吉川　マサル
　原因不明のサーバ落ちにより、更新がここまで遅れてしまいました。申し訳ありません。

　更新準備がほぼ完了し、正解者掲示板のパスワードファイルを編集しようとviコマンドを起動したとたんにクライアントのターミナルからはうんともすんとも言わなくなってしまいました。pingを打ってもダメと分かり、「こりゃあ落ちたな」とは分かったのですが、何せ自宅にマシンがあるわけではないので、サーバの管理会社のリブートを待つしかないという状況になってしまいました。そしてようやく先ほどリブートが完了したというわけです。

　詳しい原因はこれから（とはいっても講習中なので今日はもう寝なくてはなりません...明日の休み時間にやることにします）調査することになりますが、とにかく多くの皆様にご迷惑をおかけしてしまいました。申し訳ありませんでした。m(__)m
PowerBook G4　　 8月18日（木） 1:04:47　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25625
数楽者
なかなかアクセスできなくて、心配しました。
仕事に差し支えない程度にがんばってください。
横浜　　 8月18日（木） 1:23:38　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　25626
tomh
諦めずにリロードしてました。 (^^;
とりあえず、繋がってほっとしましたね。
新潟市　　 8月18日（木） 1:28:10　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　25627
あ〜く＠ジューク
今回は三角形の形によらないんですね。結果がでてきてへーっと思った。

何回リロードしたかな。。。。。
未完成の蜜柑星　　 8月18日（木） 1:39:00　　 MAIL:ishizaki@qa.so-net.ne.jp 　　25628
トトロ＠Ｎ
一旦あきらめて寝たんだけど、目がさえてまた起き出してきました。
私も明日は講習なのでもう寝ます。
三角形の形によらないことに決め打って色々図を描いてみました。
兵庫県明石市　　 8月18日（木） 1:47:35　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　25629
数楽者
∠ＯＡＰが鋭角の場合と鈍角の場合で、解が２通りあるのでは？
第２の解は算数では求まりません。
横浜　　 8月18日（木） 1:59:06　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　25630
Gou
とりあえず、∠ＯＡＢを直角として解きはしましたが、、
ホントに△ＯＡＢの形によらないんですかね？
そのへん、細かいところは明日（今日？）考えます。
オヤスミナサイ。　(v_v)Zzz..
TAHICHI?!　　 8月18日（木） 3:01:21　　 　　25631
なか
OAP>90の場合
３：４：５の三角形が２度できます。
http://www3.sansu.org/tables/san08181207.GIF
北海道　　 8月18日（木） 4:01:31　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　25632
なか
OAP<90の場合
MN=(12/7)*√37 となるようです。
北海道　　 8月18日（木） 4:14:20　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　25633
CRYING DOLPHIN
作図をしているうちに、仮に答えが一定値であれば三角形の形は
ある程度無視して構わないことが検討付いたので、三角形を“潰す”
（３点ＯＢＡが一直線になるようにする）という暴挙に（
そうすると、隠れていた３：４：５の直角三角形が発見できて終了。。
１年ピカチュウ組　　 8月18日（木） 8:57:33　　 HomePage:算数の限界ってどのくらい？　　25634
なかさんと同じでした。
図(#25632 http://www3.sansu.org/tables/san08181207.GIF)
をお借りしたします。
△OAB∽△ONMの論証は
△POA∽△QOB(∵回転・相似・拡大)
△NOA∽△MOB(∵N,Mがそれぞれ中点)
∴∠NOA∽∠MOB,ON:OM=OA:OB
∴∠BOA∽∠MON(∵∠NOB共通),ON:OM=OA:OB
∴△OAB∽△ONM
としました。
　　 8月18日（木） 9:02:42　　 　　25635
θ
△ＯＡＢ∽△ＯＮＭは有名。ＯＮは３：４：５の三角形２つで２０とわかる。
　　 8月18日（木） 9:45:51　　 　　25636
kasama
おはようございます。
いつも通り、今回もＣＡＤで楽勝と思いきや、17.14285714・・・をうまく有利化できず、結局、数学でマジメに(？)コツコツとやりました(v_v;)。めんどくさかったぁ〜(-o-;)
出先　　 8月18日（木） 10:41:26　　 　　25637
圭太
座標で考えてなんとか・・・＾＾；
座標のＯ'点を３：４：５の三角形から、ＯＡの延長線上に設け、
Ｏ点(-25,0)、Ａ(-18,0)、Ｐ(0,24)、Ｎ(-9,12)、
Ｂ点は、任意でいいので、取り合えづ∠OAB＝90度として、
Ｂ(-18,6)、Ｑ点は、ＯＰの距離を求めて（√25＾2+24＾2=√1201)、
これと、��ＯＡＢとの比より、Ｑ点を求めて、Ｑ(-144/7,318/7)
Ｑ点とＢ点より、Ｍ点座標を求めて、Ｍ(-135/7,180/7)
ＭＮ点間の距離を求めて、120/7

