Taro
問題文の記号が8つ並んでいるのは気のせい?
新しいPC&回線   2月20日(木) 0:07:00   MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ2  18077
CRYING DOLPHIN
「2回に1回以上必ず勝つ」という題意の取り方によっては、この答えは
不適切な可能性が。
幼稚園ピカチュウ組   2月20日(木) 0:07:55   MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…  18078
Taro
平成13年土佐塾中県外入試1型の7番の設定を思い出しました
新しいPC&回線   2月20日(木) 0:09:03   MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ2  18079
CRYING DOLPHIN
#18077
言われてみれば。

7回の対戦で、
×◎×◎×◎×
みたいな勝敗表は、はたして「2回に1回以上必ず勝つ」といえるかどうか…

幼稚園ピカチュウ組   2月20日(木) 0:09:34   MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…  18080
小杉原 啓
2回前の2倍と1回前を足した分ですね。
確かに8つ並んでますね。
仙台市   2月20日(木) 0:09:35   HomePage:副教科にチャレンジ!  18081
奥入瀬
この答えでは,3勝しかしていないときも含まれますな。
   2月20日(木) 0:09:45     18082
15KARATSOUL
「連敗しない」ジャンケンの帝王の方がよいと思います。
多分兵庫   2月20日(木) 0:11:28     18083
吉川 マサル
#18080
 な、なるほど...。ちょっと考えます。
Mercury   2月20日(木) 0:12:12   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  18084
maruhagedon
風邪引いちゃいました。
頭がいつもよりぼーっとしてます。
もう寝ます。お休みなさい。
酔っぱらい天国   2月20日(木) 0:12:34   MAIL:hopes@mba.sphere.ne.jp HomePage:HOPES  18085
圭太
確かに二回に一回に・・・。
考えなかった。(ぉ
米所〜♪   2月20日(木) 0:14:47     18086
吉川 マサル
問題文に注釈をつけ、例は7試合になるようにしました。いかがでしょうか?
Mercury   2月20日(木) 0:18:10   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  18087
たけちゃん
ヤッター解けた。早くできてうれしー
僕は小6なので2のとき3のときとやりました。
ふ〜
   2月20日(木) 0:18:41     18088
ばんちゃ
今は小、中学生のようなところです。よろしくお願いします。
   2月20日(木) 0:19:17     18089
CRYING DOLPHIN
たぶん、これでいいと思います。
想定とは異なる題意の取り方もつぶせたことですし。。
幼稚園ピカチュウ組   2月20日(木) 0:21:48   MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…  18090
kasama
あまり得意な問題ではなかったけど、頑張って解きました。
   2月20日(木) 0:22:59   MAIL:kasama@s34.co.jp   18091
ヌオの母
最初に出ていた例では8試合あったので、あいこのときは同じ人と続けて勝負するのかと思いました。
   2月20日(木) 0:25:51     18092
あんみつ
最初の問題分にあった例が8回勝負であいこ1回だったので、あいこだったら同じ相手ともう1回やるんだと思いました。
んで、あいこの回数で場合わけして数えてたらかなりややこしくてうんざりしてきたところでりロードしたら例が変わってるし、、、^-^;
おうち   2月20日(木) 0:26:33     18093
あんみつ
#18092
だぶりましたね。。。他にも同じ勘違いした方いそうですね。う〜ん ^o^;
おうち   2月20日(木) 0:29:01     18094
吉川 マサル
#18093,#18092
 う、申し訳ありません。実は最初8試合にしていて(これだと答えが341になる)、「これじゃあ数え上げる人は大変かな」と思って急きょ7試合にしたんです。そのときに例を直すのをうっかり忘れてしまいました。ゴメンなさい!m(__)m
Mercury   2月20日(木) 0:29:52   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  18095
吉川 マサル
上位の皆さんに質問なんですが、コレは有名な問題でしょうか?

