Taro
ずっと四捨五入で考えてました(汗)
じたくぅ　　 9月14日（木） 0:05:24　　 　　28227
吉川　マサル
ふぅ、ミスがなかったようて一安心...。いえ、某ページの更新をしてまして、こういうときにミスると立つ瀬がないもので..。
PowerBook G4　　 9月14日（木） 0:06:40　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28228
sugitakukun
16x-1が該当する数であることまでは恐らく1分だったでしょうが…
なぜそこで「７」と答えを送信する…orz
しかも２回…|li orz il|
　　 9月14日（木） 0:16:06　　 　　28229
凡太
久しぶりにこの時間に自宅にいました。明日から、食品添加物をつくる海外の（といっても近くなんですが）工場見学のツアーに行ってきます。
　　 9月14日（木） 0:24:10　　 　　28230
吉川　マサル
さて、そろそろ帰宅します。帰宅したらミスが見つかってて大騒ぎ...なんてことになってなければ良いのですが..。
PowerBook G4　　 9月14日（木） 0:27:48　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28231
な
国語的に明確でない気がする、考え過ぎかな！
　　 9月14日（木） 0:28:47　　 　　28232
sugitakukunの従兄弟＠初挑戦
初挑戦です。
問題文をきちんと読んでなくて、とぼけた答えを何度も送ってしまいましたOTL
　　 9月14日（木） 0:29:06　　 　　28233
ゴンとも
以下のように十進basicのtruncateで切り捨て
見やすいように10ずつifで絞りました

FOR a=1 TO 100
FOR b=1 TO 100
LET x=16*a/7
LET y=16*b/9
LET z=TRUNCATE(x,0)
LET w=TRUNCATE(y,0)
IF z<=20 and w<=20 and 10<z and 10<w THEN PRINT z;w
NEXT b
NEXT a
END

これを9区間でやって
15,31,47,63,79,95の6個・・・・・・答え
豊川市　　 9月14日（木） 0:31:14　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　28234
Masa
　当然の如く、お互いに16の倍数については、切捨てしなくてもOKなんですよね。あとは、Aの場合は(16で割って、余りを切り捨てたときに出てくる数字が)2、4、6、9、11、13になり、Bの場合は(16で割って、余りを切り捨てたときに出てくる数字が)1、3、5、7、8、10、12、14になる、ということに気づけば、16で割って15余る数が出てこないわけですね。
　　 9月14日（木） 2:17:21　　 　　28235
おばかさん
総書き出し　それしか思い浮かばない　
　　 9月14日（木） 2:31:16　　 　　28236
ハラギャーテイ
おはようございます。プログラムです。
MATLABです。
山口　　 9月14日（木） 8:46:07　　 HomePage:制御工学に挑戦　　28237
スモークマン
10<16/7*x<100・・・xの個数=43-4=39
10<16/9*y<100・・・yの個数=56-5=51
共通するものは、16の倍数なので、99/16=6
二桁の数は、99-9=90 個。
つまり、
90-(39+51-6)=6
39+51=90 はたまたま・・・？
金光　　 9月14日（木） 9:06:42　　 　　28238
uchinyan
はい、こんにちは。今回は、いろいろあって、出遅れました。
問題自体は、規則性を調べればいいだけなので、比較的簡単かな、と思います。
まず、16/7 に関しては、
0 * 16/7 = 0 + 0 -> 0
1 * 16/7 = 2 + 2/7 -> 2, 2
2 * 16/7 = 4 + 4/7 -> 4, 2
3 * 16/7 = 6 + 6/7 -> 6, 2
4 * 16/7 = 8 + 8/7 -> 9, 3
5 * 16/7 = 10 + 10/7 -> 11, 2
6 * 16/7 = 12 + 12/7 -> 13, 2
7 * 16/7 = 14 + 14/7 -> 16, 3
8 * 16/7 = 16 + 2 + 2/7 -> 18, 2
9 * 16/7 = 18 + 2 + 4/7 -> 20, 2
...
なので、取り得る整数の隣り合う差は、
2, 2, 2, 3, 2, 2, 3, ...周期 7 で以下繰り返し...
になります。これは、要するに、2/7 の整数倍の整数部分、商ですね、の出現の仕方から、明らかです。
同様にして、16/9 の方は、
0 * 16/9 = 0 + 0 -> 0
1 * 16/9 = 1 + 7/9 -> 1, 1
2 * 16/9 = 2 + 14/9 -> 3, 2
3 * 16/9 = 3 + 21/9 -> 5, 2
4 * 16/9 = 4 + 28/9 -> 7, 2
5 * 16/9 = 5 + 35/9 -> 8, 1
6 * 16/9 = 6 + 42/9 -> 10, 2
7 * 16/9 = 7 + 49/9 -> 12, 2
8 * 16/9 = 8 + 56/9 -> 14, 2
9 * 16/9 = 9 + 63/9 -> 16, 2
10 * 16/9 = 10 + 7 + 7/9 -> 17, 1
11 * 16/9 = 11 + 7 + 14/9 -> 19, 2
...
なので、取り得る整数の隣り合う差は、
1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, ...周期 9 で以下繰り返し...
になります。これも、要するに、7/9 の整数倍の整数部分、商ですね、の出現の仕方から、明らかです。
したがって、これら二つの整数の列は、
16/7 の方は、2, 4, 6, 9, 11, 13, 16, ...
16/9 の方は、1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, ...
となり、二つを合わせると、周期 16 で二つの列が一致し、その一つ前が抜ける、ということになります。
したがって、抜けるのは、二桁では、15, 31, 47, 63, 79, 95 の 6 個になります。

