L
あれ？パスなしで入れちゃう？
　　 8月3日（木） 0:13:08　　 　　27988
ｔｋ
接続がわるすぎ。
物読み小屋　　 8月3日（木） 0:14:59　　 　　27989
かっくん
　…───┐●�圜�───…カイセン　オモオモ…（；；)
お風呂　　 8月3日（木） 0:17:14　　 HomePage:寺子屋（仮）　　27990
ヒデー王子
2709のおかげだね〜
うなぎや　　 8月3日（木） 0:34:52　　 　　27991
＜Melvy＞
異常に重いですね．
それに，パスワードが必要なように戻していただかないと正解の確認ができないのですが (笑)．
　　 8月3日（木） 0:18:59　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　27992
L
軽くなりました？
　　 8月3日（木） 0:21:07　　 　　27994
凡太
たいへん、重かったです。もう寝ます。
　　 8月3日（木） 0:22:10　　 　　27995
fumio
さすがヒデー王子さま、早い早い！ははは。
　　 8月3日（木） 0:24:04　　 　　27997
CRYING DOLPHIN
こちらは生真面目に横から見たときの図を睨んで共通部分と格闘。
上下が正四面体とわかったが、中間部分が何の形かなかなか見当が
つかず…ひたすら悩んでようやっと正八面体が浮かんで見えた瞬間、
脳内データベースがきゅぴーんと反応！

あー　これって１９９９年くらいのＫ陽学院の問題と全く同じだ…
そら関西の方早いわorz

さて、共通部分の立体を直接求めにかかるよりも楽そうな方法が
ありそうな気もするけど多忙で頭が働かない…（またそのパターンか）
というわけで、あとは皆さんにおまかせ〜！(^^;
シャララ　　 8月3日（木） 0:56:50　　 HomePage:算数とか隧道とか　　27998
ヘラクレス辻。
ん？　パスなしで入れたぞ。　まだここに答は書かないほうがよさそうかな。
第参新埼玉市　　 8月3日（木） 0:26:51　　 HomePage:ドンピシャ　　27999
kasama
やっと名前が載りました(´▽｀)
　　 8月3日（木） 0:27:20　　 　　28000
ぺヨンジュン
なんでパスなしで入れたんでしょうか？
　　 8月3日（木） 0:32:27　　 　　28001
ぺヨンジュン
なんでパスなしで入れたんでしょうか？
　　 8月3日（木） 0:32:33　　 　　28002
kasama
パスワードなしで入れますね。認証させない作戦かなぁ(笑)
　　 8月3日（木） 0:36:54　　 　　28003
復旧
しました。
　　 8月3日（木） 0:40:07　　 　　28004
＜Melvy＞
パスが必要になったようです．
前回出題ミスがあり，それについて議論する場とするため，前回 1 週間はパスなしで入れるようになっていたのでそれが残っていたのかと < #28001
　　 8月3日（木） 0:41:34　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　28005
吉川　マサル
ただいま帰宅いたしました。

#27998
　え？どっかの入試にこんなのが出てるんですか？orz

　今回の問題は、前回が前回でしたので、「とにかく答えが出るものを」という方針で作成いたしました。アイデア自体はすぐに浮かぶ程度のものなのですが、ちょっと検証に時間をかけました。

　それから、サーバが激重い状態になってしまい、たいへんご迷惑をおかけしました。原因は分かっていますので、来週には対処いたします。m(__)m
PowerBook G4　　 8月3日（木） 0:42:05　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28006
な
サーバ重すぎ
　　 8月3日（木） 1:02:13　　 　　28007
吉川　マサル
＜サーバが重い件＞

　とりあえず、すぐにできる対策をいたしました。m(__)m
PowerBook G4　　 8月3日（木） 1:04:46　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28008
CRYING DOLPHIN
#28006
正四面体Ａ・Ｂを、それぞれの１つの頂点が互いに他方の底面の中心に
一致するように、かつ底面の向きが互いに逆さまになるように重ねる。
Ａ・Ｂの共通部分とＡの体積比を求めよ。(2000 甲陽学院／問題文改)
シャララ　　 8月3日（木） 1:09:11　　 HomePage:算数とか隧道とか　　28009
吉川　マサル
#28009
　げぇ、確かにそのまんまだ....。（答えも同じ）こんな難しいのが、中学入試に出るとは...。

　ちなみに今回の答え、一応2^9=512にちなんだものだったりします。
PowerBook G4　　 8月3日（木） 1:14:39　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28010
ヘラクレス辻。
512回　→　2^9　→　2/9　　orz
　　
ちゃんと算数で考えろよ・・・と自分につっこんでみる。
第参新埼玉市　　 8月3日（木） 1:23:05　　 HomePage:ドンピシャ　　28011
ヘラクレス辻。
#28010
あ、やっぱりそうですよね。　
なんとなく上と下が1/9ずつで足したら2/9で512絡みかなぁと送ったのですが。
第参新埼玉市　　 8月3日（木） 1:17:16　　 HomePage:ドンピシャ　　28012
CRYING DOLPHIN
#28010
入試では例として「底面の向きが互いに同じ向きになるように重ねた図」
を共通部分の立体ごと図示したものがついてたので、だいぶ解きやすい
とは思いますが、それでも小学生には（たとえＮ中受験者でも）明らかに
厳しいですね。

にしても、ここで数値あわせときましたかー　やられました。

うぐ、そろそろ寝ないとヤバイ…明日に向けて寝なけｒ…zzz
シャララ　　 8月3日（木） 1:25:14　　 HomePage:算数とか隧道とか　　28013
トトロ＠Ｎ
何だかサーバーが重くてつながらないのであきらめてました。

教え子の甲陽学院の生徒がこの入試問題は算数ではなくて理科の先生が作問したらしいと言ってました。
私には分からないのですが何かの結晶構造に由来するのでしょうか？
兵庫県明石市　　 8月3日（木） 1:30:08　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　28014
トトロ＠Ｎ
ちなみに私が算数で解いた解説はとても冗長です。
小学生に分かるように親切に作ったつもりが仇になったかも。
多分、底面に平行にスライスしたときに、ちょうど中間の高さの共通部分が
正六角形になることから適当に説明した方が分かりやすいですね。
兵庫県明石市　　 8月3日（木） 1:33:05　　 MAIL:h-sakai@zb3.so-net.ne.jp 　　28015
sugitakukun
うひぃ、リアルタイム挑戦でやっと解けた（ぉ
いや、流石に休憩入れつつですがｗ

