日（木） 2:17:31　　 　　42917
Lives学園算数科担当
三角形ADCをひっぺがして、くるっと回してもう一回くっつけると、上底：下底が２：３の等脚台形が出来て、あとは5�僂諒森埓�補助線を引いて頂角30度の二等辺三角形を作って、5×2.5÷2×2で終了！
　　 2月12日（木） 2:39:45　　 MAIL:e.livezemi@gmail.com 　　42918
今年から高齢者
#42916
円の中心ＯとＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを結ぶと４つの二等辺三角形ができて、��ＯＡＣを含めて５つ。このうち��ＯＡＢと��ＡＯＤは合同なので４種の底角ができる。
��ＡＣＢと��ＡＣＤの内角の和がそれぞれ１８０度とした関係から、∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤが得られます。
　　 2月12日（木） 3:29:31　　 　　42919
ハラギャーテイ
おはようございます。円周上なのでDが動かせるので
１／２＊５＾２でした。
春が楽しみです。
　　 2月12日（木） 7:10:49　　 　　42920
数樂
間違って△ABC (75/4) を送っていました
そして、新たに台形の面積 (125/4) を送っていました。

とほほ
ごりごり数学で解きました。
3k, 2kとおいて余弦定理など・・・orz
徳島県　　 2月12日（木） 8:54:45　　 HomePage:数樂　　42921
数樂
台形じゃないや四角形の間違い↓ m(_)m
徳島県　　 2月12日（木） 11:42:04　　 HomePage:数樂　　42922
吉川マサル
今回の問題、適当に（すみません）10分くらいで作ったものです。こういう、元ネタありの問題って、作るほうは簡単なんですよね..。ただ、そうやって作って、何度も痛い目に遭っている（あまりに単純すぎる別解があったとか）ので、チェックは少し慎重にやりましたが。

というわけで、どうやら算チャレを始めてから本日でちょうど１９年だったようです。これからもよろしくお願いします。m(__)m
iMac　　 2月12日（木） 12:01:31　　 HomePage:ARENA　　42923
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，難しくはないと思いますが，円の絡んだ図形問題はどこまでが算数かよく分からないので困りもの。
一応，こんな感じで。

弧AC 上に EC = 5 cm = AD = AB となる点 E を取ります。
すると，弧CE = 弧AD，弧EA = 弧DC，EA = DC，これより，△ADC ≡ △CEA，で，
さらに，AB = EC と円の対称性から □ABCE は等脚台形になります。
そこで，A から EC に平行な線を引き BC との交点を F とすると
□AFCE は平行四辺形，AE = FC，EC = AF，△CEA ≡ △AFC，△ABF は AB = AF の二等辺三角形，です。
ここで，BC：FC = BC：AE = BC：CD = 3：2 なので，BF：FC = 1：2 がいえます。
そこで，△ABF で，∠ABF = ∠AFB = 75°，∠BAF = 30°，AB = AF = 5 cm，より，
△ABF = 5 * (5 * 1/2) * 1/2 = 25/4 cm^2
△ADC = △CEA = △AFC = △ABF * 2 = 25/4 * 2 = 25/2 cm^2
になります。

