永井 暁
いや〜、初めて6位以内にはいることができました。
東京   9月6日(木) 0:18:49     14001
CRYING DOLPHIN
BCの中点をMとして、三角形APQ・三角形PBM・三角形QMCをそれぞれ
内側に折り返すと、折り返した後の点A・B・Cは、内部の点Xで一致する
ので…

と解きました。
唯一の自由な場所   9月6日(木) 0:18:55   MAIL:okabayashi@ma3.seikyou.ne.jp HomePage:算数わぁるど  14002
吉川 マサル
う〜ん、まだ不安。

私の想定した解法は、BCの中点を使うものでしたが、皆さんいかがでしょうか?
PowerBook   9月6日(木) 0:19:20   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage: 算チャレ  14003
永井 暁
今回の問題は難しいが、早く解けてよかったです。
東京   9月6日(木) 0:22:13     14004
AЯOT
2問とも目分量で一発正解!(ぉ
図形は苦手だみょん。
妖怪の館(別館)   9月6日(木) 0:22:19   HomePage:Ver3とか  14005
ヒデー王子
難しかったです。
BCの中点Mを取ると角PMQが90度になり、直線PQに対してMと対称な点を
Nとすると、正方形PMQNができます。正方形の面積は、2つの三角形を
90度づつ回転してできる三角形の面積40から8+7を引いでできる
直角三角形の2倍。5角形は直角三角形25+10+8+7=50.
以下略って感じでしょうか・ふー。

伊丹   9月6日(木) 0:31:25   MAIL:hideaki_chatani@nifty.com   14006
CRYING DOLPHIN
#14002
厳密には三角形PMQが直角二等辺三角形である事を示す必要がありますが、
有名な事実だろうということでパス。(ぉ

# これは事実なんだけど、証明の仕方がいまいちわかってなかったりする。(ぉ
唯一の自由な場所   9月6日(木) 0:29:20   MAIL:okabayashi@ma3.seikyou.ne.jp HomePage:算数わぁるど  14007
taku
HOMEの解答用紙を使おうとしたけど
上手く動作しません.
私だけでしょうか?
   9月6日(木) 0:33:18     14008
ヒデー王子
#14007
BP,CQをそれぞれ2倍に延長した点D,Eをとって、四角形DBCEで
中点連結定理使いまくって、しかも三角形を回転したりしたら
正方形ができるって感じですか。。。
伊丹   9月6日(木) 0:35:16   MAIL:hideaki_chatani@nifty.com   14009
永井 暁
ヒデー王子さんの正方形を作る方法と同じ解き方です。
東京   9月6日(木) 0:35:57     14010
吉川 マサル
 私の想定した解法は......

・BCの中点をMとする。
・三角形APQをPを中心に時計まわりに90度回転。すると、AとBが重なる。
・Qの移動先をQ’として、Q’とMを結ぶ。
・すると、BQ’はAQを90度回転したものだから、BQ’とQCは平行。
・よって、角Q’BMと角QCMは錯角で等しい。
・すると、三角形BQ’Mと三角形CQMは合同。
・ってことは、対頂角が等しいことから、Q’、M、Qは一直線。
・三角形PQ’Qは直角二等辺三角形。で、MはQ’Qの中点。
・ってことは、三角形PQ’MもPQMも直角二等辺三角形。
・で、直角二等辺三角形PQ’Mの面積は、三角形APQとPBMとQCMの和。
・つまり、10+16÷2+14÷2=25
・ってことは、全体は25×2=50
・あとはPQ出すだけ。

