吉川　マサル
ふぅ、なんとか更新できました..。が、今日は１日、（いまだ原因不明の）サーバトラブルの対応に追われ、超短時間で問題を作ってしまった（見直しをほとんどしていない...）のでミスがないか大変心配なのですが...。大丈夫でしょうか？＞皆様
PowerBook　　 7月19日（木） 0:08:13　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30289
カエラ
直角三角形とか、中点とかは使わないのでは？
Ｃ・Ｍ・Ｐ・Ｑと角度だけで相似が云えて、終わるのでは？
　　 7月19日（木） 0:09:20　　 　　30290
banyanyan
時間がすぎていて出遅れました。
△ＣＭＱ∽△ＭＰＱ
７：４＝４：ＰＱ　→　ＰＱ＝１６／７
ＣＭ：ＭＰ＝７：４
ＣＭ＝ＭＰ×７／４＝ＣＰ×７／４＝（７−１６／７）×７／４＝３３／４
京都市　　 7月19日（木） 0:10:32　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30291
きょろ文
直角三角形は使わずに
相似でときました・・・
√2の隣　　 7月19日（木） 0:12:17　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30292
banyanyan
過去問第４回に同じ問題がありました。
京都市　　 7月19日（木） 0:12:23　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30293
ちゃーみー
2 回送信したのにまだ名前が載りません… (2 分頃とついさっき)。
自宅　　 7月19日（木） 0:12:41　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30294
Taro
ΔMCQだけで解けるんですね。
２辺の長さと角の比だけで決まるようです
　　 7月19日（木） 0:14:19　　 　　30295
吉川　マサル
ぐあ、やはり失敗してしまいました.........。

　名前の件は、私の設定ミスです。問題は....orz
PowerBook　　 7月19日（木） 0:14:58　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30296
むらい
相似と角の二等分線で線分を分けるやつ
で解きました。
およそ東経約140度くらい　　 7月19日（木） 0:15:19　　 　　30297
スモークマン
むらいさんと同じです^^v
ラッキー問ですね^^
金光＠岡山　　 7月19日（木） 0:18:29　　 　　30298
吉川　マサル
スミマセン、こんな状態の日にオリジナルで作ろうとしたのが間違いでした.......。問題が完全に壊れていなかったのが幸いなのか何なのか...。つまらない問題になってしまってスミマセン...。

　それから、本日お昼ごろ〜23:50くらいまでの間、サーバがかなり不安定（かつ重い）になっていました。この間に私宛てにメイルを送信したり、前回の問題の解答を送信されたりした方は、もしかするとメイルが失われているかも知れません。万が一重要なメイル等がありましたら、再度送信していただければ幸いです。

　良問・難問を期待された方々、申し訳ありませんでした....。
PowerBook　　 7月19日（木） 0:20:25　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30299
みかん
(#30291)banyanyanさんの相似のやり方と同一の方法です。図形問題は苦手な
私でも算数の正攻法で解けたので易しい問題なんでしょう。

(#30299)マサルさん
＞つまらない問題になってしまってスミマセン...。
いえいえ、しっかり悩ませていただきました。ラッキー問題の割に短時間で
解答が殺到していないように思うのは気のせい？
　　 7月19日（木） 0:27:50　　 　　30300
tl
やはり、直角と中点は使わなくて良かったんですね。
　　 7月19日（木） 0:34:50　　 　　30301
banyanyan
角の二等分線は中学範囲ですので、あえて相似だけで解きました。
京都市　　 7月19日（木） 0:54:16　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30302
ダンディ海野
どこでＭがＡＢの中点、∠B=90°を使うのだと思いつつ、逆に条件漏れでは
ないかと更新したりしているなか、結局△AMQと点Pだけでの条件でMCの長さ
が決まることに気ががつきました。（気がつくのが遅いっちゅう〜に）
　条件過多に気がつくのも力、タイムレースとしては成り立っています。
たまには愛嬌！
　　 7月19日（木） 0:57:11　　 　　30303
英ちゃん
△ＣＭＱをＣＭを軸にして折り返し、新しい点Ｑの位置をＱ’とすると、
Ｑ’ＣとＡＢが平行になったので「解ける！」と思ったのですが先に進まず、
△ＣＭＱの中だけで考えたら相似を用いて解けることに気付き解答。
今日（昨日）は風邪で寝込んでいたため起きたのが１２時半という生活リズムの乱れ。
居間　　 7月19日（木） 1:10:29　　 HomePage:虚数なページ　　30304
ma-mu-ta
いつもの如く大幅に遅れての参加。
△CMQ∽△MPQで、相似比7：4を使って、MC＝33/4＝8.25cm
しかし、8.25では通らない。
中点Mや直角三角形という条件を使わなかったので、なにか勘違いかをしたかと
問題と図を何度も見直すことしばし…。
どう考えても相似になる。
ここでやっと気がつく〜〜〜分数でやってみたらどうか？
はぁ〜、やっと入れました。
追記：数学では分数解答は普通のことですが、算数では数量を表すのに仮分数を嫌う傾向があり、
割り切れる場合は小数解答が普通です。分数・小数どちらでも入れるといいのですが…。

