景
(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)=1 (mod8)
1*3*5*........=1*3*1^12=3より
125,375,625,875のうちmod8で=3になるものを
　　 9月8日（木） 0:06:31　　 　　45152
通りすがりの中1
こんばんは。
最近書き込み少ないですね〜
算数王国　　 9月8日（木） 0:12:33　　 　　45153
みかん
因数としての５を３回以上かけているので、１２５の倍数になるのは明らか。
１２５の奇数倍だから、下３桁は１２５・３７５・６２５・８７５のどれか。
これ以上わからなかったので、４つで認証作戦です・・・。
　　 9月8日（木） 0:43:45　　 　　45154
紫の薔薇の人
答えは、計算すればでるが、#45152を超える別解を思いつかない限り、書き込めない雰囲気。4つのうちのどれかに絞るのにどうしようかと思っていたが、あまりにスマートな解答見た後では難しい。
　　 9月8日（木） 0:50:04　　 　　45155
ベルク・カッツェ
いい方法を思いつかなかったので、多少工夫して頑張って筆算してみました。
　　 9月8日（木） 0:54:15　　 　　45156
今年から高齢者
ＭＳ−ＥＸＣＥＬで一発。
なんて喜んでいる場合じゃない！　さて困った！
　　 9月8日（木） 1:23:33　　 　　45157
ハラギャーテイ
おはようございます

10進BASICです。　これから算数的に解いてみます。
山口　　 9月8日（木） 3:16:00　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　45158
ハラギャーテイ
下三桁を順番にかけていって求めるのが一番算数的だと思いました
山口　　 9月8日（木） 3:48:02　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　45159
Jママ
こんばんは。
この頃めっきり起きてるのが辛くなりました笑
下一桁13579のものに区切ってとても工夫とは呼べない我流で計算してみたら、
5×15×25×35×45×55×65×75×85×95の下三桁と同じになるようです。
だから何？って感じですが…
結局そこから筆算して無理くり答え出しました。

　　 9月8日（木） 4:47:20　　 　　45160
あめい
算数的かわかりませんが
一の位、３＊７→１，９＊９→１（９個あるので９）よって５以外で影響あるのは９
１２５＊９＝１１２５，３７５＊９＝３３７５，６２５＊９＝５６２５，８７５＊９＝７８７５と９倍しても下三桁は９倍する前と変わらないので
５＊１５＊２５＊３５＊・・・・＊９５の下三桁がわかれば答もそれと同じ
そこで５＊１５＊２５＝１８７５の下三桁８７５に３５，４５，５５・・・と順に掛けて下三桁を見ると８７５，６２５，１２５，８７５を繰り返していて９５を掛けたときが８７５。
（計算力もなく、EXCELさんに頼っての計算でしたが）
＊Ｊママさんときっと同じですね。
お馬崎　　 9月8日（木） 6:47:01　　 　　45161
鯨鯢(Keigei)
５の倍数を３個以上掛けるので 125の倍数、
８で割った余りに関しては (1×3×5×7)^12×(1×3) を８で割って、1^12×3＝3 、
125の倍数で８で割って３余るもののうち 1000より小さいものは 875です。
　　 9月8日（木） 7:48:06　　 　　45162
vbscript
a=1:j=3
do
a=(a*j) mod 1000
j=j+2
loop while j<=100
msgbox a
　　 9月8日（木） 8:19:56　　 　　45163
今年から高齢者
辿り着いたところは、#45152の他、多くの方と一緒でした。
奇数を全て掛けた数をX、下3桁をaとすると、X＝125*8*n＋a
Xは5, 25, 125, 625,…, 5^10の倍数である必要があり、a＝125*b。
一方、1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ,17 ,19,….の各々を8で割ると、余りは、1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7,…。
1*3*5*7を8で割った余りは、1。なので「1, 3, 7, 1」の4つを繰り返す。1〜99までかけた場合の8で割った余りは3。
125*bを8で割った余りが3なのでb=7。∴a=125*7=875
うまくできた問題でした。
　　 9月8日（木） 10:24:35　　 　　45164
Sueh
Eulerの定理（1*3*5*7≡1 mod8）と
中国剰余定理（1000=8*125）
　　 9月8日（木） 10:42:22　　 　　45165
cocogoo
3x945の10乗
　　 9月8日（木） 10:46:13　　 　　45166
にこたん
既出だと思いますが
25×5は125。
また1×3×5×7は8の倍数＋1
1×3×・・・99は8の倍数＋1を11回かけて、また8の倍数＋1と8の倍数＋3と
8の倍数＋5と8の倍数＋7と8の倍数＋1と8の倍数＋3をかける。
25は8の倍数＋1
5は8の倍数＋5
求める数はこの2つを除いて
125×(8の倍数＋1)×(8の倍数＋3)×(8の倍数＋7)×
(8の倍数＋1)×(8の倍数＋3)
これは125×(8の倍数＋7)
下3桁は875