 こんな感じです。な、長い...........。
PowerBook   9月6日(木) 0:37:35   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage: 算チャレ  14011
永井 暁
今回はかなり難しい問題ですね。
東京   9月6日(木) 0:42:06     14013
Taro
結局座標置いてExcelにがんばってもらいました(^^;
秘密のお部屋   9月6日(木) 0:43:32   MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科にチャレンジ2  14014
ちーくん
うーん、難しい・・・
順位表の時間が変ですよ?
大阪府豊中市!   9月6日(木) 0:44:10   MAIL:chi-iwa@geocities.co.jp HomePage:ちーくんのホームページ  14015
永井 暁
14014
図形もパソコンでできるんですか?
東京   9月6日(木) 0:44:25     14016
CRYING DOLPHIN
#14009
うーむ、なるほど。。
唯一の自由な場所   9月6日(木) 0:45:00   MAIL:okabayashi@ma3.seikyou.ne.jp HomePage:算数わぁるど  14017
名倉っち
#14011
私は、△APQをQを中心に半時計回り90度回転でやりました。
って、同じですね。
BCの中点をとるという発想になかなかたどり着かなかったです。
   9月6日(木) 0:51:20   MAIL:n-yamanaka@nifty.com   14018
Taro
#14016
図形というよりも座標計算で方程式を立て無理やりEXCELに解かせました。
A(0,0),B(x,0)、∠BCQ=yと置いてΔAPQの面積を利用してC,P,Qの座標を定め、
ΔBCP,ΔBCQの面積が問題文のようになるようなx,yをEXCELにやらせました(^^;

秘密のお部屋   9月6日(木) 0:52:34   MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科にチャレンジ2  14019
永井 暁
なるほど!!なかなか有効(?)にパソコンを使ってますね。
東京   9月6日(木) 0:55:43     14020
吉川 マサル
 えと、今日って「解答用紙」つながりにくかったでしょうか?>皆さん

 っていうか、最近つながりにくかったりします?もしそうなら、sansu.orgに置くことも検討しなくてはならないのですが...。ただ、その場合はメイルよりも解答用紙のほうが(理論的に)速くなってしまうので、おそらく1秒程度ディレイを入れることになると思うのですが...。
PowerBook   9月6日(木) 0:57:50   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage: 算チャレ  14021
ミミズクはくず耳
やっとできました。
たぶん誰かが書いてると思いますが、私の解き方です。
△PBCをPを中心に回転し、B'をAに重ね、C'をRとする。
△QCBをQを中心に回転し、C"をAに重ねると、B"はR。
RAを下に延ばし、PQとの交点をMとする。
次に、△PMAをPを中心にさっきと逆に回転し、△PM'Bをつくる。
同じく、△QMAをQを中心に逆回転し、△QM"Cをつくる。
M'BCM"は一直線上にならび、M'B:BC:CM" = 1:3:1
(△PQRの面積は10+14+16 = 40,△PAQの面積は10から)
また、∠M'PQ = ∠M"QP = 90度
したがって、△PM"M' = 16*(1/3)*5、△PM"Q = 14*(1/3)*5 から
□PQM"M' = 50、これは五角形APBCQと同じ面積。
また、□PQM"M'は正方形をややななめ半分に切った形で、
M'M"の中点で180度回転してつなぐと正方形になるので、
PQ = 10
以上です。

あっちこっち   9月6日(木) 2:03:59   MAIL:MAE02130@nifty.com   14022
ミミズクはくず耳
補足:はまった所は、
#14022のRAとBCが垂直を使おうとして
P,QからBCに垂線を下ろしてた所でした。
あっちこっち   9月6日(木) 1:50:50   MAIL:MAE02130@nifty.com   14023
CRYING DOLPHIN
#14002>>#14007 & #14009
こんな方法を思いつきました。
(思いついた、というのは厳密には嘘なのですが(謎))

<三角形PMQは直角二等辺三角形であることの証明。>

ABの中点をD、ACの中点をEとすると、三角形PMDと三角形QMEは2辺と
その間の角がそれぞれ等しいので合同。(証明に中点連結定理が必要)
よってMP=MQ …[1]
また、角PMQ=角PMD+角DME+角EMQ=角PMD+角MDB+角DPM
=180−90=90度 …[2]