説明的に書きましたが、これらの周期性の話を、7, 9 は互いに素、16 = 7 + 9、を元に、
うまくまとめれば、スマートな解法になるのかな、という気がしますが、
まぁ、ある意味明らかそうですし、どなたかが書かれているだろうし、上の説明で十分でしょう (^^;
ネコの住む家　　 9月14日（木） 12:06:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28240
uchinyan
掲示板読みました。

#28227
うーむ、四捨五入か．．．私の#28240で考えてみると．．．

まず、16/7 に関しては、
0 * 16/7 = 0 + 0 0 -> 0
1 * 16/7 = 2 + 2/7 -> 2, 2
2 * 16/7 = 4 + 4/7 -> 5, 3
3 * 16/7 = 6 + 6/7 -> 7, 2
4 * 16/7 = 8 + 8/7 -> 9, 2
5 * 16/7 = 10 + 10/7 -> 11, 2
6 * 16/7 = 12 + 12/7 -> 14, 3
7 * 16/7 = 14 + 14/7 -> 16, 2
8 * 16/7 = 16 + 2 + 2/7 -> 18, 2
9 * 16/7 = 18 + 2 + 4/7 -> 21, 3
...
なので、取り得る整数の隣り合う差は、
2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, ...周期 7 で以下繰り返し...
になります。同様にして、16/9 の方は、
0 * 16/9 = 0 + 0 0 -> 0
1 * 16/9 = 1 + 7/9 -> 2, 2
2 * 16/9 = 2 + 14/9 -> 4, 2
3 * 16/9 = 3 + 21/9 -> 5, 1
4 * 16/9 = 4 + 28/9 -> 7, 2
5 * 16/9 = 5 + 35/9 -> 9, 2
6 * 16/9 = 6 + 42/9 -> 11, 2
7 * 16/9 = 7 + 49/9 -> 12, 1
8 * 16/9 = 8 + 56/9 -> 14, 2
9 * 16/9 = 9 + 63/9 -> 16, 2
10 * 16/9 = 10 + 7 + 7/9 -> 18, 2
11 * 16/9 = 11 + 7 + 14/9 -> 20, 2
...
なので、取り得る整数の隣り合う差は、
2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, ...周期 9 で以下繰り返し...
になります。したがって、これら二つの整数の列は、
16/7 の方は、2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, ...
16/9 の方は、2, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 16, ...
となり、周期 16 の最初の周期までで抜けるのは 7 個になります。
したがって、100 までで抜けるのは、100 = 6 * 16 + 4 で、97, 99 が抜けるのを忘れずに 6 * 7 + 2 = 44 個、
二桁では、44 - 4 = 40 個になります。
かなり違いますね．．．