　　 9月8日（木） 11:07:00　　 　　45167
dyslexia
かなり有名な問題なんですね、
例えば 2009年日本ジュニア数学オリンピックの予選問題とか
生駒山の西麓　　 9月8日（木） 11:14:01　　 　　45168
dyslexia
受け売りですが
下3桁は 奇数50個を掛け合わせた積を 1000で割った時の余りなので
1000= 8×125 と考えて 8で割った余りを調べていけば いいんですね
生駒山の西麓　　 9月8日（木） 11:35:31　　 　　45169
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，個人的には簡単でしたが，合同式などを知っていて余りに注目しやすかったからかも知れません。
そうでないと計算の工夫で頑張ることになりますが，なかなか大変だと思います。
もっとも，試験では無理ですが，算チャレとしては，プログラムはもちろん，電卓でもコツコツ計算すれば，
比較的容易に解けてしまうので，単に答えが正解というのならば標準的かやや易，なのかも知れませんね。
あ，私の解法はこんな感じ。

下３桁とは 1000 で割った余りのことなので，1000 = 8 * 125 より， 8 と 125 で割った余りに注目します。
まず，125 で割った余りは，掛ける数に 5 と 25 を含むので 0 で，元の数そして下３桁は 125 の倍数です。
そこで，下３桁は，奇数の積のため偶数ではないので，125，375，625，875，のいずれかです。
一方， 8 で割った余りは，
元の掛け算の各奇数 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ..., 89, 91, 93, 95, 97, 99，の 8 で割った余りの積で，
これは，1, 3, 5, 7 を 12 回繰り返した後に 1, 3 の積で，1, 3, 5, 7 の積を 8 で割った余りは 1 なので，3 です。
そこで，下３桁を 8 で割った余りも 3 です。
先ほどの４つの候補のうちこれを満たすのは 875 だけなので，下３桁は 875 なります。
　　 9月8日（木） 12:19:24　　 　　45171
スモークマン
みなさんのように気づけず…^^;;
(50-1)(50+1)(50-3)(50+3)…(50-49)(50+49)
=(2500-1^2)(2500-3^2)…(2500-49^2)
25C0-25C1+25C2-25C3+…-25C25=(1-1)^25=0

so…下三桁は...
500-1^2*3^2*…*49^2
=500-9^5*5^10*9^5*1^5　←5^10の奇数倍...
=500-9^10*5^10
=500-5^10
=500-625
=875
みたいなことで…^^;
　　 9月8日（木） 13:29:04　　 　　45172
uchinyan
掲示板を読みました。

注意
以下の記述は，そもそもは私自身の勉強のメモに過ぎないのですが，
折角なのでご参考までにと思って公開するものです。
そういうこともあって，解法の分類は算チャレの F.A.Q. の「算数の範囲」の記述を参考に，
私個人が独断と偏見で主観的に行っているものであって，客観的なものではありません。
あくまでもご参考です。悪しからず。

#45152，#45154，？#45155，#45162，#45164，#45165，#45167，#45169，#45171，#45174，#45181
1000 = 8 * 125 より 8 と 125 で割った余りに注目して解く解法。
125 の倍数だけに注目したものもありますが，おまけ？でこっちに分類しました。
さすがに皆さん優秀で，この解法が多いですね。

#45156，#45159，#45160，#45161，#45166，#45172，#45175，#45183，#45189
計算の仕方を工夫して頑張る解法。
実はよく分からない解法も多いのですが，いろいろな工夫が面白いです。