 いえ、私はそれほど易問にしたつもりはなかったんですが、上位の方(特にTaroさん....)がすげーーー速いもので...。
Mercury   2月20日(木) 0:33:37   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  18096
kasama
簡単な再起プログラムを作って、答えが正しいことを確認しました。
public class Question341 {
private static int count = 0;
public void nextChange(int n, String s) {
if (--n == 0) {
++count;
return;
}
if (s.equals("◎")) {
nextChange(n, "×");
nextChange(n, "△");
nextChange(n, "◎");
} else if (s.equals("×")) {
nextChange(n, "◎");
} else if (s.equals("△")) {
nextChange(n, "◎");
}
}

public static void main(String args[]) {
new Question341().nextChange(7, "◎");
new Question341().nextChange(7, "×");
new Question341().nextChange(7, "△");
System.out.println("勝敗表は" + count + "通りです");
}
}
   2月20日(木) 0:35:29   MAIL:kasama@s34.co.jp   18097
あんみつ
#18095
なるほどー。
まぁ、どのみちこの手のでは上位とれないので^-^; お気になさらずに。。。
おうち   2月20日(木) 0:36:01     18098
Toru Fukatsu
n回ジャンケンなら(2^(n+2)-(-1)^n)/3 通りになりますね。
   2月20日(木) 0:36:39   MAIL:tfukatsu@tpth.go.jp   18099
鉄老
過去に東大寺やラ・サールでこのタイプの問題がでたことがあります。
最近中学入試でよく出ていますよね。今年の白陵の2次の問題もこの
類いですね。
   2月20日(木) 0:37:58     18100
CRYING DOLPHIN
#18096
見た目からしてフィボナッチの類題のようだ
→フィボナッチ問題のように勝ち・負けあいこ の場合に分けて書き出し
→3回目あたりでフィボナッチもどきの規則が見えてくる

という感じでした、私の場合。

類題の経験があれば同じような展開になった人も多いはず。
逆になれていなければ、相当にてこずる問題だと思います。

Taroさんの書き込みを見る限り、類題があるのでしょうか。
(でも、土佐塾中って…地元以外ではかなりマイナー(^^;)
幼稚園ピカチュウ組   2月20日(木) 0:39:31   MAIL:非公開(セキュリティ上) HomePage:いろいろ。算数もあったり…  18101
フィリピンの鷹
この数列、規則性がわからず。
結局5回戦目の43まで数えてしまいました。
フィリピン   2月20日(木) 0:42:59   MAIL:yasuhiro@ashitani777.com   18103
あんみつ
#18101
私もFibonacci系を疑ってかかったのですが、いかんせん問題を勘違いしていたので。。。例が訂正されたときにはFibonacciのことは頭の中からすでに消えていました。。。^-^;;;
おうち   2月20日(木) 0:43:02     18104
遠い山のぽきょぽん
負けか引き分けの総数が0,1,2,3,4回のときを場合分けして数え上げました。

例えば3回なら

☆◎☆◎☆◎☆◎☆

☆で示したところのいずれかに来るはずなので
5C3×2^3=80という具合に。

…ここの過去問で似たような問題をはやく解いたことがあったから
入賞できてもおかしくないはずの問題だったのに。。

完全に機会をのがしてしまった。(ポカーン..
遠い山から   2月20日(木) 0:50:58     18105
るてみいな
マトモに漸化式解きにいきました。
A_n=(2^(n+2)-(-1)^n)/3 。
よって、A_7=171 。
   2月20日(木) 0:53:40     18106
ponta55555
私も、例で8回じゃんけんが載っていたので、あいこはもう一回やると考えてまして、
必ず、勝ちか負けの勝負が7回決まるまでジャンケン勝負をやるものと、思っていました。
あと、勝敗表という表現が、うまく理解できませんでした。

ですので、
▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎→▲→◎や
▲→◎→▲→◎→▲→◎→×→◎→▲→◎→▲→◎
なども、数えていました。
この数え方で、誰か、一人くらいは、577通りになった人はいないかなあ?^^

結局は
1+7C1×2^1+6C2×2^2+5C3×2^3+4C4×2^4
=1+14+60+80+16
=171
とやりました。
   2月20日(木) 1:30:01   MAIL:ponta55555@hotmail.com   18107
むらかみ
僕もあいこで再試合と勘違いし、初めに変な答えを送ってしまったのですが、
この設定ではややこしかったので「例はマサルさんのミスだろう」と勝手に判断して答えを出しました。
こういう感覚だけ身に付いてるんだよなあ(笑