AB = AD，弧AB = 弧AD，円周角一定の定理より ∠ACB = ∠ACD，△ADC を AC に関し折り返す，
の方が若干楽なのですが，算数とは言えないんですよね。
ネコの住む家　　 2月12日（木） 12:36:03　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　42924
あめい
ずっと、BC:CD=3:2を弧BC:弧CD=3:2と読んでいて、何度やっても答がルートになってしまい、あきらめようとしていたところでやっと辺の比だと気がつきました。
AからBCの垂線を引き交点をE,Bの反対側にBE=EFとなる点をとり、AFを結ぶ。CDの延長線にAから垂線を引き交点をGとする。
直角三角形の合同より、△ABE≡△AFE≡△ADGよって、△AFC≡△ADC
するとBC:CD=3:2より、CD=２BFとなり△ADC=２△ABF
△ABFは頂角30°、等しい辺が５ｃｍの三角形なので、BからAFに垂線BHを引くとBH=５／２，よって△ABF=１／２＊AF*BH=１／２＊５＊５／２＝２５／４
よって△ACD=25/2となりました。算数範囲でしょうか?
　　 2月12日（木） 13:20:21　　 　　42925
あめい
∠ABC=７５°のとき、∠ADC=１０５°を使ったのですが、これは算数範囲なのでしょうか?
マサルさん、１９年目ですか、おめでとうございます（いつもありがとうございますかな？）。あらためてすごいの一言です。これからも難しい問題お願いします。
　　 2月12日（木） 13:27:01　　 　　42926
ベルク・カッツェ
＞あめいさん
円周上の点から中心に半径を引いて二等辺三角形を作ると説明できますね。定理より、とすると数学になってしまいますが、自分で考えて説明できればOKだと思います。
　　 2月12日（木） 14:23:28　　 　　42927
あめい
ベルク・カッツェさん、ありがとうございます。
算数にチャレンジ！という以上算数で(数学を知らないのも大きい）解こうと思うのですが、１勝２敗くらいです。
　　 2月12日（木） 14:29:27　　 　　42928
ベルク・カッツェ
別に数学でもなんでも使っていいと思いますが、せっかくだから算数で解きたいものですよね。
私も一回三平方を使ってしまったことがありますが。
　　 2月12日（木） 14:33:05　　 　　42929
数樂
算数でいけたかも？既出ならごめんなさい。
△ＡＤＣを回転させて△ＡＢＣにくっつけると、等脚台形ができる。
錯角が等しく、75°、75°、105°、105°このとき上底：下底＝2：3
でその台形を延長すると二等辺三角形ができる(頂角30°)
台形の脚の長さは5cmで上底と下底の比から、二等辺三角形の等しい2辺の
長さは15cm。
この二等辺三角形の面積は頂角が30°だから、15×15/2×1/2＝225/4である。
この二等辺三角形と台形の面積比は相似比から9：5
よって台形の面積は
225/4×5/9＝125/4
上底：下底＝2：3より
求める面積は
125/4×2/5＝25/2
こんな感じです。
　　 2月12日（木） 15:09:38　　 HomePage:数樂　　42930
数樂
下の書き忘れ
△ＡＤＣを回転させて、ＡＢにくっつけると二等辺三角形になるので、
ＡＣは∠ＢＣＤの二等分線である。
　　 2月12日（木） 15:18:41　　 HomePage:数樂　　42931
uchinyan
(皆さんの書き込みの様子を見て少し修正しました。)

掲示板を読みました。やはり，皆さん算数と数学の狭間かな。
まぁ，別に試験ではないので，そこらは適当でいいとは思います (^^;

#42906，#42907，#42908，#42909の後半，#42931
円に内接する四角形より ∠ABC + ∠ADC = 180°を使い，
△ADC を A を中心に回転し AD と AB を重ね三角形を作って考える解法。
∠ABC + ∠ADC = 180°を示すところが微妙で，算数と中学数学の狭間のような気がします。

#42913
AB = AD，弧AB = 弧AD，∠ACB = ∠ACD，△ADC を AC に関し折り返す，という解法。
∠ACB = ∠ACD を示すところが微妙で，算数と中学数学の狭間のような気がします。

#42916
円に内接する四角形より ∠ABC + ∠ADC = 180°を使い，∠ABE = 30°となる点 E を BC 上に取って考える解法。
∠ABC + ∠ADC = 180°を示すところが微妙で，算数と中学数学の狭間のような気がします。

#42918，#42924，#42930
弧AC 上に EC = 5 cm = AD = AB となる点 E を取ると，□ABCE が等脚台形になることを使う解法。
□ABCE が等脚台形になることを示すところが微妙で，算数と中学数学の狭間のような気がします。

#42919
円の中心を O とし，O と A，B。C，D を結び，角度の関係を調べて ∠ACB = ∠ACD を導き，
後は#42913のように考える解法。
円周角一定の定理は通常このような感じで証明できるので，
そこらを算数として手を抜かずにやった，ということでしょうか。

#42920
＞円周上なのでDが動かせるので １／２＊５＾２でした。
という解法。詳細は不明。

#42925，#42926
A から BC に垂線を下し交点を E，B の反対側に BE = EF となる点 F をとり，
CD の延長線に A から垂線を下し交点を G とすして考える解法。
途中で，直角三角形の合同より，△ABE ≡ △AFE ≡ △ADG，を導いていますが，
多分，ここで，円に内接する四角形の性質を使っているようです。
ここらが微妙で，算数と中学数学の狭間のような気がします。

