なか
どこかで見た問題でした。
http://micci.sansu.org/tokubetu/tokubetu-002.htm
北海道　　 8月11日（木） 0:06:50　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　25586
吉川　マサル
会社からです。そろそろ帰宅しないと..。ミス等が恐いのですが、とりあえず自宅に向かいます。m(__)m
PowerBook G4　　 8月11日（木） 0:07:21　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25587
ミキティ
2,2,3 か 6,10,15 の２通りで良かったんでしょうか。
　　 8月11日（木） 0:07:24　　 　　25588
はなう
小さい方からa,b,cとしたときに
少なくともb=2a-2ですかね

これがわかってからa=9,8,7,5,4,ってためして6でやっとみつかった（笑
　　 8月11日（木） 0:08:53　　 　　25589
吉川　マサル
え？出題済みだったとは...。

「２，２，３」は想定外でした。（ａ＞ｂ＞ｃのつもりだったので...）しまった...。
PowerBook G4　　 8月11日（木） 0:09:21　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25590
吉川　マサル
「２，２，３」も正解に追加しました。というわけで、帰宅します...。m(__)m
PowerBook G4　　 8月11日（木） 0:10:43　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25591
ミキティ
たぶん、すべて異なる数だろうと感じたので、
ちゃんと 6,10,15 を先に解答しました。
これを書いてくる人は少ないと思います。(^^;;
　　 8月11日（木） 0:10:43　　 HomePage:みきこむ　　25592
taku
なんとなくexcelでN,N+4,sum(n;n+4)-1でn=6 のときの組み合わせが、
6,10,15 だったんですが？
　　 8月11日（木） 0:13:07　　 MAIL:takuo@kcv.ne.jp 　　25593
Gou
うーん、久しぶりのリアルタイム参加。
地道に探しました。。。
小さいほうからＡ，Ｂ，Ｃとしたとき
たぶん、Ｃ＋１＝Ａ＋Ｂ　だろうと適当に仮定して、、、。

数年前から比べれば、腕が落ちたなぁ・・・
　　 8月11日（木） 0:16:08　　 　　25594
はなう
a、2a-2,3a-3の形しかないのかな

これだと、a=2,3,6しか成立しないー
　　 8月11日（木） 0:16:51　　 　　25595
ゴンとも
何も考えずに十進basicで以下で
for a=1 to 100
for b=1 to 100
for c=1 to 100
let x=a+b
let y=a+c
let z=b+c
IF MOD(x,c)=1 AND MOD(y,b)=1 AND MOD(z,a)=1 THEN PRINT a;b;c
next c
next b
next a
END
2 2 3
3 4 6
6 10 15
がでてきていつもより順位がよかってよかった。では。
豊川市　　 8月11日（木） 0:17:28　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25596
みけ
2,2,3も答えの1つなんですね。僕はa≠b≠cで考えてましたので・・・
ふつうに6,10,15しか思いつきませんでした。
みけかど　　 8月11日（木） 0:23:17　　 　　25597
tomh
ああ、そうか。
一度、高橋さんのところで解いたんだっけ… (^^;
新潟市　　 8月11日（木） 0:35:26　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　25598
manabu
どれだけ大きな数字を使っても答えは３つしかないんですね。
なかなか面白い問題だと思いました。
　　 8月11日（木） 1:42:50　　 　　25599
manabu
どれだけ大きな数字を使っても答えは３つしかないんですね。
なかなか面白い問題だと思いました。
　　 8月11日（木） 1:43:28　　 　　25600
アヒーのおじさん
とりあえずa+b+cはaで割ってもbで割ってもcで割っても1余るんじゃないかと言うことで
そこからしらみつぶしです（＾＾；
結局2,2,3を発見しました
9点円の中心　　 8月11日（木） 3:07:47　　 HomePage:正体不明　　25601
あ〜く＠ジューク
答えが三つしかないという証明にえらい時間がかかった。。。（以下それの略記）