#18096
算数に慣れている人間であれば易しい方だと思います。
ただ、3分切ってる人は凄いですよね。
ましてや1分なんて人間わざとは思えません。
   2月20日(木) 1:30:42     18108
トトロ@N
#18105 同じです。
もし、勝ちと負けしかないとすると、7勝の場合が1通り、6勝1敗の場合が7通り、5勝2敗の場合が7C2−6=15通り
3勝4敗の場合が1通りで、全部で34通り(フィボナッチ数列)なので4勝3敗の場合が残りの10通り
実際には負けとあいこがあるので、
1+7×2+15×2×2+10×2×2×2+1×2×2×2×2=171(通り)
今日は飲み会だったので終電前で帰宅。参戦は午前2時前となりました。
飲んでる割にはすんなり解けた。でもこの書き込みがうまく打てないよ〜!
兵庫県明石市   2月20日(木) 2:17:07   MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp   18109
Banyanyan
#18105,#18107,#18109
ほぼ同じような解き方でした。

#18099,#18106
でも、どうして漸化式なんて簡単にできちゃうんでしょうか。
場合の数は苦手です。だれか教えてくださ〜い。
京都府   2月20日(木) 2:56:38   MAIL:banyanyan@bj.wakwak.com   18110
ゆんななこ
うーん。
樹形図もどき(!?)でときました。

か―3―3
     か
     か
ま―か―3
あ―か―3

って感じに。
おうち   2月20日(木) 7:36:33   HomePage:ゆかんづめ  18111
いにょ
最初を勝ったとして4試合目まで書き、あとはそれを使って応用でときました
家   2月20日(木) 8:03:49   MAIL:inyo@pyon.ne.jp HomePage:如来堂  18112
らんま
  1回目    2回目         7回目
◎  1   1回目の◎+△+×   6回目の◎+△+×  85
△  1   1回目の◎       6回目の◎      43
×  1   1回目の◎       6回目の◎      43
                             171だね
   2月20日(木) 8:54:06   MAIL:hideko@mti.biglobe.ne.jp   18114
フランク長い
n回勝負で最後が勝ちの場合a(n)通り、最後が負け、あいこの場合をb(n)通り。
a(n+1)=a(n)+b(n),b(n+1)=2a(n)
一般式も出せるんですね
   2月20日(木) 9:19:21   MAIL:tahchan99@yahoo.co.jp   18115
ミミズクはくず耳
おはようございます。

並んだ碁石から、どの碁石も隣り合わない様に選ぶ場合の数
http://kurihara.sansu.org/sugaku/003.html (の一番下)
の応用で、f(n+2) = f(n+1)+2*f(n) で解きました。
遠いところ   2月20日(木) 10:13:26   MAIL:mae02130@nifty.com   18116
有無相生
フランク長いさんとほとんど同じです。
最後が負けをb(n),
最後があいこをc(n)とすると、
a(1)=b(1)=c(1)=1で、
a(n+1)=a(n)+b(n)+c(n)
b(n+1)=a(n)
c(n+1)=a(n)
の関係式がでてあとはEXCELで計算させて、a(7)+b(7)+c(7)=171
where i am   2月20日(木) 10:14:11   MAIL:ancoromochi@ba.wakwak.com HomePage:有無相生の世界  18117
M.Hossie
 こんばんにゃ。いつもなら樹形図でシコシコやるのですが、今回は珍しいことに漸化式 A(n) = A(n-1) + 2A(n) が速攻で思いつきました。A(1) = 3, A(2) = 5 の初期条件でこの漸化式を解けば、A(n) = {2^(n+2) - (-1)^n}/3 です。よって、A(7) = 171 通り .....Final Answer。
東京郊外   2月20日(木) 10:34:16     18118
長野 美光
#18108
>ましてや1分なんて人間わざとは思えません。
彼、人間じゃないから...

えっと、今、天津にいます。
http://yosshy.sansu.org/janken.htm
この記事を先月書いたので、漸化式はすぐでした。

明日、帰国です。
インドネシア   2月20日(木) 10:46:28   HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋  18119
トトロ@N
#18118
ゆうべはお酒のせいでちょっと鈍かったようですね。
確かに漸化式だと簡単ですね。
#18119
彼は人間じゃなかったんですね。
兵庫県明石市   2月20日(木) 11:06:07   MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp   18120
M.Hossie
>彼、人間じゃないから...
 ハハハハハ! それが Taro 氏の「味」ってもんよ!
 しかし、どういう思考回路を持っていたら、この問題1分で解けるのか知りたい。漸化式解くのだって数分掛かっちゃうしね・・・。
東京郊外   2月20日(木) 11:22:20     18121
Banyanyan
小学生ならこんなかんじでしょうか。
ラ・サール中でよく出ているパターンでしょうか。
      ◎           △  ×
1個目             1  1  1
2個目  1+ 1+ 1= 3  1  1
3個目  3+ 1+ 1= 5  3  3
4個目  5+ 3+ 3=11  5  5
5個目 11+ 5+ 5=21 11 11
6個目 21+11+11=43 21 21
7個目 43+21+21=85 43 43