ちなみに、切り上げでは、
16/7：取り得る整数の隣り合う差は、3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, ...周期 7 で以下繰り返し...
16/9：取り得る整数の隣り合う差は、2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, ...周期 9 で以下繰り返し...
になります。したがって、これら二つの整数の列は、
16/7 の方は、3, 5, 7, 10, 12, 14, 16, ...
16/9 の方は、2, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 16, ...
となり、周期 16 の最初の周期までで抜けるのは 1 の 1 個になります。
したがって、100 までで抜けるのは、100 = 6 * 16 + 4 で、97 が抜けるのを忘れずに 6 * 1 + 1 = 7 個、
二桁では、7 - 1 = 6 個になり、切り捨ての場合と同じです。まぁ、これは当然ですね。

#28229, #28235
基本は、私の#28240と同じですね。
恐らく、この方向で解かれている方が多いのだろう、と思います。

#28234
ちょっと変わったコードですね。ちなみに私だったら、こうするかな。

REM 算数にチャレンジ５１７回
REM OPTION ARITHMETIC RATIONAL
DIM p(100)
LET c = 0
FOR i = 1 TO 100
　LET a = INT(16*i/7)
　LET b = INT(16*i/9)
　REM LET a = ROUND(16*i/7)
　REM LET b = ROUND(16*i/9)
　IF a < 100 THEN
　　LET p(a) = p(a) + 1
　END IF
　IF b < 100 THEN
　　LET p(b) = p(b) + 1
　END IF
NEXT i
FOR i = 10 TO 99
　IF p(i) = 0 THEN
　　LET c = c + 1
　END IF
　REM PRINT i; p(i)
NEXT i
PRINT c
END

なお、LET a = INT(16*i/7) のところを、LET a = INT(16/7 * i) とすると、
有理数モードで計算しないとうまくいかない場合があるようです。
十進ベーシックの処理系の計算の限界が絡んでいるようですが．．．分かるかな？

#28236
二桁ならば、総書き出しでも大したことはないでしょう。
地道ですが、確実な方法かもしれない。

#28237
MATLABは、私には分からないので．．．(^^;

#28238
なるほど．．．そうか！
x は正の整数として、16/7 * x の整数部分の値は x が異なればすべて異なるので、整数部分の値と x とは１：１。16/9 * y も同様。
したがって、16/7 * x の整数部分の値の個数は x の個数と同じ。y も同様。
つまり、x, y の世界で数えた個数は、１：１対応によって、整数部分の個数に等しくなり、
切り捨てだから、10 〜 100 の範囲で、16/7 * x の整数部分の値の個数は 39 個、16/9 * y の整数部分の値の個数は 51 個。
また、切り捨てだから、整数部分の世界で、
＞共通するものは、16の倍数なので、99/16=6
がいえ、結局、
＞90-(39+51-6)=6
でいいのか．．．これは、面白いなぁ。
なお、四捨五入の場合には、「共通するもの」が少し複雑になり、周期 16 の各周期ごとに 7 個で、最後は 98 になります。
そこで、一桁を除いて、共通するものは 7 * 6 + 1 - 4 = 39 個 です。
また、16/7 * 4 = 9.14…, 16/7 * 43 = 98.28…, 16/9 * 5 = 8.88…, 16/9 * 56 = 99.55… などに注意すると、
16/7 * x の整数部分の値の個数は 39 個ですが、16/9 * y の整数部分の値の個数は 50 個になります。
つまり、四捨五入の場合は、10 〜 100 の範囲制限で１：１対応に微妙なズレが出ます。
ここまでくれば、同様にして、90 - (39 + 50 - 39) = 40 個、になりますね。
＞39+51=90 はたまたま・・・？
う〜ん、どうなんでしょうか？
ネコの住む家　　 9月14日（木） 15:05:54　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28241
小島
１６／７のほうは１，２，２，２，１，２，２，２，２，・・・と増え
１６／９のほうは２，３，２，２，２，３，２，と増えるので
それで計算していくと１５，３１，４７，６３，７９，９５の６つになる。
まあ、最初の１５が分かればそこから１６たしていけば簡単になるのですけど。ははははは・・・・。これを解くのに３０分もかかった自分が
情けないです。
　　 9月14日（木） 18:22:42　　 　　28242
N.Nishi
一回りローテーションしました
　　 9月14日（木） 20:43:06　　 　　28243
スモークマン
#28240
uchinyanさんの
>7, 9 は互いに素、16 = 7 + 9　
からすると、
＞39+51=90 はたまたま・・・？
は、
16=3+13=5+11 でもなりたちそう。
実際に、[300/16]-[30/16]=18-1=17,[1300/16]-[130/16]=81-8=73 で、
17+73=90
よくみると、[100*3/16]+[100*13/16]-([10*3/16]+[10*13/16])
=[100(3+13)/16]-[10(3+13)/16] なら、常に言えますね！
これって言えるのでしょうか？
　　 9月14日（木） 22:16:30　　 　　28244
きょろ文
更新あるの忘れてたあ
16n-1が該当っぽいので
6個かな・・・