・まず求める三数をa,b,cとして
　b+c=(p-1)a+1 , c+a=(q-1)b , a+b=(r-1)c+1
　とする。（p,q,r>1）
・これを頑張って計算するとpqr+k=pq+qr+rp（k自然数)となり、p,q,rのうち最小のものは2なのでr=2とすると,(p-2)(q-2)=3-k
・よって当てはまるkは0,1,2の三種類なので条件を満たすa,b,cの組は三組

簡単な方法を知りたい。。。
未完成の蜜柑星　　 8月11日（木） 3:07:48　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25602
あ〜く＠ジューク
今になって簡単な解答思いつくって。。。

・a+b=pc+1 , b+c=qa+1 , c+a=rb+1とすると2(a+b+c)=pa+qb+rc+3
・p≦q≦rとすると(p,q,r)=(1,2,k)（k≧2）しか有り得ないことが分かる。
・あとは元の式に当てはめて解くと,k=2,3,4の三種
未完成の蜜柑星　　 8月11日（木） 3:39:54　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25603
ちゃーみー
やってることは同じですが、「3つの自然数の逆数和」がピンときました。

a+b+c-1=Nとすると、Nはa,b,cの倍数。N=pa=qb=rcとする。
1/p+1/q+1/r=a/N+b/N+c/N=(N+1)/N>1.
p≦q≦rとすると、これを満たすp,q,rの組は
(1,q,r),(2,2,r),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)のみ(証明は容易なので略)。
1つ目はN=aで不適。2つ目はc=1で不適。
あとの3つからそれぞれ(a,b,c)=(3,2,2),(6,4,3),(15,10,6)を得る。
　　 8月11日（木） 4:09:44　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　25604
工事中
10年以上前の早稲田大学の入試問題で出題されていた問題であろうと思われます。
　　 8月11日（木） 7:32:15　　 　　25605
吉川　マサル
おはようございます。今日は夏期講習の中休みだというのに、こんなときに限って自然に目がさめてしまいました。(^^;;

　えと、いちおう２つしかない（2,2,3は想定外でしたが..）ことを証明はしてたんですが、その方法は#25603のあ〜くさんの方法と同じでした。原題はどこで見たのかは不明なのですが（実はこれ、１年以上前にボツにした問題で、問題と結果の書いたメモ用の文書ファイルだけが残ってたんです）、#25605の工事中さんのお話からすると、その過去問を見たのかも知れません...。
　ちなみに「１つは１ケタの数」という条件は更新ギリギリに追加しました。算数で解くとなるとどうしても「試行錯誤」ってことにになりますから...。

