doba
残暑お見舞い申し上げます。

正方形を取り除いていくプロセスを逆にたどると、
小さい正方形から順に、同じ大きさの正方形が何個ずつあるかを定めれば
自動的に元の長方形の大きさが定まることがわかるので、
総数が15個になるように、12種類の大きさの正方形の個数の組合せを
決める場合の数を考えればよい。
ただし、最も小さい１×１の正方形は、少なくとも２個必要で、
それ以外は１個でも可。

まず、１×１を２個、それ以外を１個割り振ると、それだけで13個なので、
残る２個をどう割り振るかを考えればよいので、
同じ大きさに割り振る場合が12通り、違う大きさに割り振る場合が12Ｃ2＝66通り
合計78通り

となりました。
　　 8月16日（木） 0:16:22　　 　　30508
banyanyan
13C11でしょうか。やはり場合の数は苦手です。誤答を何度も送ってしまいましたorz。
京都市　　 8月16日（木） 0:16:47　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30509
英ちゃん
1cmの正方形から基準に考えて
少なくとも1cmは二つ以上最初に並ばせないと先に進みませんので設置
(i)最初の1cmが２枚のとき
　残りの１３枚で１１種類なので、２種類２枚か、１種類３枚のどちらか
　２種類２枚のとき11C2=55,１種類３枚のとき11C1=11
(ii)最初の1cmが３枚のとき
　残りの１２枚で１１種類なので、前と同じように考えて11C1=11
(iii)最初の1cmが４枚のとき
　あとは自然に並べたのが答えなので１通り
すべて足して78になりました。

非常に面倒な解答です。
居間　　 8月16日（木） 0:18:16　　 HomePage:虚数なページ　　30510
Taro
12H3＝364としばらく思ってましたが違いました。
12H2=78でした。
@home　　 8月16日（木） 0:23:29　　 　　30511
ダンディ海野
小さい正方形から順につぎ足していくのだが、1cmのものを１個にすると
１種類の正方形になるのでこれだけは２個以上。
15個のマルを並べ、14の隙間の内１番左の隙間以外の１３の隙間に、11
の区切りを入れる入れ方の数・・・・・13C11 でもとめました。
(区切られたものの左から順に小さい正方形の数）

「12種類の正方形」という条件がなければ、8192通りですかね？

　　 8月16日（木） 9:33:19　　 　　30512
エルク
逆に考えていって正方形くっつけていく。

前回と同じのくっつけるか、前回より大きいのくっつけるか。
毎回この２択が続くわけですね。
１４回くっつければ１５個の正方形が出来ますが
そのうち３回、前回と同じのをくっつければ１２種類になると。
ただし初回は同じもの（１ｃｍ）しか選べないから
残り１３回のうち２回を同じ大きさにすればいい。

同じの２回、違うの１１回並べて１３Ｃ２＝７８
　　 8月16日（木） 2:13:02　　 HomePage:エルクのブログ　　30513
25no12
dobaさんと全く同じように考えました。
　　 8月16日（木） 2:51:46　　 　　30514
uchinyan
はい，こんにちは。毎日暑いですが，皆さんお元気ですか？　さて，今回の問題は．．．

正方形のパターンが決まっていれば，1 * 1 の正方形から逆向きに考えて最初の長方形が一意に決まります。
また，長方形が決まれば，題意の操作で正方形のパターンが一意に決まります。
したがって，要するに，15 枚の正方形を題意を満たして 12 種類に分けることを考えればいいです。
そこで，各種類に最低でも 1 枚ずつ必要ですが，
1 * 1 の正方形だけは，さらに少なくとももう 1 枚はないと題意を満たさないのがポイントですね。
そこで，残りの 15 - (12 + 1) = 2 枚の正方形を 12 種類の正方形に分ければいいです。
これは，2 個のボールを 12 個の箱に分けるのと，つまり，2 個の○と仕切りの 12 - 1 = 11 個の｜を並べるのと同じです。
そこで，(2+11)C2 = 13C2 = (13*12)/2 = 13 * 6 = 78 通り，になります。

なお，明らかだと思いますが，この操作は，数式的にはユークリッドの互除法で，最後の正方形は 1 * 1 でなくてもよさそうですね。
ネコの住む家　　 8月16日（木） 10:57:22　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30515
uchinyan
掲示板を読みました。
各人の工夫によるバリエーションはあるようですが，考え方は皆さん同じようですね。

