トトロ@N
問題には正三角すいとは書いてありませんが、勝手に想定して求めました。
兵庫県明石市   3月18日(木) 0:07:42   MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp   20745
はなう
#20745 多分正三角錐は必要条件じゃないですね

一発で正解☆よかった

適当に、BCDかいて、Pを通ってBC・CD・BDに平行な3本の線を書いて、あとは平行四辺形〜みたいな
   3月18日(木) 0:09:24     20746
あ〜く@旧N
点Pが△BCD上にあるという条件を読み忘れていて、少し戸惑りました(^^;)

#20734 M.Hossieさん
返信遅れました(汗)
算数っぽい問題というのは最後の問題です。(〜に接する円)
京大はこれから平成18年(?)に向けて色々方針転換していきそうですね。
(法人化もされますし・・・その最初として示されたのが今年の数学?)
未完成の蜜柑星   3月18日(木) 0:09:28   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20747
Taro
Bのまわりの角を全て直角、辺の長さを全て等しくしてΔBCDについて図を描いて
考えました。
でも、AからBの方向へ見た平面図だけ書いても解けることが判明・・・
Mystery   3月18日(木) 0:11:15     20748
吉川 マサル
 ここんとこ少し難しめの問題が続いた(と私は思っていたのですが...常連さんはそうでもないかも)ので、やや簡単な問題にしてみました。私が意図的に簡単な問題を作成すると、「やたら簡単」になる傾向にあるのですが、今回はまぁ遊べるレベルかなぁと思っていたりしますが、どうでしょうか?
MacOS X   3月18日(木) 0:10:58   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  20749
なか
三角形BCD上の、点Pの三角座標を (b,c,d)、ただし b+c+d=1、とすると、
体積は (1-b)^3 : (1-c)^3 : (1-d)^3 = 1/8 : 8/27 : ?と考えました。
北海道   3月18日(木) 0:12:24   MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page  20750
n
きたーーーーーーーーーーーーーー
   3月18日(木) 0:11:39     20751
辻。
体積比の三乗根=相似比から△BCDを書いて点Pの場所を決め
あとはベクトルで無理矢理出しました(ーー;)
3/14と3/21は山梨   3月18日(木) 0:11:49   HomePage:辻部屋。  20752
吉川 マサル
#20747
 京大って、文系に数C(行列とか)を課すんですよね。現場は大変だろうけど、私はこういう試みはアリ(というか素晴らしい)だと思います。
MacOS X   3月18日(木) 0:12:17   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  20753
受験勉強君
今回は立体図形の問題のようで平面図形の問題でした。なかなかうまくできた問題だと思います。今まで130番とかでかい数字だったので小さい数字にしようと思ってがんばりました。
   3月18日(木) 0:14:54     20754
受験勉強君
あっと説明が足りませんでした。(さっきのメッセージ)数字とは正解者一覧の順位のことです。(^^;:
   3月18日(木) 0:17:45     20755
kasama
こんばんわ、あせって、5/6を転送していました(-_-)。
和歌山   3月18日(木) 0:18:50   MAIL:kasama@s34.co.jp   20756
あ〜く@旧N
#20753
経済学部では微分積分、計算の山とか良く聞くので私も「良い」と思います。
そういえば、最近になって数掘Γ辰泙濃邯海貌れる文系学部(神大経済等)もありますね。

昨日初めて聞いたことですが、新課程(?)に入ってからは医学部などでは理科で
「化学・生物・物理」三科全てを試験必須科目にするようなことを・・・本当ですか?(数学とは関係ありませんがw)
未完成の蜜柑星   3月18日(木) 0:20:38   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20757
はなう
一般的に考えても、凄く綺麗になりますね
全体の体積を1とした時、
一回目の切断の時の立体の体積をa^3
二回目の切断の時の立体の体積をb^3
とすると問題の体積は(2-a-b)^3 ですね
2-a-bが0と1の間にない場合はPが外です

今回も(2 - 1/2 - 2/3)^3=125/216
   3月18日(木) 0:24:39     20758
とまぴょん
体積比の立方根をとれば、△BCD上の平面における線分比がわかるので
あとは、△BCD上の平面上で平行線の比を考えるだけで、ごくごく簡単にできました。もっと他にあっとおどろく解法があるのかな?
   3月18日(木) 0:30:59   MAIL:y-tomari@zd5.so-net.ne.jp   20759
遠い山のぽきょぽん
BCDのCDに対する中点連結線を
2:1に内分したところがPなので
あとは5/6を3乗するだけですね。