#42909の前半，#42910，#42915，#42917，#42921
高校数学，三角関数，による解法。

なお，
#42927
＞定理より、とすると数学になってしまいますが、自分で考えて説明できればOKだと思います。
これはもっともな話ですね。ただ，これを認めると極端な話何でもありになるかもですが (^^;
ネコの住む家　　 2月13日（金） 11:43:02　　 　　42932
数樂
下の書き忘れ
△ＡＤＣを回転させて、ＡＢにくっつけると二等辺三角形になるので、
ＡＣは∠ＢＣＤの二等分線である。
　　 2月12日（木） 21:12:51　　 HomePage:数樂　　42933
数樂
↓すいませんリロード押してしまいました。m(_)m
　　 2月12日（木） 21:15:06　　 HomePage:数樂　　42934
ベルク・カッツェ
円周角は使っていません、底辺一定の三角形の面積の比と高さの比が等しいことを利用しました。
ただ図形なので分かりやすく説明するのが難しい・・・。
　　 2月13日（金） 1:17:41　　 　　42935
ベルク・カッツェ
ちなみに105度については二等辺三角形を用いて考えました。
高さの比が2：3になるのは相似な直角三角形を利用。
まず5ｃｍを底辺にして面積が2：3と求め、次にACを底辺にして直角三角形の相似を考えて∠ACB = ∠ACDと分かります。
　　 2月13日（金） 1:27:07　　 　　42936
新井貴浩
三角関数を用いてしまいました。辛いです。
　　 2月13日（金） 20:45:24　　 　　42939
ベルク・カッツェ
私としては全て算数で解いたつもりですが、数学の知識で結果を知っている状態で解いている以上、純粋に算数だけで解いたとはいえないかも知れませんね。
まあそもそも算数と数学に明確な境界がある訳でもないので、ただの自己満足です。
uchinyanさんの分析はいつも楽しみにしていますので、またよろしくお願いします。
　　 2月14日（土） 3:25:13　　 　　42940
老算兵
ＡからＢＣに垂線を引き交点をＥとする
△ＡＢＥをＡＨで折り返すと正１２角形の１／１２ができる
　　これを△ＡＤＦとする
　　　　５×５÷２÷２＝６．２５
△ＡＣＤを点Ａで反時計回りに回転すると
△ＡＣＤが△ＡＤＦの２倍とわかる
　　　　６．２５×２＝１２．５
福岡県　　 2月14日（土） 10:30:14　　 　　42941
新井貴浩
エクソシストオオオ
広島東洋カープ　　 2月14日（土） 20:33:30　　 HomePage:新井貴浩ＨＰ　　42943
ys
マサルさん、問題番号が先週と同じ番号みたいですよ、、、^ ^
　　 2月14日（土） 21:50:42　　 　　42944
物理好き
かなりおくれましたが、19周年おめでとうございます！
私は75度の三角形と105度の三角形を2つずつくっつけて中に150度、5cmの二等辺三角形をつくって考えました。
あと、今回は919回ですね。
大阪府　　 2月15日（日） 20:18:25　　 　　42945
物理好き
今日は、Atsushi Suzukiさんの初正解(1996.02.15 am2:34)から19年のようです。
あと、過去問の915回からの順位が出てきません。
大阪府　　 2月15日（日） 20:28:27　　 　　42946
おすまん
# 19周年、おめでとうございます♪　＞　マサルさん

辺ＢＣ：辺ＣＤ＝３：２ を 弧ＢＣ：弧ＣＤ＝３：２ と
勘違いし続けてました…（涙） あ、仲間がいらっしゃいました（^^ 　＞ あめい さん

ただ、正しく認識したところで、算数での解法はまったく思いつかず、
三角比でゴリゴリやってしまいました… orz

　　 2月16日（月） 13:13:05　　 　　42947
maple
三角比でついついやってしまった……
余弦定理で長さを出せば一瞬………。
　　 2月16日（月） 18:01:35　　 　　42948
maple
三角比でついついやってしまった……
余弦定理で長さを出せば一瞬………。
　　 2月16日（月） 18:02:16　　 　　42949
maple
あれ？二回押した？
　　 2月16日（月） 18:02:41　　 　　42950
物理好き
リロードを押すと同じコメがもう一度投稿されるようです。
ちょっとやってみます。
大阪府　　 2月17日（火） 18:34:06　　 　　42953
ベルク・カッツェ
二等辺三角形の頂角が30度減ったら底角は半分の15度増えますね。
次は15度減って7.5度。
　　 2月19日（木） 0:11:37　　 　　42954
4329日目の解答者
��ABCを直角二等辺三角形と考えてとりあえず答えを出すという卑怯なやり方でここには入った
その後∠BAC=x°とおいて求めるやり方でxに関わらず7.5°になるのを確認した
　　 2月19日（木） 0:15:01　　 　　42955