ベルク・カッツェ

5で割って3余る数が作れるのが48からなので、43が作れない最小の数。

1月5日（木） 0:04:41　　 　　52084

ベルク・カッツェ

間違えました、作れない最大の数、です。

1月5日（木） 0:05:28　　 　　52085

今年から高齢者

フロベニウスの硬貨交換問題 12*5−12−5

1月5日（木） 0:06:52　　 　　52086

むらかみ

19秒とか21秒ってすごいですね。 私はまだ問題を読んでいる途中でした。 無駄に1行目を読んでしまいました。

1月5日（木） 0:08:14　　 　　52087

ベルク・カッツェ

雑すぎる気がするのでもう少し丁寧に。 作れる最小の自然数は、 5の倍数は5、 5で割ると2余る数は12×1＝12、 4余る数は12×2＝24、 1余る数は12×3＝36、 3余る数は12×4＝48。 よって作れない最大の数は48-5＝43となります。

1月5日（木） 0:20:32　　 　　52088

Mr.ダンディ

切手の問題で類題がありました。 ｍとｎが互いに素であるとき　 (n-1)(m-1)-1 で求まるようです。 （機械的に当てはめてすぐに送信したので　久しぶりに上位に来れました）

茨木市　　 1月5日（木） 10:44:53　　 　　52089

ミントくん

Mr.ダンディさんありがとうございます。新たに公式を知ることができました。

銀河系　　 1月5日（木） 11:38:40　　 　　52090

吉川　マサル

新年おめでとうございます。 第４４回の問題（1997年1月30日出題）を、ほぼそのまま出してしまいました。この頃は高校数学すらあまり知らず、中学生くらいまでの数学の知識で問題作成したのですが、参加者の武田浩紀さんから、「ab-a-bが最大値」という一般解と証明をメールで教わり、「すげー」と驚いた記憶があります。 当時は掲示板もなく、「いおんとらんぷ」さんという、深夜にだけ出没する（ダイアルアップ回線で自宅Webサーバを立てていらっしゃいました）掲示板で、出題後に盛り上がったりしていました。そして数ヶ月後、新宿で第１回のオフミにつながるという...。 そんな、懐かしい問題でした。

Macbook　　 1月5日（木） 11:42:00　　 HomePage:算チャレ　　52091

みかん

２つの数の積−和、で答えが出るんでしたっけ。切手の組み合わせで できない金額を求める問題でおなじみのネタですね。

1月5日（木） 13:55:18　　 　　52092

「数学」小旅行

皆さん、明けましておめでとうございます。 で、早々水曜日を忘れておりました。今回は次のように考えました。 12本が0組なら、一の位が０，５の数はすべて作れる。 12本が1組なら、12以上で一の位が２，７の数はすべて作れる。 12本が2組なら、24以上で一の位が４，９の数はすべて作れる。 12本が3組なら、36以上で一の位が６，１の数はすべて作れる。 12本が4組なら、48以上で一の位が８，３の数はすべて作れる。 したがって、48以上の数はすべて作れる。 36以上48未満では、一の位が３と８の数は作れない。 つまり、３８と４３が作れない数である。 大きい方は４３で、これが答えである。

1月5日（木） 21:20:11　　 　　52093

紫の薔薇の人

#52088 回答として完結させるためには、44以上の数は全て作れることを示さないと、 43が作れない数の最大ということにはならないかと。 以下、蛇足。、 44以上の数Nを5で割った余りをrとすると、 N=44のとき、N=4*5+2*12 N=45のとき、N=9*5+0*12 N=46のとき、N=2*5+3*12 N=47のとき、N=7*5+1*12 N≧48のとき、 5の倍数は5、 5で割ると2余る数は12×1＝12、 4余る数は12×2＝24、 1余る数は12×3＝36、 3余る数は12×4＝48。 だから、 r=0の場合、N=(N/5)*5+0*12と表せる。 r=1の場合、N≡36 mod 5なので、N={(N-36)/5｝*5 +　3*12 r=2の場合、N≡12 mod 5なので、N={(N-12)/5｝*5 +　1*12 r=3の場合、N≡48 mod 5なので、N={(N-48)/5｝*5 +　4*12 r=4の場合、N≡24 mod 5なので、N={(N-24)/5｝*5 +　2*12 よって、44以上の数は全て作れる。 //

1月5日（木） 22:26:47　　 　　52094

fumio

あけましておめでとうございます 懐かしい問題でしたね

1月5日（木） 22:45:17　　 　　52095

ベルク・カッツェ

#52094 48が作れれば、5があるのでそれ以降の５で割ると3余る数は全て作れることは自明だと思ったのですが、そこまで書いたほうが親切だったかも知れませんね。

1月5日（木） 23:41:45　　 　　52096

まーじまさーん

12本入りのセット数とmod5で考える。 0(mod5)→５本入りが１セット以上で実現可 2(mod5)→12本入り１セットあれば12本以上実現可 4(mod5)→12本入り２セットあれば24本以上実現可 1(mod5)→12本入り３セットあれば36本以上実現可 3(mod5)→12本入り４セットあれば48本以上実現可 逆に48−５＝43本は実現不可で、これが最大数。

バランスを取らなくっちゃなぁ！！　　 1月6日（金） 18:26:26　　 HomePage:ツイッターで色々やっている　　52097

CE

一般に、二種類のエンピツの本数を a、b（1＜a＜b かつ互いに素）として、 考えられる人数の最大値を m、場合の数を n とおき、それぞれを求めます。 （※ 前者はフロベニウス数、後者はシルベスターの定理とよばれています） 等差数列 0、b、2b、…、(a-1)b の第 i、j 項を a で割った余りが等しい とき、(i-j)b は a の倍数となるので、|i-j|＜a と互いに素から i＝j に 絞られて、上記の数列を a で割った余りはすべて異なることがわかります。 よって、1≦j≦a のもと (i,j) 成分が (i-1)a+j-1 となる行列を考えると、 0、b、2b、…、(a-1)b はすべて異なる列にあり、それぞれの上側の成分に 注目すればよいので、最大値は (a-1)b の真上から m＝ab-a-b になります。 また、任意の整数 k は整数 x、y（0≦y≦a-1）を用いて k＝ax+by の形で 一意に表されるので、m-k＝a(-x-1)+b(a-1-y) の一意性と x、-x-1 の符号 から 0≦k≦m のもとで k、m-k のどちらか一方のみが上で注目した成分に 含まれるため、その個数は m+1 の半分より、n＝(a-1)(b-1)/2 となります。 本問の場合、フロベニウス数は 5*12-5-12＝43 となり、考えられる人数の 1、2、…、38、43 はシルベスターの定理より 4*11/2＝22 通りになります。 和が 43 の組 (0、43)、(1、42)、(2、41)、…、(21、22) はいずれも片方 だけが適する人数となっていることからも、22 通りになると確認できます。

1月8日（日） 11:33:41　　 　　52098

吉川　マサル

唐突ですが、今週の日曜日に、東京＠恵比寿にて、ちょっとしたオフ会（一応、新年会という名目でｗ）を行います。まぁ、パズル好きな人たちとか、いろいろいると思うのですが..。夕方からです。まぁ、よーするに飲み会です。 もし、ご興味のある方がいらっしゃいましたら、 answer@sansu.org に、「新年会について」というタイトルを入れて、メールくださいませ。場所とか、お知らせしますー。（まぁ、カレー屋やってる店なんですけど）

Macbook　　 1月9日（月） 16:52:03　　 HomePage:算チャレ　　52099