　ちなみに今回、更新３０分前くらいまでは全然別の問題（整数問題ではありますが）の出題を考えていましたが、どうしてもちゃんとした証明が出来なくて、一旦ボツにしました。まぁ、またどっかで日の目を見る...かも知れませんし、お蔵入りかも知れません...。（結構すぐ忘れてしまうので）
PowerBook G4　　 8月11日（木） 7:55:59　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25606
吉川　マサル
［お知らせ］
　えと、8/26（金）にYokoyaMacさん（ご存じない方も多い？）が東京にいらっしゃることになっています。というわけで、呑み会を開催したく思っておりますので、ご参加いただける方は私までメイルを頂ければ幸いです。ちなみに場所は渋谷か恵比寿かまぁその辺で、夕方５時半とか６時からのスタートになるかと思います。
PowerBook G4　　 8月11日（木） 7:57:58　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25607
nakakun
「算数でとなるとこんな方法になるのでしょうか？」題意より３つの数の和は３つの数の公倍数プラス１になるので、３つの数が異なる場合は、公倍数を１とすると、1/2＋1/3＋1/4＝(6+4+3)/12=13/12より、（３，４，６）。1/2+1/3+1/5=(15+10+6)/30=31/30より、（６，１０，１５）。この２が答えとわかる。ちなみに、同じ数が入ってもよい場合は、1/2+1/3+1/3=(3,2,2)/6=7/6より、（２，２，３）も成り立つことがわかります。
日本　　 8月11日（木） 9:04:28　　 　　25608
DrK
私はただ単に当てはめました。
一番大きな数と、他の2つの数の和との差は1ということから始めました。
そうすると、2番目の数に対しては他の2つの数の和が2倍より1大きい数以上でなければならない。
ここから、(6,10,15)
今は楽園かな?違うな。　　 8月11日（木） 9:15:22　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　25609
kasama
おはようございます。ただ、何となく『6,10,15』を思い付きました(^_^;
出先　　 8月11日（木） 9:16:09　　 　　25610
DrK
#25607
YokoyaMacさんは坂戸にいらっしゃるのではないのですか？首都圏から離れられたのですか？
今は楽園かな?違うな。　　 8月11日（木） 9:16:31　　 MAIL:satoka@star.odn.ne.jp 　　25611
Toru Fukatsu
皆さんとほぼ同じだと思いますが、とても面白かったので書き込んでみたくなりました。求める数を　a≦b≦c とすると　a+b=pc+1, a+b≦2cよりp=1でa+b=c+1、これとa+c=qb+1 よりcを消去して、2a=(q-1)b+2 ,a≦b だからq=1 or 2　q=1 の時、a=1であるが、これは不適　q=2の時、b=2a-2 ,c=3a-3 　b+c=ra+1=5a-5 から(5-r)a=6　よって、aは6の約数で2,3,6(a=1は不適)　a=2 の時　b=2,c=3、　a=3の時　b=4,c=6、 a=6の時　b=10,c=15　これらは題意を満たす。
　　 8月11日（木） 11:02:04　　 MAIL:tfukatsu@tth-japanpost.jp 　　25612
uchinyan
はい、おはようございます。
最初見たときは、いかにも、「プログラム組んでね。お願い．．．」という問題なので、誘惑に勝てず、つい．．．(^^;
(2,2,3) と (6,10,15) の二つが出てきたのは、ご愛嬌でしょうか？　もっとも、前者は、試行錯誤でもすぐに見つかりますね。
その後、数学でこれしかないことをチェックしました。証明は皆さんと同じようなので省略します。
算数では、三つの数の和が最小公倍数の何倍＋１なので、そこらをテコにして試行錯誤するのでしょうか。
そうそう、来週は、夏休みではないのですね ^^/
ネコの住む家　　 8月11日（木） 11:21:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25613
浮浪
どこかで見たことがあるような・・・と思ったら，σ(^^;)のＨＰだった。
http://www.geocities.jp/hagure874/math/m125.html

今週は正解者が少ないので，よろしかったら応募してください。
http://www.geocities.jp/hagure874/

　　 8月11日（木） 11:29:39　　 　　25614
uchinyan
今、掲示板を読みました。皆さん、基本的には、やはり、
・あ〜くさん流の方法＋多少のアレンジ
・三つの和が公倍数＋１
・プログラム
のいずれかのようですね。
ちなみに私の数学解法は、Toru Fukatsu さんのに一番近かったです。
ネコの住む家　　 8月11日（木） 11:45:25　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25615
ハラギャーテイ
プログラムです。

早目のお盆で帰省しました。来年からは帰省先に住みます。
北九州　　 8月11日（木） 17:37:25　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25616
スモークマン
同じような答えですが・・・
a+b=c+1
a+c=nb+1
c-b=nb-c
2c=b(n+1)
2a+2b=2c+2=b(n+1)+2
2a=b(n-1)+2
n=2
2c=3b
2a=b+2
b+c=ma+1=b+3b/2=m(b+2)/2+1
2b+3b=m(b+2)+2
(5-m)b=2m+2
b=(2m+2)/(5-m)
m=3,b=4,c=6,a=3
m=4,b=10,c=15,a=6

