吉川 マサル
うーん、書き込みが全くない...。
Mercury   6月12日(木) 0:25:45   MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ  18801
nobu
DE:DB=AC:BC と 角DEB が角A の半分であることから BCの下に正三角形BCP を作ると 三角形DBEと三角形ACP の相似であることがわかります。
ということを使って解きました。
金沢   6月12日(木) 0:49:47   MAIL:nobu-j@spacelan.ne.jp   18802
トトロ@N
はじめ36で、次に18になって偶然当たったようです。
帰宅後更新まで時間がなかったので、正解とわかってから風呂に入ってました。
これからもう一度考えてみます。
兵庫県明石市   6月12日(木) 1:07:36   MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp   18803
圭太
∠A=84度、∠C=48度の三角形であってるかな?
初め、原始的は方法・…で解いたので理論的にはわからなかったです。(^-^;
米所〜♪   6月12日(木) 1:23:13     18805
ハラギャーテイ
おはようございます。難しかった。
北九州   6月12日(木) 7:17:15   HomePage:ハラギャーテイの制御工学にチャレンジ  18806
Toru Fukatsu
書き込みが少ないのでもちろん反則ですが、三角関数を使った私の解答を書いておきます。角ABC=角ACB=θとすると角DEB=π/2-θ、角DBE=5/2θ-π/2 またAB=AC=1とすればBC=2cosθ、AD=DE=1/(1+2cosθ)、DB=2cosθ/(1+2cosθ)、三角形DBEに正弦定理を使って、1/(1+2cosθ)/sin(5/2θ-π/2)=2cosθ/(1+2cosθ)/sin(π/2-θ)これを計算するとsin(5/2θ-π/2)=-cos5/2θ=1/2 0<θ<π/2より0<5/2θ<5/4πで5/2θ=2/3π よりθ=4/15π よって角EBC=角DBC-角DBE=π/2-3/2θ=π/10 
   6月12日(木) 10:59:02   MAIL:tfukatsu@tth-japanpost.jp   18807
ポケモンハルカ
立体図形だけでなく、平面図形も苦手なことがわかりました。
米谷   6月12日(木) 14:21:08   MAIL:asu1207@yahoo.co.jp   18808
M.Hossie
 こんばんにゃ。今週の問題が先週のに輪をかけて難しい問題だと思われます。書き込みが殆ど無いですしね。認証で答えを出した人も多いのではないでしょうか。
 こういう問題では迷わず三角函数を持ち出して解いてしまいましょう。アプローチの仕方は深津さんが下に書かれてあるものと同じであります。とにかく三角函数の雨あられをめげずにごり押しで解くのであります。

 角 A = 2α、角 C = 2β、AB = AC = x とおく。
 まずは△ADC に対して正弦定理を適用して、AD/sinβ = x /sin3β。
 3倍角の公式 sin3β= 3sinβ - 4sin^3β (「サンシャイン引いて夜風が身に沁みる」なんて3倍角公式の覚え方を教えている数学教師は 1999 年に絶滅しています) を適用して、
AD = x/(3 - 4sin^2β).....(1)
よって、DB = AB - AD = 2x (1 - 2sin^2β)/(3 - 4sin^2β) .....(2)
 AD = DE な訳なんで、今度は△DEB に正弦定理を適用して、
DE/sin(3β-α) = DB/ sinα これに (1), (2) 式、及び sinα = cos 2β を代入。
すると、cos 2β = sin (3β-α) * 2 (1 - 2sin^2β) .....(3)。
 右辺第1項 sin (3β-α) = sin3βcosα - cos3βsinα に、sinα = cos 2β と cosα = sin 2β を代入すれば、
与式 = sin3βsin2β - cos3βcos2β となり、これは -cos5β に等しい。
又、右辺第2項 1 - 2sin^2β = cos 2β なので、これを (3) に代入すれば、
-2 cos5β = 1 よって、cos5β = -1/2 であり、5β = pi/3 (120 deg)。
 よって、βは 24 deg。
 α+2β = 90 deg なので、αは 42 deg。
 求めるべきは、α- β で、これは 42 - 24 = 18 deg (pi/10) .....Final Answer。