85+43+43=171
京都府   2月20日(木) 12:52:27   MAIL:banyanyan@bj.wakwak.com   18122
kazaya
\  1  2  3  4  5  6  7
 ◎ 1  3  5 11 21 43 85
△× 2  2  6 10 22 42 86

という表を作って考えました(てか、あまり考えてない)。基本的にはらんまさんと同じですかね。
上段(◎)は左の上下段の和。 (前回の結果に関わらず1通り)
下段(△×)は左の上段の2倍。(前回◎のみ△×各1通り)
そう機械的に埋めていけば、計算は15秒で十分。
単純パターンにさえ気がつけば、1分でもできると思います。
僕も瞬殺でした。(問題見たのが昼過ぎでしたが…)
   2月20日(木) 13:17:22     18123
Taro
#18121
> しかし、どういう思考回路を持っていたら、この問題1分で解けるのか知りたい。漸化式解くのだって数分掛かっちゃうしね・・・。

解答時は漸化式を考えたあと、それを解かず、足し算に走りました。
書いているうちに以前同じようなことをやったことを思い出し、調べたら
土佐塾中13年度福岡・大阪版の問題にありました。(HPに問題は転がってます)
こちらは5つまでですので書き出しでも十分解けますが。

新しいPC&回線   2月20日(木) 14:03:24   MAIL:tarox@nifty.com HomePage:もうひとつの理科チャレ2  18124
M.Hossie
#18121
 そうか! いちいち一般項なんか計算しなくても、n = 7 の時だったら素直に書き出して足し算した方が早いですね。漸化式出てくると、どうしても一般項を計算せずにはいられない性格なもんで・・・・。Taro さんには脱帽です。

#しかしそれにしても、1分以内でその足し算を間違いなくやるってのもすごい。
東京郊外   2月20日(木) 15:48:37     18125
???
Cです。
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
static int KOTAE=0;
void saiki(int n, int a[]);
void main(){
int a[8];
saiki(1, a);
printf("答:%d通り\n", KOTAE);
getch();
}
void saiki(int n, int a[]){
int QX;
for(a[n]=0; a[n]<=2; a[n]++){
if(n==1 || a[n]==0){
QX=1;
}else{
QX=(a[n-1]==0);
}
if(QX){
if(n<7){
saiki(n+1, a);
}else{
KOTAE++;
}
}
}
}
   2月20日(木) 16:17:09     18126
ハラギャーテイ
やっと入れた。

プログラムにてこずった。これに懲りずにがんばろう。
北九州   2月20日(木) 16:40:21   HomePage:ハラギャ−テイの制御工学にチャレンジ  18127
ねこやん
数列です。
n回試行を行うならば、1回目に勝ちならば次からのパターンはa(n-1)通り
負けorあいこならば次はかならず勝ちでそれからはa(n-2)通りで
an=a(n-1)+2a(n-2)(n≧3)
で順次求めていくとa7=171
   2月20日(木) 17:25:05     18128
吉川 マサル
あのーーー、非常にお恥ずかしい話なんですが・・、

http://www.sansu.org/TEST.gif

この問題、解いてみていただけないでしょうか。一応中学生の問題なんで、使えるのは三平方の定理と円の性質くらいまでなんですが...。
Mercury   2月20日(木) 18:20:02   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  18130
ミミズクはくず耳
>#18130
どうやるんでしょうねえ???
Excelで答えは分かったので、
少なくとも算数で解けないことは分かりましたが。
遠いところ   2月20日(木) 20:16:51   MAIL:mae02130@nifty.com   18131
ふじさきたつみ
樹形図を半分書いてもとめました。◎から4代目は11こ、×から5個、△から5個
なので、7代目は11×11+5×10=171
#18130の問題はこれからやってみます。
   2月20日(木) 21:13:59   MAIL:fujisaki@octv.ne.jp   18132
野原燐
あーあ、3回目でやっとできたがまだよく分かっていない。
   2月20日(木) 23:00:20   MAIL:VYN03317@nifty.com   18133
ふじさきたつみ
#18130の問題 解けたんでしょうか?
 
