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今年から高齢者 |
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ＰＱが最も長いのはＡＢに垂直の時。
ＰＡＢで正方形を作ると大円に一辺８cmの正方形が内接している状態であり、大円の中心が小円の頂点となって、大円の半径が６cmとなる。 ３６π−１６π／２−（３６π−６４）／４＝１９π＋１６＝７５．６６ |
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9月27日（木） 0:44:06
47575 |
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ベルク・カッツェ |
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10-8＝2
2+4＝6で大きい円の半径が6ｃｍとして、答えは75.66となっているようですが（そう仮定して計算してみたら掲示板に入れました） 大きい円に一辺8ｃｍの正方形が内接しているので、大きい円の面積は8×8÷2×3.14と考えて、答え66.24としたのは間違いになるのでしょうか。 |
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9月27日（木） 1:07:48
47576 |
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ベルク・カッツェ |
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式を全て書くと
8×8÷2×3.14×（3/4）+8×4÷2-4×4×3.14×（1/2）＝66.24です、 |
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9月27日（木） 0:50:17
47577 |
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ベルク・カッツェ |
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あと細かいところですが、この場合交点でなく共有点のほうがいい気がします。
と思ったけどＡがそもそも共有点なので共有点だとだめですね。 ちょっと正しい表現が思いつきません。 |
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9月27日（木） 0:54:15
47578 |
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今年から高齢者 |
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最長部分を微分の考え方で#47575のように垂直と考えましたが、これはおかしかった。
８cmの正方形が内接するなら、半径は、１０ｃｍから４ｃｍを引いた６ｃｍではなく、４√(２)ｃｍにならないといけない。 半径が、４√(２)ならベルク・カッツェさんの書かれているように６６．２４ですね。 |
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9月27日（木） 1:09:48
47579 |
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吉川 マサル |
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すみません、出先で、筆記用具が使えないのですが....。
ありえない図形だった（高さ＝１０cmが不要）という認識で正しいでしょうか？ |
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MBP
9月27日（木） 1:12:18
HomePage:算チャレ 47580 |
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ベルク・カッツェ |
| ちなみに10ｃｍと弦が8ｃｍで半径ｒとして数学で計算すると、ｒ＾2＝（10-ｒ）＾2+4＾2でｒ＝5.8となって、大きい円の中心角θがtanθ/2＝20/21とかになってとても困ったことになるので、数学でやってる人はほとんど入れていないのかな？ |
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9月27日（木） 1:15:41
47581 |
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ヤッコチャ |
| 近似値を利用して計算した面積が答えになっているのはどうかと… |
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9月27日（木） 1:16:08
47582 |
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ベルク・カッツェ |
| そうですね、なくても面積が出せるので10ｃｍは不要だと思います。あと近似値で代用する場合には、計算方法によって答えが違ってくるのはまずいと思います。 |
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9月27日（木） 1:16:55
47583 |
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吉川 マサル |
| 確認ありがとうございます。急いで帰宅して、修正します。近似値については、円周率に起因するものであれば、「算数」である以上は致し方なく....m(__)m |
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MBP
9月27日（木） 1:19:36
HomePage:算チャレ 47584 |
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なんやこれ |
| 最初66.24で送ったらダメで、まさか半径6のつもり？と仮定して75.66にしてみたら載ってしまいました。 |
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9月27日（木） 1:19:39
47585 |
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吉川 マサル |
| 取り急ぎ、66.24を答えに修正します。携帯のターミナルで出来るので。 |
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MBP
9月27日（木） 1:21:24
HomePage:算チャレ 47586 |
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ベルク・カッツェ |
| 小学生で出せないものについて近似値を与えるのは問題ないと思います。普通に面積が出せるのに近似値も与えて、使った場合と使わなかった場合で違う数値になるのが問題だと思います。 |
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9月27日（木） 1:23:46
47587 |
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ベルク・カッツェ |
| 75.66の人も正解でいいのでは？ |
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9月27日（木） 1:27:05
47588 |
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ベルク・カッツェ |
| とりあえず修正お疲れ様です。近似値は扱いが難しいですね。 |
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9月27日（木） 1:28:45
47589 |
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吉川 マサル |
| 取り急ぎ、修正させていただきました。m(__)m |
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MBP
9月27日（木） 1:49:20
HomePage:算チャレ 47590 |
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今年から高齢者 |
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最長部分を微分の考え方で#47575のように考えましたが、これはおかしかった。
８cmの正方形が内接するなら、半径は６ｃｍではなく４√(２)ｃｍにならないといけない |
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9月27日（木） 1:53:08
47591 |
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ヤッコチャ |
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そして近似値を使って値を出した私は順位表から消えたままである…
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9月27日（木） 2:34:31
47592 |
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にこたん |
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修正したのですね(*_*)
Aから垂直が最長と仮定しました。 厳密には計算してません。(*_*) |
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超ど田舎
9月27日（木） 4:55:04
47593 |
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「数学」小旅行 |
