|
!!! |
| 6だとPOの長さだから12にしないと。。。 |
|
宝塚
8月4日（木） 0:31:02
44889 |
|
吉川マサル |
| すみません、慌てまくっていて、POの長さにしてしまっていました...m(_ _)m |
|
iMac
8月4日（木） 1:05:23
HomePage:算チャレ 44890 |
|
ひだ弟 |
|
AP=AQ=無限大として
Cを通るPQの平行線を引くと 3:4:5が出ました |
|
8月4日（木） 1:13:51
44892 |
|
紫の薔薇の人 |
|
恥ずかしながら力技です。
円OとABの接点をR、ACとの接点をSとし、AO=d、角A＝2θとおくと、 途中を端折ると、 AP＝AQ＝d/cosθ OR=dsinθ PR＝QS＝dsinθtanθ OP＝dtanθ AB＝d/cosθ+12 AC＝d/cosθ+3 BC＝BR＋CS＝2dsinθtanθ+15 と計算でき、 最後に△ABCの面積Sを２通りに表して、 S=1/2AB*AC*sin2θ=1/2(AB+BC+CA)*OR 上記を代入して、整理すると、 dtanθ＝６が出てきます。 よって、PQ＝2OP＝12 // |
|
8月4日（木） 1:41:53
44893 |
|
紫の薔薇の人 |
|
端折った部分の蛇足です。
円Oは、△ABCの内接円だから、二等辺三角形APQの角Aの2等分線はOを通り、 AO⊥PQです。 AP⊥OR、AQ⊥OSに注意すると、 角POR＝90°-角OPR＝角PAO＝θ これから、 AP＝AQ＝d/cosθ OR=dsinθ PR＝QS＝dsinθtanθ OP＝dtanθ AB＝d/cosθ+12 AC＝d/cosθ+3 まで出ます。 円ＯとBCの接点をTとすると、 BC＝BT+TC＝BR＋CS＝2dsinθtanθ+15 |
|
8月4日（木） 1:58:44
44894 |
|
kyorofumi |
| PBO and QOC are similar. Therefore PQ = 2*sqrt(3*12) = 12. |
|
8月4日（木） 2:29:06
44895 |
|
新中2N.K. |
|
ABと円Oの接点をD、ACと円Oの接点をEとする
AD＝AE AP＝AQより、PD＝QE ∠PDO＝∠QEO DO＝EO よって、��PDOと��QEOはニ辺夾角相等で合同 ∴PO＝QO ∴∠AOP＝∠AOQ＝90° ∠DAO＝∠EAO＝α ∠DBO＝∠CBO＝β ∠ECO＝∠BCO＝γとおくと、 2α＋2β＋2γ＝180° よって、α＋β＋γ＝90° このとき、��AOQにおいて、α＋90°＋∠AQO＝180°なので ∠AQO＝∠APO＝β＋γ また、∠AQO＝γ＋∠COQ ∠APO＝β＋∠BOP(∵外角の定理)なので ∠COQ＝β ∠BOP＝γ よって、��COQと��OBPは二角相等で相似 ここで、PO＝QO＝Ｘとおくと 3:Ｘ＝Ｘ:12 よって、Ｘ^2＝36 ∴Ｘ＝PO＝QO＝6 PQ＝12 (終) |
|
??????????????????????????????????????????????????
