nobu
ア＋イ、ア-イ　が偶数であればＯＫ。
大阪のオフミ参加したいけど金沢からチョット無理かも。
　　 6月8日（木） 0:08:38　　 　　27558
吉川　マサル
思ったより正解者数が伸びず不安です...。何か根本的な間違いをしてるかも...＞自分
PowerBook G4　　 6月8日（木） 0:10:36　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　27559
数楽者
問題ないと思います。
９^２＝３^４をうっかりして、誤答を送ってしまいました。
横浜　　 6月8日（木） 0:12:54　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　27560
Taro
#27559
一応プログラムで総当りで調べてみました。間違ってはいないようです。
じたくぅ　　 6月8日（木） 0:13:50　　 　　27561
吉川　マサル
ホッ。これで心おきなく帰宅できます。(^^;　一応、

（５×５×３ー１）÷２＋１＝３８

という計算を想定していました。
PowerBook G4　　 6月8日（木） 0:15:17　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　27562
あまちゅあごるふぁ〜まさる
こんばんは・・・

先日は５００回記念のお返事、ご丁寧に頂きましてありがとうございます。
私もまさる（勝です）なので、本当に親近感がわいて・・・いま現在に至っております。
この場を借りてお礼申し上げます。
神戸　　 6月8日（木） 0:25:22　　 MAIL:top-amateur@u01.gate01.com 　　27563
拓パパ
504x504=2^6x7^2x3^4
（ア+イ）と（ア-イ）は偶数であることを考えると、
{(6-1)x(2+1)x(4+1)-1}/2 +1=38
都内某所　　 6月8日（木） 0:25:46　　 MAIL:dr-yasu@nifty.com 　　27564
みかん
正方形の紙から一回り小さな正方形を切り落とす問題と同じことなんですが、
高校のときに整数条件の方程式の単元でやったような…。当時の試験では
２乗の差が１５０ぐらいだったので、算数的に適当にやったらほとんど
得点がつかなかったんだよな。当時から進歩していないことを実感（汗）。
　　 6月8日（木） 0:31:23　　 　　27565
拓パパ
途中で送ってしまいました（笑）．
{(6-1)x(2+1)x(4+1)-1}/2 +1=38
あとで2で割ることが分かっていたのですが、(6-1)x(2+1)x(4+1)の部分は奇数ばかり！
504x504 at イ=0 の場合がアタマからすっ飛んでいた訳で、素因数分解を何回もやり直したり、しばらく考え込んでしまいました．
相変わらず局所的にultra hardなアタマです．
都内某所　　 6月8日（木） 0:55:24　　 MAIL:dr-yasu@nifty.com 　　27566
ゴンとも
今オフミ申し込みました。大阪は行ったことないのでこの機会に
どんな所か行きたいと思ったのです。

あと377回からの参加なので算チャレに疎いので過去問をできるだけ解いて参加したいと思います。
豊川市　　 6月8日（木） 1:43:20　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　27567
なか
#27562 マサルさん

＞（５×５×３−１）÷２＋１＝３８
同じ計算式になりました。

ア＋イ＝２ａ，ア−イ＝２ｂと書くと、題意は、
　ａ×ｂ＝２５２×２５２なる整数の組（ａ，ｂ）の場合の数
　ただし、ａ≧ｂ≧０。

ここで、２５２×２５２＝２＾４×３＾４×７＾２なので、
その約数は（４＋１）×（４＋１）×（２＋１）＝７５個
これらのうちａ≧ｂを満たすのは半分強の（７５−１）÷２＋１＝３８
なお、１の端数は、ａ＝ｂ＝２５２の場合なので適。

# 誤植訂正済み（ａ→２ａなど）
　　 6月8日（木） 12:22:15　　 MAIL:naka@sansu.org 　　27568
uchinyan
はい、おはようございます。
今回の問題は、簡単なハズなんですが、つまらないミスを連発して、仕掛けられたわな？にはまってしまいました (^^;

ア＋イ と ア−イ は、504 * 504 = 2^6 * 3^4 * 7^2 の約数なので、その個数を数えればいいわけです。
ただし、ア＋イ と ア−イ の和と差が偶数でないといけないので、
ア＋イ と ア−イ の積が偶数であることを考えると、両方とも偶数でなければなりません。
そこで、両方に最初に 2 を一つずつ配っておいて、残りの 2^4 * 3^4 * 7^2 の約数の個数を考える必要があります。
まず、ここに引っかかりました ^^;
これは、(4 + 1) * (4 + 1) * (2 + 1) = 5 * 5 * 3 = 75 個 です。
しかし、イ >= 0 なので、ア＋イ >= ア−イ と、イ = 0 で ア＋イ = ア−イ に注意しなければなりません。
次に、ここに引っかかりました ^^;
結局、求めるのは、(75 + 1)/2 = 76/2 = 38 通り になります。