　　 7月19日（木） 3:16:29　　 　　30305
算数
ＰからＭＣに平行な線をひきＭＱとの交点をＲとする
△ＣＭＱ∽△ＭＰＱ、ＰＱ＝１６/７なので
△ＱＰＲ∽△ＱＣＭの相似比は１６：４９…��
これよりＱＲ：ＭＲ＝１６：３３　さらにＭＱ＝４なので
ＭＲ＝１３２/４９　△ＭＰＲはＭＲ＝ＰＲの二等辺三角形なので
ＰＲ＝ＭＲ＝１３２/４９　�，茲蝪唯叩瓧苅坑丕�/１６なので
ＭＣ＝４９/１６×１３２/４９＝３３/４
　　 7月19日（木） 8:14:10　　 　　30308
uchinyan
はい，こんにちは，さて，今回の問題は．．．
これはやさしい．．．というか，直角とか中点とか使いませんでした。いいのかな？
∠MPQ = 2 * ∠MCP = ∠CMQ なので，△MPQ ∽ △CMQ です。
そこで，PQ：MQ = MQ：CQ，PQ：4 = 4：7，PQ = 16/7 cm で，CP = CQ - PQ = 7 - 16/7 = 33/7 cm です。
また，∠PCM = ∠PMC より MP = CP = 33/7 cm です。
そこで，再度，△MPQ ∽ △CMQ より，CM：MP = CQ：MQ，CM：33/7 = 7：4，CM = 33/4 cm になります。
ネコの住む家　　 7月19日（木） 9:23:35　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30309
匿名
正弦定理で解いてしまったorz
しかもそっちのほうがすんごく回り道
　　 7月19日（木） 10:47:57　　 　　30310
uchinyan
掲示板を読みました。

#30289，#30296，#30299
サーバトラブルなどいろいろと大変だったようでご苦労様です。
ミスはないようですが，不要な条件があるようですね。

#30290，#30291，#30292，#30295，#30297，#30298，#30300，#30301，#30303，#30304，#30305，#30309
若干のバリエーションはあるようですが，△MPQ ∽ △CMQ を使う解法。さすがにこれが多い，これしかない？，ようです。
直角と中点の条件は，やはり不要なようですね。
#30305
小数で掲示板に入れなかったようですが，今は入れますよ。

#30308
＞ＰからＭＣに平行な線をひきＭＱとの交点をＲとする
これも，△MPQ ∽ △CMQ を使いますが，後半が若干凝っているので，別分類にしました。

#30310
＞正弦定理で解いてしまったorz
＞しかもそっちのほうがすんごく回り道
一応私も考えてみました。それほど面倒だとは思わない，暗算でできる範囲，だと思いますが．．．
倍角や３倍角の公式の手ごろな復習問題かなぁ。
ネコの住む家　　 7月19日（木） 11:18:16　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30311
吉川　マサル
　またサーバが重い状態になっているようです...。ううむ、ログ等見ているのですが、まだ原因は分かりません。なるべく早く対応いたしますので、ご理解いただければ幸いです。m(__)m
PowerBook　　 7月19日（木） 11:42:16　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30312
吉川　マサル
　原因究明＆対策ができた...と思います。ご迷惑をおかけいたしました。m(__)m
PowerBook　　 7月19日（木） 12:02:45　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30313
ちゃーみー
あ，よく考えたら今年初めての 1 位だ。2 位は何回も取っているのに。
自宅　　 7月19日（木） 15:10:43　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30314
ハラギャーテイ
こんばんは。MATHEMATICAによる計算です。
余弦定理で解けました。
山口　　 7月19日（木） 17:03:36　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　30315
スモークマン
また^2 友人問をば ^^v Orz〜

問題
数列a1,a2,……..を
an=2^n+3^n+6^n-1　(n=1,2,……..)で定める。
この数列のどの項とも互いに素であるような自然数は1以外にないことを示せ。

わたしには難しくて分かりませんでした。。。^^;
金光＠岡山　　 7月20日（金） 10:36:07　　 　　30316
小西孝一
やっぱり三角形の相似と角の２等分の時の比を使いました。
算数ではわかりませんでした。
　　 7月20日（金） 11:42:25　　 　　30317
uchinyan
#30316
まず明らかに，互いに素かどうかを調べる自然数は素数に限ってOKです。
なぜならば，一般に公約数があれば素数を含み，素数の場合に帰着するので。
そこで，素数について考えます。
a(n) = 2^n + 3^n + 6^n - 1　(n = 1, 2, ...)
において，
a(1) = 2 + 3 + 6 - 1 = 10, a(2) = 4 + 9 + 36 - 1 = 48
なので，2, 3, 5 とは互いに素ではないです。そこで，p を 7 以上の素数とします。
すると，2, 3, 6 は p と互いに素なので，フェルマーの小定理より，mod p で
2^(p-1) ≡ 1, 3^(p-1) ≡ 1, 6^(p-1) ≡ 1
そこで，ここが一工夫ですが．．．かなり考えてからひらめいた ^^/
6 * a(p-2) = 6 * (2^(p-2) + 3^(p-2) + 6^(p-2) - 1) = 3 * 2^(p-1) + 2 * 3^(p-1) + 6^(p-1) - 6
ここで mod p をとると，
6 * a(p-2) ≡ 3 * 1 + 2 * 1 + 1 - 6 = 6 - 6 = 0
つまり，6 * a(p-2) は p で割り切れます。p は 6 と互いに素だったので，a(p-2) は p で割り切れます。
以上で結局，すべての素数に対して互いに素でない a(n) が存在することが分かったので，
互いに素な自然数は 1 だけになります。
ネコの住む家　　 7月20日（金） 15:57:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30318
スモークマン
#30318
uchinyanさんへ。
う〜ん、流石。。。閃き（天啓）が素晴らしい^^v
まさしく解答と同じです♪ 巧すぎる問題ですよね。。。
わたしには、#30318 の方がよく分かりました。Orz〜
ちなみに以下が解答でした。