長いこと3乗とするところを2乗としていた痛恨のミス。
遠い山から   3月18日(木) 0:36:53     20760
ゴンとも
今回は30分前には起きてましたが直前に眠ってしまいました。
そんなに問題を見るのに遅れませんでしたが頭回りませんでした。
解法としては面に平行なため立体は底面に正射影というか落としました。
落とす時に面積の2乗は無くなり題意の1/8,8/27はそれぞれ1/2,2/3です。
平面でも並行なため題意の答えとなる平面の面に落とせ1/2+2/3-1=1/6
1-1/6=5/6です。これを逆に立体に戻すと3乗で125/216・・・・・・(答え)
すいません図が使えないためわかりにくいです。#20746の人と同じです
たぶん。
愛知県豊川市   3月18日(木) 1:41:15   MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp   20761
うしたま
三角すいABCD内の任意の点(空間上の点)とすると、ものすごく難しい問題になりそうですね。△BCDと平行な面で切る条件を与えて。
考えたくないけど・・・。
   3月18日(木) 1:42:57     20762

#20749
はいこのレベルならお馬鹿な私でも・・・
酔っぱらい天国   3月18日(木) 1:50:52   MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPES  20763
ゴンとも
すいません正射影関係ないです。それで落としたら答え違います。
平行面の底面上の線で考えるというだけで落とすとかいえないんじゃないかと。なにせ眠いかなんかで頭回りません。すいませんでした。
愛知県豊川市   3月18日(木) 1:59:48   MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp   20764
ちこりん
1/2と1/3を適当に足してみました。3乗してみるとなぜか正解だったみたい(ぉ
後でベクトルで考えると正しいのはわかるけど、
なんだかなぁ・・・。ただし、算数で説明できないですが・・・。
   3月18日(木) 2:21:48     20765
小学名探偵
2と3の最小公倍数は6
三角形BCDの各辺を6等分し、対応する等分点同士を
結びます。三角形BCDは64個の三角形に分割されます。
点Pの格子点はすぐに見つかりますね。
BCと平行な(Dから数えて)5番目の
直線上にPはあります。
5×5×5=125
6×6×6=216から125/216

東京   3月18日(木) 8:38:10     20766
ほげ
なか さんの解答に感心しました
立方体を切り落とした三角錐で 平面の式が x+y+z=1ということで...
という感じでしょうか。
私は算数的解法ということで 小学生探偵さん と同じくときました。
最初は ベクトルのイメージで解きましたけど...(^^ゞ
なか さんの解法もベクトル的説明方法ができますね。
北の隠れ家   3月18日(木) 9:45:25   MAIL:micci@sansu.org HomePage:みっちの隠れ家  20767
hiro
久し振りに解けました^^
△BCD上で、Pを通ってCDに平行な直線はBDとBCをそれぞれ1:1に分ける。Pを通ってBDに平行な直線はBCとDCをそれぞれ1:2に分ける。ということは、Pを通ってBCに平行な直線はBDとCDをそれぞれ1:5に分ける…の様に解きました。
   3月18日(木) 10:55:10     20768
受験勉強君
僕は8分の1は2分の1の3乗、27分の8は3分の2の3乗ということを三角形BCDの図に書き込みました。すると、Pの位置が決まります。(2本の線が交わることで交わった点がPになるため。)そしてPの下側に三角形BCDと相似関係にある三角形ができます。その三角形の一辺は辺CDの1/2-1/3=1/6になっています。そこで、1-1/6=5/6 答えは5/6の3乗の125/216になります。なぜ3乗なのかというと立体の場合平面図形と違い□×□×□という式が前提になっているためです。{僕は小学6年生なので数学は知りません(^^;:)}
   3月18日(木) 10:58:44     20769
ハラギャーテイ
やっと解けました。