8月4日（木） 13:40:03
44897 |
|
uchinyan |
|
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
最初は変なことを考えて AO での折り返しにこだわりうまくいきませんが，角度を調べたらあっさりと解けました。 算チャレとしては易しい方かな，と思ったのですが，正解率が意外に低く，第１位の人の解答時間も長いので， 何かトラブルがあったのかな？ 私としてはこんな感じで。 AP = AQ，円の対称性より，△APQ は AP = AQ の二等辺三角形，PO = QO，PQ = PO * 2，で， ∠APQ = ∠AQP = (180°- ∠BAC)/2 = ((∠BAC + ∠ABC + ∠ACB) - ∠BAC)/2 = ∠ABC/2 + ∠ACB/2， ∠BPQ = 180°- ∠APQ = 180°- ∠AQP = ∠CQP，がいえます。 さらに，△ABC が 円O に外接するということは，円O は △ABC の内接円，ということで， やはり円の対称性より，BO は ∠ABC の二等分線，CO は ∠ACB の二等分線，となり， ∠PBO = ∠ABC/2，∠QOC = ∠AQP - ∠QCO = (∠ABC/2 + ∠ACB/2) - ∠ACB/2 = ∠ABC/2， そこで，∠PBO = ∠QOC，となり，∠BPQ = ∠CQP，と合わせて，△PBO ∽ △QOC，がいえます。 これより，PB：PO = QO：QC，PB = 12 cm，QC = 3 cm，PO = QO，なので，， 12：PO = PO：3，PO * PO = 12 * 3 = 36，PO = 6，PQ = PO * 2 = 6 * 2 = 12 cm， になります。 実は，最初は諸般の事情で問題文と図をチラ見しただけで考えだし， 円O が BC に接することを忘れ果てていて，こんなの解ける？，と，アホなことを考えていました (^^; |
|
8月4日（木） 12:11:21
44898 |
|
uchinyan |
|
掲示板を読みました。
注意 以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが， 折角なのでご参考までにと思って公開するものです。 そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に， 私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。 あくまでもご参考です。悪しからず。 やはり，出題時間，何を求めるのか，などに若干のトラブルがあったようですね。 #44892 点 A を無限のかなたにもっていく，という特殊化による解法。 実は私の最初の変なことはこれとほぼ同じです。ただ，3：4：5 はこうなればいいな，という期待でしたが。 #44895，#44897，#44898，#44901，#44902，#44903 △PBO ∽ △QOC となることを使う解法。 なお，どこまで書くかによりますが，#44897， ＞∴PO＝QO これは，円の対称性より，AO が ∠BAC の二等分線，を使えば，D，E は不要で直接にいえます。 また，以降でも D ，E は特に必要ありません。 ＞∴∠AOP＝∠AOQ＝180° これは，∠AOP + ∠AOQ = 180° ∠AOP = ∠AOQ = 90° ，の書き間違いでしょう。 #44893＋#44894 数学による解法。 |
|
8月5日（金） 10:36:10
44899 |
|
新中2N.K. |
|
#44899
間違いのご指摘ありがとうございますm(__)m 訂正しときました |
|
??????????????????????????????????????????????????
8月4日（木） 13:38:51
44900 |
|
通りすがりの中１ |
|
こんにちは。
僕は相似を利用して ３：□＝□：１２ □＾２＝３×１２＝３６ □＝６ でｐо＝６ ６×２＝１２ Ａｎｓ．１２ｃｍ と説きました。 #44897と同じですね＾＾ Ｊｒ広中杯は僕の知り合いが優勝してました。（通っていた塾が同じ） 悔しーッ！！！ 来年こそは優勝を狙います。 まぁ、合間に数学オリンピックを含めますがねー |
|
算数王国
8月4日（木） 18:46:23
44901 |
|
ベルク・カッツェ |
| Ａ、Ｂ、Ｃの二等分線を引いて、三角形ＢＰＯと三角形ＯＱＣは3つの角が等しいので相似、ＢＰ：ＰＯ＝ＯＱ：ＱＣなのでＰＯ＝ＯＱ＝6、ＰＱ＝12としました。 |
|
8月5日（金） 0:52:30
44902 |
|
にゃもー君 |
|
どうも。最近我が身に色々なことがあり、世の中を渡っていく自信が無くなっています。この問題を解くにも時間がかかってしまい、果たして1000回目に挑むまで気力が残るかしらん。
さて、自分は、 ∠ＯＰＢ＝∠ＣＱＯ及び∠ＰＢＯ＝∠ＱＯＣから △ＯＰＢ∽△ＣＱＯを導き出しました。ＯＰ＝ＯＱ＝Ｘとして ３：Ｘ＝Ｘ：１２ よってＸ＝６ 求める長さＰＱ＝６×２＝12としました。 以上。 |
|
