ベルク・カッツェ
ＡＢを底辺とする正三角形を考えてＰＱの移動を考えると、移動範囲は左右の辺の中点を結んだ長さ6ｃｍの線上になります。
　　 5月5日（木） 0:07:50　　 　　44422
今年から高齢者
ＣＰ＋ＣＱは常に１２ｃｍなので、ＰとＱの中点であるＭとＡＢの距離は常に一定。
故にＣが両端にある場合のＭの距離なので、ＡＢを一辺とする正三角形の中点の長さ６ｃｍと求めました。
　　 5月5日（木） 0:15:46　　 　　44423
CRYING DOLPHIN
ねむひのでかいつまんで。。。(

正三角形DABを考えると、
PとQは必ず△DABの辺上にあり、
四角形DPCQは2組の対角が等しい(60°と120°)ので平行四辺形となり、
PQの中点Mは平行四辺形DPCQの対角線の交点だから、DCの中点でもある。

結局、MはDAの中点〜DBの中点を結ぶ線分上にあるので、
中点連結定理より、長さは6cm。

さてさて、明日も旅に出るので、そろそろ寝ます。。(
誰もいない市街地　　 5月5日（木） 0:14:21　　 HomePage:ブログもある。　　44424
ベルク・カッツェ
もう少し詳しく。
ＡＢを底辺とする正三角形の上の頂点をＤとすると、ＰＤ+ＰＱ＝12なので中点ＭのＡＢからの距離は常に一辺6の正三角形の高さになるため、Ｍの移動は先に書いた範囲になります。
そして今日はこれから麻雀。
　　 5月5日（木） 0:14:39　　 　　44425
ＡＤ１６４の息子
今日は妻の母（義理の母）の８２歳の誕生日で、食事をしたあと、７０歳にして目覚めたカラオケ教室にむけて、ビッ○エ○ーで」デュエットをたくさんして帰ってきました。義理の父は早くに亡くなり、妻は３人姉妹で男は私だけなので・・・
で、最初６ｃｍで応募し、「違う。２で割らなきゃ」であわてて３ｃｍで応募・・・酔っぱらっているので混乱中。その後２分間、掲示板に６でも３でも入れず、どうしたものかと思っているうちに、今度は６で入れました。
こんなに早い時間に応募できたのは始めてなので、要領解ってなくてすいません。
解法としては左右両極端に寄せた図をイメージしました。明日酔いが抜けたら再チェックします。
　　 5月5日（木） 0:16:47　　 　　44426
Mr.ダンディ
ABを1辺とする正三角形ABDを、ABに関してP,Qと同じ側に作ると、P,Qはそれぞれ　DA,DB上にあり
P,M,D,QからABまでの距離をそれぞれ　p,m,d,q とすると
ｍ＝(p+q)/2=d/2 .......一定値
したがって
MはDA,DBの中点を結ぶ線分上を動くことになり
求める値＝12/2＝6（ｃｍ）としました。

〔追記〕CRYING DOLPHINさんの#44424 の「平行四辺形となる」ことによる解法が　いいですね。
　　 5月5日（木） 0:54:20　　 　　44427
Jママ
こんばんは。
ある点Cをとって、C→C'へ動かしたとき
P→P', Q→Q'となったとすると
P,Qは同じ幅だけ横向きに移動し(これは情報としては不要)、
同じ高さだけ上下に逆向きに移動するので、
P'Q'の中点M'はMをABに平行に移動させたものになります。
あとは始点から終点までの水平な長さとしました。
　　 5月5日（木） 0:20:36　　 　　44428
次郎長
一発正解なので書き込み、って威張るほどのことでもないですね。
普段は、木曜に会社へ行ってから仕事中に・・がパターンですが、明日は会社もお休み。しかも朝からたまりにたまったゴミ（段ボール箱や酒の空き瓶や雑誌など）を焼却場に持って行いかされるので、眠いのをこらえて頑張りました。なんとか解けました。
　　 5月5日（木） 0:39:44　　 　　44429
にゃもー君
こんにちは。
仕事に行ったり行かなかったりで、
ＧＷがあるのか無いのか分かりません。
急に夏が来たようで、外に出たら倒れそうになりました。
熱中症に気を付けてください。