[1][2]をあわせると、三角形PMQは直角二等辺三角形。>>#14002
唯一の自由な場所   9月6日(木) 2:00:05   MAIL:okabayashi@ma3.seikyou.ne.jp HomePage:算数わぁるど  14024
ako
#14007
折り返したので90度の半分で∠PQM=∠QPM=45度と考えました。
   9月6日(木) 2:23:07     14025
武田浩紀
http://takeda.sansu.org/images/272.gif
最初に色つきの3つの三角形を合体させるとちょうど1つの三角形になることに気づいたので図のPと逆さまのQの2点を結んでできる三角形がピンクの三角形と合同であることを利用しました。
うち   9月6日(木) 2:58:50   MAIL:takeda@sansu.org HomePage:SBBC  14026
ゆんななこ
きゃぁ
chinっていう送信者のメールきました^^;
すぐ消しました。
前に似たような文面のメールが10通来た事あるから・・・。
トロイの木馬型ウィルスで、キャッシュにあるhtml内の
mailtoタグにコピーを送っちゃうとか何とか・・・。

私の解き方は・・・75%勘・・・かな(-_-;)
私の家   9月6日(木) 5:20:31   MAIL:yunna@mx1.freemail.ne.jp HomePage:ゆかんづめ  14027
ふじさきたつみ
算チャレ的回転(高橋さんのまね)による解法についてかきます。
  △PAQをPAとPBが重なるように回転させて△PBQ’とします。
  △PAQをQAとQCが重なるように回転させて△QCP7とします。
 そうすると正方形PQ’P’Qができます。
 また、Q’とCを結んで△Q’CBをつくると
       △Q’CB≡△QBC  になります。
 そうすると
    △PQ’C+△QCP’=△PQ’B+△PBC+△Q’CB+△QCP’
              =10+16+14+10=50
  これは、正方形PQ’P’Qの面積の半分である。
    五角形APBCQ=△APQ+四角形PBCQ
            =△PQ’B+四角形PBCQ
            =五角形PQ’BCQ
       これも、正方形の面積の半分だから、50・・・・・・(1)
 また、PQは面積が100の正方形PQ’P’Qの一辺だから10・・(2)        

 

   9月6日(木) 10:29:12   MAIL:fujisaki@octv.ne.jp   14029
ふじさあきたつみ
#14029
△QCP7は△QCP’のまちがいです。
   9月6日(木) 10:36:11     14030
有無相生
とりあえずできました。
QAの延長へPから下ろした垂線の足をR、QCの延長へBから下ろした垂線の足をT、RPの延長とTBの延長との交点をSとします。
QSTQは長方形となり、AP=a,BQ=b,角BAC=θとする。
PR=a*cosθだからΔAPQ=10よりa*b*cosθ=20
BT=a*b*(sinθ-cosθ)+bだからΔBCQ=14よりa*b*sinθ+b*b=48
五角形の面積をSとすると、S=1/2*(a*a+b*b)+a*b*sinθ=48+1/2*(a*a-b*b)
PQ**2=(a*cosθ)**2+(a*sinθ-b)**2=a*a+b*b+2*a*b*sinθ=96+(a*a-b*b)
要は、a*a-b*bを求めればOK.
ΔBCP+ΔPCA+ΔACQ=Sの関係より、a*b*sinθ+a*a=52
故にa*a-b*b=4が求まり答えが出る。

where i am   9月6日(木) 13:30:07   MAIL:ancoromochi@ba.wakwak.com HomePage:有無相生の世界  14031
高橋 道広
今回はまったくひらめきませんでした。で、座標において計算。(~_~;)
(どこが算数なんだかなあ) 
A(0,0)B(2a,0),C(2b,2c)とすると、Q(b-c,b+c)となって
APQ=10より ab=10,BCP=16よりa^2+ac=26,BCQ=14よりb^2+c^2+ac=24
三角形CPQの面積はb^2+c^2+ac=24となって全体の面積は10+16+24=50
PQの長さの自乗が2a^2+2b^2+2c^2+4acとなって100 PQ=10
う〜ん 強引ですね。
皆さんの解答で勉強します。
BCの中点なんてきがつきませんよ〜しかも直角ぅ〜
そんなのが有名なんですか。C-Dさん。
北海道   9月6日(木) 13:37:17   MAIL:hogehoge@f6.dion.ne.jp   14032
長野 美光
昨夜は、5分前まで寝てました。
急いでパソコンを引っ張り出してつなごうとしましたが、
こういうお国柄のこと、十数回トライしてやっとつながったと思ったら、
図が出る前に沈黙。
結局、会社に来てから解きました。