さいたま市浦和区（自称）
8月5日（金） 2:31:56
44903 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44903
大丈夫ですか？ 気を取り直してください！なんて僕が言えることでも無いのだろうけど、頑張ってくださいｂ（＾＾） さて、問題のほうですがやはり相似で解いた人が多いようですね。 |
|
算数王国
8月5日（金） 8:45:05
44904 |
|
「数学」小旅行 |
|
計算によると、辺ＡＢと円Ｏとの接点をＴとして、ＡＰ・ＰＴ＝３６を満たすときはすべてこの問題の図になるようです。
図形的に説明はできるのかなあ？ |
|
8月5日（金） 9:36:45
44905 |
|
ゴンとも |
|
座標にA(0,b),P(-a,0),Q(a,0)とおき
直線AP:y=b*x/a+bと点Pを中心に半径12の円との交点で点B 直線AQ:y=-b*x/a+bと点Qを中心に半径3の円との交点で点C この二点から直線BCの方程式が求められ原点を通りこの直線と垂直に 交わる直線との交点と原点との距離がa*b/sqrt(a^2+b^2)(=円の半径)から式(1)がでて 円の面積を直線BCとx軸との交点を求めそれから三角形の面積の差とa*bを足したもの= △ABCの辺の和に円の半径を掛けたもの/2から半径がでそれがa*b/sqrt(a^2+b^2)(=円の半径) から式(2)がでて式(1),式(2)からOQ=aがでて答え=2*OQ=PQがでる。XMaxima では part(solve([(x+a)^2+y^2=12^2,y=b*x/a+b],[x,y]),1)$ rhs(part(%o1,1))$rhs(part(%o1,2))$ part(solve([(x-a)^2+y^2=3^2,y=-b*x/a+b],[x,y]),2)$ rhs(part(%o4,1))$rhs(part(%o4,2))$ part(solve([y=(%o6-%o3)*(x-%o2)/(%o5-%o2)+%o3,y=(%o2-%o5)*x/(%o6-%o3)],[x,y]),1)$ factor(rhs(part(%o7,1))^2+rhs(part(%o7,2))^2)$ expand((sqrt(denom(%o8))/sqrt(a^2+b^2))^2-sqrt(factor(num(%o8)/(a^2*b^2)))^2)$ rhs(part(solve(0=(%o6-%o3)*(x-%o2)/(%o5-%o2)+%o3,x),1))$ factor((-(%o10+a)*%o3/2+(%o10-a)*%o6/2+a*b)/(15+2*sqrt(a^2+b^2)+sqrt(factor((%o5-%o2)^2+(%o6-%o3)^2))))$ factor(num(%o11)/(a*b))$factor(denom(%o11)/(a^2+b^2))$expand(sqrt(a^2+b^2)*%o13-%o12)$part(factor(%),2)$ expand(part(%o15,1)^2-(%o15-part(%o15,1))^2)$ factor((part(%o16,1)^2-(%o16-part(%o16,1))^2)/-1)$ factor(((%o9-part(%o9,1)-part(%o9,2)-part(%o9,3)-part(%o9,4))^2-(part(%o9,1)+part(%o9,2)+part(%o9,3)+part(%o9,4))^2)/16)$ part(solve([part(%o17,1),part(%o18,1)],[a,b]),2)$ rhs(part(%o19,1))$rhs(part(%o19,2))$ part(solve([part(%o17,3),part(%o18,1)],[a,b]),2)$ rhs(part(%o22,1))$rhs(part(%o22,2))$2*%th(5);2*%th(3);12・・・・・・(答え) |
|
豊川市
8月5日（金） 18:58:58
44906 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44905
証明は出来ますが、『全てこの図になる』というのは間違いでは？ 証明：AからOへ直線を引きます。すると角AOP＝90°となります。 また、円Oは内接円なので角OTP＝90°です。 よって三角形AOPと三角形AOTは相似です。 よってAP：PO（6）＝PO（6）：PTとなるので、AP・PT＝6＾2＝36が言えました。（証明終わり） これならBP・CQ＝36が成り立つ全ての場合において同じ事が言えてしまいますね。 |
|
算数王国
8月5日（金） 19:28:34
44907 |
|
通りすがりの中１ |
| 久々になんか問題投下しましょうか？ |
|
算数王国
8月5日（金） 19:50:38
44908 |
|
新中2N.K. |
|
#44908
はい！！！ よろしくm(__)mです！！！ |
|
??????????????????????????????????????????????????