→あたり
√2の隣　　 9月14日（木） 23:36:07　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　28245
胃の中の蛙
AとBを帯分数にすれば周期がわかりやすいと思います。
その周期ごとにそれぞれ書き出すと、後は28235のMasaさんと同じく
16で割った余りが15になる数だけができないと気付きました。
兵庫県　　 9月15日（金） 0:36:46　　 　　28246
いちたすには
＃28246
「AとBを帯分数にすれば周期がわかりやすい」に同感。
Aから作ることができないのは、公差16の等差数列で初項が10，12，14，15,17,19,21,23,24のもの。
Bから作ることができないのは、公差16の等差数列で初項が11，13,15,18,20,22,25のもの。
共通するのは、公差16の等差数列で初項が15のもの。
数列は算数じゃないかもしれないけど。
　　 9月15日（金） 6:08:20　　 　　28247
数楽者
分子が４ｎで、分母が（２ｎ−１）と（２ｎ＋１）の場合には、
１周期で１つだけ出てこないのでは？
勘だけですが。
横浜　　 9月15日（金） 6:40:58　　 MAIL:iida@ae.keio.ac.jp 　　28248
uchinyan
#28244
＞>7, 9 は互いに素、16 = 7 + 9
書き込みがなかったようなので、まず、少し拡張した話をしておきましょう。

正の整数 a, b, a > b > 0 は互いに素として、(a+b)/a, (a+b)/b について、#28240に基づいて考えてみます。
m, n を正の整数として、
m(a+b)/a = m + mb/a, n(a+b)/b = n + na/b
なので、それらの整数部分は、m, n が増加するに従って、それぞれ常に 1 以上増加します。
そこで、m(a+b)/a の増加列の中に同じものはなく、n(a+b)/b の増加列の中にも同じものはありません。
次に、mb, na をそれぞれ a, b で割って商 p, q と余り s, t, 0 <= s < a, 0 <= t < b で書くと
m(a+b)/a = (m+p) + s/a, n(a+b)/b = (n+q) + t/b
と書けるので、整数部分が等しくなるのは m+p = n+q となり、
m(a+b)/a - s/a = n(a+b)/b - t/b
mb(a+b) - sb = na(a+b) - ta
ta - sb = (na - mb)(a + b)
(t + s)a - s(a + b) = (na - mb)(a + b)
a, b は互いに素なので、t + s が a + b を約数にもつ必要がありますが、s, t の取り得る範囲からして、s = t = 0 だけです。
そこで、
mb(a+b) = na(a+b)
mb = na
再び、a, b が互いに素なので、m は a の倍数、n は b の倍数、になります。
つまり、(a+b)/a の整数部分は周期 a、(a+b)/b の整数部分は周期 b だけで、一致します。
(a+b)/a の整数部分、(a+b)/b の整数部分は、それぞれの中では一致することはなかったので、
(a+b)/a の整数部分は１周期で a 個、(a+b)/b の整数部分は１周期で b 個、合わせて a+b 個あります。
ところが、(a+b)/a の整数部分は a 倍したときにだけ、(a+b)/b の整数部分は b 倍したときにだけ a+b で一致するのですから、
都合、1 〜 a+b で、a+b-1 個の異なる整数があることになります。
さて、では、1 〜 a+b で、どの整数が抜けるかですが．．．実は、a+b-1 です。
これは、もし、1 〜 a+b で、つまり、1 <= m <= a で
m(a+b)/a = (a+b-1) + s/a
と書けたとすると、
m(a+b) = a(a+b-1) + s
0 <= (a-m)(a+b) = a - s <= a
これは m = a しかありえませんが、 a - s > 0 なので、矛盾します。
抜けるのは一つだけなので、結局、抜けるのは a+b-1 になります。
そこで、一般に、抜けるのは、n を正整数として、(a+b)n - 1 になります。
したがって、二桁の場合の個数は、境界が微妙ですが、じっくり数えると、[ ] を通常のガウスの記号として、
[100/(a+b)] - [10/(a+b)] 個 になるようです。