<補題>
   四角形ABCDの対辺AB,CDと等角をなす直線を、円の中心Oを
  通ってひき、AB,CDと交わる点をE、Fとすれば、
     AE・FD=BE・CF=OE・OF
<証明>
   等角の大きさを xとおけば、   ∠AEO=∠OFD=x
   OをA,Dと結べば、       ∠EAO=∠OAD(=yとおく)
                    ∠ODA=∠FDO(=zとおく)
   四角形AEFDにおいて、内角の和をとると、
      2x+2y+2z=360度
     ∴  x+y+z=180度  ・・・・・
   △AEOの2つの内角が、x、yであるから、,砲茲辰
        ∠AOE=z
   同様にして、   ∠AOD=x、∠DOF=y
   よって、  △AEO∽△AOD∽△OFD
       ∴  AE:EO=AO:OD=OF:FD
       ∴  AE・FD=OE・OF ・・・・・
  四角形EBCFで同様にして、
          EB・CF=OE・OF ・・・・・
   ◆↓により 証明された。

 次に Oから、AB,CDに垂線を引いて、交点をG,Hとして、
        GE=HF=kとすると
     補題より 
       AE・FD=BE・CF=OE・OF
     よって、これに問題の数値を代入すると、
       (2+k)(1+k)=(3−k)(4−k)=OE・OF
     これより、k=1、 になり、
       OE・OF=3×2=6
     ∴  OE=OF=√6
   また、△OGEは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より
        OG=√5
    よって、求める内接円の半径は、√5  
 #18131 算数では解けないそうですので、√5はいいせん?    
   2月20日(木) 23:06:07   MAIL:fujisaki@octv.ne.jp   18134
わっき
ちなみに8回戦の場合は、293通りになるような気が・・・
341が正しいのでしょうか
   2月21日(金) 18:27:06     18135
ミミズクはくず耳
#18134 ふじさきさん、すごいですね。

ちなみに私は
{atan(x)+atan(x/2)+atan(x/3)+atan(x/4)}/pi() = 1
となるxを探したら、2.2360679に行き着きました。
(単調なんですぐ見つかります)
なお、atanはアークタンジェント、pi()はパイ(π)です。
遠いところ   2月21日(金) 19:53:22   MAIL:mae02130@nifty.com   18136
M.Hossie
この #18130 の問題、難しいですね。昨夜遅くまで格闘しましたが轟沈しました。
まずは 2{Arctan r + Arctan r/2 + Arctan r/3 + Arctan r/4} = 2*pi (360 度) ということで、この図形と半径 r が一意に決まることは分かったんですが、これに正弦定理などの三角函数をあれこれやってもダメでした。藤崎さんサスガです。

P.S. ホンマにこれ、中学生向けの問題なんかしら???
東京郊外   2月21日(金) 21:01:48     18137
トトロ@N
#18135
漸化式によれば、6回戦が85通りで7回戦が171通りなので、8回戦は85×2+171=341通りになります。
また、8勝の場合が1通り、7勝の場合が8×2=16通り、6勝の場合が21×4=84通り、4勝の場合が5×16=80通り
最後に5勝の場合が、55−(1+8+21+5)=20 20×8=160通りで、1+16+84+160+80=341通りとなりました。
兵庫県明石市   2月21日(金) 21:11:55   MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp   18138
ハラギャーテイ
#18137 M.Hossiさん  #18136 ミミズクはくず耳さん  
Mathematicaでは

Solve[ArcTan[x] + ArcTan[x/2] + ArcTan[x/3] + ArcTan[x/4] == Pi, x]

として解が  x->Root(5) と何の警告もなく出ました。
北九州   2月21日(金) 21:21:25   HomePage:ハラギャーテイの制御工学にチャレンジ  18139
M.Hossie
#18139
 何の警告もなく出るということは、r = root5 というのが一意解なのでしょうね。コンピューターの力は偉大ですね。これを人間の手計算でやれなんて言われた日にゃあ。。。 (涙
東京郊外   2月21日(金) 22:15:12     18140
吉川 マサル
#18134
 うお、ありがとうございます!といってもまだ読めてないのですが..。これから読みます。(大学入試直前で質問やら何やら忙しくて....ゴメンナサイ)
 それにしても、きちんと初等幾何で解けるんですね!スゴイっす。
Safari   2月22日(土) 0:28:31   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  18141
前田先生@P進学院
久々の参加です。
5戦目まで樹形図を書きました。
で、3、5、11、21、43
そこで規則性を考えたとき
3 →5 ( 3*2−1)
5 →11( 5*2+1)
11→21(11*2−1)
21→43(21*2+1)
となっていたので
(43*2−1)*2+1=171