今回は、
・点Ｍと線分ＡＢの距離がＡＣの長さによらず一定（つまり軌跡は線分）
・ＡＣが０ｃｍと１２ｃｍの場合の点Ｍの位置（点Ｍがそれぞれ一番左・右の場合）
を考えれば、すぐできましたね。
　　 5月5日（木） 0:51:19　　 　　44430
スモークマン
こんばんは〜
#44424 CRYING DOLPHIN 様と同じでしたぁ ^^☆
何かデジャブーな気がしてますけど…

GWは孫と遊んで(半強制 ^^;でも疲れますけど笑ってくれるのでこちらも楽しくなり)ますが…
早く孫が大きくなって一緒に算チャレを解きたいなぁ〜^^
金即是空 ^^;v　　 5月5日（木） 0:54:04　　 　　44431
あめい
座標で考えました
Ｍ（ＡＣ／２＋３，３√３）となるので、ＭはＡＢと平行。
０≦ＡＣ≦１２なので３〜９までの６。
ところで、ＡＱ，ＰＢの線はなぜ引いてあるのでしょう？△ＡＣＱ≡△ＰＣＢを利用した華麗なる解法（？）があるのではと考えてました。

お馬崎　　 5月5日（木） 0:57:12　　 　　44432
吉川マサル
実は本日、更新日であることを忘れて呑んでました...。気づいたのは23:00。急いで帰宅して、なんとか間に合わせた...という感じです。適当な問題で申し訳ありません。m(_ _)m
iMac　　 5月5日（木） 1:03:53　　 HomePage:算チャレ　　44433
ハラギャーテイ
おはようございます。

１２ｃｍの半分とGuessmateしました。
当たってびっくりです。
山口　　 5月5日（木） 4:11:50　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　44434
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今回も簡単でしたね。算チャレとしても易しい方でしょう。ただ，図形の性質を使うので，普通の小学生にはやや難かも。
すぐに二つ三つの解法を思い付きそうです。一応，二つほど，こんな感じで。

(解法1)
PA//QC，PC//QB，に注意して，M より PA，QB に平行な線を引き AB との交点を K，L，MK と QA の交点を R，とします。
すると，∠MKL = ∠PAC = 60°= ∠QBC = ∠MLK，より，△MKL は正三角形です。
さらに，AK：KC = AR：RQ = PM：MQ = 1：1，より，
MK = MR + RK = PA/2 + QC/2 = (PA + QC)/2 = (AC + CB)/2 = AB/2 = 12/2 = 6 cm，となって，
△MKL は，M の位置，したがって C の位置，に関わらず，一辺 6 cm の正三角形です。
これより，C が動くと，M は，AB = 12 cm を一辺とする正三角形の AB 以外の辺の中点を結ぶ線分を動きます。
そこで，M の動く線の長さは，AB/2 = 12/2 = 6 cm，になります。

(解法2)
AP の延長と BQ の延長の交点を D とします。すると，
∠DAB = ∠PAC = 60°= ∠QBC = ∠DBA より △DAB は一辺が AB = 12 cm の正三角形，D は定点，
∠DAB = 60°= ∠QCB，DA//QC，∠DBA = 60°= ∠PCA，DB//PC，□DPCQ は平行四辺形，
M は対角線 PQ の中点なので対角線 DC の中点でもあり，D と ABの距離は一定なので，M と ABの距離も一定，です。
そして，C が A のとき，P は A，Q は D，M は DA の中点，C が B のとき，P は D，Q は B，M は DB の中点，となって，
C が動くと，M は，△DAB の DA の中点と DB の中点とを結ぶ線分を動きます。
そこで，M の動く線の長さは，AB/2 = 12/2 = 6 cm，になります。