#45179
25 までは頑張って掛け算をしそれ以降は規則性を見つけて解く解法。
これは，#4515などの計算の工夫の一種ですが，
その背景に#45152などの余りを意識する考え方があるので，別分類にしました。
確かにこれならば小学生にも分かりやすいかも。
もっとも，ここらを糸口にして余りをうまく使えるようになれたらいいですね。

#45157，#45158，#45163，#45184，#45191
プログラムによる解法。
　　 9月11日（日） 11:47:05　　 　　45173
新中2N.K.
こんにちは。
昨日（今日?いや昨日だな）は寝てしまいました…

既出でしょうが一応。
8で割った余りが1,3,7,1の繰り返しなので、
この式のあまりは3…��

また、明らかにこの式は125の倍数なので、下3桁は125,375,625,875…�△里匹譴�

この式の計算結果を????……????ABCとする。
????……????×1000＋ABC＝????……????×125×8＋ABC
という風に表せる。

さらに、�，茲蠅海亮阿�8で割ると3余るので、ABCは8で割ると3余るとわかる

よって、�△里Δ�8で割ると3余る875が答えとなる


異次元空間　　 9月8日（木） 16:55:38　　 　　45174
にゃもー君
こんばんは。最近は台風や大雨が続いて、
西日本や九州、東北や北海道のことが心配です。

さて今回の問題ですが、８＊１２５の活用ではなく、
#45172様のように（a+b）(a-b)を活用して、下３桁の計算をしました。

来週で37歳になるアラフォーですが、脳トレと童心帰りを兼ねて、東京出版の算数と数学の問題集（いずれも超難関校向け）を数冊大人買いしました。
（「爆買い」と行きたいが、積読で終わることが目に見えてるので）
精々毎日解いて、少しでも脳の錆びを落としたいものです。
もちろん、算チャレも毎週挑戦していきますので、今後ともよろしくお願い致します。
さいたま市浦和区（自称）　　 9月8日（木） 21:27:15　　 　　45175
新中2N.K.
よく見たら、僕の解法（#45174）#45171uchinyanさんとほぼ（全く）一緒ですね＾＾
異次元空間　　 9月8日（木） 21:50:22　　 　　45176
M2-N.K.-
どうでもいいですが、もう2学期だし、「新」というのはおかしいかな〜とか思うので、変えました
どうでもいいですね、わかります。

某中学校　　 9月8日（木） 21:56:01　　 　　45177
通りすがりの中1
おんどりゃ巨人ーー。
テメェが勝ちおったけェカープ現地優勝できなかっただろォがワレぇ。
どうしてくれんじゃこのバカたれェ。(棒)
算数王国　　 9月8日（木） 22:17:41　　 　　45178
真
modを使わずに、小学生っぽくできないか考えて解いてみました。

１）力づくで下3桁の計算を繰り返す。ただし、7×11×13＝1001→1なので、これらの3つの数は除外。

２）25をかけると675になり、その後は「875→375→625→625→」の4つの数が循環する。よって規則性から、答えは875

３）ここで終えると単なるサルなので、
(a)なぜ25をかけた後から循環が生じたのか？
(b)なぜ4つの数の循環になるのか？　を考えました。

４）(a)5の倍数は小さい順から5, 15, 25で、25をかけたあとは、
5×5×5×5＝125×5＝675の奇数倍になる！
(b)125×8＝1000なので、、
（かける数−8の倍数）つまり、（かける数を8で割った余り）をかけていけばいいので、
��675×27＝(125×5)×3＝125×15＝125×7=875
��875×29＝(125×7)×5＝125×35＝125×3＝375
��375×31＝(125×3)×7＝125×21＝125×5＝625
��625×33＝(125×5)×1＝125×5＝625
以下同様。よって、4つの数の循環が生じる。

５）99を8で割った余りは3なので、�，乏催�。よって答えは875
※以上、あまりレベルの高くない(精神年齢)小学生でした。
　　 9月8日（木） 22:57:39　　 　　45179
真
675ではなく625です。申し訳ありません。削除・訂正方法がわからず。ああ、削除したい。
　　 9月8日（木） 23:21:09　　 　　45180
吉川マサル
今回の問題ですが、夏休みの宿題ということで、某中学校で出題されていたものを拝借いたしました。なんと、ジュニア数オリのの問題だったのですね...