条件を満たす自然数は1以外にないことを示す。
任意の素数pに対して、an≡0　(mod　p)となる自然数nが存在することを
示せばよい。a2=48は2および3の倍数なので、以下p>=5とし、
a(p-2)≡0　(mod　p)を示す。
このとき、pと2,3,6は互いに素なのでフェルマーの小定理より
2^(p-1)≡3^(p-1)≡6^(p-1)≡1 (mod p)
よって　6(2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2)-1)=3*2^(p-1)+2*3^(p-1)+6^(p-1)-6
≡3+2-1-6=0 (mod p)
これよりa(p-2)=2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2)-6≡ (mod p)がわかる。

金光＠岡山　　 7月20日（金） 18:29:13　　 　　30319
tfnt
今回の問題の条件から算数の範囲で
ABの長さまでは求まるみたいですね
　　 7月20日（金） 20:45:07　　 　　30320
moarith55
#30305のma-mu-taさんの「小数も認めて欲しい」に一票。厳しいですかね…^^;
kyoto　　 7月20日（金） 22:11:15　　 　　30321
とまぴょん
相似と二等分線の角の比でできました。ABCが直角三角形であること使いませんでした。。

ところで、これを算数で解ける人いませんか？
ある人から伝え聞いた問題です。

開成中学の問題だそうです。
「１ｃｍの正方形に内接する円とその正方形を半径とする扇に囲まれた三日月の面積を求めよ」
参考図　http://sakura.canvas.ne.jp/spr/space_yhnt/others/img.jpg
　　 7月20日（金） 22:44:09　　 　　30322
tomh
問題番号と出題期間が先週のままですね… (^^;
新潟市　　 7月21日（土） 0:25:42　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　30323
とまぴょん
#30322
求める図形の線対称の軸と２円の交点と大円、小円の中心とを結ぶ線分とのなす角をそれぞれ、β、αとおくと　（ラジアン角単位）
それらは、cosβ＝5√2/8、cosα＝√2/4をみたす鋭角である。

α、βを用いると
求める面積は、（α-４β+２√2sinβ）/4
となるようですね。
これをエクセルで数値化してもきれいにならん？？？？
0.146とでてきました。？？？？
　　 7月21日（土） 8:52:22　　 　　30324
ダンディ海野
とまぴょんさんの#30323
数学で解いてみたら、２円の交点間の距離を求めると√14／4　となり α、β
をそのまま使わせてもらうと
求める面積は、（2α−8β＋√7）/8　となりました。
これは、（α-４β+√2sinβ）/4 と一致して、とまぴょんさんと少し違うが私
のミスかな？

>ところで、これを算数で解ける人いませんか？
ということですが、α、βが有理数で表せそうにないし、√７も有理数でもな
いし、とても算数の範囲で出来そうにありませんが。（正確に作図をして分
度器を使ったり長さを測ってよいのなら別ですが。）

スモークマンさんの#30316,uchinyanさんの#30318
昨日出先でこの問題を知り解いた後、帰宅後書き込もうとしたら私の解法と
寸分たがわぬuchinyanさんの解法が書き込まれてあり、驚きかつ確信を持ち
ました。
いたった経過ですが
(1)まずフェルマーの小定理を使うしかなさそうと焦点を絞りました。
　(というより、使えそうなものはこれしか知らなかった。）
(2)素数ｐ（ｐ≧５）についてａ(p-1)≡2(modｐ）、ａ(p)≡10(modｐ）と、う
　まくいかないので、ａ(p−2)に焦点を絞り、6*ａ(p−2)≡0(modｐ）に至りま
　した。
(3)２,３がａ(2)の約数、５がａ(3)の約数、７がａ(5)の約数、11がａ(9)の約数
　になっていることを電卓で確認して、まず間違いはなかろうと・・。
　　 7月21日（土） 11:41:20　　 　　30325
スモークマン
#30325
ダンディ海野さん、お見事♪ Orz〜
まだまだ皆さん方との差を感じるばかりです。。。^^;;

これはいかがでしょうか？
最新友人問です。。。^^v

nを正の整数とする。a1+a2+,,,,,,,,+an=1を満たす正の整数
a1、a2、,,,,,,,,、anに対して、n個の数
a1/(1+a1)、a2/(1+a1+a2)、……..、an/(1+a1+a2+……..+an)
の最小値をAとおく。
a1、a2、……..、anが変化するときのAの最大値を求めよ。
金光＠岡山　　 7月21日（土） 11:43:53　　 　　30326
uchinyan
#30325他
ダンディ海野さんへ。
＞求める面積は、（2α−8β＋√7）/8　となりました。
＞これは、（α-４β+√2sinβ）/4 と一致して、とまぴょんさんと少し違うが私のミスかな？
えと，とまぴょんさんの#30324によれば，cosβ = 5√2/8 なので，sinβ = √(1 - 50/64) = √14/8 で，
とまぴょんさんの答え = (α - 4β + 2√2 * sinβ)/4
= (α - 4β + 2√2 * √14/8)/4 = (α - 4β + √7/2)/4
= (2α - 8β + √7)/8 = ダンディ海野さんの答え
なので，一致しているようですが．．．