すぐ下の、なかさんの解法と、原則、同じ考え方ですね。
ネコの住む家　　 6月8日（木） 8:58:31　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　27569
スモークマン
結構悩みました。。。

a*b=2^6*3^4*7^2
a,b は、偶数なので、a'*b'=2^4*3^4*7^2
2 の組み合わせは、0-4,1-3,2-2
3 の組み合わせは、0-4,1-3,2-2
7 の組み合わせは、0-2,1-1
2*(2^2+1)(2+1)+1*3*(2+1)=39
a'=b'のときを除いて、39-1=38

これおかしいですね〜

正式には、
2*2^2*(2+1)+2*1*(2+1)+1*2*(2+1)+1*1*2
　=24+6+6+2
　=38
ですね。でもややこしすぎた。。。
みなさんの勉強になりました。OrZ
どうも、この手は苦手だな。。。(^^;

金光　　 6月8日（木） 13:01:13　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　27570
ハラギャーテイ
おはようございます。しらみつぶしにMathematicaで
計算しました。アの数が1万までであとは認証でした。
北九州　　 6月8日（木） 10:46:29　　 HomePage:信号処理に挑戦　　27571
なか
#27555,#27556 カード問題

実際にやってみると、N=4k,N=4k+1 ならすべてできそうです。
下の結果の見方ですが、N= 5 : 1, 3, 5, 2, 4　は、
おもての数の大きい方から、5-1, 4-3, 3-5, 2-2, 1-4という意味です。

N= 4 : 1, 3, 4, 2
N= 5 : 1, 3, 5, 2, 4
N= 8 : 1, 2, 4, 5, 8, 6, 3, 7
N= 9 : 1, 2, 3, 6, 7, 5, 8, 9, 4
N=12 : 1, 2, 3, 4, 7, 9, 6, 8, 10, 11, 12, 5
N=13 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 7, 10, 11, 12, 13, 5
（中略）
N=28 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 14, 20, 17, 22, 13, 24, 21, 26, 23, 28, 25, 12, 27
N=29 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 18, 16, 20, 22, 19, 15, 21, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 14
　　 6月8日（木） 12:49:41　　 MAIL:naka@sansu.org 　　27572
uchinyan
掲示板、読みました。
ただ、今回は、私のように「わな？にはまってしまった」人もいるようですが、
やはり、基本的には難しくないので、特に面白そうな話はないようです。

なお、#27571
＞しらみつぶしにMathematicaで 計算しました。アの数が1万までであとは認証でした。
プログラムは、すごくナイーブに、アとイの二重ループでやったりすると、
ループの範囲指定次第では、なかなか終了しなくなってしまったりします ^^;
ご参考までに、少しだけ工夫した十進ベーシックです。これならば、比較的早く終了します。
ア = a, イ = b として、a^2 = b^2 + 504^2 と、a - b >= 2 に注目して、b の検索範囲をあらかじめ絞ってあります。
あくまでもご参考ですが、Mobile Pentium IV 2.2 GHz、メモリ 496 MB、ぐらいのノートPCを使っています。

REM 算数にチャレンジ５０４回
LET t = TIME
LET cnt = 0
LET m = 504 * 504
FOR b = 0 TO (m/2 - 2)/2
　LET a = SQR(b * b + m)
　IF a = INT(a) THEN
　　LET cnt = cnt + 1
　　PRINT cnt; "：ア＝"; a; "，イ＝"; b; "，ア＋イ＝"; a + b; "，ア−イ＝"; a - b
　END IF
NEXT b
REM PRINT cnt
PRINT TIME - t; "秒 かかりました。"
END