とりあえず、上下1/3の部分は問題ないのですが、真ん中1/3の部分でもたつくもたつく^^;
上から1/3で切って、2/3でも切って、さらには1/2でも切って、まだ分かんないから左半分と右半分に分けて考えて……力技すぎますねorz

まぁ、結局上下併せて「2/9cm^3」とか書いていた時点でアウトでしたがorz
　　 8月3日（木） 2:44:12　　 　　28016
y.kobayashi
六角柱の高さをHとすると０からH/３までは正四面体で体積は六角柱の１/１６２、H/３から２H/３までは正八面体で体積は六角柱の２/８１、２H/３からHまでは０からH/３までと合同の正四面体で体積は六角柱の１/１６２、よって合計は２/９…であってるんでしょうか…
　　 8月3日（木） 3:06:35　　 　　28017
uchinyan
はい、こんにちは。今回の問題は、考えました。でも、楽しかったです ^^/
図が描けないので説明しづらいのですが、一応、解法です。

まず、よくやるように、平面AGJDでの断面を考えてみます。
すると、OJ と黒い正三角形の交点、AP と赤い正三角形の交点を、それぞれ T, S とすると、
比の関係から、OT：TJ = 1：2, AS：SP = 2：1, OT = PS などが分かります。
また、求める立体は、一辺が OT の小さな正四面体が上と下に一つずつと、それらに挟まれた部分、と分かります。
小正四面体は、元の大きな正四面体と相似で、相似比は 1：3、体積比は 1：27 です。問題は、挟まれた部分です。
これは、断面図や図形の対称性などを考慮すると、一辺が OT と同じ正三角形を 8 個集めて面にして作った立体と分かります。
要するに、正八面体ですね。これに気付くのに少し苦労しました。
この体積は、やはり断面図及び対称性などから、上の小正四面体の一面と正八面体の一面とが同じ平面上にあることを考慮すると、
一辺が OT の 2 倍の正四面体から小正四面体の 4 個を除いたものに等しい、と分かります。
そこで、小正四面体の 2 * 2 * 2 - 4 = 4 個分です。
以上より、結局、求める立体は、小正四面体の 1 + 4 + 1 = 6 個分です。
一方で、小正四面体の体積は、大正四面体の 1/27 でした。
さらに、大正四面体＝大正三角錐は、元の正六角柱と、底面は半分、高さは同じ、柱→錘で 1/3 なので、
正六角柱の 1/2 * 1 * 1/3 = 1/6 の体積になります。
そこで、求める体積は、6 * 1/6 * 1/27 * 6 = 2/9 cm^3 になります。
ネコの住む家　　 8月3日（木） 11:09:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28018
uchinyan
掲示板読みました。先週のを引きずってか、若干のトラブルがあったようですね。

#28010
＞ちなみに今回の答え、一応2^9=512にちなんだものだったりします。
げ、こんなトリックがあったとは．．．

#28009他
う〜む、中学入試問題とは。確かに算数で解けますが、時間制限内に解くのは大変だなぁ．．．

難しいですが、この問題、算数でうまく解けて、とっても気持ちいいです ^^/
ネコの住む家　　 8月3日（木） 11:26:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28019
＜Melvy＞
平面 OLH で切ると，ちょうど重なり部分のひとつの面が出てきて，
それは△OLH と相似比 3:1 の正三角形を上下に 2 つ合わせたひし形になります．
平面 OLH と平行な平面で，平面 OLH と 平面 EPC の間を切るとどこも同じ断面をしています．
重なり部分の高さ (平面 OLH に垂直な方向) は，正四面体 A-EPC の高さ
(= 正六角柱の高さ) の 1/3 です．

よって重なり部分の体積は
(正六角柱の底面積) × 1/2 (ここまでで△OLE) × 2/9 (ここまででひし形)
× (正六角柱の高さ) × 1/3 (重なり部分の高さ)
= (正六角柱の体積) × 1/27
= 2/9 cm^3
としました．

珍しく，正四面体の高さとか使わずに算数で解くことができました．
厳密に言えば，斜柱の体積が (底面) × (高さ) で求まるのはカバリエリの定理だから，
算数でないと言えばそうなのですけれど…．

#28014
理科ですか．言われてみれば，方解石なんかを思い起こさせる立体ですよね．

そういえば，0:07 くらいに解答をメール送信したのですけれど，到着は 0:31 になっていました．
やはりサーバトラブルの影響ですかね？
解答フォームの方も送れなかった方がいらしたようですし，仕方ないのかもしれませんが．
研究室　　 8月3日（木） 12:21:51　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　28020
uchinyan
#28020
面白い解法だと思います。勉強になりました。
が、ちょっと、分からないことがあるので、教えて頂ければ幸いです。

＞平面 OLH と平行な平面で，平面 OLH と 平面 EPC の間を切るとどこも同じ断面をしています．
言われてみれば、確かに対称性からそうかなぁ、という感じですが、ただ、ピンと来ないです。
すべて△OLH上のひし形と同じになっている、ということですね．．．？
−＞
ごめんなさい。納得できました (^^;

＞(正六角柱の底面積) × 1/2 (ここまでで△OLE) × 2/9 (ここまででひし形) × (正六角柱の高さ) × 1/3 (重なり部分の高さ)
「(ここまでで△OLE)」−＞「(ここまでで△OLH)」？

＞厳密に言えば，斜柱の体積が (底面) × (高さ) で求まるのはカバリエリの定理だから，
「カバリエリの定理」というのは知らないのですが、斜柱の体積の公式のことでしょうか。
−＞
少し調べてみました。もっと一般的な話なのですね。私が見たサイトでは、
　２つの平行な面のあいだにはさまれた２つの図形であって、
　それに平行な平面で切った切り口の面積がいつでも等しければ、両方の体積は等しい。
とありました。何だかよく分からない表現なのですが、今の場合は、要するに、
　斜柱の体積は直柱(というのかな？)の体積に等しい
ということですね、きっと。ちょうど、平行四辺形と同じ高さの長方形の面積のように。