8月5日（金） 21:13:34
44909 |
|
通りすがりの中１ |
|
xについての方程式、2（44910＾2＋x＾2）−（44910＋x）＾2＝2016
を解いてください。ただし、Xは44910より大きいものとする。 |
|
算数王国
8月6日（土） 10:56:22
44910 |
|
「数学」小旅行 |
|
#44907
ありがとうございます。その通りですね。 で、舌足らずでしたが、その時（ＢＰ・ＣＱ＝３６のとき）に必ず、三角形ＡＢＣの内接円の中心が線分ＰＱの中点と一致するということがいえそうだなあと思った次第です。 |
|
8月6日（土） 7:18:27
44911 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44911
まあ、中点が一致していること前提の話ですがね＾＾ 補足ですが、この問題の場合に限らず、いつもPBOとCQOは相似なので必ずAP・PT＝PO＾2＝BP・CQが成り立ちます。これを利用して色々応用した問題が作れそうですね〜 |
|
算数王国
8月6日（土） 10:54:41
44912 |
|
通りすがりの中１ |
|
ついでに、期末の数学で出た面白い問題を紹介します。
問：二元一次方程式、61x+2016−712y＝0を満たす自然数解ｘ、yの組をひとつ求めよ。 最後に満点を超えない範囲で加点するということでBONUS問題として出たものですが、解けた人が僕含め3人しか居なかったらしく、少し意外でした。 中々面白いので暇つぶしまでにどうぞ＾＾ 因みに、実際には（1）も存在しており、文章は同じなのですが式は 27x−2017y＝2016 というものでした。 （訂正済み） |
|
算数王国
8月8日（月） 9:49:06
44913 |
|
ぴーえー |
|
#44901
ぼくのがっこの同じ部活のセンパイです。 |
|
8月6日（土） 12:40:43
44914 |
|
ぴーえー |
|
内心だ！！！と閃いたので、AOとかに線引いて、
∽見つけて答え送るまでおよそ4.1分 |
|
$
8月6日（土） 12:48:01
44915 |
|
「数学」小旅行 |
|
#44913
例えば、x=72,y=9 ですか？ |
|
8月6日（土） 13:24:36
44917 |
|
新中2N.K. |
|
#44910
44910＋12√14 44910は記事番号ですね |
|
??????????????????????????????????????????????????