BCを水平において、BP、CQの縦方向の成分が8:7になる所から、
方眼紙をイメージして解きました。
結局、横成分をxとおいて、最後は方程式でしたが。
マレーシア   9月6日(木) 13:45:25   MAIL:nagano-y@post.yamaha.co.jp HomePage:ヨッシーの八方美人  14033
チョコとプラスアルファ
紙に、図を描いてからかなり雑なやり方をしましたが、一応出ました。
   9月6日(木) 14:06:46     14034
CRYING DOLPHIN
#14024の訂正。昨晩あんなにチェックしたのに。。
三角形PMDと三角形QMEは…合同→三角形PMDと三角形MQEは…合同

#14025
角PQM=角QPM=45度とわかってはじめて折り返しが効くのでは...

#14032
一部の数学マニアの間では、ね(^^;
唯一の自由な場所   9月6日(木) 14:27:21   MAIL:okabayashi@ma3.seikyou.ne.jp HomePage:算数わぁるど  14035
高橋 道広
#14035
数学の奥の深さを知りましたm(__)m
今 証明してます。
ってことでC-Dさんのは、また後回し(謎) (~_~;)
北海道   9月6日(木) 15:39:47   MAIL:hogehoge@f6.dion.ne.jp   14036
ako
#14035
BCの中点をMとする。
五角形APBCQの内角の和は540度、∠P=∠Q=90度より
∠A+∠B+∠C=360度 ...(1)
AQ=CQ、 AP=BP、 BM=CM....(2)
(1)(2)からPM、MQ、QPで折り曲げると頂点A、B、Cは△PMQの内部の
一点に集まりかつ平面PMQに重なると考えたのですが・・・・・。
三角錐→頂点の和が360度→平面PMQに重なると思ったのですが・・・。
申し訳ありませんでした。取り消します。
   9月6日(木) 16:10:55     14037
N.Nishi
職場からの帰りの電車で解けました。(感無量)解き方ですが皆さんのと違うような
気がするので(深く読んではいませんが…角度やら中点は使わなかったので)紹介します。
まず、△APQをAからPQ上のある点(←この点をRとする)に向かって切り込みを入れる。(Rのはっきりした位置は後述。)そして△APRをPAがPBに重なるように移動させる。もちろん五角形の外側に。このとき移動した後のRをR'とする。
同様に△AQRをQAがQCに重なるように移動させる。(便宜上移動した後の△AQRのRをR''とする。)
そして四角形R''QPR’が台形になるように最初のRを決めるとPQを8:7に内分する点であったことが分かる。PQ=15としておく。なぜなら△PBCと△QBCの面積比は16:14=8:7しかも底辺がBCで共通なので高さにあたるPRとQR''の長さの比が8:7になるので。
そのことにより△QCR''=10×7/15=14/3cm^2
よって△QBCと△QCR''は高さが同じなので面積比が底辺比になる。
つまりBC:CR''=14:14/3=3:1
BR’=CR''よりR’B:BC:CR''=1:3:1
そこでC、BからQR''に平行な線を引きPQとの交点をC'、B'とおくと
QC'=3とおける。(勿論PQ=15とおいたときの値)
よって△QCR''を等積変形で△QC'R''として直角を挟む辺の比がC'Q:R''Q=3:7になるので
三角形の面積の公式 3a×7a÷2=14/3
これを解くとa^2=4/9 a>0より a=2/3
よってPQの長さは 15×2/3=10(cm)
五角形の面積は台形R''QPR’と同じなので
10×10÷2=50(^2)
実はPQの長さを先に出しました。