なお，算数ですが，ちょっと考えた感じでは難しそうですね。どうやるんだろう．．．
ネコの住む家　　 7月21日（土） 12:28:51　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30328
uchinyan
#30326
スモークマンさんへ。
＞nを正の整数とする。a1+a2+,,,,,,,,+an=1を満たす正の整数
＞a1、a2、,,,,,,,,、anに対して、n個の数
これ，何かおかしくないですか？
a1, a2, ..., an が「正の整数」だったら，a1 >= 1, a2 >= 1, ..., an >= 1 なので，a1 + a2 + ... + an >= n で，左辺が 1 だったら，n = 1 です。
これでは問題にならないです．．．
ネコの住む家　　 7月21日（土） 12:49:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30329
とまぴょん
#30328 #30325

ダンディ海野さん、uchinyanさん

ありがとうございます。やっぱり算数はきびしいですかね。

http://sakura.canvas.ne.jp/spr/space_yhnt/others/ans.jpg

わたしは、こんな感じです。
　　 7月21日（土） 13:54:39　　 　　30330
ダンディ海野
私の解法もとまぴょんさんの#30330とほとんど同じです。
ただ、さいごの S1を求めるときにαのほうの角を用いたので、てっきりこち
らの角を用いたと錯覚してα,βを確認せずに逆にとってしまっていたようで
、私のうっかりミスでした。(sinα＝2sinβ だから辻褄が合いますね。）

とまぴょんさん、失礼いたしました。　　Orz〜
uchinyanさん、ご指摘有難うございました。Orz〜
　　 7月21日（土） 17:07:03　　 　　30331
スモークマン
#30329
uchinyanさんへ。
遅くなりました。。。Orz〜
そうですよね、、、「正の実数」の間違いのですね。^^;
金光＠岡山　　 7月22日（日） 0:51:40　　 　　30332
uchinyan
#30326＆#30332
やはり，「正の実数」なのですね。
う〜む，これは難しいです．．．
昨日は，逆数をとって相加相乗平均とかいろいろ考え，いいところまでいったのですが，等号条件が不成立で沈没しました。
そして，今朝から考えていてこれでどうかなぁ，という解法。これならば，一応，等号成立もOKのようです。

まず，A は最小値なので，少なくとも，
a(1)/(1 + a(1)) >= A
a(2)/(1 + a(1) + a(2)) >= A
a(3)/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) >= A
...
a(n)/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n)) >= A
がいえます。それぞれの左辺は，変形すると，
1 - 1/(1 + a(1)) >= A
1 - (1 + a(1))/(1 + a(1) + a(2)) >= A
1 - (1 + a(1) + a(2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) >= A
...
1 - (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1)) >= A
1 - (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-1))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n)) >= A
と書けます。そこで，
1 - A >= 1/(1 + a(1))
1 - A >= (1 + a(1))/(1 + a(1) + a(2))
1 - A >= (1 + a(1) + a(2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3))
...
1 - A >= (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1))
1 - A >= (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-1))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n))
これから，両辺とも正なので両辺をかけて
(1 - A)^n >= 1/(1 + a(1)) * (1 + a(1))/(1 + a(1) + a(2)) * (1 + a(1) + a(2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) * ...
　* (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-2))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1))
　* (1 + a(1) + a(2) + ... + a(n-1))/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n))
ここで右辺の分子と分母がうまく相殺して！，そうなるように変形したのですが何か感激 ^^;
(1 - A)^n >= 1/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n)) = 1/(1 + 1) = 1/2
最後は，a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n) = 1 を使いました。そこで，実数の範囲なので，
1 - A >= (1/2)^(1/n)
A <= 1 - (1/2)^(1/n)
そこで，もし等号が成立すれば，A の最大は 1 - (1/2)^(1/n) になります。
しかし，等号が成立しない場合には，単に，上限を与えているに過ぎません。そこで，等号成立を調べます。

等号が成立する場合は，式変形を見れば分かりますが，結局，すべての項が A に等しい場合なので，
a(1)/(1 + a(1)) = a(2)/(1 + a(1) + a(2)) = a(3)/(1 + a(1) + a(2) + a(3)) = ... = a(n)/(1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n)) = A
の場合です。このとき，
a(1) = A/(1 - A), a(2) = A/(1 - A) * (1 + a(1)), a(3) = A/(1 - A) * (1 + a(1) + a(2)), ...,
　a(n) = A/(1 - A) * (1 + a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1))
なので，a(1), a(2), ..., a(n) は A で表せます。実際に計算してみると，きれいになって
a(1) = A/(1 - A), a(2) = A/(1 - A)^2, a(3) = A/(1 - A)^3, ..., a(n) = A/(1 - A)^n
これと，
a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n-1) + a(n) = 1
を連立させて解くと，
A/(1 - A) + A/(1 - A)^2 + A/(1 - A)^3 + ... + A/(1 - A)^n = 1
A/(1 - A) * {(1 - 1/(1 - A)^n)/(1 - 1/(1 - A))} = 1
A * {(1 - 1/(1 - A)^n)/(1 - A - 1)} = 1
1/(1 - A)^n - 1 = 1
(1 - A)^n = 1/2
1 - A = (1/2)^(1/n)
A = 1 - (1/2)^(1/n)
で，確かに A の値が再現します。
そしてこのとき，この A を使って a(1), a(2), a(3), ..., a(n) が確かに実数の範囲で存在するので，等号が成立します。

最後はゴチャゴチャしましたが，これで等号成立が保証されたので，結局，A の最大値は 1 - (1/2)^(1/n) になります。

これでどうでしょうか？
ネコの住む家　　 7月22日（日） 14:27:04　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30333
スモークマン
#30333
uchinyanさん、パーフェクト！！
いつもながら素晴らしい♪ Orz〜