 話は変わりますが、大分市の中学で、生徒の指導を巡って同僚と口論になった先生が、いきなり出刃包丁を持ち出し、振り回して「殺してやる!」と絶叫したという話が新聞に出ていましたね。もうムチャクチャであります。そのうち、ファンタのCMで、「3年J組出刃包丁先生」ってなコントに使われそうな予感がします。注意しましょう。
都内某所   6月12日(木) 16:42:03     18809
ハラギャーテイ
a=2*Sin[α]
b=1
ad=b/(a+b)
db=a/(a+b)
β=1/2(Pi/2-α)
Pi-(3α+β) -> 3Pi/4-5α/2 (ここは単に計算)
Solve[ad*Sin[α]==db*Sin[3Pi/4 - 5α/2], α]
逆関数がSolveにより使用されているので,求められない解のある
可能性があります.(このような警告がでる。)
α=0, α=7Pi/30 これがMathematicaの解
7*180/30 -> 42

Matematicaでやった結果です。

ところで土曜日から山口市の湯田温泉に行きます。
母の家が古くて泊まりにくいので母と私たち夫婦で
行きます。母の家は山口市です。温泉も楽しみです。
北九州   6月12日(木) 17:54:54   HomePage:ハラギャ−テイの制御工学にチャレンジ  18810
M.Hossie
#18810
 湯田温泉は山口県内の温泉では交通の便がいいところですね。湯田温泉には、「清水温泉」という自家泉源を持つ温泉銭湯が有ります。浴室も明るい感じがして、かなり熱めの湯がじゃんじゃん掛け流しになっています。ここ以外に共同浴場がないので、是非訪れてみて下さい。
 電車ですと、山口線の山口駅から徒歩15分くらいです (湯田温泉駅からだとだいぶ歩くことになるのでやめましょう)。場所は済生会山口病院の隣です。タクシーの場合は、「済生会病院まで」と運転手さんに言いましょう (ワンメーター。「清水温泉まで」なんて言うと、「温泉ヲタ」だと思われるのでタブーです)。お車の場合、地図で済生会山口病院かNHK山口放送局を目標にして下さい。駐車場は有りませんので、済生会病院の患者用駐車スペースに止めて下さい。
都内某所   6月12日(木) 21:50:03     18811
吉川 マサル
今回の問題ですが、一応ギリギリ算数?と思われる解答(角の二等分線の公式を使っちゃうのですが...)を用意してはいます。#18802のnobuさんの解答と似たものなんですが、一応火曜日あたりに書きこむことにします。ハイ。

 ちょっと反則かも...。(反省
MacOS X   6月13日(金) 11:37:15   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  18812
nobu
前回の解答は少し遠回りでした。

△DBEを点Dを中心に点Eが点Aに重なるように回転し、
その三角形を△DPAとします。
次に点Dから辺BCに平行な直線を引き、辺ACとの交点をQ
とすると、△DPQが正三角形になります。(証明略)
以上より ∠DPA=∠DBE=30°であることがわかり・・・。

というはどうですか。
   6月13日(金) 12:55:13   MAIL:nobu-j@spacelan.ne.jp   18813
DrK
今回は、求める角度をXとすれば、
2△+○=90
3○+△+(2△-X)=180
ここから、X=○-△
ここから変形していくと、
X+3△=90
このことからXは3の倍数、○は2の倍数ということがわかり
あとは、3の倍数を順次入れていって正解しました。
かなり課題が残った問題でした。
   6月13日(金) 12:57:44   MAIL:satoka@star.odn.ne.jp   18814
高橋 道広
算数で解けませんでした(^_^;)三角関数で解きました。

みなさん解答を書いてるので 私も...
角C=2x AC=1とすると BC=2cos2x 角A=180-4x
内対角より 角BDE=180-3x   条件より 角DEB=90-2x 
よって 角DBE=5x-90
次に角の2等分線の性質から AD:DB=1:cos2xであるから 
DE=kとおくと BD=kcos2x
これで準備完了 三角形BDEに正弦定理を使って
DE/sinDBE=BD/sinDEBから k/sin(5x-90)=2kcos2x/sin(90-2x)となり
sin(5x-90)=1/2 5x-90=30 x=24となります。
よって 48-30=18度を得ます。
逆に
角DBE=30度になることををうまく使うか 三角形BDEの外接円の半径がDE
になることを使って正三角形 とか利用すると算数の解答を作れるかも
知れません。
これから考えます。
北の隠れ家   6月13日(金) 13:06:21   MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家  18815
吉川 マサル
#18809

 私は生徒にsin3β= 3sinβ - 4sin^3βの公式の覚え方として「サインさん、三振ばかりしなさんな」って教えてます。ポイントは「ば」を「bar」すなわち「−」と変換するところでしょうか。(^^;;
MacOS X   6月13日(金) 17:18:56   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  18816
M.Hossie
>「サインさん、三振ばかりしなさんな」
 気のきいたゴロ合わせ、さすがは超人気実力派売れっ子講師のマサルさんですねー!! マサルさんの授業を聞きに夏期講習に参加したいもんです。