   9月6日(木) 18:49:59     14038
うっしー
実力テスト明けで、今チャレンジ。
「イズム」を使えば解けるようです。
実は(2)はすぐ出ました。(1)でかなり悩みました。
さらにいいところ   9月7日(金) 1:35:33   MAIL:utakasi@nnc.or.jp   14039
うっしー
△BCQのQCに△APQのQAを回転させて合わせる。
△BCQのBCに△BCPのCBを回転させて合わせる。
PA=PBより、これで大きな三角形ができる。
この三角形の面積は10+14+16=40より、40cm2
この三角形はBQ、QP、PCでつくった三角形と合同である。・・・(1)
△APQのAPに△BPQのBPを合わせる。Qが移った点をRとおく。
△APQのAQに△CPQのCQを合わせる。Pが移った点をSとおく。
RとSを結ぶ。RP=PQ=QS、∠RPQ=∠SQP=90°より、
四角形PQSRは正方形である
△ASRはBQ、QP、PCでつくった三角形と合同である。・・・(2)
(1)・(2)より、△ASR=40cm2 
PQ=hcmとすると、△APQ=10cm2より、h×h/5÷2=10
h>0より、h=10
正方形PQSR=100cm2となるので、△APR+△AQS=50cm2 ・・・(3)
BQとCPの交点をTとする。
△BCT=acm2、△CTQ=bcm2、△PQT=ccm2、BPT=dcm2とおく。
a+b=14 ・・・(4) a+d=16 ・・・(5)
(3)より、b+c+c+d=50 ・・・(6)
(4)・(5)・(6)より、a=c−10
(4)に代入。b+c=24 よって、△CPQ=24cm2
よって、五角形APBCQの面積は、10+24+16=50より、50cm2
ということで、(1)50cm2、(2)10cm
さらにいいところ   9月7日(金) 2:26:18   MAIL:utakasi@nnc.or.jp   14040
吉川 マサル
 実は、私としては(2)は、「出題すること自体が」ヒントのつもりでした。(^^;;
PowerBook   9月7日(金) 11:51:57   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage: 算チャレ  14041
永井 暁
みなさんおいくつなんですか?
東京   9月7日(金) 16:11:11     14042
貞松 篤
今回は出遅れ参加で,しかもほろ酔い気分
図も書かずに問題をにらんで,エイヤーと50.10を
認証したら当たり,一発認証は初めてです
何やら恥しいですが,それにも増してとてもhappyな気分
   9月8日(土) 1:44:53   MAIL:sadamatu@kurume.ktarn.or.jp   14043
長野 美光
#14042
私はH24歳。ごくまれに・・・(以下略)