ちなみに以下のわたしのは間違ってるわけですが、、、どこが考え方としておかしいのか教えて下さい。。。^^; Orz〜

a1/(1+a1)=1/(1/a1+1)
a2/(1+a1+a2)=1/(1/a2+a1/a2+1)
・
・
・
an/(1+a1+a2+・・・+an)=1/(1/an+a1/an+a2/an+・・・+1)

1<1/a1+1
2<1+1/a2+a1/a2・・・a1>a2のとき
・
・
・
n<1/an+a1/an+a2/an+・・・+1・・・a1>a2>・・・>an
の時分母は最大。
a1+a2+・・・+an=1 なので、
最小のan の最大値は Max(Min an)=1/n
このとき、最後の式が最小値の最大値で、1/(n+n-1+1)=1/2n
金光＠岡山　　 7月22日（日） 14:34:01　　 　　30334
uchinyan
#30334
あっててよかった (^^;

スモークマンさんの解法ですが，今一つ理解できていないのですが，どうも，a1 > a2 > a3> ... > an を仮定しているような気がします。
多分，それを導こうとなさっているようなのですが，そのロジックがおかしい，理解できない，です．．．

ちなみに，n = 2 の場合で具体的に調べてみると，
a1/(1 + a1) - a2/(1 + a1 + a2) = (a1^2 + a1 - a2)/((1 + a1)(1 + a1 + a2))
より，

1) a1^2 + a1 - a2 >= 0 の場合
a1/(1 + a1) >= a2/(1 + a1 + a2) なので，A = a2/(1 + a1 + a2) としてOKです。
そしてこのとき，a1 + a2 = 1 なので，
a1^2 + a1 - a2 >= 0
(1 - a2)^2 + (1 - a2) - a2 >= 0
a2^2 - 4 * a2 + 2 >= 0
(a2 - 2 - sqrt(2))(a2 - 2 + sqrt(2)) >= 0
明らかに 0 < a2 <= 1 なので，0 < a2 <= 2 - sqrt(2) です。そこで，
A = a2/(1 + a1 + a2) = a2/(1 + 1) = a2/2 <= (2 - sqrt(2))/2 = 1 - 1/sqrt(2)

2) a1^2 + a1 - a2 < 0 の場合
a1/(1 + a1) < a2/(1 + a1 + a2) なので，A = a1/(1 + a1) としてOKです。
そしてこのとき，a1 + a2 = 1 なので，
a1^2 + a1 - a2 < 0
a1^2 + a1 - (1 - a1) < 0
a1^2 + 2 * a1 - 1 < 0
(a1 + 1 - sqrt(2))(a1 + 1 + sqrt(2)) < 0
明らかに 0 < a1 <= 1 なので，0 < a1 <= sqrt(2) - 1 です。そこで，
A = a1/(1 + a1) = 1 - 1/(1 + a1) < 1 - 1/(1 + sqrt(2) - 1) = 1 - 1/sqrt(2)

そこで，A の最大値は 1 - 1/sqrt(2) = 1 - (1/2)^(1/2) となり，一般の場合の n = 2 であることが分かります。

この例も合わせて吟味してみてください。

ちなみに，私はまずこの例をやってみて，それもヒントの一つになって#30333にたどり着きました。
ネコの住む家　　 7月22日（日） 15:34:30　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30335
スモークマン
#30335
uchinyanさん、ありがとうございました。1/2n<1-(1/2)^n (・・・3<=n の場合)ですもんね。
勝手に、a1 > a2 > a3> ... > an を仮定　したのがそもそもおかしいんですね。。。^^; Orz〜
金光＠岡山　　 7月22日（日） 17:37:48　　 　　30336
ダンディ海野
#30333
uchinyanさん、御見事！

>ここで右辺の分子と分母がうまく相殺して！，そうなるように変形したので
すが何か感激 ^^;

この問題は、このように相殺してAとｎだけの不等式を作るところがポイント
だったのですね。とても思いつきませんでした。脱帽！
　　 7月22日（日） 18:12:54　　 　　30337
nno
皆様のお力をお借りしたく…

円 x^2+(y-3)^2=4上に点Ｑ、x軸上に点Ｐをとる。
点Ａ（１，−１）とするとき、｜AP-PQ|の最大値を求めよ。

図を書いてあれこれやってるんですが、
図形的な意味がつかめなくて困ってます。
よろしくお願いします。
　　 7月23日（月） 22:07:55　　 　　30338
スモークマン
#30338
考えてみました。
A の x 軸対象点を A' (1,1) とすると、円の中心 (0,3) とA' を結んだ直線とx 軸の交点をP とすると
Q は明らかにその直線と円の遠い側の交点になり、近い側の交点をQ' とすると
|AP-PQ|=PQ-AP=4+PQ'-PA' となる。
図より明らかに、P がそれより大きくても小さくても PQ'-PA' の差は小さくなるので、
このときが最大。
ちなみに、(0,3),(1,1) を通る直線は、y-3=(3-1)/(0-1)(x-0) から、y=-2x+3
P は、(3/2,0)
PQ-PA=2+√((3/2)^2+3^2)-√((3/2-1)^2+1^2)=2+√(45/4)-√(5/4)=2+√5*(3-1)/2=2+√5
かな。。。？
金光＠岡山　　 7月24日（火） 16:04:44　　 　　30339
ダンディ海野
#30339
スモークさん、御見事！
私も同じ値を出しておったのですが、もっと計算が煩雑な解法でした。
ちなみに、そのあらすじを書いてみます。