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ＰＱが最大になるときを確認するのに座標を使いました。
直感としては予想できるのですが・・・ |
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9月27日（木） 6:54:38
47594 |
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「数学」小旅行 |
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点Ａを極、直線ＡＢを始線とした極座標において、線分ＡＢを直径とする円の極方程式は r=8cosθ で、大きい方の円の中心をＣとし∠ＣＡＢ＝α とするとその極座標はＣ(4/cosα,α)と表され、△ＣＡＰが二等辺三角形であることから大きい方の円の極方程式は r=2ＡＣcos(α-θ) となります。
したがって、ＰＱ=ＡＰ−ＡＱ=2ＡＣcos(α-θ)-8cosθですが、ここで、ＡＣ=4/cosα ですので、ＰＱ=8/cosα*(cosαcosθ+sinαsinθ)-8cosθ=8tanαsinθ となります。ここで、0<=θ<=π/2 を考慮するとsinθ=1で最大値8tanαをとることが分かります。この値が8なので、tanα=1すなわち、α=π/4であり、ＡＣすなわち大きい円の半径が4/cos(π/4)=4√2 だと分かりました。 |
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9月27日（木） 7:53:57
47595 |
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しおぱぱ |
| 直感で点ＡでＡＰが半円に接するときとして計算しました。最大かどうかのチェックはどうすれば・・・・ |
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9月27日（木） 8:45:55
47596 |
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老算人 |
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ＡＱが「０」の時ＱＰが最大になると考えました
すると、大きい円はＡＢを１辺とする正方形に外接する 小さい円の面積 ４×４×３．１４＝５０．２４ 大きい円の面積 ５０．２４×２＝１００．４８ 大きい円のＡＢより下の弧の面積 （１００．４８−８×８）÷４＝９．１２ 小さい円の半円の面積 ５０．２４÷２＝２５．１２ 水色部分の面積 １００．４８−９．１２−２５．１２＝６６．２４ 戸なりました |
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9月27日（木） 9:12:28
MAIL:takaaki-k@aqr.bbiq.jp 47597 |
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今年から高齢者 |
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PQの最大値8cmが小円の接線の場合であることは以下の通り
小円の頂点をC、大円とAからの垂線との交点をD、Bからの垂線との交点をE、大円の中心をOとする。 Pが大円のD〜Eの間を動く場合を考える。その外の場合は、円弧と弦の長さを考えれば明らかなようにPQは最大値にはなりえない。 OがCよりも上方にあるとき、P＝DでAP＞8cmなので、問題に合わない。 OがCよりも下方にあるとき、��BPQは∠QPB＞45°の直角三角形であり、故に、PQ＜QB。 QBの最大値はABの8cmなので、PQの最大値は8cmに達しない。 OがCに等しいとき、��BPQは∠QPB＝45°の直角三角形であり、故に、PQ＝QB。 QBの最大値はQ＝Aの時で、PQ＝8cm。 |
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9月27日（木） 12:39:01
47598 |
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吉川 マサル |
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昨晩は、ご迷惑をおかけいたしました。
実は、「いろいろ、いじりすぎて、問題を壊してしまった」というのが実情です。 もともとは、小円も半円ではない状態（ただし、半円よりは大きい）で、ＰＱの長さの最大値が８cmのとき、大円と小円の中心間距離を求めよ、というものでした。 こちらのほうが良問なのですが、これだと、８÷２＝４とするだけなので、当てずっぽうで解け？てしまうということがあり、試行錯誤しているうちに...というわけでした。 いずれにせよ、検証不足でした。申し訳ありません。 |
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MBP
9月27日（木） 14:14:39
HomePage:算チャレ 47599 |
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者 |
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PQが最長のとき小円の接線であることは次のように言えます。
Pが大円の周上を動いても、三角形BPQは相似拡大/縮小されるだけなので、PQが最長となるのはBPが最長となるとき、つまりBPが大円の直径となるときである。このとき、∠PABは垂直となる。 |
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9月27日（木） 18:05:33
47600 |
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スモークマン |
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#47600 者様
なるほど!! ♪ わたしゃ...わけわからぬことを考えておりました...^^; |
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9月27日（木） 22:00:58
47601 |
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にこたん |
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#47600 者さん
なるほど、すぐわかるんですね。(*ノωノ) |
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超ど田舎
9月28日（金） 4:47:18
47602 |
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老算人 |
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者さん
私は図面を描いてＰＱの最大値を推量したのですが、すべての△ＢＰＱが相似になるのですね 目から鱗です（感謝、感謝） |
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9月28日（金） 6:39:13
MAIL:takaaki-k@aqr.bbiq.jp 47603 |
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巷の夢 |
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PQが最大になるというのを、ずっと計算で求めようとああでもない、
こうでもないと捻くり回し続け、昨日は徒労に終わりました。 今朝、待てよBQはゼロでも良いのではと、図を描くと・・・、 昨日の努力は・・・、トホホです。 |
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真白き富士の嶺
9月28日（金） 6:40:34
47604 |
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ベルク・カッツェ |
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#47600者さん
なるほど、円周角は等しいので確かに相似な三角形の拡大縮小になりますね。気づきませんでした。 |
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9月28日（金） 12:09:49
47605 |
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ベルク・カッツェ |
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角ＰＡＢが直角のとき交点Ｑは存在しない問題についてはみなさん気にしないのですね。脳内で角ＰＡＢ→90度のときの極限値、と置き換えているのでしょうか。まあ先にも書いた通り細かい指摘かも知れませんが。
線分ＡＰの小円上にない部分の長さ、とするか、図のように点Ｑをとる、と書けばいいのではないでしょうか。 ところでヤッコチャさんはずっと消えたまま？ |
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10月3日（水） 11:54:15
47606 |
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ベルク・カッツェ |
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なんかミスの指摘ばかりになってしまってすみません。
そもそも人間のやることはミスが出るのは当たり前。マサルさんには、ミスのない無難な問題を作るより、多少のミスがあっても常に新しいことに挑戦していただきたいと思います。 |
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10月3日（水） 12:04:39
47607 |