詳細は、Free Talk 掲示板の #2637 あたり参照。
マレーシア   9月8日(土) 9:11:55   MAIL:nagano-y@post.yamaha.co.jp HomePage:ヨッシーの八方美人  14044
水田X
四面体の問題で解答して以来です。
BCの中点MとするとPMQが直角二等辺三角形になるのは偶然、友人から「この問題、初等幾何でといてくれ」と頼まれて先週、解いたところでした。よって結構簡単でした。でもいい問題です。BCのとこにももう一個、おなじ三角形つくってなんか問題できないかなあって考えましたがまさるさんみたいに賢くないのでできませんでした。だれかつくって!いつかつくりたいなあ。MrXの定理!
   9月8日(土) 9:28:39     14045
吉川 マサル
#14045
 え?か、オリジナル問題だったのに.....。(^^;;
PowerBook   9月8日(土) 9:43:35   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage: 算チャレ  14046
ちーくん
#14042
次の問題が出されるころには10の位がかわります・・・
大阪府豊中市の大学!!   9月8日(土) 14:46:12   MAIL:chi-iwa@geocities.co.jp HomePage:ちーくんのホームページ  14047
CRYING DOLPHIN
#14042
某ページに書いてあります(謎) ただし単位が違いますが(ぇ
唯一の自由な場所   9月8日(土) 18:08:11   MAIL:okabayashi@ma3.seikyou.ne.jp HomePage:算数わぁるど  14048
CRYING DOLPHIN
#14037
うーむ、それでOKな気もします。
私も時間があるときに考えてみますが、どうなんでしょう他の方々・
唯一の自由な場所   9月8日(土) 18:09:39   MAIL:okabayashi@ma3.seikyou.ne.jp HomePage:算数わぁるど  14049
sugitakukun
直感認証で入ってきました。実は今週の問題の「1人目の挑戦者」だったんですけど、全然わかんなくて。学校の授業中とか部活中とかも悩んでたんだけど、結局(1)しか解けなくて。まだまだ未熟ですね。
   9月9日(日) 0:35:42     14050
ゆんななこ
#14042
17歳♪
・・・私の年齢なんか聞いてないって?(笑)
私の家   9月9日(日) 13:27:30   MAIL:yunna@mx1.freemail.ne.jp HomePage:ゆかんづめ  14051
電卓マニア
ここで算数解を知るため強引に解きました。
AP=(2√194)/5,AQ=26/5,cos∠BAC=125/(13√194),sin∠BAC=131/(13√194)
2S=PQ^2=(776+676+2*2*2*131)/25=2500/25=100
変な数を足してきっちり2500になる瞬間がたまりません。
五角形は一意なんですね。
   9月9日(日) 14:26:50     14052
永井 暁
#14044 #14048 #14051

僕は7進法で17です。初めて6位以内に入ったんで、学校の数学の先生や、家族に自慢しまくってます。それにしても1位の人はスゴイ・・・・・・。
東京   9月9日(日) 15:22:01     14053
ミミズクはくず耳
あれれっ? 7進法で7が出てくるって.....???

私は7進法だと恐ろしいことになります、丁度(謎).
あっちこっち   9月9日(日) 15:58:19   MAIL:MAE02130@nifty.com   14054
AЯOT
100ですね。(何が?)
妖怪の館(別館)   9月9日(日) 16:46:10   HomePage:Ver3とか  14055
トトロ@N
方針は武田さんと同じですが、導き方が違うようです。ちょっと長いですが…。
QAとQCを延長して長方形をつくる。(Qを頂点とし、点P,Bが辺上にある)
Qから反時計回りに長方形の頂点をQ,R,S,Tとする。
△APR≡△PBSよりPR=BS,またAQ=CQより
ピンクの三角形+クリームの三角形=AQ*PR÷2+CQ*BT÷2
                      =CQ*BS÷2+CQ*BT÷2
                      =CQ*(BS+BT)÷2
                      =△PCQ
この解き方では(1)しかできません。(2)は認証です。
図がないので分かりにくくてごめんなさい。
後は栗原さん、よろしくお願いしま〜す。←無責任ですね。

兵庫県明石市   9月10日(月) 2:55:01   MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp   14056
M.Hossie
こんばんにゃ。4日掛かってやっと解けました。完全に数学利用です。解き方は後でまたゆっくり書きたいと思います。
黄色い電車の走る近所   9月10日(月) 9:14:46     14057
鉄老
久しぶりに算チャレを解きました。30分考えてもわからないので1回ダウン
しました。あまりの難しさに、解けたときは感動しました。3重、4重にひねり
まくっていますね。簡単にいうと、この五角形を2つ合体するとPQを1辺とする
正方形になるというのがこの問題の核心ですね。(もちろんこの五角形を三角形APQ
と四角形PBCQに分解する必要があります。)
   9月10日(月) 16:47:48   MAIL:ts5100st@ecs.cmc.osaka-u.ac.jp   14058
M.Hossie
 最初、純粋に初等幾何だけで解こうと回転移動とかいろいろやらかし2日ほど考えたのですがどうやっても解決には結び着かず、マサルさんにヒントなどおねだりしてみたのですが、あっさり拒絶されてしまいました (涙)。結局数学 (三角函数) 利用になってしまいました。条件が3つ有るので、どれを未知数にするかでもかなり悩みました。以下に最終的な解法を紹介しましょう。