定理の証明はともかく、その直感的な理解と使用ぐらいは、算数ではないのかな？
ネコの住む家　　 8月3日（木） 15:35:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28021
fumio
ははは、昨晩あっていると思い違いしていました。
毎回ですが、とほほです。やっぱり、王子はすごい！
　　 8月3日（木） 15:45:45　　 　　28022
しんちゃん
OPを3等分する点を通る平面で水平に切って考えました。

　　AEの1/3の長さを1目盛りと呼ぶことにすると、
　　　　共通部分の一番上の部分は、1辺が1目盛りの正四面体
　　　　　　　　　　　一番下の部分も、1辺が1目盛りの正四面体
　　　　　　　　　　　その間の部分は、1辺が2目盛りの正四面体の4隅から１辺が１目盛りの正四面体を
　　　　　　　　　　　切り取った形に、なります。
　　　　で、合計は、１辺が1目盛りの正四面体6個分。
　　図の黒い正四面体の体積は、1cm^3 だから、1辺が1目盛りの正四面体の体積は、1/27cm^3。
　　結局、6×1/27＝2/9cm^3 になりました。

皆さんの書き込みを読むまで、真ん中の部分が正八面体とは気づきませんでした。
　　 8月3日（木） 16:03:00　　 　　28023
ファルコン
#28014
Ｏ先生の作でしょうかね？
地元ネタですみません。<(__)>
　　 8月3日（木） 16:23:59　　 　　28024
吉川　マサル
#28020
> そういえば，0:07 くらいに解答をメール送信したのですけれど，到着は 0:31 になっていました．
> やはりサーバトラブルの影響ですかね？

　<Melvy>さんのメイルですが、マシンからの送信時刻（Date: ）が 00:07:56で、プロバイダのSMTPサーバに届いたのが 00:08:12、sansu.orgに届いたのが 00:31:01であることは、手元のメイルで分かっています。が、一応「到着時刻」にしていますもので...スミマセン。
　こういう順位表は、「１つの時計」で判断しないとマズイですんで..。各プロバイダの時刻が正確であるとは限りません（というか、大抵ズレてます）し、各自のPCの時計は意図的に操作が可能ですので、このような制度にしてあります。m(__)m

　ちなみに今回と前回のメイル遅延（というか、全体的にサーバが重くなった件）の原因ですが、２つの理由がありまして、１つはSPAM対策によるオーヴァーヘッドの増加、もう１つは解答フォームでの送信ボタン連打による大量メイル送信で、これらがたまたま同時に起こったために発生いたしました。前者の部分に関しては昨晩のうちに対処済みです。（詳しいことは書けませんが）後者については、１つ目の対策で十分かどうかを見極めてからということになりますが、場合によっては、「１度解答を送ったら、同一IPアドレスからは３０秒間は遅れない」等の措置をとるかも知れません。（あまりやりたくはないので、とりあえずペンディングしてあります）
PowerBook G4　　 8月3日（木） 17:25:54　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28025
ビューティーフルーツWITHキムタクアンド俺
受験勉強時代を思い出す問題でした。

こんな問題を解いた覚えがありまして・・・

正四面体*4＝正８面体を忘れていたのがくやしい。
ビューティー島　　 8月3日（木） 18:35:50　　 　　28026
＜Melvy＞
#28021
> 「(ここまでで△OLE)」−＞「(ここまでで△OLH)」？
はい，単なる誤記です．

#28025
> 各自のPCの時計は意図的に操作が可能
それには気づいていましたので，納得しております．

ところで，みなさま水平に切って計算してらっしゃるんですね．
なかなかイメージが難しいのですが，正八面体となるのはなんとか納得できました．
対称性からすると，重なり部分全体は，すべての面が同じひし形の平行六面体なんですね．
　　 8月3日（木） 21:24:26　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　28027
胃の中の蛙
それぞれの三角錐を高さの半分で切って、三角錐台どうしを合わせた図と、上の三角錐どうしを合わせた図に分けて考えるとイメージしやすいと思います。
　　 8月3日（木） 21:59:05　　 　　28028
BossF
各面が正三角形の準多面体ですね
Ｔｏｋｉｏ　　 8月4日（金） 7:49:28　　 MAIL:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp HomePage:ＢｏｓｓＦ’ｓ　Ｔｏｙ　Ｂｏｘ　　28029
スモークマン
山勘です。(^^)
皆さんの解法を読んでも、まったく図がイメージできないわたしは入試には落ちますね？
でも、解答率が10％の問題なら差はつかないかな？？
金光　　 8月4日（金） 12:03:25　　 　　28030
なか
#28029
>各面が正三角形の準多面体ですね

下のいくつかの記事にもあるように、
正確には、各面がひし形の平行６面体になります。
　　 8月4日（金） 18:06:03　　 MAIL:naka@sansu.org 　　28031
算数オタク
今回は正解者も少ないし、正解率も低いし、問題が難しいんでしょうか…
　　 8月4日（金） 18:52:29　　 　　28032
吉川　マサル
#28032
　正解者数に関しては、問題の難易度の判定に使えるかと思います。（お盆、お正月、ＧＷといった特殊な期間を除いて）正解率は...１人が劇的に率を下げる場合もあったりするのでなんとも...。(^^;
PowerBook G4　　 8月4日（金） 19:35:23　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28033
算数オタク
１人が劇的に率を下げる場合もあったりする…のですか。掲示板で答えがあってるか確認してから答えを送ればいいのに…　それにしても今回は低いですね。
　　 8月4日（金） 20:45:02　　 　　28034
BossF
#28031