出力結果

1 ：ア＝ 504 ，イ＝ 0 ，ア＋イ＝ 504 ，ア−イ＝ 504
2 ：ア＝ 510 ，イ＝ 78 ，ア＋イ＝ 588 ，ア−イ＝ 432
3 ：ア＝ 520 ，イ＝ 128 ，ア＋イ＝ 648 ，ア−イ＝ 392
4 ：ア＝ 525 ，イ＝ 147 ，ア＋イ＝ 672 ，ア−イ＝ 378
5 ：ア＝ 546 ，イ＝ 210 ，ア＋イ＝ 756 ，ア−イ＝ 336
6 ：ア＝ 554 ，イ＝ 230 ，ア＋イ＝ 784 ，ア−イ＝ 324
7 ：ア＝ 579 ，イ＝ 285 ，ア＋イ＝ 864 ，ア−イ＝ 294
8 ：ア＝ 585 ，イ＝ 297 ，ア＋イ＝ 882 ，ア−イ＝ 288
9 ：ア＝ 630 ，イ＝ 378 ，ア＋イ＝ 1008 ，ア−イ＝ 252
10 ：ア＝ 679 ，イ＝ 455 ，ア＋イ＝ 1134 ，ア−イ＝ 224
11 ：ア＝ 696 ，イ＝ 480 ，ア＋イ＝ 1176 ，ア−イ＝ 216
12 ：ア＝ 746 ，イ＝ 550 ，ア＋イ＝ 1296 ，ア−イ＝ 196
13 ：ア＝ 840 ，イ＝ 672 ，ア＋イ＝ 1512 ，ア−イ＝ 168
14 ：ア＝ 865 ，イ＝ 703 ，ア＋イ＝ 1568 ，ア−イ＝ 162
15 ：ア＝ 954 ，イ＝ 810 ，ア＋イ＝ 1764 ，ア−イ＝ 144
16 ：ア＝ 1071 ，イ＝ 945 ，ア＋イ＝ 2016 ，ア−イ＝ 126
17 ：ア＝ 1190 ，イ＝ 1078 ，ア＋イ＝ 2268 ，ア−イ＝ 112
18 ：ア＝ 1230 ，イ＝ 1122 ，ア＋イ＝ 2352 ，ア−イ＝ 108
19 ：ア＝ 1345 ，イ＝ 1247 ，ア＋イ＝ 2592 ，ア−イ＝ 98
20 ：ア＝ 1371 ，イ＝ 1275 ，ア＋イ＝ 2646 ，ア−イ＝ 96
21 ：ア＝ 1554 ，イ＝ 1470 ，ア＋イ＝ 3024 ，ア−イ＝ 84
22 ：ア＝ 1800 ，イ＝ 1728 ，ア＋イ＝ 3528 ，ア−イ＝ 72
23 ：ア＝ 2296 ，イ＝ 2240 ，ア＋イ＝ 4536 ，ア−イ＝ 56
24 ：ア＝ 2379 ，イ＝ 2325 ，ア＋イ＝ 4704 ，ア−イ＝ 54
25 ：ア＝ 2670 ，イ＝ 2622 ，ア＋イ＝ 5292 ，ア−イ＝ 48
26 ：ア＝ 3045 ，イ＝ 3003 ，ア＋イ＝ 6048 ，ア−イ＝ 42
27 ：ア＝ 3546 ，イ＝ 3510 ，ア＋イ＝ 7056 ，ア−イ＝ 36
28 ：ア＝ 3985 ，イ＝ 3953 ，ア＋イ＝ 7938 ，ア−イ＝ 32
29 ：ア＝ 4550 ，イ＝ 4522 ，ア＋イ＝ 9072 ，ア−イ＝ 28
30 ：ア＝ 5304 ，イ＝ 5280 ，ア＋イ＝ 10584 ，ア−イ＝ 24
31 ：ア＝ 7065 ，イ＝ 7047 ，ア＋イ＝ 14112 ，ア−イ＝ 18
32 ：ア＝ 7946 ，イ＝ 7930 ，ア＋イ＝ 15876 ，ア−イ＝ 16
33 ：ア＝ 9079 ，イ＝ 9065 ，ア＋イ＝ 18144 ，ア−イ＝ 14
34 ：ア＝ 10590 ，イ＝ 10578 ，ア＋イ＝ 21168 ，ア−イ＝ 12
35 ：ア＝ 15880 ，イ＝ 15872 ，ア＋イ＝ 31752 ，ア−イ＝ 8
36 ：ア＝ 21171 ，イ＝ 21165 ，ア＋イ＝ 42336 ，ア−イ＝ 6
37 ：ア＝ 31754 ，イ＝ 31750 ，ア＋イ＝ 63504 ，ア−イ＝ 4
38 ：ア＝ 63505 ，イ＝ 63503 ，ア＋イ＝ 127008 ，ア−イ＝ 2
.58 秒 かかりました。