さて、
＞＞39+51=90 はたまたま・・・？
＞．．．
＞よくみると、[100*3/16]+[100*13/16]-([10*3/16]+[10*13/16])
＞=[100(3+13)/16]-[10(3+13)/16] なら、常に言えますね！
＞これって言えるのでしょうか？
結論からすると、一般には、う〜ん、微妙ですね．．．

一般に、今までの前提で a/(a+b) = 0.d1d2d3d4…, d1, d2, ... は小数部分の各位の数字とすると、
b/(a+b) = 1 - a/(a+b) = 1 - 0.d1d2d3d4… = 0.(9-d1)(9-d2)(9-d3)(9-d4)…
です。ただし、有限小数の場合は、小数部分の最後が 10-di に変わる点に注意します。
そこで、
1) a/(a+b) = 0.d1d2…, b/(a+b) = 0.(9-d1)(9-d2)… の場合
[100 * a/(a+b)] = [d1d2.…] = d1d2
[100 * b/(a+b)] = [(9-d1)(9-d2).…] = (9-d1)(9-d2)
[10 * a/(a+b)] = [d1.d2…] = d1
[10 * b/(a+b)] = [(9-d1).(9-d2)…] = (9-d1)
[100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - [10 * a/(a+b)] - [10 * b/(a+b)]
= d1d2 + (9-d1)(9-d2) - d1 - (9-d1)
通常の書き方では、
= 10 * d1 + d2 + 10 * (9 - d1) + (9 - d2) - d1 - (9 - d1)
= 99 - 9
= 90
一方で、もちろん、
[100 * (a/(a+b) + b/(a+b))] - [10 * (a/(a+b) + b/(a+b))]
= 100 - 10
= 90
なので、一致します。
2) a/(a+b) = 0.d1, b/(a+b) = 0.(10-d1) の場合
[100 * a/(a+b)] = [(d1)0] = (d1)0
[100 * b/(a+b)] = [(10-d1)0] = (10-d1)0
[10 * a/(a+b)] = [d1] = d1
[10 * b/(a+b)] = [(10-d1)] = (10-d1)
[100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - [10 * a/(a+b)] - [10 * b/(a+b)]
= (d1)0 + (10-d1)0 - d1 - (10-d1)
通常の書き方では、
= 10 * d1 + 0 + 10 * (10 - d1) + 0 - d1 - (10 - d1)
= 100 - 10
= 90
で、やはり、一致します。
3) a/(a+b) = 0.d1d2, b/(a+b) = 0.(9-d1)(10-d2) の場合
[100 * a/(a+b)] = [d1d2] = d1d2
[100 * b/(a+b)] = [(9-d1)(10-d2)] = (9-d1)(10-d2)
[10 * a/(a+b)] = [d1.d2] = d1
[10 * b/(a+b)] = [(9-d1).(10-d2)…] = (9-d1)
[100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - [10 * a/(a+b)] - [10 * b/(a+b)]
= d1d2 + (9-d1)(10-d2) - d1 - (9-d1)
通常の書き方では、
= 10 * d1 + d2 + 10 * (9 - d1) + (10 - d2) - d1 - (9 - d1)
= 100 - 9
= 91
で、一致しません。
したがって、ガウス記号の等式という意味では、一般には、成立しません。