正八面体+正四面体ｘ２だから…と思ったら大間違いでしたね…とほほ

確かに作ってみたら、平行六面体が出てきました、なんか不思議(=^・^=)
Ｔｏｋｉｏ　　 8月4日（金） 23:56:16　　 MAIL:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp HomePage:ＢｏｓｓＦ’ｓ　Ｔｏｙ　Ｂｏｘ　　28035
BossF
PS こうゆうのは　plydrono ちゅうおもちゃを使って組み立てると、イメージが確認できますよ＞ＡＬＬ
（化学用の奴だとめんどくさすぎ）
Ｔｏｋｉｏ　　 8月5日（土） 0:01:28　　 MAIL:fv2f-ftk@asahi-net.or.jp HomePage:ＢｏｓｓＦ’ｓ　Ｔｏｙ　Ｂｏｘ　　28036
スモークマン
教えて下さい〜

友人問ですが、、、解答を見てもよく分かりません。。。(^^;

問題
nは自然数で、それを十進法で表し、各桁の数字の和をとると
1000であり、n^2の各桁の数字の和をとると1000^2になる
という。そのようなnは存在するか否か決定せよ。

金光　　 8月7日（月） 21:41:31　　 　　28037
みっちー
とっても原始的ですが、紙と楊枝で模型をつくっちゃいました。
解法はしんちゃんさんと同じでしたが、
平行六面体についてはみなさんの書き込みを見るまできがつきませんでした。
今回初めて応募してみましたが、来週も参加してみたいです。
　　 8月8日（火） 0:09:07　　 　　28038
吉川　マサル
　えと、ワタシゴトなんですが、ちょっと口内手術をしたりしてまして、「１週間は安静にするように」と言われちゃったりしています。

　口内手術の内容は、インプラント埋入前の骨移植ってやつで、ちょうど下前歯の下あたりの骨を削って、それを上前歯の部分に植え付ける、というなんだかプラモデルの改造みたいな手術です。通常は全身麻酔＆入院で実施するものだそうで、結構身体への負担が大きいもの、とのことです。

　....とは言っても全然元気なのですが、まぁ一応そんなわけで、夜遅く起きるのもよろしくないようですし（といいつつ、昨晩はAppleのWWDCの２ちゃんねる中継を見てしまいましたが）、何よりも「安静」にしてないと顔全体のハレ（おたふく風邪のような状態になってます）のひきが遅れるそうですので、明日の算チャレの更新はお休みとさせていただきたく思います。まぁ、そもそもお盆なので休みにしようかなーと思っていたところではあるのですが。

　というわけで、急で申し訳ありませんが、ご理解いただければ幸いです。m(__)m
PowerBook G4　　 8月8日（火） 9:48:13　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28039
uchinyan
#28039
＞明日の算チャレの更新はお休みとさせていただきたく思います。
あ、マサルさん、大変でしたね。何やら聞くだけで恐ろしげな手術で．．．
もちろん、了解です。
幸か不幸か、スモークマンさんの難しそうな問題も出ているようですし．．．
ゆっくりとご静養ください。
もっとも、今は夏期講習で大変なんでしょうね。
ネコの住む家　　 8月8日（火） 11:05:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28040
スモークマン
#28039
明日のアップ問スキップとのこと残念〜
ですが、、、次回が恐い。かな？
お体（歯）ご自愛下さい〜ませ。
暑中お見舞いを兼ねまして。。。
金光　　 8月8日（火） 13:10:44　　 　　28041
uchinyan
#28037
＞問題
＞nは自然数で、それを十進法で表し、各桁の数字の和をとると
＞1000であり、n^2の各桁の数字の和をとると1000^2になる
＞という。そのようなnは存在するか否か決定せよ。
今日は結構仕事が忙しいので、すごく直感的な話で恐縮ですが、こうした状況はなさそうな気がします。
全く証明にはなってはいないのですが．．．

n が k 桁の数とします。つまり、0 < n < 10^k ですね。
すると、0 < n^2 < 10^(2k) だから、n^2 は 2k 桁以下の数です。
一般に x の10進数表記での各桁の和を s(x) で書くことにすると、すべての桁の数字が 9 のとき s(x) は最大なので、
0 < s(n) <= 9k, 0 < s(n^2) <= 9 * 2k = 18k
となります。
s(n) = 1000 なので、k >= 1000/9 > 111 で k >= 112 です。
s(n^2) = 1000^2 = 1000000 なので、k >= 500000/9 > 55555 で　k >= 55556 です。
そこで、k >= 55556 で、つまり、n は 55556 桁以上の数です。
このとき、s(n) = 1000 なので、n の各桁の数字の平均は、1000/k <= 1000 * 9/500000 = 9/500 となり、ほぼ 0 です。
もちろん、すべて 0 はありえないのですが、0 が非常に多いのは間違いありません。
なにせ、1000 桁を無作為に取り出したときに、1 以上の数字が 18 個以下なのですから。
そうした数を二乗しても、やはりほとんどの桁が 0 になりそうで、
それを足した s(n^2) が 1000^2 つまり、s(n) の 1000 倍になる、というのは、ちょっと変な気がします。

多分、こうした直感をうまく説明できればいいように思うのですが．．．
よく分からない．．．
ネコの住む家　　 8月9日（水） 7:54:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28042
kasama
#28039

歯の手術とは言え、体への負担が大きいようで大変ですね。いつも忙しくされているので、今回は夏休みも兼ねて、どうぞゆっくりと静養なさって下さい。
お大事に〜d(*⌒▽⌒*)b
　　 8月8日（火） 20:58:40　　 　　28043
スモークマン
#28042 uchinyanさん考えて下さってありがとうございます〜OrZ
#28037
似た感じで逆を考えてみたのですが・・・
s(1)=1,s(1^2)=1^2
s(11)=2,s(11^2)=s(121)=4=2^2
・
・
・
s(111111111)=9,s(111111111^2)=s(12345678987654321)=45+36=81=9^2
と、、、
ここまで書いてたら、今、解答の意味がわかりました！！(^^)

