〓〓β

今年から高齢者

微分の考え方で！
ある点から、上方に微小xだけ動けば、面積の変化は、(PR－RQ)xだけ変化する
PR＜RQなら減少、PR＞RQなら増加、
最初のある点をP=Bとすれば、最初はPR＜RQで減少、PR=RQを過ぎれば、PR＞RQで増加。
最小値はPR＝RQの時。QR=6

　　 12月22日（木） 0:25:36　　　　52065

ベルク・カッツェ

移動させたときの変化を考えると明らかに6かと。

　　 12月22日（木） 0:28:20　　　　52066

万打無

#52053
2014年の灘中にほぼ同じ問題が出題されてますね
https://hyojun.com/vics/2014-nada-math2/

　　 12月22日（木） 0:36:00　　　　52067

スモークマン

左右対称の図を重ねてみると...
明らかに、交点の上下では面性が大きくなりますのねぇ !!

　　 12月22日（木） 0:39:50　　　　52068

CRYING DOLPHIN

はみ出し削り論法の入門編？

顔上げた道の先　　 12月22日（木） 0:42:13　　 MAIL:ぴかー HomePage:ぴかぴかさんすう。　　52069

ゴンとも

積分して微分して極値で・・・

座標でC(0,0),CB=y軸,CD=x軸
4分円:y=sqrt(144-x^2)
P,Q,Rのx座標=aとして
QR=sqrt(144-a^2)
積分で青いところの面積を積分して
aで微分して極値で　Maxima で

integrate(12-sqrt(144-x^2),x,0,a)+integrate(sqrt(144-x^2),x,a,12)$
positive$
negative$
factor(%)$
factor(diff(%,a))$
part(num(%),2)$
factor(part(%,1)^2-(%-part(%,1))^2)$
ev(sqrt(144-a^2),part(solve(part(-%,3),a),2));
6・・・・・・(答え)

豊川市　　 12月22日（木） 1:40:23　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　52070

「数学」小旅行

勘でした。

　　 12月22日（木） 5:03:59　　　　52071

吉川　マサル

#52069
　はい、往年の大数に良く載っていた「はみ出し削り論法」です。東工大の入試では、これだと減点されたらしいですが...

Macbook　　 12月22日（木） 20:39:54　　 HomePage:算チャレ　　52072

ドリトル

すっかり忘れていました。
青い部分の面積が一番大きいのは明らかにPQとBCが重なっている時。
ここからPQを上げていき、左側の面積の増加(x)が右側の面積の減少(y)より小さいと合計は減り、大きいと減る。
実際に動かしてみると面積はア→(減)→最小→(増)→イという感じになるから、x=yの瞬間を特定できれば良い。
少しだけPQを動かした時に面積が変わる領域を取り出すと非常に縦が短い長方形つまり線になる。
(一応算チャレでは微分はアウトなので回りくどいですがこう表現してます。)
その時x=PR、y=RQである。故にx=yの瞬間はPR=RQであり答えは12÷2=6
こう解くしかないのかな…？

　　 12月22日（木） 23:34:46　　　　52073

まるケン

微分を教える入り口として、よい問題かと。

　　 12月23日（金） 10:26:09　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp 　　52074

ベルク・カッツェ

最初が6ｃｍになる説明。
6ｃｍの位置からＰＱを移動すると、青い面積の増加分はＰＲの移動した跡の長方形の半分より大きく、減少分は小さいので、どこに動かしても青い面積は増加する。よって6ｃｍのときが最小。

　　 12月23日（金） 13:44:33　　　　52075

ベルク・カッツェ

最初→最小
文中のＰＲはＰＱの間違いです。

　　 12月23日（金） 13:45:07　　　　52076

ベルク・カッツェ

青→水色
これも訂正しておきます。
短い文なのに間違いが多すぎました。

　　 12月23日（金） 13:48:04　　　　52077

KawadaT

算数解法に気付きませんでした。仕方なく、以下の様な高校生回答になります。
RとCを結んで、角RCQをラジアンでθとします。
求める面積をf(θ)とすると、

f(θ)=((12-12cos(θ)+12)*12sin(θ)/2-72θ)+(72(pi/2-θ)-72sin(θ)cos(θ))
=144sin(θ)-144sin(θ)cos(θ)-144θ+36pi

f(θ)の導関数を計算すると、

f'(θ)=144cos(θ)(1-2cos(θ))

従って、0<θ<pi/2の範囲ではcos(θ)=1/2が変曲点になり、RQ=6が最小です。

　　 12月23日（金） 18:25:58　　　　52078

まーじまさーん

積分の発想で考えた。PR＝RQのとき、PQがどちらに動いても面積が増える。

#52067
先週の出題、灘でしたか。ありがとうございます。

バランスを取らなくっちゃなぁ！！　　 12月26日（月） 0:47:13　　 HomePage:ツイッターで色々やっている　　52079

将ちゃん

とりあえず座標を設定して(半径は1にノーマライズ)計算してみると
S_1+S_2=sinθ(cosθ+1)+θ-3π/4　(π/2<θ<π)
ここから微分法でcosθ=-1/2で極小かつ最小値となることが分かる
といった数学的な解法しか思いつきませんでした…
微積分法の副産物は
面積の最小値√3/4-π/12が求まることですかね…
（この問題の設定ならば12^2=144をかけて36√3-12πってとこでしょうか）
ただ算数的に美しい解法も気がつけたらと思っておりますので、
締め切りまでもう少し考えてみたいと思います(^_^)v

　　 12月26日（月） 11:05:31　　 MAIL:s-kurauchi@hokuriku.ed.jp 　　52080

「数学」小旅行

じゃあ、積分するとしましょうか。
Cを原点、直線CBをx軸、直線CDをy軸とします。QR=tとすると、
円の方程式はx^2+y^2=144です。面積をS(t)とします。
S(t)=Int_0^t{√(144-x^2)-√(144-t^2)}dx+Int_t^12{√(144-t^2)-√(144-x^2)}dx
　　=Int_0^t{√(144-x^2)}dx-Int_t^12{-√(144-x^2)}dx+√(144-t^2)・(12-2t)
S'(t)=2√(144-t^2)-2t(12-2t)/{2√(144-t^2)}-2√(144-t^2)
　　=-2t(12-2t)/{2√(144-t^2)}
　　=2t(t-6)/√(144-t^2)
ですので、0<t<12では、t=6で極小かつ最小になります。

　　 12月26日（月） 16:36:17　　　　52081

Jママ

寝坊して遅刻しました(常習)
今週はお休みですね。
今年も楽しく全問参加できました。
マサル様、お世話になりました皆様には感謝とともに、素晴らしい新年が訪れますよう心よりお祈り申し上げます。

　　 12月29日（木） 1:31:02　　　　52082

ばち丸

はみ出し削り論法ってやつですね。大学への数学でよく見ました。

　　 12月30日（金） 23:17:00　　　　52083