 A から BC に垂線を降ろし、その足を H とする。
 BH = x, AH = y, CH = z とおき、面積の3つの条件を x, y, z を用いて3元連立方程式にて表現することを考える。
 △PBC の底辺が x + z なのは当たり前。高さを考える為に、AB の中点を F としてみよう。F から BH に垂線を降ろすと、中点連結定理によりその垂線の長さは y/2。
 又、PF を斜辺とするような直角三角形 PFG を (G を B の有る側に) 作ると、その三角形 PFG は△ABH と相似になり、その相似比は 1 : 2。よって、PG = x/2。
 以上より、△PBC の高さは両者の和で、(x + y)/2。
 よって、面積の関係から、1/2 * (x + z) * (x + y)/2 = 16
 故に、(x + z) (x + y) = 64 .....(1) 式とする。
 これと全く同じ議論を△ QBC に適用してやれば、1/2 * (x + z) * (y + z)/2 = 14。
 故に、(x + z) (y + z) = 56 .....(2) 式とする。
 今度は、△APQ に関して面積の式を作ってやろう。
 その面積は、1/2 * PA * QA * sin (90 + A) で書ける。
 ここで、PA = √(x^2 + y^2)/√2、QA = √(y^2 + z^2)/√2、
 sin (90 + A) = cos A で、cos A の値は△ABC に余弦定理を使えば、
 cos A = (y^2 - xz)/√(x^2 + y^2)√(y^2 + z^2)。
 なんで、これらを代入すれば、面積は 1/4 * (y^2 - xz) で書け、これが 10 なんだから、y^2 - xz = 40 .....(3) 式とする。
 この (1), (2), (3) を解けばいいんだが、実はこれを解くと超ヒサンな無理式になるので、そういう愚かなことはやめる (これをまともに解こうとして死にました)。

 さて、求めるべきは、五角形の面積で、それを式にすると、
 S = (x^2 + y^2)/4 + (y^2 + z^2)/4 + y(x + z)/2 ですね (第1項は△ PAB、2項目は△ QAC、3項目は△ ABC の面積)。これを整理すると、
 S = (x^2 + 2y^2 + z^2 +2xy + 2yz)/4  なんですわ。
 ここで、(1) + (2) + 2*(3) 式を計算してみましょう。すると、あに図らんや、
 x^2 + 2y^2 + z^2 +2xy + 2yz = 200
 ってな値が出て来るんですよ。つまり、いちいち x, y, z なんか計算せんでもええんです。
 よって、S = 200/4 = 50 (cm^2) .....これが小問1のこたえ。

 さて、今度は△APQ に余弦定理を適用して PQ の長さを出しましょう。
 PQ^2 = PA^2 + QA^2 - 2 * PA * QA * cos (90 + A)
 cos (90 + A) = - sin A で、cos A は計算したんだから sin A はすぐに求まって、
 sin A = (xy + yz)/√(x^2 + y^2)√(y^2 + z^2)
 よって、PQ^2 = (x^2 + 2y^2 + z^2 +2xy + 2yz)/2
 となって、またどっかで見たような式。つまり、PQ^2 = 100 です。
 PQ の長さは正なので、PQ = 10 (cm) .....これが小問2のこたえ。

 しかし、17歳ですかあ。若いっていいねえ。ぼくは7進法だと、40代のおじさまになっちゃいますね。ミミズクさんがちょうど○○歳とは、お見それ致しました (謎)。
黄色い電車の走る近所   9月10日(月) 17:13:22     14059
吉川 マサル
 んと・・・ちと妙な?お知らせです。

 もしかすると、私、10月13日(土)の午前中あたりに“会社の仕事で”公開授業をやることになるかも知れなかったりします。で、それが「大人(父兄?)でも参加可能」とかになりそうでして、はてどうしたものか・・・と思惑していたりします。内容は算チャレ色を出したものにするつもりだったりしますが、「カタラン数」「イズム(笑)」等が有力候補かな、と思っています。
 さて、こーいうのがあったら来たいって方いらっしゃいます?ちなみに費用は2,000円だそーで。