しばらくしたら解答アップしますね！
金光＠岡山　　 8月8日（火） 22:37:51　　 　　28044
toby
#28039 マサルさん　お大事に！
　　 8月8日（火） 23:50:21　　 　　28045
ma-mu-ta
マサルさん、ご快癒お祈り申し上げます。
どうぞお大事になさってください！
　　 8月9日（水） 2:00:31　　 　　28046
uchinyan
#28044
そうそう、そのアプローチも考えたのですが．．．
s(1111111111) = 10, s(1111111111^2) = s(1234567900987654321) = 2 * 45 - 8 = 82 < 10^2
ポイントは、簡単な n = 10a + b で書くと、
s(n) = a + b
n^2 = 100 * a^2 + 10 * 2ab + b^2
ですが、a^2, 2ab, b^2 は一般に二桁以上になるので桁の繰上りがありますが、
それを考慮しても、むしろ考慮すると、かな
s(n^2) <= a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 =(s(n))^2
がいえそうで、等号は、桁上がりがない場合などのごく一部しかいえない、と考えていく．．．

ただ、細かく詰めるのは大変そうな気がしていました。
地道にこれをやってみるのかな？
ネコの住む家　　 8月9日（水） 8:04:36　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28047
スモークマン
#28047
その線でほぼ答えが出てますよ！？(^^)
10^2 を満たすようにいかに表現するかが分かればよいわけですが・・・
金光　　 8月9日（水） 8:57:45　　 　　28048
吉川　マサル
なんだか、だんだんとラクになってきてしまったのですが...更新すりゃあ良かったかなぁ？

　というわけで、お詫びに笑える写真をご覧くださいませ。まぁネタですから、誰に教えてくださっても、どこに晒してくださっても結構ですんで。(^^;

http://www.sansu.org/060810iiwake/
PowerBook G4　　 8月9日（水） 18:46:34　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28049
uchinyan
#28048
スモークマンさんへ：
今日も忙しく、まだ検討できていません。
が、今夜少し時間が取れそうなので、もう少し考えさせてください。
ネコの住む家　　 8月9日（水） 18:49:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28050
スモークマン
#28050
uchinyanさんへ。
了解で〜す！(^^)

#28049
マサル様へ。
はじめてご尊顔（お若い！＆精悍！）をありがたく拝見させていただきました。それにしてもおいたわしそうなオペだったご様子ですね。検査も手術も辛くないものにして欲しい〜〜〜ビビリのわたしめといたしましては・・・(^^;
金光＠岡山　　 8月9日（水） 21:56:48　　 　　28051
uchinyan
(結論が間違っていました。#28055, #28063をご覧ください。なお、誤りの箇所を明示しました。)

少し時間が取れたので、#28047のアプローチで詰めてみました。
ただ、長くなってしまったし、ちょっと論理的にも不安です。どうかなぁ．．．

0 以上の整数 n を10進数表記したときの各桁の和を s(n) とします。
すると、a, b を 0 以上の整数として、s には次の性質があります。
1) a が 1 桁の数ならば s(a) = a
2) s(10^b * a) = s(a)
3) b が 1 桁の数ならば s(10a + b) = s(10a) + s(b) = s(a) + s(b)
4) s(a + b) <= s(a) + s(b), 等号は a + b の計算で桁の繰上りがない場合
5) s(a * b) <= s(a) * s(b), 等号は a * b の計算で桁の繰上りがない場合

1), 2)は、s の定義から明らかでしょう。

3)も、b が 1 桁の数なのと、s の定義及び2)から明らかでしょう。

4)の証明　　桁に関する数学的帰納法を使います。
a, b が 1 桁の数、0 〜 9、の場合には、実際にやってみれば、等号条件も含めて成立します。
a が k 桁以下の数、b が m 桁以下の数で、成立するとします。
この仮定の下で、a を k+1 桁の数としてみます。
a = 10c + d、c は k 桁の数、d は 1 桁の数、
b = 10e + f、e は m-1 桁の数、f は 1 桁の数、
と書けるので、
s(a + b) = s((10c + d) + (10e + f)) = s(10(c + e) + (d + f))
ここで、0 <= d, f <= 9 なので、d + f は、1 桁の数か 2 桁の数になります。
・d + f が 1 桁の数の場合
1), 3)より、
s(a + b) = s(10(c + e) + (d + f)) = s(c + e) + s(d + f) = s(c + e) + (d + f)
c は k 桁の数、e は m-1 桁の数、だったので、帰納法の仮定から、
s(a + b) = s(c + e) + (d + f) <= s(c) + s(e) + d + f
等号は、c + e に桁の繰上りがない場合です。さらに、1), 3)より、
s(c) + s(e) + d + f = (s(c) + s(d)) + (s(e) + s(f)) = s(10c + d) + s(10e + f) = s(a) + s(b)
となり、
s(a + b) <= s(a) + s(b)
等号は、d + f に桁の繰上りがないので、a + b に桁の繰上りがない場合になります。
・d + f が 2 桁の数の場合
d + f = 10g + h, ただし、g, h は 1 桁の数
と書けるので、
1), 3)より、
s(a + b) = s(10(c + e) + (d + f)) = s(10(c + e + g) + h) = s(c + e + g) + s(h) = s(c + e + g) + h
c は k 桁の数、e は m-1 桁の数、g は 1 桁の数だったので、e + g は高々 m 桁の数であることに注意すると、帰納法の仮定から、
s(a + b) = s(c + e + g) + h =<= s(c) + s(e + g) + h <= s(c) + s(e) + s(g) + h
等号は、c + e + g に桁の繰上りがない場合です。さらに、1), 3)より、
s(c) + s(e) + s(g) + h = s(c) + s(e) + s(10g + h) = s(c) + s(e) + s(d + f)
d + f に帰納法の仮定を使って
< s(c) + s(e) + s(d) + s(f) = (s(c) + s(d)) + (s(e) + s(f)) = s(10c + d) + s(10e + f) = s(a) + s(b)
となり、
s(a + b) < s(a) + s(b)
d + f に桁の繰上りがあるので、等号は成立しません。
以上より、a が k+1 桁の数、b が m 桁以下の数で、不等式が示せました。
さらに、与えられた式は a, b について対称なので、a が k 桁以下の数、b が m+1 桁の数の場合は、a と b とを入れ替えればOKです。
以上で証明は終わりです。