個数だけを調べるならば、

38
.14 秒 かかりました。

となりました。
ネコの住む家　　 6月8日（木） 13:13:29　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　27573
uchinyan
#27572
＞#27555,#27556 カード問題
＞実際にやってみると、N=4k,N=4k+1 ならすべてできそうです。
ふーむ、結果として、「奇偶性」のチェックが必要十分になっていそうだ、ということですね。
証明できるのかな？
ネコの住む家　　 6月8日（木） 13:22:01　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　27574
スモークマン
#27572　カード問
なかさんへ。
すごいですね〜、やっぱりプログラムですよね？
こんな感じならすべてできそうな気もします・・・
しかし、その証明ってできるのでしょうか？？
金光　　 6月8日（木） 13:48:53　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　27575
しんちゃん
Ａ＝ア＋イ、Ｂ＝ア−イ とすると、
　　　Ａ×Ｂ＝2^6×3^4×7^2　　Ａ＋Ｂ＝２×ア
これから、ＡとＢはともに偶数と分かるので、2^6×3^4×7^2　を
2つの偶数の積にすれば良いことになります。

そこで、先ず6個の2を、どちらにも最低1個は来るように二つに分けて、
残りの4個の3と2個の7を振り分けました。

�　�2を1個と5個に分けた場合
　　　　4個の3と、2個の7をどちらにくっ付けるかで、5×3＝15通り
�◆�2を2個と4個に分けた場合も
　　　　4個の3と、2個の7をどちらにくっ付けるかで、5×3＝15通り
��　2を3個と3個に分けた場合は
　　　　例えば、3を1個と7を2個片方にくっつけるのと、
　　　　　　　　3を3個と7を0個片方にくっつけるのは同じになることに
　　　　注意して、8通り

結局、15＋15＋8＝38通り　になりました。
　　 6月8日（木） 14:46:23　　 　　27576
スモークマン
#27576 しんちゃんさんの解法は、
わたしと同じアプローチです〜
が、わたしのよりずっとスマート！(^^)
金光　　 6月8日（木） 16:03:00　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　27577
uchinyan
#27572 ＆ #27556　カード問題
なかさん、スモークマンさんへ。
ちょっと、「あれ？」っと思ったのですが．．．

N = 8 の場合、

なかさんの解：N= 8 : 1, 2, 4, 5, 8, 6, 3, 7　つまり、
表：8 7 6 5 4 3 2 1
裏：1 2 4 5 8 6 3 7
差：7 5 2 0 4 3 1 6

スモークマンさんの解：1-8,1-7,3-8,2-6,2-5,3-5,6-7,4-4　つまり、
表：8 7 6 5 4 3 2 1
裏：1 6 2 3 4 8 5 7
差：7 1 4 2 0 5 3 6

この二つは、差が 0 になるところが違うから異なっており、解は、ユニークではないのですね。
なかさんの解は、プログラムで全部をチェックしたのかな、と思ったのですが、違うのでしょうか？
そうなると、解がいくつあるかも、気になってきたり．．．
ネコの住む家　　 6月8日（木） 16:24:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　27578
kashi
カード問題の解の数は、

N=4 4
N=5 4
N=8 32
N=9 96
N=12 992
N=13 2512
N=16 50512

とかなりたくさんあるようです。
(表=1〜Nとして裏の数を求めたので、実質的には半分でしょうか。)

この増え方からして解はずっとありそうな気はするんですが、
証明は難しそうですねえ。
　　 6月8日（木） 16:36:39　　 　　27579
uchinyan
#27579
kashiさん、情報ありがとうございます。
こんなにあるのですか。多分、なかさんは、解の例を一つずつ挙げたのでしょうね。
＞この増え方からして解はずっとありそうな気はするんですが、
確かに。
＞証明は難しそうですねえ。
ちょっと気になって、例の数列サイトで調べてみたら、A075866でありました。

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A075866
A075866 Number of permutations s of {1,2,...,n} such that |s(i)-i| for i=1,2,...,n are all distinct.
A075866 {1,2,...,n} の、i=1,2,...,n に対して |s(i)-i| がすべて異なる順列 s の個数。

今回のカード問題そのままですね。
こんなのまであるとは。でも、あまり新たに得られる情報はないなぁ．．．
ネコの住む家　　 6月8日（木） 16:57:52　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　27580
スモークマン
#27579
kashiさんへ。
解の数はどうやって求められたのですか？
求める方法があるってことは常に解は存在するって言えますよね？？
金光　　 6月8日（木） 17:11:03　　 MAIL:kennji72001@yahoo.co.jp 　　27581
kashi
#27580
uchinyanさん、こんな面白いサイトがあるんですね。情報ありがとうございます。