すぐに思い付くバリエーションとしては，
(解法1)で，P，Q，M から AB に垂線を下ろして考える，
(解法2)で，△CPQ を M を中心に 180°回転して考える，
などがあります。また，
C が AB の中点の場合を考えてそれからの増減を調べる，
というような解法もありますね。
　　 5月5日（木） 12:29:23　　 　　44435
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

#44422＋#44425，#44424，#44427，#44431，#44435の(解法2)，#44438
AB = 12 cm を一辺とする正三角形をもとにして考える解法。
詳細を見るといくつかバリエーションがありますが，
まず AB を一辺とする正三角形に言及している解法はこちらにしました。

#44423
PC + QC = AB = 一定 から M と AB の距離が常に一定になることを導きそれを使う解法。

#44426，？#44430，#44437
C が A の場合と B の場合をもとにして考える解法。

#44428，#44435の最後の辺り(ただしアイディアだけ)
C を移動した際の P，Q の移動の様子を調べ M と AB の距離が常に一定になることを導きそれを使う解法。

#44435の(解法1)
M より PA，QB に平行な線を引き AB との交点を K，L とすると △MKL は一辺が 6 cm の正三角形になることを使う解法。

#44432
数学による解法。

#44434
勘による解法？
　　 5月5日（木） 16:24:52　　 　　44436
みかん
今回は軌跡の問題ですが、これって算数の範囲なのかな？

きちんと数式で証明することは求められていないので、図示しやすい端っこや
真ん中の場合を想定してとりあえず作図。算数の範囲でだから、放物線や楕円は
考えないでよいので、直線か円弧かを考える→どうやら直線になりそう

…って感じで解きました。
　　 5月5日（木） 14:54:01　　 　　44437
にこたん
12センチの大きな正三角形の頂点をOとして
Mは平行四辺形OPCQの対角線OCの中点となるので、後は自明。
今日も地震で２回も揺れました。地鳴りがしました。|д゜)
　　 5月5日（木） 16:04:10　　 MAIL:nikotan@fat.coara.or.jp 　　44438
ＡＤ１６４の息子
そうですね。uchinyan様にまとめて頂いたように、ＣがＡ・Ｂに一致するところから解を導いたのですが、みかん様のおっしゃる通り、私の頭の中では、根拠もなく「軌跡が直線になる」だったので、厳密性には欠けますね。まして、昨夜の時点では６ｃｍと回答した後、訳も分からず「中点の問題だから１／２かけなきゃ」と思ってしまうぐらいですから、いくら酔っていたとはいえ「早い正解」と自慢できる内容ではないですね。
義母と歌った「いつでも夢を」「銀座の恋の物語」「あこがれのハワイ航路」etcがまだ頭を駆け巡っているということで、ご容赦ください。
　　 5月5日（木） 16:25:04　　 　　44439
cocogoo
両端と真ん中に来た時及び平行四辺形の予測から今回は苦労せずに解けました。
　　 5月5日（木） 20:18:58　　 　　44440
にゃもー君
点Ｍの軌跡が直線という前提で
解答エントリーしちゃったけど
一応、示しておきたいと思います。

点Ｐ、点Ｑから垂線をＡＢに下ろしたとき
ＡＢとの交点をそれぞれ　点Ｐ’、点Ｑ’
また点Ｐ、点Ｍ、点ＱからＡＢの距離をそれぞれ　p、 m、 qとする。

mが一定であることを示せば、点Ｍの軌跡はＡＢに平行な直線だと示せる。

△ＰＡＰ’と△ＱＣＱ’は、相似な「30°60°90°の直角三角形」
ＰＡ+ＱＣは12�僂函岼貭蝓廚任△襪海箸�ら、
ＰＰ’＋ＱＱ’＝　p+qも「一定」である。

ＭはＰとＱの中点なので、　m=(p+q)/2　
p+qは「一定」なので、mも「一定」

よって、Ｍの軌跡はＡＢに平行な直線。

（解答エントリー後の後付けな上、冗長で済みません）
埼玉浦和　　 5月7日（土） 0:19:59　　 　　44441
666
初めて参加します。６年生です。
　　 5月9日（月） 15:52:02　　 　　44442