ただ、この場合は、計算から分かるように、100 倍した数自体が整数になっています。
もともとの問題に立ち返ると、二桁の数に限定して考えるので、
10 < (a+b)/a * x < 100, 10 < (a+b)/b * y < 100
となる x, y の個数を求めるわけですが、3) の場合は 100 がちょうど倍数になっているので、
[100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] を使うことに問題があるようです。
具体的には、100 を除いて、[100 * a/(a+b)] + [100 * b/(a+b)] - 2 としなければなりません。
こうすると、今度は 91 - 2 = 89 = 90 - 1 になります。しかし、これでいのです。

もともとの問題は、これらから、さらに [100/(a+b)] - [10/(a+b)] を引いたものを、二桁の数の総数 90 から引くことになります。
1), 2) の場合は、当然、[100/(a+b)] - [10/(a+b)] になります。
3) の場合は、a, b が互いに素であることから、a+b が 100 の約数でないといけなくなります。
そこで今度は、[100/(a+b)] に問題が生じ、正しくは、[100/(a+b)] - 1 - [10/(a+b)] としなければなりません。
しかし、この補正のおかげで、結果はやはり [100/(a+b)] - [10/(a+b)] になるようです。
これは、最初に求めた結果と一致しています。
結局、
＞＞39+51=90 はたまたま・・・？
は、一応必然のようですが、今述べたような補正が必要な場合もあります。

#28248
＞分子が４ｎで、分母が（２ｎ−１）と（２ｎ＋１）の場合には、
＞１周期で１つだけ出てこないのでは？
明らかですが、2n-1 = ga, 2n+1 = gb, a, b は互いに素、とすると、g(b-a) = 2, g = 2 はあり得ないので、g = 1 で、
2n-1, 2n+1 は互いに素、したがって、今までの議論を踏まえると、これは正しいですね。
ネコの住む家　　 9月15日（金） 14:24:04　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28250
スモークマン
#28250
>そこで、一般に、抜けるのは、n を正整数として、(a+b)n - 1 になります。 したがって、二桁の場合の個数は、境界が微妙ですが、・・・、
[ ] を通常のガウスの記号として、
[100/(a+b)] - [10/(a+b)] 個 になるようです。

なるほど！
正確には、、、
a,b が互いに素な時、二桁の求める個数は、
9<(a+b)n-1<100 から、
10<(a+b)n<101 なので、
10/(a+b)<n<101/(a+b) となり、
n の個数=[101/(a+b)]-[10/(a+b)]　かな？
　　 9月15日（金） 17:01:37　　 　　28251
スモークマン
#26251
間違いでした・・・OrZ（訂正パスワードが消えてて書き直せなかった。。。）
10<=(a+b)n-1<=99 だから、
11/(a+b)<=n<=100/(a+b) となるので、やっぱり結局、
[100/(a+b)]-[10/(a+b)] になりますね！
金光＠岡山　　 9月15日（金） 17:28:57　　 MAIL:crazy_tombo@yahoo.co.jp 　　28252
水無灯里15歳
16/7でも16/9でも作れない16以下の数は15だけだから、
15＋16n(n＝0,1,2,3・・・)であらわされる整数は作れない。
この数で100以下なのはn＝0,・・・,5の計6個
なんで毎回このようにパズル的な面白い問題作れるのか・・・尊敬します。
僕もバイトで数学の問題作ってますがなかなか思うようにいかなくて・・orz
　　 9月16日（土） 4:51:48　　 　　28256
スモークマン
こんな友人問がきました。。。
わたしはピンときませんでした、、、、