(1) ｘ軸上の点Ｐ(t,0)をとり、(0,3)と結んだ直線と円との遠いほうの交点をＱとする。
(2) f(t)＝ＰＱ−ＰＡ　おくと f(t)＝√(t^2+9)−√(t^2-2ｔ+2)＋2　
(3) f(t)'＝ｔ/√(t^2+9)−(t-1)/√(t^2-2ｔ+2)
(4) f(t)'＝0　を解くと ｔ＝2/3 ,3/4 ・・・このとき極値
(5) f(0),f(3/4),f(2/3),f(2)を計算して、比較して f(2/3)＝2+√5　が最大
値であることを得る。
(6)ＰＡ＞ＰＱで、差が(2+√5)以上の場合は考えられず無視。

以上ですが、途中計算は面倒で、答えを出したものの あまりスマートでない解法でした。
スモークさんのＡと対称な点Ａ'をとった解法はうまいですね。
　　 7月24日（火） 16:41:41　　 　　30340
doba
#30339　スモークマンさん
細かい話になってしまいますが、Ｑ'を固定してしまうと少し議論がよれてしまう気がします。

円の中心をＣ(0,3)とおくとき、Ｑ'を直線Ａ'Ｃと円の交点に固定するのではなく、
動点Ｐに対して直線ＰＣ（Ａ'Ｃではない）と円の交点をＰに近い方からＱ'，Ｑ''とする、
すなわち、Ｑ'，Ｑ''はＰと連動して動く動点と考えて、
Ｐを固定するとＰＱ−ＰＡが最大になるのはＱがＱ''と一致するときであるから、
そのときＰＱ−ＰＡ＝ＰＣ−ＰＡ'＋２
さらにＰを動かしてこれが最大になるようにするには、
ＰＣ−ＰＡ'が最大になるように点Ｐをとればよい、ということで、
結論は同じですね。

あと、厳密に言うと、ＰＡ−ＰＱが2+√5を超えないことも確認する必要がありますね。
（#30340のダンディ海野さんの(6)に相当します。）

#30340　ダンディ海野さん
これがスマートでないとは思いませんよ。
ＰＣ−ＰＡ'が最大になるのが、点ＰをＡ'Ｃ上に取ったときだということを
厳密に説明するのは、それはそれで結構やっかいだと思いますし。

それと、実は私も同じ間違いをやってて、さっき気づいたのですが、
(4)でf'(t)=0を解くと、t=3/2は出てきますが、t=3/4の方はよく見ると解になってませんでした。
（根号を外す時に移項して両辺を２乗した時点で、必要十分でなくなってました（汗））
ちなみに、2/3ではなく3/2ですよね？

(6)については、点Ｐを固定、すなわちtを固定した場合にＰＡ−ＰＱを最大にするのは、
Ｑが点Ｐと(0,3)を結んだ直線と円のＰに近い方の交点のときなので、そのとき
ＰＡ−ＰＱ＝g(t)＝√(t^2-2ｔ+2)−√(t^2+9)＋2
lim[t→+∞]g(t)＝１＜2+√5
lim[t→-∞]g(t)＝３＜2+√5
で確認できました。
　　 7月24日（火） 17:38:25　　 　　30341
uchinyan
#30338他
今問題を見て，皆さんの議論を読んだところなので勘違いしているかも知れませんが，
スモークマンさん風の直感的な議論も図的には「そうかなぁ」という感じで悪くはないですが，より厳密には，
dobaさんのように円の中心 C(0,3) を考えて，ダンディ海野さんのようにしっかりと計算するのが，無難な感じがします。
ただ，確かに計算はそこそこ面倒ですが．．．
いずれにせよ，質問なさったnnoさんは，納得できたのかな？
ネコの住む家　　 7月24日（火） 19:04:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30342
nno
皆さん、ありがとうございます。

スモークマンさん
最後の所は中心をＣとして、ＱＣ＋ＣＡ’＝２＋√５でいいんですよね。
ただ、図より明らかに〜のときが最大って所が…
今ひとつスッキリしません。落ち着いて図を書いて考えてみます。

dobaさん
微分はまだ習ってないので、よく分かりません。
ごめんなさい。
#30341　の説明が分かったような分からないような…
もう一回やってみます。

本当に皆さんありがとうございました。
　　 7月24日（火） 19:20:28　　 　　30343
doba
#30343 nnoさん
さきほど
》ＰＣ−ＰＡ'が最大になるのが、点ＰをＡ'Ｃ上に取ったときだということを
》厳密に説明するのは、それはそれで結構やっかいだと思いますし。
と書いてしまいましたが、よく考えてみたら簡単な話だったみたいです。
#スモークマンさん、ダンディ海野さん失礼しました。

Ａ'Ｃとｘ軸の交点をＰ'とし、点Ｐをｘ軸上のＰ'以外の点にとると、
３点Ｐ，Ａ'，Ｃは同一直線上にないので、三角形を形成し、
ＰＡ'＋Ａ'Ｃ＞ＰＣ
よって、
ＰＣ−ＰＡ'＜Ａ'Ｃ＝Ｐ'Ｃ−Ｐ'Ａ'

したがって、点ＰがＰ'と一致するときが、ＰＣ−ＰＡ'は最大となる。

というのが、「図より明らか」の中身だったのですね。
たしかにこれなら、微分を使わなくても厳密に説明できますね。

ＰＡ−ＰＱの方の議論は残りますが、それも工夫すればそんなに難しくはなさそうです。
　　 7月24日（火） 20:04:33　　 　　30344
ダンディ海野
#30341
スモークマンさんのＡ'を見たとたん、次のことかと解釈したのですが・・・