 やはり数学と、特に英語は、自学自習よりも夏期講習に限る!!!!
都内某所   6月13日(金) 21:49:59     18817
kata
∠DBE=30がでれば、∠EBC=xとしてDCB=15+x/2、
∠DEB=60−xより∠BEC=120+xで△EBCで
x+15+x/2+120+x=180でx=18
   6月14日(土) 4:15:35     18818
DrK
#18810#18811
湯田温泉といえば、中学の修学旅行で行きました。
1982年5月のことになります。
このときは広島、岩国の錦帯橋を見て、最終日は山口の萩に行くコースでした。この2年後からはスキーになったのですが、よくよく私はスキーには縁がないようで・・・このころに行わないとやはり無理ですね。
このコースで何が楽しいのかという気もします。広島の問題に関心を持つ人は半分以下でしょうし、萩を見てもここで維新の基が築かれたといってもぴんと来ないでしょうし・・・
ローティーンで温泉もないでしょう。
今だったら結構いいかなとも思うのですが・・・・・
今は楽園かな?   6月14日(土) 17:22:59   MAIL:satoka@star.odn.ne.jp   18819
DrK
殆どの方が算数ではなく、三角関数を用いられているようですね。
私の場合は、変数が3つに対して式が2つしか思いつかなかったので、答えが出ませんでした。
今は楽園かな?   6月14日(土) 17:28:58   MAIL:satoka@star.odn.ne.jp   18820
牧野隆盛
sin3β=3sinβ-4sin^3β
こちらの学校では「サインさん、三振 参った、4ボール散々」
・・・なんのこっちゃ?って気もしますw

やはり、「三振」は使ってますね
   6月14日(土) 23:55:34     18821
kasama
こんにちは。う〜ん難しい。いや〜まいりました。完敗です。私には相当の難問でした。いつもは、会社でやっているのですが、今回ばかりは自宅に持ち帰り土日にいろいろ考えてみました。問題の図形を何枚か印刷して、切ったり、繋げたり、補助線を描いてみたり・・・とやってみましたが、紙屑だけが増えていくばかりで・・・図形はシンプルで解けそうで解けない・・・もう私の能力では・・・遂にギブアップしてしまいました。算数の難しさ、奥の深さを思い知り、自分の能力の無さを痛感した心に残る良き一問でありました。今回はこれ以上この問題と格闘しても解ける見込みはないと判断し、皆様の書き込みや管理人のマサルさんの解き方を拝見させて頂き勉強させてもらう側にまわります。今回はいつもより書き込みが少ないようですが、皆様、ジャンジャン書き込みをお願いします。

解けはしなかったけど、図形について、あれこれと考えることは楽しく、小学生の頃に戻りワクワクするような気分です。ですからこれにめげずに、今後も挑戦し続けたいと思います。しかし、もし私が受験生なら、このような問題が試験に出題されるのはご勘弁頂きたいものですね。

でも・・・このまま終わるのは悔しいですしねぇ・・・数学で解いた方もいるので、私もそれに乗じてイエローカードを承知の上で、苦し紛れで数学でやった解答でも書き込んで掲示板を汚しておきま〜す^-^。3倍角の公式を利用した解答は「サインさんは・・・」の名言付で丁寧に解説されていますが、それを使わないで解きました(本当は単に覚えていないだけで、使えなかったのですよ^^;)。学生時代に、そのような名文句を聞いていれば今でも覚えていたかもしれませんよね^o^;。

・-----・ 解き方 ・-----・-----・-----・-----・-----・-----・-----・-----・

さて、解き方ですが三角形BDEに正弦定理を適用します。
A=2α、AB=AC=1、BD=L、∠DBE=Xとすると、
 L/sinα = (1 - L)/sinX ・・・
です。

次に、CDが角の2等分線であることに着目して
 CB:CA = BD:DA ・・・ ※
 → 2cosC:1 = L : 1-L
 → L = 2cosC/(1 + 2cosC) ・・・

さらに、角CとXはαで表現すると、
 C = 90 - α、X = 135 - 5α/2 ・・・
となります(ここは算数だ)。

,豊◆↓を代入すると、
 2cos(90 - α)/(1 + 2cos(90 - α))sinα
  = 1/(1 + 2cos(90 - α))sin(135 - 5α/2)
となります。
複雑そうに見える式で、扱うのがイヤになりそうですが、加法定理を利用して
 cos(90 - α) = sinα
 sin(135 - 5α/2) = {sin(5α/2) + cos(5α/2)}/√2
となることに注意すると案外綺麗に整理できて、
 sin(5α/2) + cos(5α/2) = 1/2
となります。