5)の証明　　やはり、桁に関する数学的帰納法を使います。
a, b が1桁の数、0 〜 9、の場合には、実際にやってみれば、等号条件も含めて成立します。
a が k 桁以下の数、b が m 桁以下の数で、成立するとします。
この仮定の下で、a を k+1 桁の数としてみます。
a = 10c + d、c は k 桁の数、d は 1 桁の数、
b = 10e + f、e は m-1 桁の数、f は 1 桁の数、
と書けるので、
s(a * b) = s((10c + d) * (10e + f)) = s(100 * ce + 10 * (de + cf) + df)
4)より
<= s(100 * ce) + s(10 * (de + cf)) + s(df)
2)より
= s(ce) + s(de + cf) + s(df)
再び、4)より
<= s(ce) + s(de) + s(cf) + s(df)
ここで、c は k 桁の数、d は 1 桁の数、e は m-1 桁の数、f は 1 桁の数、なので、帰納法の仮定が使えて、
<= s(c) * s(e) + s(d) * s(e) + s(c) * s(f) + s(d) * s(f)
= (s(c) + s(d)) * (s(e) + s(f))
3)を使って
= (s(10c + d)) * (s(10e + f))
= s(a) * s(b)
等号は、いろいろありましたが、a * b の計算で一回でも桁の繰上りがあった場合には成立しないので、
結局は、a * b に桁の繰上りがない場合です。
以上より、a が k+1 桁の数、b が m 桁以下の数で、不等式が示せました。
さらに、与えられた式は a, b について対称なので、a が k 桁以下の数、b が m+1 桁の数の場合は、a と b とを入れ替えればOKです。
以上で証明は終わりです。

さて、苦労しましたが、ここまで来ればもう少しです。
s(n) = 1000, s(n^2) = 1000^2
だったので、
s(n^2) = (s(n))^2
つまり、等号が成立する場合です。そこで、n^2 の計算で桁の繰上りがあってはいけません。
実際の計算を考えてみると、4 以上の数字がどこかの桁にある場合には、明らかに 4^2 = 16 で繰り上がるので、すべての数字は 3 以下です。
この場合、n を k 桁とすると、
0 < s(n) <= 3k
となり、k >= 1000/3 > 333 で、n は 334 桁以上の数です。
この k 桁の数で、より具体的に、桁の数字が 0 でない個数は、
　334 個；3 が 333 個で 1 が 1 個、又は 3 が 332 個で 2 が 2 個
　〜
　1000 個：1 が 1000 個
になります。
次に n^2 の計算を考えてみると、
n = 10^(k-1) * a(k-1) + 10^(k-2) * a(k-2) + ... + 10^2 * a(2) + 10^1 * a(1) + 10^0 * a(0)
= ��[i=0,k-1]{10^i * a(i)}
として、
n^2 = (��[i=0,k-1]{10^i * a(i)})^2
= ��[0<=i,j<=k-1]{10^(i+j) * a(i) * a(j)}
= ��[m=0,2k-2]{10^m * ��[max(0,m-(k-1))<=i<=min(k-1,m)]{a(i) * a(m-i)}}
桁の繰上りがあってはいけないので、m = 0, ..., 2k-2 に対して、
0 <= ��[max(0,m-(k-1))<=i<=min(k-1,m)]{a(i) * a(m-i)} <= 9
特に、m = k-1 の場合、
0 <= ��[0<=i<=k-1]{a(i) * a(k-1-i)} <= 9
0 <= a(i) <= 3 を考慮すると、上記の k 項の和のうち 0 でないものは、高々 9 項で、少なくとも k-9 項は 0 でなければなりません。
a(i) に関して考えると、a(i) * a(k-1-i) は、i <-> k-1-i に関して対称なので、少なくとも (k-9)/2 or (k-8)/2 個が 0 でなければなりません。
そこで、最大 (k+9)/2 or (k+8)/2 個が 0 ではありません。

(ここからが誤りです。「(k+9)/2 が 1000 を超えないので」というのは、論理的に根拠がありません。)
したがって、先ほどの 0 でない桁の個数から、(k+9)/2 が 1000 を超えないので、
k/2 < (k+9)/2 <= 1000
これから、
333 < k < 2000
です。
(ここまでが誤り。)

その一方で、
0 < s(n) < 10^k
0 < s(n^2) = (s(n))^2 < 10^(2k)
なので、
0 < s(n^2) = 1000^2 = 1000000 <= 9 * 2k = 18k
k >= 1000000/18 = 500000/9 > 55555

(ここからも誤り。結局、k > 55555 しかいえず、存在するかどうかは分からないままです。)
これは矛盾です。
したがって、s(n) = 1000, s(n^2) = 1000^2 となるような n は存在しません。
(ここまでが誤り。)

最後の評価が少し不安です。
いずれにせよ、もう少しうまくできそうですね。
ネコの住む家　　 8月10日（木） 20:11:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28052
uchinyan
#28049
これは痛々しいお姿で．．．
くれぐれもご無理をなさらないように。
ネコの住む家　　 8月9日（水） 23:15:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28053
fumio
マサルさん、お大事にしてくださいね。
家内が１５時３９分の写真が大滝秀治（キンチョール）に似ていると言って
かわいいとわけわかめな事いっています。失礼
　　 8月9日（水） 23:56:14　　 　　28054
スモークマン
#28052
uchinyanさんへ。
いつもながら、大変な思考はすごいと感心しきりですが、、、
実は理論的に可能なんですよ！これが！！
s(n)=10,s(n^2)=10^2 のものが作れます。
これが作れれば、あらゆる n^2 になるものができることが同時に分かるはずです。

多分、uchinyanさんが悩まれてるんだからかなりの難問なんでしょうねえ・・・
答えをみれば、今さらながらなぜ気づかなかったのかって思ってますが。。。(^^;
金光＠岡山　　 8月10日（木） 0:09:47　　 　　28055
fumio
マサルさん、お大事にしてくださいね。
家内が１５時３９分の写真が大滝秀治（キンチョール）に似ていると言って
かわいいとわけわかめな事いっています。失礼
　　 8月10日（木） 0:11:00　　 　　28056
な
お大事になさって下さい。
　　 8月10日（木） 0:51:06　　 　　28057
吉川　マサル
皆さん、励ましのお言葉、ありがとうございます。m(__)m