Ｐ,Ａ',Ｑ',Ｑをスモークマンさんのように取り、Ｐ'をｘ軸上の他の点と
し、ＰとＣ(0,3)を結ぶ。
すると Ｐ'Ｃ−Ｐ'Ａ＝Ｐ'Ｃ−Ｐ'Ａ' 　は△ＰＡ'Ｃの他辺Ａ'Ｃより短い。
　よって　Ｐ'がｘ軸上のどこでも　ＰＣ−ＰＡ＞Ｐ'Ｃ−Ｐ'Ａ
遠いほうの円周上になると２ずつたすだけだから大小関係は同じ。
だから、このようにＰをとったときに　ＰＱ-ＰＡが最大になる。

読み返すと、表現が少し違うのでdobaさんの指摘、nnoの疑問が残ったのでしょう。
nno さん、上の説明でどうでしょう？

doba さん
>ちなみに、2/3ではなく3/2ですよね？
打ち間違えました。ご指摘どおり　3/2 です。
>t=3/4の方はよく見ると解になってませんでした
仰るとおりですね。ｙ＝ｘ^3 のｘ＝0 のときのようになっているものと取っ
ておりました。
また、ＰＡ＞ＰＱのばあいの確認有難うございます。

打ち込んでいる間に、doba さんの投稿があり、内容がかぶったところが出来ました
が、このまま残させてもらいます。
　　 7月24日（火） 21:19:29　　 　　30345
スモークマン
#30343
nnoさんへ。
わたしも実は運転中に「図より明らか」をどう上手く説明したものかと考えてましたが、、、^^;
#30344 の dobaさんの
>Ａ'Ｃとｘ軸の交点をＰ'とし、点Ｐをｘ軸上のＰ'以外の点にとると、
３点Ｐ，Ａ'，Ｃは同一直線上にないので、三角形を形成し、
ＰＡ'＋Ａ'Ｃ＞ＰＣ
よって、
ＰＣ−ＰＡ'＜Ａ'Ｃ＝Ｐ'Ｃ−Ｐ'Ａ'
したがって、点ＰがＰ'と一致するときが、ＰＣ−ＰＡ'は最大となる。

の説明で目から鱗 ♪
#30345 ダンディ海野さんも同じくきちんと証明されてますね♪（打ち込んだあとにアップされてたのに気付きました。。。Orz〜）
いつもアバウトな解法で全然数学じゃなくってご免なさい。Orz〜
ダンディ海野さんのように微分でも攻めようとしましたが、、、すでに錆びついててできなかったり、、、^^;
ま、いつものようにどなたかに突っ込んだりしてもらえばいいかなんて。。。
（予想通り、、、dobaさん、uchinyanさんには毎度のことながらしっかり突っ込まれましたけど。Orz〜）

ちなみに、
>最後の所は中心をＣとして、ＱＣ＋ＣＡ’＝２＋√５でいいんですよね。

は、PQ-PA=QC+CP-PA'=QC+CA' は、図より明らか(^^;)ですよね v
金光＠岡山　　 7月24日（火） 22:16:05　　 　　30346
nno
図と闘ってます。
皆さんの追加説明に感心・納得・驚愕しています。
重ね重ねありがとうございます。
もうちょっとでスッキリ出来そうです。
　　 7月24日（火） 21:30:18　　 　　30347
uchinyan
#30344，#30345他
なるほど。三角形の辺の関係をうまく使うわけですね。これならば厳密だし，算数の範囲かなぁ。
与えられている問題は座標ですが，初等幾何でうまく解けてしまうんですね。
大変勉強になりました。
ネコの住む家　　 7月24日（火） 21:35:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30348
nno
皆さんのおかげで、ほぼ理解できた気になってます。感謝。

ただ、#30341　の(6)のところで　ｔ→−∞…まだ習ってないのです。
A'とCの延長上に点Pがある時の方が最大になる分かりやすい説明
ないですかね？厳密じゃなくても良いんですが。
今一度お願いします。
　　 7月24日（火） 21:59:59　　 　　30349
スモークマン
#30349
dobaさんの方法で、
・PC > PA' のとき、
PA'+A'C > PC　から、
PC-PA' < A'C

・PC < PA' のとき、
PC+A'C > PA'
PA'-PC < A'C

でいえるのかな。。。？
途中に PC = PA' という点 P がありますね。
ちなみに、(0,3),(3/2,0) の中点は (3/4,3/2) なので、
y-3/2=(x-3/4)/2 とy=0 から、
P が ( -7/12, 0 ) のときは、半径2だけ残りますね。(PQ-PA'=2)
でもこのときも 最大値じゃないですね。^^;v
こんな計算しなくても、、、PC = PA' なら、PQ-PA' = 2+PC-PA' = 2 でいいんでした。。。^^;;
あれ、、、なにやってんだかわからなくなってきました、、、Orz〜
金光＠岡山　　 7月24日（火） 22:46:50　　 　　30350
uchinyan
#30349
t -> -∞ は，P がx軸のはるか左の方に行った場合なので，#30341の(6)では，大雑把に
PA = Pのx座標の絶対値 + 1，PQ = Pのx座標の絶対値 - 2
と考えていいでしょう。そこで，PA - PQ = 3 < 2 + √5 となります。