毎回参加を誓ったのが去年の1月・・・
で、結局ほとんどこれてない(涙)
もっと時間が欲しいです
シンデレラ城203号室   2月22日(土) 4:12:41     18142
わっき
>トトロ@Nさん、ありがとうございました。
そうか、4勝は5通りあるんですよね。

皆さん#18130で盛り上がる中、失礼しました。
   2月22日(土) 10:23:05     18143
Toru Fukatsu
わたしには初等幾何は無理ですが、三角関数なら、
tanθ1=1/r,tanθ2=2/r,tanθ3=3/r,tanθ4=4/r,
tan(θ1+θ2+θ3+θ4)=0、(θ1+θ2+θ3+θ4=π)をtanの加法定理を3回使って、計算すると、分子がtanθ1+tanθ2+tanθ3+tanθ4-tanθ1tanθ2tanθ3-tanθ1tanθ2tanθ4-tanθ1tanθ3tanθ4-tanθ2tanθ3tanθ4=10/r−50/r^3=0 よりr=√5
   2月22日(土) 11:22:37     18144
つく子
学校で同じようなことをやったので,(漸化式)
すぐに解けました.
   2月22日(土) 13:48:26     18145

やっと入れた
   2月22日(土) 19:01:44     18146
bokkun
ひえぇ。85+86を間違えて191にしてましたぁ。

次回もがんばりま〜っす。
   2月22日(土) 20:59:14     18147
koba-shonen
樹形図書いて、シラミツブシにやりました。
昔から、「何通りか」という問題は「全部書き出して数える」という手しかパッと思いつかなかったもので…(←これで国立大学現役合格…^^)
   2月23日(日) 1:53:13   MAIL:mune-kobayashi@ck.tnc.ne.jp   18148
大岡 敏幸
全部勝った表を元に考えました。
◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎
これにあいこ▲、負け×をあてはめていきました。(地道かな?)
1回勝てなかった時、上記の◎のどこかに▲、×のいずれかが入る。
よって7×2通り(▲、×の2通り)
同じようにあとは2,3、4回勝てなかった場合を考える。最高で4回勝てない場合がある。5回以上はなし。

0回:1  1回:7×2  2回:15×4  3回:10×8  4回:16
まとめて  1+14+60+80+16+=171

よって171通り  今回は算数らしく解かせてもらいました(^^)
石川県   2月23日(日) 22:55:56   MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp   18149
ハラギャーテイ
#18137 M.Hossiさん  #18136 ミミズクはくず耳さん
#18144 Toru Fukatsuさん

BAを延長してCDを延長して交わったところをEとすると
AE=3、 DE=4 となる。(ここが問題ですが)
すると ヘロンの公式Root(s(s-a)(s-b)(s-c))で面積はもとまり、
内接円からの面積はs*rなのでr=Root(5)
これも同じ大学入試程度でしょうか。
結局私にはわかりません。
北九州   2月24日(月) 16:31:52   HomePage:ハラギャ−テイの制御工学にチャレンジ  18150
武田
#18150
△EABと△ECDの面積の比を2通りに表します。
ひとつは∠Eが共通なことで、
もうひとつは内接円と傍接円の半径を用いて各三角形の面積を表します
ちなみに出てくる方程式は数値(今回は14ですね)によらず1次方程式になります。
   2月25日(火) 17:13:51     18151
武田
14→1〜4
   2月25日(火) 17:14:55     18152
M.Hossie
#18150, #18151
 ハラギャーテイさんの解法も武田さんの解法も follow 出来ました。シンプルに見える問題が案外難しいという好例ですね。

 ところで、本日行われた東大入試の理系数学の6番目、「円周率π>3.05 を証明せよ」。これはすごい。級数展開を利用するような解法はいかにもまずいし・・・。どうやったらいいのかしら? 今晩少し考えてみます。