立体は難しい。

私のホームページの信号と制御の問題をよろしくお願いします。
北九州   3月18日(木) 13:41:10   HomePage:制御工学にチャレンジ  20770
小学名探偵
三角形BCDを36個(またはn^2個)の合同な小三角形に等分したとき、
どの小三角形のどの頂点Vでもx+y+z=6(またはn)になります。
ここに、
x:辺CBと平行に点Vから直線を伸ばすと、
小三角形の辺をx個だけ進んだところで
辺DBに着きます。
このxを点Vから辺BDまでの距離(辺CBと平行)とします。
同様にして、
yは点Vから辺DCまでの距離(辺BDと平行)、
zは点Vから辺CBまでの距離(辺DCと平行)とします。

x、y、zをこのように決めると、たとえば、
6−x:6が、
点Vを通る辺BDと平行な直線と
辺DC、辺CBの2直線で囲まれる
三角形(頂点Cを含む方の、切り出された三角錐の底面)と
三角形BCD(三角錐ABCDの底面)
の辺の比(相似比)になります。

点Pの場合、x=6−4=2、y=6−3=3
6−z=x+y=5となり、これから、
三角形(したがって、三角錐)の相似比5/6が出ます。

6を1に正規化すると、
x+y+z=1で、点Pのとき、
x=1−2/3=1/3
y=1−1/2=1/2
1−z=x+y=5/6

東京   3月18日(木) 16:34:16     20771
小西孝一
最近目の調子が悪くて眼科に行きました。年です。
今回は易しかったですね。
三角形BCDに平行線を引いて相似から2/3−1/2=1/6
よって(5/6)^3=125/216でした。
   3月18日(木) 16:58:21     20772
M.Hossie
 こんばんにゃ。今回のはやさしい問題だと思います。底面△BCD について線形独立な2つのベクトルを使って係数比較して解くのが一般的 (?) ですが、いつもベクトルばかりでは芸がないので、どなたかの解法にもありましたが、△BCD の各辺を6等分して小三角形に分割しました。すると点 P は 5 : 1 に内分するってな訳で、答えは 5/6 の3乗になるのでありました。

#20747 (あーくさん)
 あの最後の問題ね。阪大はこういう問題が好きなんでしょうか、確か暫く前にも、放物線の内部に円がどんどん外接して行って、最終的に極限だかなんだかを求めさせるような問題が出たのが記憶に残っています。因みに、ぼくが受験生を教えていた頃に空間図形で必ず解かせていた問題があります。20年ほど前の阪大の問題です。こういうのがすんなり解ける子はほとんどいないですね。
「点 (0,1,3) を通り、球 x^2 + y^2 +(z-1)^2 = 1 と接する直線の集合を考える。
 (1)直線と球との接点の全体が作る平面の方程式を求む。
 (2)これらの直線と xy 平面との交点の集合の方程式を求む。」
 
 京大が文系にも数C(行列や二次曲線など) を課すという話ですが、大いに歓迎ですね。数年前までは行列・1次変換や二次曲線は数2Bの範囲でしたからねえ。本当なら数3だって文系にやらせたいくらいのもんです。たかだか1変数の微積なんだし。ぼくらの高校では2年の夏に文系の連中も微積必修で線形2階微分方程式までやらされました(涙)。そこまで死ぬ思いして微分方程式やっとくと、物理の単振動や電気回路の問題見ると快感を感じてしまいます。もうバネでもコイルでもコンデンサーでも何でも掛かって来いってなもんです(徹底的なマゾ)。それと、数Cの最後に統計の有意差検定の話がありますが、これも微分方程式と並ぶ高校数学のメインイベントですね。m±2σから外れていたら有意水準5%で有意だってやつですが、我々実験科学の人間にとって、実験データの有意差検定はまともなジャーナルに通す為の必要条件ですね。やはり文系にしても、微分方程式や有意差検定は高校で知っておいて欲しいもんであります。