なお，そもそも，次のように考えてもよさそうです。A' を A のx軸に対称な点とすると，P，Q，A' で，
|PA - PQ| = |PA' - PQ| <= QA'
最後の等号は，P が QA' の延長上にあるときです。それ以外は △PQA' ができるとき。あ，P は，もちろんx軸上にもあります。
そこで，今，P が QA' の延長上にあるようにして，Q を動かして QA' の最大を考えると，
Q が円の中心 C に関して A' と反対側にあるときと分かります。
そこで，
|PA - PQ| = |PA' - PQ| <= QA' <= QC + CA' = 2 + √5
この方がスッキリしているかも知れません。
ネコの住む家　　 7月24日（火） 23:04:29　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30351
スモークマン
#30351
そうか、、、そう考えるのが一番シンプル＆スマートですね♪
場合分けもいらないし^^v Orz〜
金光＠岡山　　 7月24日（火） 23:21:42　　 　　30352
ダンディ海野
#30351
なるほどね！。Ａ’を用いて円との交点Ｑが、Ｃ(0,3)よりＰに近くても遠く
ても、まとめて説明できるのですね。納得！。
証明も行き着くとこまで行き着いた感じですね。さすがです。
　　 7月25日（水） 0:24:17　　 　　30353
nno
uchinyanさん　スモークマンさん　ダンディ海野さん　dobaさん
皆様、本当にありがとうございます。
#30351 スッキリしました。なるほど〜という感じです。
　　 7月25日（水） 1:05:15　　 　　30354
uchinyan
#30354
nnoさんが納得なさったようなのでよかったです ^^/

結局のところ、スモークマンさんの対称点 A' を考えるアイディアが秀逸でしたね！
ネコの住む家　　 7月25日（水） 12:37:08　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30355
スモークマン
#30355
uchinyanさん、お褒めにあずかりこそばゆいです。^^ Orz〜v
ところで、、、
今日の算チャレver3 の問題、、、合ってるんでしょうかしら。。。？
ここには書けませんが自分なりにこれしかないと思ってるのに入れない、、、^^;
金光＠岡山　　 7月25日（水） 23:11:16　　 　　30356
きょろ文
んんん・・・？！
更新されないのかな・・・

アクセス数がすごい勢いで上がってく
√2の隣　　 7月26日（木） 0:07:05　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30357
英ちゃん
更新されていないようですね
う〜ん、眠い。
居間　　 7月26日（木） 0:09:19　　 HomePage:虚数なページ　　30358
ちゃーみー
うーむ。何があったのだろう。
自宅　　 7月26日（木） 0:11:05　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30359
Taro
回数や日付の表示もおかしいし・・・
確か前回は558回だし。う〜〜ん
　　 7月26日（木） 0:12:20　　 　　30360
きょろ文
ってかよく見たら7月12日〜 7月18日になってる。
√2の隣　　 7月26日（木） 0:12:42　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30361
英ちゃん
来年の７月１９日に更新だったらある意味凄い
居間　　 7月26日（木） 0:16:09　　 HomePage:虚数なページ　　30362
もしかして
サッカーが関係あったりして
　　 7月26日（木） 0:18:20　　 　　30363
UMA
口腔手術…
　　 7月26日（木） 0:18:40　　 　　30364
ちみかな
まさか更新できない状況になった……とかじゃないですよね。
そんなの嫌すぎますよ。
　　 7月26日（木） 0:21:00　　 　　30365
スモークマン
まさか中越地震の関係じゃないですよね。。。
金光＠岡山　　 7月26日（木） 0:23:59　　 　　30366
doba
お忙しいときもあるのでしょう。
個人で毎週出題されているのですから、それだけでもスゴイっす。

．．．サッカー、負けちゃいましたね．．．
　　 7月26日（木） 0:25:07　　 　　30367
問題
ある三桁の整数を９倍して２でわると、百の位と一の位の数が
入れ替わりました。元の三桁の整数を求めなさい。
１０年以上前の灘の問題です。
素敵な解法教えてください。
　　 7月26日（木） 0:29:14　　 　　30368
吉川　マサル
す、スミマセン、ちょっと事情（たいしたことではないのですが...）があって更新ができませんでした。問題自体は用意してあるので（ただしファイルが手元にないのでこれからHTML書きます）、0:50過ぎに更新したく思います。申し訳ありませんでした。m(__)m
iMac　　 7月26日（木） 0:40:54　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30370
doba
#30368
4.5倍しても３ケタなので、もとの数の百の位（＝4.5倍の一の位）は１か２で、
９倍の一の位は２か４、つまり、もとの数の一の位は８か６
２？６を4.5倍して６？２にはなりえないので、
１？８×4.5＝８？１となり、
？について解くと、？＝９
答：198
という感じでどうでしょう。
　　 7月26日（木） 0:45:30　　 　　30371
Taro
#30368
こんな解答考えてみました。

cbaが9の倍数→abcも9の倍数→cbaが81の倍数
aが1か２なのでcba=162,891,972が考えられ，
abcが偶数のものは198
　　 7月26日（木） 0:47:50　　 　　30372
cocolo
#30368

9倍して2で割るということは，
結局元の数を4.5倍するのと同じことなので，
出来上がった3桁の数と元の数との差は，元の数の3.5倍となる。
ある3桁の数と，その数の百の位と一の位が入れ替わった数の差は99の倍数になるので，
この2つの3桁の数の差は3.5でも99でも整数で割り切れる数になる。
このような差の候補としては693しか考えられない。
693が元の数の3.5倍と等しいので，
(元の数)＝693÷3.5＝198

こんなのでいかがでしょう。
　　 7月26日（木） 0:51:32　　 　　30373