私は「４通りに絞り込む」まではすぐに分かったのですが、その後の絞り込みに時間がかかりました。結局はmod 8になりましたが。
iMac　　 9月9日（金） 9:11:33　　 HomePage:算チャレ　　45181
むらかみ
A中学？
　　 9月9日（金） 10:47:16　　 　　45182
uchinyan
今回の問題は， 125 で割った余りと 8 で割った余りで考える，がスッキリしており想定解でもあるようですが，
何か面白みに欠けるので，私も，計算の工夫で頑張る，という解法にトライしてみました。
結果として，#45160，#45161，#45166辺りを再現する形になったようです。
ただ，以下の計算では，括弧を外す計算，合同式などを使っているので，
そのままでは算数ではなく数学ですが，所詮計算のテクニックと表現の簡便法なので，
説明次第では算数になるだろうと思います。
以下では，
下３桁なので，合同式「≡」は mod 1000，1000 の倍数は無視し 1000 で割った余りに置き換える，とし，
100 以下の奇数の積を P とします。少し丁寧に書きます絵。

まず，
1 * 3 * 5 * 7 * 9 = (1 * 3 * 7 * 9) * 5 = 189 * 5 = 945，
11 * 13 * 15 * 17 * 19
= (10 + 1)(10 + 9) * (10 + 3)(10 + 7) * 15
= (10 * 10 + 10(1 + 1 * 9) + 9)(10 * 10 + 10(3 + 7) + 3 * 7) * 15
= (200 + 9)(200 + 21) * 15 = (200 * 200 + 200(9 + 21) + 9 * 21) * 15
= (40000 + 6000 + 189) * 15 ≡ 189 * 15 = 945 * 3，
21 * 23 * 25 * 27 * 29
= (20 + 1)(20 + 9) * (20 + 3)(20 + 7) * 25
= (20 * 20 + 20(1 + 1 * 9) + 9)(20 * 20 + 20(3 + 7) + 3 * 7) * 25
= (600 + 9)(600 + 21) * 25 = (600 * 600 + 600(9 + 21) + 9 * 21) * 25
= (360000 + 18000 + 189) * 25 ≡ 189 * 25 = 945 * 5，
以下同様に，
31 * 33 * 35 * 37 * 39 ≡ 189 * 35 = 945 * 7，
…
81 * 83 * 85 * 87 * 89 ≡ 189 * 85 = 945 * 17，
91 * 93 * 95 * 97 * 99 ≡ 189 * 95 = 945 * 19，
そこで，
P = 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 * … * 91 * 93 * 95 * 97 * 99
≡ 945 * (945 * 3) * (945 * 5) * (945 * 7) * … * (945 * 17) * (945 * 19)，
です。

ここで，945 = 1000 - 55，と置き換えれば，#45160，#45161で，
P ≡ (-55) * ((-55) * 3) * ((-55) * 5) * ((-55) * 7) * … * ((-55) * 17) * ((-55) * 19)
= 55 * (55 * 3) * (55 * 5) * (55 * 7) * … * (55 * 17) * (55 * 19)
= 11^10 * 5 * 15 * 25 * 35 * … * 85 * 95
11^2 = 121，11^3 ≡ 331，11^4 ≡ 641，11^5 ≡ 051，11^6 ≡ 561，11^7 ≡ 171，11^8 ≡ 881，11^9 ≡ 691，11^10 ≡ 601，より，
≡ 601 * 5 * 15 * 25 * 35 * … * 85 * 95
≡ 5 * 15 * 25 * 35 * … * 85 * 95，
この後はいろいろできますが，例えば，折角なので以前の結果を使うと，
= 5^10 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19，
としておいて，
1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19
≡ 945 * (945 * 3)
≡ (-55) * ((-55) * 3)
= 55 * (55 * 3)
= 55^2 * 3
= 3025 * 3
≡ 25 * 3，
P ≡ 5^10 * 25 * 3 = 5^8 * 625 * 3 ≡ 5^7 * 125 * 3 = 5^6 * 625 * 3 ≡ 5^4 * 625 * 3
≡ 5^2 * 625 * 3 ≡ 625 * 3 = 1875 ≡ 875，
つまり，P の下３桁は 875 です。