問題
x、yが自然数でx^2+yとy^2+xが完全平方数
になることはあるか。

金光　　 9月16日（土） 13:51:49　　 　　28257
吉川　マサル
#28258
　今回の問題は、元ネタ有りの言わばパクリです。もちろん、算数の問題として成り立つように改題はしていますが....。というわけで、尊敬には値しませんので..。(^^;
PowerBook G4　　 9月16日（土） 16:44:48　　 MAIL:masaru-y@san　su.org HomePage:算チャレ　　28258
weapon
#28257
x<=yのとき、y^2<y^2+x<y^2+2y+1=(y+1)^2
y<xのとき、x^2<x^2+y<x^2+2x+1=(x+1)^2
よって、x^2+yとy^2+xがともに完全平方数になることはない。
　　 9月16日（土） 17:12:09　　 　　28259
スモークマン
#28259
weaponさん、正解！！
x^2 と(x+1)^2 の間の数になるっていえばいいんですね〜(^^)
金光＠岡山　　 9月17日（日） 0:06:09　　 MAIL:crazy_tombo@yahoo.co.jp 　　28260
uchinyan
(若干、追加修正しました。)
#28257, #28259, #28260
＞問題
＞x、yが自然数でx^2+yとy^2+xが完全平方数
＞になることはあるか。
完全に出遅れてしまいました (^^;
結局は同じことだと思いますし、weaponさんの解法には及びませんが、私が問題を見て思った解法。

x^2 < x^2 + y なので、もし、x^2 + y が完全平方数になるならば、m を自然数として、
x^2 + y = (x + m)^2
と書けるはずです。同様にして、もし、y^2 + x が完全平方数になるならば、n を自然数として、
y^2 + x = (y + n)^2
そこで、両方とも完全平方数になるとしたら、
x^2 + y = (x + m)^2
y^2 + x = (y + n)^2
となるような自然数 x, y, m, n が存在するはずです。式を変形して、
2m * x - y = - m^2
x - 2n * y = n^2
これらから、
(1 - 4mn) * x = n^2 + 2 * m^2 * n
(1 - 4mn) * y = m^2 + 2 * m * n^2
両式の右辺、x、y は正なので、1 - 4mn > 0 ですが、これを満たすような自然数 m, n は存在しません。
したがって、両方とも完全平方数になることはあり得ないことになります。

なお、ちょっと拡張した問題、a, b も自然数として、
x^2 + ay, y^2 + bx が両方とも完全平方数になることはあるか
も、一応は、同様に考えられます。
x^2 + ay = (x + m)^2
y^2 + bx = (y + n)^2
から、
2m * x - a * y = - m^2
b * x - 2n * y = n^2
(ab - 4mn) * x = a * n^2 + 2 * m^2 * n
(ab - 4mn) * y = b * m^2 + 2 * m * n^2
ここで、先ほどと同様に ab - 4mn > 0 ですが、ab - 4mn は整数なので、ab - 4mn >= 1 ともできます。
そこで、ab >= 4mn + 1 >= 5 が必要です。このとき、右辺が ab - 4mn を約数にもてば、x, y は決まります。
例えば、ab - 4mn = 1、つまり、ab が 4 以上であって、4 で割って 1 余る数のとき、
m, n を mn = (ab - 1)/4 となるようにとれば、
x = a * n^2 + 2 * m^2 * n
y = b * m^2 + 2 * m * n^2
という解があることが分かります。
ただ、残念ながら、一般的に条件をつめるのは大変そうで、よく分かっていません (^^;