ここで、単振動の合成を行います(力学で使うことが多いですが、高2のとき数学の先生に教えてもらいました^-^。3倍角の公式は忘却の彼方ですが、これは大人なっても使っていたので覚えています)。すると、
 sin(5α/2 + 45) = 1/2
これをα>0の範囲で解くとα=42となります。後は芋づる式に問題の角度を求めることができます。

以上、数学でやると秒殺とはいきませんが、算数的なセンスを欠いた私でもほとんど機械的に解けますね^^。これは数学の強みかもしれませんね。

・-----・ おまけ ・-----・-----・-----・-----・-----・-----・-----・-----・

蛇足ですが,※について説明します(既成事実かも?)。
△CBDと△ACDの面積に着目して、θを角Cの半分とすれば、
 2△CBD=CD・CBsinθ、2△ACD=CA・CDsinθ
です。またこれらの三角形の高さは等しいので
 △CBD:△ACD = BD:DA
つまり
 BD:DA = CD・CBsinθ: CA・CDsinθ = CB:CA
です。
和歌山   6月16日(月) 12:46:08   MAIL:kasama@s34.co.jp   18822
ハラギャーテイ
#18811,#18819
湯田温泉に行ってきました.知らなかったのですが,
泊まったところが「湯別当 野原」と言うところで
江戸時代に別当と言う官位を与えられて毛利家の
殿様の湯であったのだそうです。(昭和初期は千人湯とか
4箇所がすべてだったそうです。)

湯田温泉の最近の豪華ホテルに負けて目立ちませんが,
良かったです.70度の源泉を冷ませて加水せずに昔どおり
ですので本当の温泉をお楽しみくださいとありました。設備は
もうひとつですが,温泉はとっても良かったです.創業時からの
庭も良かった.

湯田温泉には風呂だけ入れるサービスもあります。山口の
家の風呂が壊れているのでいつも500円払って入りに行って
いましたが,最近は宿泊に変えています.

夏に湯に入るとは若い頃には暑いだけと思っていましたが,
今では血行が良くなったような、肩のコリが減るような
気持ちの良さです。温泉めぐりをもっとやりましょう.
北九州   6月16日(月) 13:52:58   HomePage:ハラギャ−テイの制御工学にチャレンジ  18823
ψ(プサイ)
図形問題なんか大嫌いですw
亜空間宇宙   6月16日(月) 19:54:33   MAIL:psi@pub.to HomePage:科学のページ  18824
吉川 マサル
一応、お恥ずかしながら想定解を...。

 えと、まず点DとBEに対して対称な点を点D’とでもします。すると、△EDD’は△ABCと相似ですよね。ってことは、ED:DD’=AC:BCです。さらに、角の二等分線の定理から(ココがちょっと算数としてはアヤシイんです...)、AC:BC=AD:BDです。ってことは、ED:DD’=AD:BDってことになって、さらにED=ADですから、DD’=BDってことになります。
 とすると、△BDD’は正三角形ってことになって、∠DBE=30°が分かります。あとはまぁ他の方々と同じような解き方です。ハイ。

#18813 のnobuさんの解答のほうが、角の二等分線の定理を使わない分、スマートな気がしますデス。
MacOS X   6月18日(水) 13:44:33   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  18825
すてっぷ
nobuさん(#18813)に脱帽です。
算数を探し求めて、1週間堂々巡りしました。TIME UP!
同じく、正弦定理です。

DからBCに平行線を引き、ACとの交点をFとします。あきらかに
BD=CF・・・・・・(1)
∠FDC(=∠BCD)=∠FCDより、三角形CDFは二等辺三角形。
したがって、
DF=CF・・・・・・(2)
(1)、(2)より
DF=BD・・・・・・(3)

∠A=2α、∠DBE =βとします。
ただし、角度の単位はDEGとし、省略します。題意より、あきらかに、
0<α<π/2、
0<β<π/2・・・・・・(4)、
∠BDE=α、∠AFD=π/2−α、
AD=DE・・・・・・(5)

三角形ADFで、
DF/sin2α=AD/sin(π/2−α)
ここで、(2)、(5)とsin2α=2sinαcosα、sin(π/2−α)=cosα
を使い、両辺をcosα(≠0)で割ると、
BD/(2sinα)=DE・・・・・・(6)

同様に、三角形BDEで、
BD/sinα=DE/sinβ・・・・・・(7)
(6)、(7)より、
sinβ=1/2
(4)の範囲では
β=30(DEG)

以下略(kataさん#18818他を参照されたし)。
やっとこ、さっとこ   6月18日(水) 18:51:34     18826