#「π>3 を証明せよ」だったら、円内接正六角形で小学生の問題なんですがね。
東京郊外   2月25日(火) 20:43:18     18153
tomo
円内接正12角形でsin15°を計算してあげると
π>3.1が言えました。
   2月25日(火) 23:05:48     18154
tomo
次にいける場合の数を数字で表し、
◎→3
▲→1
×→1
3の数 1 1 3 5 11 21 43
1の数 0 2 2 6 10 22 42
と表を作り
43×3+42=171と求めました
表は
3の数:n+1回目はn回目の3の数+1の数
1の数:n+1回目はn回目の3の数×2
の関係です
n+1回目はn回目の3の数+1の数
   2月25日(火) 23:14:02     18156
Toru Fukatsu
内接円の中心をOとして三角形ODCをDがA、CがBへ重なるように移動してOの移動先をO'とすると、四角形O'BOAは角AOB+角AO'B=180°だから円に内接し、この円の中心をPとするとPはABの垂直ニ等分線上にある。さらにABとPの距離をxとすれば、PO'=PO=PAより(r-x)^2+(3/2)^=(r+x)^2+(1/2)^2=x^2+(5/2)^2 これを解けばr=√5 これなら中学レベルで行ける?
   2月25日(火) 23:32:33     18157
M.Hossie
 結局昨夜遅くまで東大数学の問題を全部解いちゃいました。文系数学で4完、理系数学で5完です。レベル的には昨年よりちょいムズですが、昨年同様「目くそ鼻くそ」レベルの感が有ります。この易化傾向は定着したと考えても良さそうな感じですね。この位のレベルの方が得点分布が幅広くなって篩い分けしやすそうです。理系なら理1・理2で3完、理3で5完すれば数学で落ちることは有り得ないでしょう。また例によって多少のコメントなど。

[文1・理1]共通問題だが、文系用は1つ条件を増やして軸の位置の場合分けの手間を減らしている。まあどっちにしても2次函数の最大最小というチャート式とかに有りがちな典型問題。これを落とすと苦しい展開。
[文2]線型計画法 (Linear planning) ですね。これも『オリジナル数1』の例題に有りがちです。a 又は b が負だったら原点が最小値になるのは当たり前なので、y 切片が正の時の2つの切片の上下関係で場合分けするだけでしょう。
[文3・理4]共通問題だが、文理で微妙に符号が違うのと、誘導の与え方も微妙に違う。(1) は解と係数の関係、(2) は1の位がサイクルすること、(3) ではβは -1 と 1 の間であることが分かればたわいもない。これも落とすと苦しい展開。
[文4]具体的に n = 2 まで書き出せば分かるはず。(3) は漸化式を使うヤツです。東大では漸化式を用いた確率の問題が超頻出です。受験生が必ずマスターしておくべきテクでありましょう。
[理2]ぼくはこれから解き始めました。t = 3 を入れれば角度が 45 度になるのが分かるので、きっとこの P の locus は AB を弦とする優弧だなと察することが出来る。実際、(B-P)/(A-P) をせこせこ計算すれば (1 + i) が出て来るので、arg が 45 度になる。(2) は計算なんかせんでも、A, B, O を通る3点の円の方程式はすぐ分かるので、中心に関して O と対称な点 (6 + 8i) が求める答えなのだと知れる。
[理3]断面積を積分して体積を出すってのも東大では頻出で、この問題ではわざわざ「 z = t での切り口の面積を考えよ」とか「t = 1 - cosθと変数変換せよ」なんて出血大サービスである。(1) を出すのは簡単だが、積分計算には「和積変換公式」を駆使せねばならず骨が折れる。答えはπ- 16/9 と、とても簡単な値になった。
[理5]ぼくは (1) だけ解いて気力が萎えました。余事象を考えまくりなのですね。理系の中では一番大変な問題なのでは?
[理6]「π>3.05」ですが、ぼくも円内接正12角形の周長で考えたらすぐに出来ました。いやもっと多角形で近似しないといけないかなとか思ったんですが。確かユークリッドさんは正96角形くらいまで計算して円周率を出してたという話で、偉大なる「暇人」であります (ガウスさんだったかも?)。因みに、ユークリッドが研究していた場所は古代エジプトのアレキサンドリアであり、彼の著作がラテン語に訳されたのはルネサンス期なのであります (世界史の一問一答に出ていた)。まあこんなところで。
東京郊外   2月26日(水) 21:19:07     18158