先ほどの「ここで，」に戻って，945 を残せば#45166と思われますが，，
P ≡ 945^10 * 1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19，
1 * 3 * 5 * 7 * 9 * 11 * 13 * 15 * 17 * 19 ≡ 25 * 3，
だったので，
P ≡ 945^10 * 25 * 3，
これは，#45166の，
＞3x945の10乗
とちょっと合わない．．．？ ただ，
945^2 ≡ 55^2 = 3025 ≡ 25，945^4 ≡ 25^2 = 625，25^2 * 25 = 625 * 25 ≡ 125 * 5 = 625 = 25^2，
なので，
P ≡ 945^10 * 25 * 3 = 945^6 * 945^4 * 25 * 3
≡ 945^6 * 25^2 * 25 * 3 ≡ 945^6 * 25^2 * 3，
≡ 945^6 * 945^4 * 3 = 945^10 * 3，
となって一致はしますね。多分，途中の式変形が少し違うのでしょう。
いずれにせよ，
P ≡ 945^10 * 25 * 3 ≡ 945^10 * 3 ≡ 25^5 * 3 = 625 * 25^3 * 3 ≡ 625 * 3 = 1875 ≡ 875，
つまり，P の下３桁は 875 です。

まぁ，同じ式の計算なのだからどうやっても同じですよね (^^;
　　 9月10日（土） 13:39:30　　 　　45183
まるケン
ruby -e "p (1..50).to_a.map{|i|i*2-1}.inject(:*)%1000"
　　 9月10日（土） 8:37:53　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　45184
appoi-pangaea
誰か問題出して
パンゲア　　 9月10日（土） 11:30:56　　 　　45185
マサル
#45182９　むらかみさん

はい、そうです！そちらでも質問されました？^^;
MacbookPro　　 9月10日（土） 12:38:22　　 　　45186
新中2N.K.
問題please
暇だな
?????????????????????????????????????????????????????????　　 9月10日（土） 18:07:51　　 　　45187
ああ負けたか巨人
10時になったら 浮浪の館というところで 問題出るからね
　　 9月10日（土） 21:46:14　　 　　45188
老算人
　４５１８３を参考に次のような解答も有かな
１〜２０を次のように考える
　　　　　　便宜上５の部分は後で考慮する
　　(10+1)(10-1)(10+7)(10-7)(10+3)(10-3)(10+9)(10-9)
　　　　前半と後半に分けると
　　(10000-5000+49)(10000-9000+729)
　　　　残りも4つに分けて考えると下3けたは同じ数字になる
　　４９×７２９＝７２１
　　　　これを５乗すると
　　下３桁は６０１となる
　　　　５の部分を計算すると
　　５×１５×…×９５＝８７５

　　６０１×８７５＝８７５

　　　　最後の方は下３桁しか使いませんでした
　　　　５の部分にいては地道に計算しました
　　　　　（ていうか、解法が見つからなかった）
福岡県　　 9月10日（土） 21:52:20　　 　　45189
通りすがりの中1
問題出してと聞いて、M氏参上！！！
では一問。
問:ある正八角形Aがあります。
一辺の長さは4cmで、この頂点のうち4つに4cmの紐をつけます。
このとき、4つの紐で正八角形内内を通過できる最大領域は何cm^2ですか。
ただし、紐の厚みは考えず、円周率は3.14とします。
算数王国　　 9月11日（日） 15:36:05　　 　　45192
ゴンとも
Maxima で

mod(99!!,1000);875
豊川市　　 9月11日（日） 16:16:17　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　45193
ベルク・カッツェ
#45192
4つの頂点につけた4本の紐のどれかが通過できる範囲の最大値でしょうか。
算数では、一辺4ｃｍ、内角が45度、135度の平行四辺形の面積が出せない気がします。
　　 9月11日（日） 21:16:50　　 　　45195
通りすがりの中1
#45195
算数の範囲なら、逆に「通過できない範囲を求めよ」になります。
算数はの方はそちらでといて下さい。
算数王国　　 9月12日（月） 18:48:24　　 　　45197
だいすけ
お久しぶりです！
どっかで見たことある問題でした！
　　 9月12日（月） 22:16:54　　 　　45198
むらかみ
#45186
私は知らなかったのですが、うちの職員がそう言っていました(笑)
　　 9月14日（水） 23:31:34　　 　　45199