#27581
スモークマンさん、簡単なプログラムで全部探索です。
　　 6月8日（木） 17:49:36　　 　　27582
なか
>多分、なかさんは、解の例を一つずつ挙げたのでしょうね。
そのとおりです。
解の数が爆発的に増えることが分かったので、一例が見つかったら
先のＮを調べることにしました。
　
解の存在の証明ができるとしたら、帰納的な方法が有力のような気がします。
N=k の解から N=k+4 の解を導く手順を開発すればよいわけです。
しかも、これだけ膨大な解がある中の特殊な一例（１系列）でも示せばいいので、
脈はまだありそうなのです。とはいえ、一筋縄ではいきません。
　　 6月8日（木） 18:20:28　　 MAIL:naka@sansu.org 　　27583
誠司
私の解き方は、非常に原始的ですが・・・。
まず問題を見て504を素因数分解し2^3*3^2*7とし、アとイの和と差の積が504の２乗(254016)だから、2^6*3^4*7^2となり、その約数の数は１０５個あり、これらを２つの数の積が254016になるように５２組とア＝イ＝504を書き出した。(1,254016)(2,127008)(3,84672)・・・(432,588)(441,576)(448,567)というように。この２数の前がア−イで後がア＋イとする。
つまり、連立方程式からアは２数の和の半分となり、整数が条件。
例:ア−イ＝1,ア＋イ＝254016 ア＝127008.5で条件外。
　ア−イ＝2,ア＋イ＝127008 ア＝63505 イ＝63503この組は条件を満たす。
つまり、組の片方でも奇数のもの(15組)は条件外となり、52-15=37とア＝イ＝504の３８通りと求めた。
　　 6月8日（木） 23:11:23　　 　　27584
ER部長
(アーイ)X(ア+イ)=504X504

504=2^3X3^2X7^1
504X504=2^6X3^4X7^2

だから、(アーイ)≦504 で、(ア+イ)が偶数になる組合せで考えました。
　　 6月8日（木） 23:27:26　　 　　27585
胃の中の蛙
初めて参加いたします。算数しかできないのでこんな方法です。
ア×ア−イ×イ＝504×504になりますから正方形の面積の差で考え、
『中空方陣』に並べた碁石の数の求め方を利用しました。
四畳半の部屋の真ん中に半畳の畳を置いた図です。
周りの一畳の畳の面積が504×504÷4＝63504で、
縦・横の長さの組み合わせは(1×63504)から(252×252)
までです。63504の約数の数が75個あって、252×252があるので
約数のペアを考えて(75＋1)÷2＝38になりました。

　　 6月8日（木） 23:50:03　　 　　27586
fumio
難しかったー
　　 6月9日（金） 7:31:59　　 　　27587
uchinyan
#27586
基本的には、約数を考える他の皆さんと同じ解法なのですが、図的に捉えている点が算数らしくていいな、と思いました。
なお、#27565も同じ解法なのかな、と、改めて思いました。

カード問題の方は、仕事の合間に考えるともなく考えてみたものの、下手な考え休むに似たり、という感じで、進展なし。
あ、ただ、状況を把握するために、私も十進ベーシックでプログラム組んでみました。
ナイーブに順列を吐き出しすべてチェックするアルゴリズムなので、N = 12 辺りでギブアップのようですが、そこまでは、再現できているようです。
ここから、帰納的に攻めるなどの糸口になる、解の規則性が見えるかどうか．．．
ネコの住む家　　 6月9日（金） 17:39:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　27588
吉川　マサル
　図形的と言えば、この問題は、「双曲線 x^2-y^2=504^2上にある格子点の数を数える問題」とほぼ同じですよね。
PowerBook G4　　 6月9日（金） 19:11:05　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　27589
uchinyan
#27589
＞図形的と言えば、この問題は、「双曲線 x^2-y^2=504^2上にある格子点の数を数える問題」とほぼ同じですよね。
なるほど、確かに。こうすると、すごく難しそうな問題に見えますね ^^;
ちなみに、504^2 + y^2 = x^2 とすれば、ピタゴラス数を求める、数える、問題にもなりますね。
ネコの住む家　　 6月10日（土） 13:32:23　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　27590
きょえぴ
数年ぶりにチャレンジしました^^
解法は皆様同様でしたが
５×３＝２５としてはれられました><
九九から出直してきます( TДT)
　　 6月10日（土） 15:33:35　　 　　27591