似た問題（友人からの）
3つの自然数があり、どの2つの積も残りの自然数で割ると
余りが1となる。このような自然数の組を求めよ。
金光＠岡山　　 8月14日（日） 19:03:26　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25617
uchinyan
#25617：
＞似た問題（友人からの）
＞3つの自然数があり、どの2つの積も残りの自然数で割ると
＞余りが1となる。このような自然数の組を求めよ。
2, 3, 5 かな。
証明は、同じようにちょこちょこやればできますね。
ネコの住む家　　 8月15日（月） 15:26:55　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25618
スモークマン
似た問題（友人からの）
3つの自然数があり、どの2つの積も残りの自然数で割ると
余りが1となる。このような自然数の組を求めよ。

わたしはこう解きました。
ab+bc+ca-1=nabc とすると、
ab=nabc-c(a+b)+1 だから、c で割ると１余り、
以下同様。
両辺をabc で割ると、1/c+1/a+1/b-1/abc=n
a<b<c とすると、a は２以上なので、3/2-1/8=11/8<2 だから、
n=1
つまり、1/a+1/b+1/c-1/abc=1
ここで、a が３以上だと右辺は１以下になるので、a=2
1/2+1/b+1/c-1/2bc=1
2/b+2/c-1/bc=1
ここで、b が４以上だと右辺は１以下になるので、b=3
2/3+2/c-1/3c=1 から、2/c-1/3c=1/3
6-1=5=c
つまり、(a,b,c)=(2,3,5)
上の考え方からして、同じ数の時はあり得ないので、満たす数はこれだけ。
金光＠岡山　　 8月15日（月） 18:32:44　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25619
uchinyan
#25619：
結局は同じですが、私の場合は、最初、
ab = rc+1, bc = pa+1, ca = qb+1
とおいて、
(ab-1)(bc-1)(ca-1) = pqr * abc
abc * (abc - (a+b+c)) + (ab+bc+ca-1) = pqr * abc
で、
ab+bc+ca-1 = nabc
とおけて．．．以下同様 (細かいところは違うけど．．．)
と考えました ^^;
ネコの住む家　　 8月16日（火） 11:59:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25620
スモークマン
墓参から帰ったら、友人からこんな問題が来てました。
気づいたら綺麗に解けたので挑戦してみて下さい。（みなさんには簡単かも？）

|a|、|b|、|c|、|d|＜1のとき次の不等式を証明せよ。
a+b+c+d-abcd＜3
金光＠岡山　　 8月16日（火） 16:25:36　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25621
uchinyan
#25621：
＞|a|、|b|、|c|、|d|＜1のとき次の不等式を証明せよ。
＞a+b+c+d-abcd＜3
まず、
a + b - ab - 1 = -(1-a)(1-b) < 0
より、
a + b - ab < 1
次に、
a + b + c - abc - 2 < ab + c - abc - 1 = -(1-ab)(1-c) < 0
より、
a + b + c - abc < 2
そして、
a + b + c + d - abcd - 3 < abc + d - abcd - 1 = -(1-abc)(1-d) < 0
より、
a + b + c + d - abcd < 3
同様にして、一般に、
|a1|, |a2|, ..., |an| < 1 のとき
a1 + a2 + ... + an - a1 * a2 * ... * an < n-1
ですね。
ネコの住む家　　 8月16日（火） 21:38:45　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25622
スモークマン
#25622:uchinyan さん、さすがですね！一般化できてますね！
＞|a|、|b|、|c|、|d|＜1のとき次の不等式を証明せよ。
＞a+b+c+d-abcd＜3
わたしは、
a+b-ab<1
c+d-cd<1
a+b+c+d-ab-cd<2
ab+cd-abcd<1
以上より、
a+b+c+d-abcd<3
としましたが、これでは項が偶数の時しか一般化できませんねえ・・・
金光＠岡山　　 8月16日（火） 23:32:40　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　25623
トトロ＠Ｎ
今夜は更新あるんでしょうか？
例年この時期はマサルさんが合宿だったような・・・
兵庫県明石市　　 8月17日（水） 23:18:04　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25624