答えは、2通りありそうですね。∠OAPが鋭角、鈍角と。
米所〜♪　　 8月18日（木） 11:05:50　　 HomePage:圭太の研究所＠いれこみくん！＆役満縛り〜♪　　25638
吉川　マサル
∠OAPが鈍角の場合は想定外でした。注釈文を入れさせて頂きます。ご指摘ありがとうございます。＞数楽者さん、なかさん、圭太さん

　これによりご迷惑をおかけした...という方もいらっしゃいますでしょうか？（まぁ多くの方は鋭角の場合から考えるとは思うのですが...）
PowerBook G4　　 8月18日（木） 10:47:32　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　25639
uchinyan
はい、こんにちは。今回は手こずりました (^^;
結局は、多分、皆さんと同じで、△OAB ∽ △ONM を導き、ON = 20 から出しました。
実は、最初、別の方法を模索していたのですが．．．
ネコの住む家　　 8月18日（木） 11:15:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25640
ゴンとも
何も考えず座標におくも複素座標を使い楽しかったです。
先ず、題意の図をO(0,0),A(7,0)とおく
ここで条件OA=7,△OAP=84より
Pのy座標は24よりP(s,24)・・・・・・��
ここで条件AP=30より先においた座標より
AP=SQRT((s-7)^2+24^2)=30
solve((s-7)^2+24^2=900,s);s=25,s=-11(図より不可)
これと�，箸茲�P(25,24)・・・・・・��
よりOP=SQRT(1201)・・・・・・��'
△OAB∽△OPQよりOA:OP=7:SQRT(1201)=AB(=6):PQ・・・・・・��''
∴　PQ=6*SQRT(1201)/7・・・・・・��
またAB=6でA(7,0)よりB(a,b)とおくと
AB=SQRT((a-7)^2+b^2)=6
solve((a-7)^2+b^2=36,b);b=SQRT(-a^2+14*a-13)
よりB(a,SQRT(-a^2+14*a-13))・・・・・・��
ここで△OAB∽△OPQより
点Oを中心に△OABを回転させると△OPQより
∠POA=∠QOB
この角度は��,��'とより
sin∠POA=24/SQRT(1201)・・・・・・��
cos∠POA=25/SQRT(1201)・・・・・・��
ここで点Zを原点回りに角θだけ回転し
原点中心にr倍した点はr*(cosθ+%i*sinθ)*Z
であることを使い�い茲�Bを原点回りに回転し
Qにすることにする�い茲�
点B=a+%i*SQRT(-a^2+14*a-13)
また��''よりr=SQRT(1201)/7さらに��,�Δ箸茲�
expand((SQRT(1201)/7)*(25/SQRT(1201)+%i*(24/SQRT(1201)))*(a+%i*SQRT(-a^2+14*a-13)));
点Q=%i*(25*SQRT(-a^2+14*a-13)+24*a)/7-(24*SQRT(-a^2+14*a-13)-25*a)/7
これを普通の座標に直して
Q=(-(24*SQRT(-a^2+14*a-13)-25*a)/7,(25*SQRT(-a^2+14*a-13)+24*a)/7)
これと�い茲�Mは
M=( (a-(24*SQRT(-a^2+14*a-13)-25*a)/7)/2,(SQRT(-a^2+14*a-13)+(25*SQRT(-a^2+14*a-13)+24*a)/7)/2 )
これとN=((7+25)/2,(24)/2)=(16,12)の距離は
(%i1) EXPAND(((a-(24*SQRT(-a^2+14*a-13)-25*a)/7)/2-16)^2+((SQRT(-a^2+14*a-13)+(25*SQRT(-a^2+14*a-13)+24*a)/7)/2-12)^2);
(%o1) 14400/49
(%i2) sqrt(%);
(%o2) 120/7・・・・・・(答え)
昨日の夜は自分だけつながらないんじゃないかと思いましたが
(解法が算数を無視してるので)そうじゃなくてホットしました。では。
豊川市　　 8月18日（木） 15:20:33　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　25641
uchinyan
やっと、掲示板読みました。いつもながら、なかさんの図がすべてですね。
そうそう．．．マサルさん
#25639：
＞∠OAPが鈍角の場合は想定外でした。
訂正問題文：
＞ただし、∠ＯＡＰは９０°未満であるものとします。
おやおや。∠OAP < 90度 ではますます解けませんよ ^^;
∠OAP > 90度、の間違い、又は、∠OAP ではなく ∠AOP の間違いでは？