 因みに、新制度では物化生3つを必修にするという話がありますが、東大はその方向で話が進んでいるようです。高校でやる理科、中でも物理は基本ですからねえ。地学はまさに地球・天体現象への物理の応用ですし、現代生命科学は化学や物理に根本から依拠しているのは、田中光一さんのマススペクトルの話を例に取っても自明です。4つやれとは言わないまでも、物理と化学は必修で、生物か地学のどっちか1つ選択で計3科目は高校でマスターすべきではないかと思っています。
￿   3月18日(木) 21:41:03     20773
スモークマン
△BCD上で比を考えましたが、1/2+1/3+1/6=1 になるのは、1点Pだから?
金光   3月19日(金) 12:25:47   MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp   20774
吉川 マサル
#20773
 あ、この問題なら私もよくやらせます。(球の問題)球の方程式も平面の方程式も(空間での)直線の方程式も指導要領外ですが、入試にはやっておいたほうが圧倒的にオトクですよね。
MacOS X   3月19日(金) 13:36:11   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  20775
takachan
立体アレルギーの私にはこれが平面の問題だと気づくのにかなりの時間が
かかってしまいました。苦手意識の克服って重要ですね。
   3月19日(金) 17:48:22     20776
M.Hossie
#20775
 この阪大の問題 (#20773) は空間図形では定番とも言うべき「古典」ですね。以前マサルさんも言ってましたが、入試に有りがちな空間図形の問題は、方程式を使わないとすごい突飛なひらめきを必要として大変な難問になってしまうが、ベクトルや方程式を知っていると機械的に処理出来てしまうのですごい楽になると。昨年の東大の問題も、方程式を知っていればなんてことない問題が、現行課程の内容しか知らない受験生には手も足も出なかったでしたね。四面体 (平行六面体) の体積がベクトルのスカラー3重積 (=3次正方行列の行列式) で求められちゃったりなど、とにかくベクトルや線型代数の威力は絶大です。
 でも、今時の参考書には空間図形の方程式はもう出てないんですよねえ・・・。関係無いですが、先日某所の古本屋に、大昔のチャート式数IIBが1冊有りました。大昔の数IIBの範囲は、空間のベクトルと方程式 (平面のベクトルと方程式、おまけに指数対数三角や加法定理については数1の範囲!)、行列、1次変換、2次曲線、数列と漸化式、整函数の微積でした。空間図形の方程式についてはめちゃめちゃ詳しく書かれてありましたね。数研出版もあの内容で復刻版でも出せば売れるかも知れませんね。
￿   3月21日(日) 18:48:09     20777
あ〜く@旧N
#20773 M.Hossieさん
その問題はやったことがあります。
(円錐面の方程式、ベクトルを使ってやると楽に出来た覚えがあります)
高校数学までの範囲で、ですが下記のHPは纏められていていいなぁっと。
ttp://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_8.pdf
昔は此れくらいの内容を学校でこなしていたと思うとタイムスリップしたくなりますw
P.S.こういうのはマナー違反でしょうか?(他HP紹介)
未完成の蜜柑星   3月22日(月) 12:11:22   MAIL:kentaro@qa2.so-net.ne.jp   20780
吉川 マサル
#20780
 マナー違反なんてとんでもありません。どんどんどうぞ!
MacOS X   3月22日(月) 12:47:31   MAIL:masaru-y@kt.rim.or.jp HomePage:算チャレ  20781
みかん
立体内部の点だと思ってたので「3方向から切断した体積比が分からんと
出せるわけないじゃないか」と勝手に考えて放棄していました。何だ、底面に
あるのだったらすぐに出せるじゃないか。悔しいけど、何とか期限には間に合いました。
   3月24日(水) 16:02:22     20782
M.Hossie
#20780 (あーくさん)
 その HP は大変良く出来た内容ですね。何より気に入ったのは、力のモーメントを外積の導入に用いていることです。物理の視点から数学を眺めるという捉え方をしている参考書は皆無に近いですから、こういうのを見るととてもうれしいです。高校の物理で外積 (の考え方) が出て来るのはモーメントや角運動量 (ケプラーの第2法則で面積速度が一定だってのを地学や物理で習うが、まさにあれは角運動量保存則だにゃ) と、電磁気のローレンツ力 (F↑= qv↑×B↑) のところでしょうか。物理で右手の法則なんて訳の分からない法則が出て来る前に、出来れば数2Bで外積を扱って欲しいところですね。

 因みに、あの阪大の問題はぼくらが高3の時に山下さんの線型代数演習の授業で習ったものです。ちょうどその頃に彼の書いたモノグラフ『軌跡と領域』にも収められていますよ。
￿   3月24日(水) 20:56:35     20783