(以下追加)
すごくナイーブですが、ちょっと変わった証明を思いつきました。
x, y, m, n を自然数として、x^2 + y = m^2, y^2 + x = n^2 になったとします。すると、
y = m^2 - x^2 = (m + x)(m - x)
そこで、p, q を自然数として、
y = pq, m + x = p, m - x = q, x = 1/2 * (p - q) ----- (1)
と書けます。そこで、x >= 1 より、p >= q + 2 >= 3, y >= 3 になります。
同様にして、r, s を自然数として、y^2 + x = n^2 の方から、
x = rs, n + y = r, n - y = s, y = 1/2 * (r - s) ----- (2)
y >= 3 だったので、r >= s + 6 >= 7, x >= 7 になります。
すると、
x >= 7 を (1) に再度適用して、p >= q + 14 >= 15, y >= 15
y >= 15 を (2) に再度適用して、r >= s + 30 >= 31, x >= 31
x >= 31 を (1) に再度適用して、p >= q + 62 >= 15, y >= 63
y >= 63 を (2) に再度適用して、r >= s + 126 >= 31, x >= 127
．．．
と、この操作をどこまでも続けることができます。
これは、x, y の下限が無限大に、したがって、x, y が無限大になることを意味し、x, y が存在するとしたことと矛盾します。
したがって、x^2 + y = m^2, y^2 + x = n^2 になることはあり得ないことになります。

ちなみに、x^2 + ay, y^2 + bx の拡張問題の場合には、a, b をうまくとれば x, y 自体の大きさを制御できるので、
そのようにとった a, b に対しては、このような矛盾は発生しません。

weaponさんの解法で、 y <= x のときは、x^2 < x^2 + y < (x+1)^2 でしたが、
これは、自然数 x^2 + y の正の平方根が、自然数、もちろん有理数にも、ならず、無理数になる、ことを端的に示しています。
上記のような証明を見ると、無理数に絡む無限が顔をのぞかせているような気もして、なかなか奥深い感じもしますね。
ネコの住む家　　 9月18日（月） 14:21:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28262
大岡　敏幸
久しぶりに来ました（＾＾）。今回は２桁なので１０〜９９。（数え上げてもそう苦労はしないかな？）
２桁の出てこない数字
１５、３１、４７、・・・
良く見ると１６づつ増えているので安易に予測して暗算しました（＾＾；
久しぶりの何も無い休日はやはり良いですね。あさってからは・・・考えないようにしよう。
石川県　　 9月17日（日） 15:51:56　　 MAIL:toshi009@land.hokuriku.ne.jp 　　28263
スモークマン
#28262
uchinyanさん、ご考察ありがとうございます〜OrZ

今ふと思ったのですが、、、（いい加減ですみません・・・）

a^2+b^2=c^2 にあてはめると、a=x,b^2=y なら、c がある。
そのとき、y^2+x=z^2 になるためには、x=m^2 なら存在する。
つまり、x=m^2,y=b^2 のとき、
x^2+y=(m^2)^2+b^2=c^2
y^2+x=(b^2)^2+m^2=n^2
を同時に満たすものがないという方向ではどうなんだろう？

これでも矛盾がいえないといけないはずですよね。。。
ご返事なくても結構ですので。(^^)
金光　　 9月17日（日） 21:09:27　　 　　28264
uchinyan
#28264
ご提案の方向には、二つほど、気になる点があります。

一つ目は、確かに、x = a, y = b^2 として、x^2 + y = a^2 + b^2 = c^2 となる x, y, c を構成できますが、y は平方数でなくとも構わない点です。
例えば、2^2 + 5 = 4 + 5 = 9 = 3^2 など。
ご提案の方法では、こうした可能性を排除しきれないような気がします。

二つ目は、次数が上がってしまうので、一般には難しくなりそうな気がする点です。もちろん、先が見えていればいいのですが．．．
#28262では、むしろ、x, y に関しては一次式なるように工夫しました。
このおかげで、少しは見通しがよくなったように感じています。
ネコの住む家　　 9月17日（日） 22:31:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　28265
スモークマン
#28265
uchinyanさんへ。
なるほど。。。
言われてみると、、、わたしので矛盾するからないってことは言えないんだ！あくまでそういう数ではないってことしかねえ。。。(^^;
ありがとうございました〜OrZ〜
金光＠岡山　　 9月17日（日） 23:18:45　　 MAIL:crazy_tombo@yahoo.co.jp 　　28266
fumio
おはようございます
　　 9月20日（水） 11:22:37　　 　　28269