8月6日（土） 13:40:17
44918 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44918 #44917
正解です！ あと、記事番号というのも正解です。 #44916 すいません。xの表記が違ってますが、同じものと扱って下さい。 #44914 え、なら貴方は中１ですか？同じですね＾＾ あと、彼に「どこの塾に通っていたの？」とか聞かないで下さいよ（（汗 |
|
算数王国
8月6日（土） 14:17:32
44919 |
|
ぴーえー |
|
#44919
生憎ですが...。 ちょっと前から知ってまーす！（笑） |
|
$
8月6日（土） 15:12:42
44920 |
|
ぴーえー |
|
4,6,12,18,30,42,60,72,102,？,138,150,
180,192,198,228,240,270,282,312,348, 420,432,462,522,570,600,618,642,660, 810,822,1020,1032,1050,1062,1092,1152, 1230,1278,1290,1302,1320,1428,1452, 1482,1488,1608,1620,1668,1698,1722, 1788,1872,1878,1932,1950,1998,2028, 2082,2088,2112,2130,2142,2238,2268, 2310,2340,2382,2550,2592,2658,2688, 2712,2730,2790,2802,2970,3000,3120, 3168,3252,3258,3300,3330,3360,3372, 3390,3462,3468,3528,3540,3558,3582, 3672,3768,3822,3852,3918,3930,4002, 4020,4050,4092,4128,4158,4218,4230, 4242,4260,4272,4338,4422,4482,4518, 4548,4638,4650,4722,4788,4800,4932, 4968,5010,5022,5100,5232,5280,5418, 5442,5478,5502,5520,5640,5652,5658, 5742,5850,5868,5880,6090,6132,6198, 6270,6300,6360,6450,6552,6570,6660, 6690,6702,6762,6780,6780,6792,6828, 6870,6948,6960,7128,7212,7308,7332, 7350,7458,7488,7548,7560,7590,7758, 7878,7950,8010,8088,8220,8232,8292, 8388,8430,8538,8598,8628,8820,8838, 8862,8970,9000,9012,9042,9240,9282, 9342,9420,9432,9438,9462,9630,9678, 9720,9768,9858,9930 何の数列でしょう。？は何でしょう。 最後らへんは調子にのって計算しました。 |
|
$
8月6日（土） 15:29:56
44921 |
|
ぴーえー |
|
通りすがりの中１さんはY.Hですか？
そうだとうれしいです。（笑） |
|
$
8月6日（土） 15:43:22
44922 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44922
随分と率直に聞きますねｗさあ、、、どうでしょう？ あ、でもY.Hってあなたの先輩にも当てはまりますよねｗ 僕からも質問させてください。あなたは特待生の方ですか？ というかあなたはもしかして僕の後輩ですか？ #44921 108ですか？ 適当に素数を書き並べていたらひらめきました。 面白い問題ですね＾＾ |
|
算数王国
8月6日（土） 20:27:43
44923 |
|
通りすがりの中１ |
|
3DSが一台壊れたああああああああ！！！
レコチョクに入ったボカロ曲達がああああああ！！！ しかも3DS残り2台に、、、（涙） どーでもよすぎるうううううううｗ |
|
算数王国
8月6日（土） 23:07:34
44924 |
|
新中2N.K. |
|
#44924
落ち込むことはない！！！ そんな時こそポジティブシンキング☆☆ まだ2台あるじゃないか！！ なんてことはない！w |
|
??????????????????????????????????????????????????
8月6日（土） 23:11:22
44925 |
|
顰蹙 |
|
#44913
方程式になっていませんよ |
|
8月6日（土） 23:57:07
44926 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44926
問題で出た通りに記しましたから何とも、、、 #44925 そうですよね！そうですよね！？ あはははははははははｈ、、、、 なんだか自分が虚しくなってきたｗ |