個人的には、回転が絡む問題をみると、ついつい複素数を使いたくなる悪い癖があります (^^;
上記の解説も含めて、ご参考までに示します。図形を意識しながらやれば、割と簡単です。
まず、O(0), A(a), B(b)、ただし、a は実数で、a > 0、とします。
また、相似の回転拡大縮小を表す複素数を z とします。すると、P(za), Q(zb) です。ちなみに、∠AOP = arg(z) (= z の偏角)、です。
次に条件を式にしていきます。以下では、Re(z), Im(z) で、z の実部、虚部を、z~ で z の複素共役を表します。
相似の回転角は 0度 〜 180度として一般性を失わないので、Im(z) >= 0 としておきます。
OA = |a| = 7, AB = |a - b| = 6, AP = |a * (z - 1)| = |a| * |z - 1| = 30
△OAP = 1/2 * OA * |P の虚部| = 1/2 * |a| * |Im(za)| = 1/2 * |a|^2 * |Im(z)| = 84
N = 1/2 * (A + P) = (a(z+1)/2), M = 1/2 * (B + Q) = (b(z+1)/2)
求めるのは、
MN = NM = |a(z+1)/2 - b(z+1)/2| = 1/2 * |a - b| * |z + 1|
まず、条件を簡単にします。
|a| = 7, |a - b| = 6, |z - 1| = 30/7, |Im(z)| = 24/7
最後の二つから、z は、1 から距離 30/7 にある虚部 24/7 の数と分かります。
図を描くと、これから、|Re(z) - 1|：|Im(z)|：|z - 1| = 3：4：5 の直角三角形ができることが分かります。
そこで、|Re(z) - 1| = 18/7 で、Re(z) = 25/7 or -11/7 になります。
・Re(z) = 25/7 の場合
Re(z) + 1 = 32/7 より、やはり図を描くと、|Im(z)|：|Re(z) + 1|：|z + 1| = 3：4：5 の直角三角形ができることが分かり、
|z + 1| = 40/7 で、MN = 1/2 * 6 * 40/7 = 120/7 cm です。これが今回の答えです。
z = (25 + 24i)/7 なので、相似の回転角 ∠AOP が90度未満で、∠OAP は鈍角です。
・Re(z) = -11/7 の場合
Re(z) + 1 = -4/7 より、やはり図を描くと、これは、三平方の定理を使わないとダメと分かり、
|z + 1| = sqrt((4/7)^2 + (24/7)^2) = 4/7 * sqrt(37) で、MN = 12/7 * sqrt(37) cm です。これがもう一つの答えです。
z = (-4 + 24i)/7 なので、相似の回転角 ∠AOP が90度を超え、∠OAP は鋭角です。
ネコの住む家　　 8月18日（木） 22:17:56　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25642
uchinyan
あ、今問題文を見たら、再度訂正されていました。
失礼しました。
ネコの住む家　　 8月18日（木） 17:57:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25643
uchinyan
#25640：
＞実は、最初、別の方法を模索していたのですが．．．
やっと、最初に考えた解法でできました！