　なんか、今朝は「こりゃヤバイ」って感じだったんですが、だんだんとラクになってきて、今は腫れもだいぶひいてきています。そんなわけで、まぁたぶん大丈夫ですんで、明日から仕事にも復帰しようかなと思ってたりします。お気遣いいただき、ありがとうございました。m(__)m
PowerBook G4　　 8月10日（木） 1:31:24　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28058
＜Melvy＞
#28055
横から…．
雰囲気だけですが，#28044 の考え方で，ゼロ詰めしまくれば桁上がりを防げるのではないかと．
もっとも，等間隔に (10101…のように) 詰めてしまうと結局重なってしまうので，
ゼロの個数を下から 0 個，1 個，3 個，7 個…と増やしていけば(このとき，全体の桁数が 2^{s(n)-1} 桁になる)，
n^2 の桁は 0 と 1 と 2 だけで構成されることになるような気がします．
9 まで使ってよければ，もっと縮められるかもしれませんが．

まったく検算していないので，穴がありましたらご指摘ください．
　　 8月10日（木） 1:51:52　　 HomePage:ある大学院生＜Melvy＞の日記　　28059
スモークマン
#28059
Melvyさんへ。
そういうことですが、もっと確実に存在が言えます。
ヒントは、(x+y)^2・・・
金光　　 8月10日（木） 7:51:43　　 　　28060
uchinyan
#28055
あ、しまった．．．
私の#28052は、後半の k の評価に論理的に誤りがあるようです。
k < 2000 は、直感と合わず、明らかに誤りです。
再考します。
ネコの住む家　　 8月10日（木） 8:16:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28061
uchinyan
#28055
あ！
n = 1111111110000000001, 10101010101010101001, ... ?
s(n) = 10, s(n^2) = 100
か．．．
ネコの住む家　　 8月10日（木） 10:55:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28062
スモークマン
#28062
uchinyanさんへ。
＞あ！
n = 1111111110000000001, 10101010101010101001, ... ?
s(n) = 10, s(n^2) = 100
か．．．

さすが！でましたね！！
n=111111111*10^9+1
なら、
n^2=(111111111*10^9+1)^2=111111111^2*10^18+2*111111111*10^9+1
なので、
s((111111111*10^9+1)^2)=s(111111111^2)+2*s(111111111)+1=9^2+2*9+1
=(9+1)^2=10^2
これを繰り返せば、いくらでも可能になるというわけですね！
n の候補としてはまだ他にあるかもしれませんが、、、

友人からの解答は、

存在する

S(n)は自然数nの各桁の数字の和とする。

nはk桁の数で、S(n)=mとする。もしS(n^2)=m^2であれば

N=10^(k+1)*n+1とおけばS(N)=m+1　S(N^2)=(m+1)^2

となる。

そこでn1=1とし、帰納的にniまで定まったとき、n=ni

とおいて上のように得られるNをn(i+1)とおく

すると、S(ni)=i　S(ni^2)=i^2となるからn1000が求める

数である。

でした。。。

最初は、トートロジーになるような気がして・・・(^^;
金光　　 8月10日（木） 11:18:52　　 　　28063
uchinyan
#28063
なるほどなぁ．．．

今回の一番の敗因は、第一印象で、できそうにないのでは、と思ってしまったことだと思います。
変な偏見をもつことが、一番いけない．．．反省しきりです．．．

友人さんの解答は、正しそうですが、チェックしながら、もう少しじっくりと読ませてもらいます。
すらっと書いてあるけれど、私が証明した、と思う (^^;、s の性質が前提になっていますよね。

ところで、次々と考えさせる良問を出してくる友人さんって、どんな方なんですか？
興味津々 ^^
ネコの住む家　　 8月10日（木） 11:41:45　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28064
スモークマン
#28064
友人ですか・・・
個人情報の絡みがあるからなあ(^^)
大学時代の友人です。わたしより数学は多分得意かな？
趣味で、どうも気分転換にいろいろ読みあさってるようで、、、
種本を教えてくれません。。。(^^)
お互いにメールで問題の出しあいやってます。
ここのサイトはじめいろんなサイト知らせてやっても、どうも好きでないような・・・そんな奴です。
ここに勝手にご披露させてもらってるのはそのうちの一部で、、、そのことは彼も知ってます。
金光　　 8月10日（木） 14:02:17　　 　　28065
uchinyan
#28065
＞友人ですか・・・
＞個人情報の絡みがあるからなあ(^^)
あ、そうでした。深い意味はないです。
オリジナル問題なのかなぁ、そうでないとすれば、解答が見事だなぁ、すごいなぁ、と、思ったので。

#28063をもう一度じっくりと読みました。
1111111110000000001 の方が、より想定解に近かったんですね。その後のもう一歩までは届きませんでしたが．．．
友人さんの解答は、簡明でお見事としかいいようがないです。参った (^^;
なお、友人さんの解答で、n1 は 1 以外にも、例えば、10, 100, 1000, ... などでもいいし、
1111111110000000001 のように n9 = 111111111 から出発してもいいので、
n は無限にありますね。
そして、#28059のMelvyさん流のアプローチでも可能なようです。
Melvyさんのは、友人さんのを、上下の桁をひっくり返したような解になっているようです。
さらに、ポイントは、n^2 の計算で桁の繰上りがないことなので、これら以外の種類の解もあるかもしれません。
ネコの住む家　　 8月10日（木） 21:39:58　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28066
スモークマン
#28066
＞n1 は 1 以外にも、例えば、10, 100, 1000, ... などでもいいし、
1111111110000000001 のように n9 = 111111111 から出発してもいいので、
n は無限にありますね。

わたしもそう思います！ただし桁数が一番少ないのはこれですよね！？
解答を読んだとき具体的な数がすぐ浮かばなくて、、、10^2 のものが作れたときに、なるほどっ！！ってわたしも感心しました。分かるとどうして思いつかなかったんだろうってちょっと悔しかったり。。。(^^)