# なるべく仕事に算チャレを持ち込みたくなかったんですが......大々的にバレてしまったので。(T_T)
PowerBook   9月10日(月) 19:32:40   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage: 算チャレ  14060
M.Hossie
#14060
マサルさまの授業をいっぺん見てみたいよ〜〜〜!!!
算チャレ色を全面に押し出すんなら、かたらん数よりも「いずむ」でしょう。
てな訳で、是非参加希望であります。
しかし、なんで「会社の仕事」で公開授業なんでしょうか? 算チャレメンバー市場の新たな顧客の開拓でしょうか? 会社にバレてしまっててかわいそ。
黄色い電車の走る近所   9月10日(月) 20:02:29     14061
M.Hossie
マサルさんの模範解答を今やっと理解しました。
仮にマサルさんに、「中点Mを取ってごらん」なんてヒントを頂戴したとしても、多分解けませんでしたわ。
やっぱりぼくには、ルートごりごり計算する方が似合っているようですね。トホホホホ。
黄色い電車の走る近所   9月10日(月) 21:15:04     14062
吉川 マサル
#14062
 ん〜、私のよりも武田さんの解答のほうが美しいと思います。ハイ。
東京都西東京市   9月11日(火) 9:47:34   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  14063
トトロ@N
#14026
武田さんの解答の意味がわかりました。図は(2)の解説ですね。確かに美しい!
「最初に色つきの3つの三角形を合体させるとちょうど1つの三角形になること」
とありますが、これはどのように考えられたのでしょうか?
兵庫県明石市   9月12日(水) 2:16:14   MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp   14064
川田智之
△BCQのQCに△APQのQAを回転させて合わせる.
△BCQのBCに△BCPのCBを合わせる.
PA=PBより、これで大きな三角形ができます.
中心角は,180+三角形の内角の和で360となり,ぴったりあいます!
この三角形の面積は10+14+16で40.
なお,点Pのあたらしい移動点をRとし,BQとCPの交点をRとしておきます.

* 四角形PBRCは平行四辺形,三角形QPRは直角二等辺三角形です.

△BSR=△BCR=16
△QSR=40-16=24
従って,BS:SQ=2:3
△ BSC=5.6
△ BSP=10.4
これより,△PSQ=15.6

それぞれの部品を加えて,五角形の面積は10+16+14-5.6+15.6 で求まります.

次に,△PBR=16,
四角形PBRQ=40+10.4+15.6=66
従って,三角形QPR=66-16=50
PQ×PQ÷2=50 から求めます.

   9月12日(水) 11:10:08   MAIL:kawada@med.gunma-u.ac.jp   14065
武田浩紀
#14064 トトロ@Nさん
五角形の頂角のうち2つは90度ですから残る3つの角の和は360度です。
そこでこの3つの角を集めて...、と考えました。
???   9月12日(水) 12:18:06   MAIL:takeda@sansu.org HomePage:SBBC  14066
ばつ丸
水田Xの友人の、ばつ丸です。どうも気が短いもので、AB=X、AC=Y、角BAC=θとおいて、三角関数でねじ伏せました。変な式になりましたが、求めるものも似たような変な式で表せたので、あっさりでした。すっきりした答えが出ると気持ちがいいね。
   9月12日(水) 12:22:19     14067
sodo
順位表に載っていないのが不安なので、書きこみをしておきます。
解き方は正弦定理、余弦定理、加法定理のオンパレードでした。以上。
   9月12日(水) 21:55:33     14068
Parpunte
今日の電車の中で三角関数使いまくりでようやっと解けました(^^)。恐らくsodoさんと同じ解き方ではないかと想像しています。それにしても、これが算数でも解けるってところがたまりませんね。
それと物騒な世の中ではありますが、算数の世界は平和ですね。
赤い電車の走るそば   9月12日(水) 23:18:02     14069