|
算数王国
8月7日（日） 11:36:38
44927 |
|
ベルク・カッツェ |
|
#44913
>問：61x+2016+712yを満たす自然数解X、yをひとつ求めよ。 問題が成立していないのですが、何か書き忘れていませんか？ |
|
8月7日（日） 13:00:13
44928 |
|
通りすがりの中１ |
|
あ、「二元一次方程式」と「の組を」をつけ忘れていました。
すいません。訂正しておきます。 |
|
算数王国
8月7日（日） 15:26:28
44929 |
|
ベルク・カッツェ |
|
いやそうでなくて、顰蹙さんのおっしゃるように方程式がないので解きようがないのですが。
＝0の付け忘れで61x+2016+712y＝0だと自然数解はありえないので、もしかすると+のどちらかが＝の間違いなのでは？ |
|
8月7日（日） 17:07:50
44930 |
|
通りすがりの中１ |
|
あ、ホントだ。
アホだ俺ｗ何故こんなミスに気づかなかったのかｗ 訂正しました。すいません。 どうか見逃してください（（殴 |
|
算数王国
8月7日（日） 22:37:05
44931 |
|
顰蹙 |
|
#44913
ベルク・カッツェさんのおっしゃるように、 61x+2016+712y＝0に自然数解は存在しないと思うのですが。 |
|
8月7日（日） 22:57:29
44932 |
|
ぴーえー |
|
#44923
そうですねwww ぼくはこれでも特給ですよw ちなみに108です さすが、尊敬に値します！！ |
|
$
8月8日（月） 9:03:06
44933 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44932
本当にすいません。やってしまいました。訂正しておきましたのでそちらが今度こそ本物の問題です。 #44933 ありがとうございますｗ 特給ですか、、、羨ましいです。僕は県外なので行けません。 今年の入試は理科が難しかったですね。算数は比較的簡単でした。国語と社会はどうだったかなぁ、、、覚えてないやｗ ところで、ぴーえーさんは寮ではないのですか？ |
|
算数王国
8月8日（月） 10:09:05
44934 |
|
ぴーえー |
|
#44934
寮です。忙しい…。 理科は去年あたりから難しくなりましたね。（今年はどっちの大問も...） 算数は以前に比べたら、難しくないですか？（いままでは簡単でこれが特給か、という感じでしたがwww） 国語はふつーに簡単でした。 社会はちょっとだけ難しかったかな？ |
|
$
8月8日（月） 11:37:16
44935 |
|
通りすがりの中１ |
|
#44935
ちょっと問題用紙探してみたらありました。ちゃんととってました。 算数、確かに最後のなんちゃらランドとかいうとこはめんどくさかったですねｗあと年代のところの最後。 でも去年の特給のほうが若干難しかったような、、 まぁどちらにせよ簡単でした。 理科はいつかの年は1番目の大問は超簡単でしたが、2番目の大問で度肝を抜かれました。作文（？）でしたからね。 今年は２つとも難しく（特に震源とかいうところ）、平均点は相当低かったかと思います。灘が簡単に思えるほどでした。 確かに国語は簡単、社会は難しかったです。社会は大の苦手でしたし。 まぁこんなところでしょう＾＾ あの、、、寮にPCあるんですか？システムよくわかっていなくてすいません。 |
|
算数王国
8月8日（月） 22:13:31
44936 |
|
ハラギャーテイ |
|
遅くなりました。楽しい問題でした。
いつもありがとうございます。 |
|
山口
8月8日（月） 15:46:56
HomePage:制御工学にチャレンジ 44938 |
|
ぴーえー |
|
#44936
去年の理科は逆ですね。（2が簡単） PCは支給されます。メールはし放題^^。 でも、使える時間が1〜3年は限られます。 しかも、webは4〜6年と1〜3年の成績も態度もいい人しか使えません（泣） さらに、webできる人も掲示板などはできないためここも×（号泣） ∴悲しい...。 でも今は帰省中だから使い放題^^ |
|
$
8月8日（月） 17:49:37
44939 |
|
ぴーえー |
|
#44939,#44924
ちなみに寮に３DSもちこんだら 破壊サレマスヨ。 ボカロはDLしてPCに送ったら◎。 ダメかもしれないけど…。 |
|
$
8月8日（月） 17:47:03
44940 |
|
通りすがりの中１ |
|
○陽こっわｗ
じゃあ夏休み＼(＾o＾)／らこれなくなるのか、、、 |
|
算数王国
8月8日（月） 22:16:58
44943 |
|
にこたん |
| 年のせいで肩が凝って目が痛くて、部屋はノミだらけだし・・・。 |
|
ど田舎
8月10日（水） 14:46:12
44944 |
|
baLLjugglermoka |
|
更新されない(^^;
今週は休み？ |
|
8月11日（木） 0:03:10
44945 |