＞ポイントは、n^2 の計算で桁の繰上りがないことなので、これら以外の種類の解もあるかもしれません。

そうですよね！x 10^(k+1) の k+1 が、その前の数の桁数以上になるようにしておけば桁上がりはないわけだから。今回の問題は存在が示せればいいので一つでも分かりやすいものが作れることがいえればいいわけで、解答の方法で作るのが一番簡単ってことなんでしょうね。
金光　　 8月11日（金） 8:46:26　　 　　28067
uchinyan
#28067
＞わたしもそう思います！ただし桁数が一番少ないのはこれですよね！？
「これ」が何を指すかによりますが、手法という意味では、0 の入れ方が最小そうなので、そうだろうな、と思います。
ただ、どうも最近は、いつも？、勘がさえないので、間違っているかもしれません (^^;
純粋に桁数という意味では、2 から出発して、
2, 22, 2202, 22020002 = 2202 * 10^4 + 2, 22020002 * 10^8 + 2, ...
の方が、s(n) が 2, 4, 6, 8, ... となるので、1000 に速く近づき、桁数も減るでしょう。
n で使える数字は、0 〜 3、ただし 3 は 1 個だけ、なので、これらをうまく利用していけば、桁数を減らす工夫はいろいろできるかもしれません。
ここらは、Melvyさんも#28059で指摘なさっていますね。

実は、Melvyさんは、私がアホなことを考えている間に、あっさりと完全な形で解かれていたわけで、
あらためて、スゴイなぁ、感心しております (^^;

ちょっと追加。
うっかり見逃していましたが、#28063の友人さんの解法で、
＞N=10^(k+1)*n+1とおけばS(N)=m+1　S(N^2)=(m+1)^2
は、2n の桁の繰上りを考慮して、10^(k+1) としているのでしょうが、その方が安全だし解の存在には十分、
この帰納法の仮定で、s(n^2) = (s(n))^2 としているので、n^2 の計算に桁の繰上りがあってはならず、
したがって、2n も桁の繰上りはなく、
N = 10^k * n + 1 とおけば S(N) = m+1　S(N^2) = (m+1)^2
で十分ですね。この方が桁数を減らせます。
Melvyさんの解法は、その点でも優れているようです。

私の会社は明日から来週の水曜日までお盆休みです。皆さんはどうでしょうか。
もっとも、おかげで今週は忙しかった．．．
木曜日は出社なので、算チャレリアルタイム参加はまたできそうにないなぁ．．．
う、何か日記になっていますね。ごめんなさい。
ネコの住む家　　 8月11日（金） 17:42:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28068
スモークマン
#26068
たしかにそうですが、、、上手くs(n)=1000,s(n^2)=1000^2 ができるかどうかは定かではないですよね？

＞N=10^(k+1)*n+1とおけばS(N)=m+1　S(N^2)=(m+1)^2
は、2n の桁の繰上りを考慮して、10^(k+1) としているのでしょうが、その方が安全だし解の存在には十分、
この帰納法の仮定で、s(n^2) = (s(n))^2 としているので、n^2 の計算に桁の繰上りがあってはならず、
したがって、2n も桁の繰上りはなく、
N = 10^k * n + 1 とおけば S(N) = m+1　S(N^2) = (m+1)^2
で十分ですね。この方が桁数を減らせます。

これは少なくとも1から始まった場合でも、その前の数が、50・・・〜99・・・としたら1桁上がるから、10^(k+1) の方がリスクは少ないのかなって思うのですが。。。(^^;

金光＠岡山　　 8月11日（金） 18:55:57　　 　　28069
uchinyan
#28069
＞たしかにそうですが、、、上手くs(n)=1000,s(n^2)=1000^2 ができるかどうかは定かではないですよね？
いえ、定かです。そうなるように、構築されているからです。
逆に言うと、10^k 倍、と n で使える数字が 0 〜 3、ただし 3 は 1 個だけ、2 と 3 は一緒には使えない、が ギリギリの限界のようです。
10^(k+1) 倍しておけば確かにリスクは減りますが、s(n^2) = (s(n))^2 を満たすように順次構築していくので、n^2 の計算に桁の繰上りはありえず、
＞これは少なくとも1から始まった場合でも、その前の数が、50・・・〜99・・・としたら1桁上がるから、
ということは、その構成法からして、ありえないと思います。
実際、n が k 桁として n -> 10^k * n + 1 のとき、
n, n^2
1, 1
11, 121
1101, 1212201 = 121 22 01
11010001, 121220122020001 = 1212201 2202 0001
1101000100000001, 1212201220200012202000200000001 = 121220122020001 22020002 00000001
11010001000000010000000000000001, 1212201220200012202000200000001 2202000200000002 0000000000000001
...
です。
ちなみに、Melvyさんが#28059で与えられている構築法は、上下の桁がひっくり返った感じになりますが、
この 10^k 倍の手法と原理的には全く同じだと思います。
ネコの住む家　　 8月11日（金） 23:36:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28070
スモークマン
#28070
2 から始まった場合は可能とか分かりました。(^^)
1から始まった場合、どの数も最初の数字は1以外にはあり得ないっていうのは明らかなのかなあ・・・？たとえば、2になることがあれば、4にも、8にもなりそうだから、、、8の時は次は一桁上がりますよね？
明らかなように思うのですが簡単にいえますでしょうか？
それとも、小小桁上がりしたって、その前の数は0だから問題ないのか！
根本的なところが分からなくなってきたなあ・・・(^^;
金光　　 8月12日（土） 8:58:29　　 　　28071
uchinyan
#28071
う〜ん、困ったなぁ、構築法の実際の計算の過程を考えれば、明らか、だと思うんですが．．．
ネコの住む家　　 8月12日（土） 15:22:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28072
スモークマン
#28072
そうか！構築法から、いずれも最初の数字は1ですね！
なら、n*10^k+1 で問題ないか(^^;

お手数おかけしました〜OrZ
金光　　 8月13日（日） 13:34:33　　 　　28073