P より AB に平行になるように線を引き、AB = PC となる点 C を OP に関して Q 側に取ります。
□APCB は平行四辺形なので、AP//BC です。
さらに、N より AB に平行に線を引き BC との交点を D とします。明らかに、ND = AB = 6 で、D は BC の中点です。
したがって、△BCQ における中点連結定理より、DM = 1/2 * CQ です。
さて、△OAB ∽ △OPQ より、△OAB を △OPQ に重ねて A が P に一致するまで移動し、B が C に一致するように回転すると、
∠QPC が、相似の回転角 = ∠POA に等しいことが分かり、また、OA/OP = AB/PQ = PC/PQ なので、△OAP ∽ △PCQ です。
そこで、CQ/PC = AP/OA で、CQ = AP/OA * PC = 30/7 * 6 = 180/7、DM = 1/2 * 180/7 = 90/7 になります。
次に、△NMD、△ONA において。
MD//QC、ND//PC より、∠NDM = ∠PCQ = ∠OAP。さらに、DM/DN = 90/7 * 1/6 = 15/7 = (1/2 * AP)/OA = NA/OA。
そこで、△NMD ∽ △ONA です。
したがって、MN/MD = NO/NA になります。
ここで、P, N より OA の延長上に垂線を下ろしその足を H, I とします。
△OAP = 1/2 * OA * PH = 1/2 * 7 * PH = 84 より、PH = 24 で、△PAH は、3：4：5 の直角三角形なので、AH = 18 です。
また、NI = 1/2 * PH = 12、OI = OA + AI = OA + 1/2 * AH = 16 より、△ONA も 3：4：5 の直角三角形で、NO = 20 です。
そこで、MN = NO/NA * MD = 20/15 * 90/7 = 120/7 cm。

でも、△ONM ∽ △OAB を使う方がはるかに楽ですね (^^;
ネコの住む家　　 8月18日（木） 23:56:11　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　25644
水田X
今回は大先生たちより良い順位につけて光栄です。ぱっと見ではMNは中点同士の連結だからPQの半分かなあと思ったけどよくみると違うんですね。ではPQの半分になるのはAP,BQを均等になん対なにに分割する点かなあ特別な点かなあとか考えたけどなんもなさそうで。でもこんなことしながら問題って考えるんでしょうね、とかあれこれ思いました。
　　 8月19日（金） 11:37:48　　 　　25645
ハラギャーテイ
やっとできました。どこかにミスがあってMATHEMATICAの
答えが有理数にならないので苦労しておりました。
北九州　　 8月19日（金） 13:50:38　　 HomePage:信号処理に挑戦　　25646
tomh
#25633
なかさんが出された∠OAPが鋭角の場合の数値 (12/7)√(37) を
確認しました。
新潟市　　 8月19日（金） 19:23:27　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　25647
アヒーのおじさん
作図の最中に△OABの形はどーでも良いことに気がつき
3点A,B,Pが1直線上にあるときを想定して考えました
...まともに座標をおいて解いた（複素平面じゃない）ので死ぬような計算をする羽目になりました（笑）
9点円の中心　　 8月22日（月） 12:21:25　　 HomePage:正体不明　　25648
n厨
事故が起こってたんですね。どうりで携帯からつながらんわけだ。
　　 8月24日（水） 5:45:02　　 　　25649