なお，「さんすうの名作問題にチャレンジ！！」に関する#30504，#30505，#30506について。
げっ，ホントだ！　確かにおかしい．．．
あの本の reviewer の一人として，こんな重大なミスを見逃すとは，マサルさん，皆さん，申し訳ありません m(__)m
確かに訂正，算数としては12番からのがいいかな，が必要ですね。
(後半は算チャレ過去問なので，大丈夫だろうと油断しました．．．)
ネコの住む家　　 8月16日（木） 11:08:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30516
スモークマン
やっと入れた。。。^^;;
同じものは2種類以上はだめだってなぜか思い込んでしまって。。。11C2=55 でどうして入れないんだろうって、、、
重複許していいんだって気付いて、、、12H2=13C2=13*12/2=78
金光＠岡山　　 8月17日（金） 14:13:24　　 　　30517
英ちゃん
関係ありませんが
今回の問題の開始が早かったような・・・
居間　　 8月17日（金） 14:13:27　　 HomePage:虚数なページ　　30518
吉川　マサル
#30518
　今確認してみましたら、更新プログラムを前回変更したのをもとに戻すのを忘れていまして、１分ほど早く更新されてしまったようです。申し訳ありませんでした..。m(__)m
PowerBook　　 8月18日（土） 17:59:04　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30519
ダンディ海野
#30512で書き込んだのですが、次のことはあっています？（すみません。正し
いとは思いつつ、やはり気になるので・・）

今週の問題で「12種類の正方形」という条件がなければ、8192通りになる。？？

　　 8月19日（日） 1:24:24　　 　　30520
doba
#30520
合ってると思いますよ。
逆にたどる時、最初とりあえず１×１を２つ並べてから、
どちら方向に伸ばしていくかで毎回２通りの可能性があるので、
2^13=8192通りということですよね。
　　 8月19日（日） 1:26:13　　 　　30521
uchinyan
#30520，#30521
ごめんなさい，見落としていたようです。
dobaさんの考え方がスマートですが，今回の解法の延長上でもできますね。ただし，高校数学です。あくまでもご参考。

正方形が k 種類だとします。ただし，最後の 1 * 1 の正方形は最低でも 2 個必要なので，1 <= k <= 14 です。
このとき，k 種類の正方形は，1 * 1 以外は 1 個以上，1 * 1 は 2 個以上必要なので，k+1 個は必要です。
そこで，残りの 15 - (k+1) = 14-k 個を k 種類に振り分ければいいです。
これは，14-k 個のボールを k 個の箱に分けるのと同じで，((14-k)+(k-1))C(k-1) = 13C(k-1) 通りです。
そこで，全体では，
��[k=1,14] 13C(k-1)
= ��[i=0,13] 13Ci　<-----　k-1 = i とおいた
= (1 + 1)^13　<-----　二項定理を使った
= 2^13
= 8192 通り
ネコの住む家　　 8月19日（日） 11:20:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30522
吉川　マサル
#30520
　実は今回の問題の設問として、このパターンも考えていました。他にも、「面積が最大になるとき、その値は？」とかも考えましたが、簡単すぎるかなと思ってやめました。
PowerBook　　 8月19日（日） 11:45:51　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30523
ダンディ海野
#30521,#30522,#30523
dobaさん,uchinyanさん,マサルさん、早速の回答・解説 有難うございます。
今思うに、確信が持てないときは自分の解法を先に述べるべきでした。失礼しました。
私の考えは次のようなものでした。

私の#30520の方法のように、15個のマルを１列に並べます。そのとき左２つは引っ付け、他は隙間を空けておきます。
そして、その１３の隙間に区切りの入れ方は何通りあるかを考えると、２^13通りとなります。
一番左の区間が１辺１cmの正方形の個数、そして順に引っ付けていく大きな正方形の個数・・と考えるというものです。
（区切りを１つも入れないのは、全てが１辺１cmの正方形のときに対応する。）

doba さんの説明のほうがシンプルでいいですね。uchinyan さんの解法は何種類の正方形の場合のときにも
一般化してのものですね。
有難うございました。おかげですっきりしました。
マサルさん、実は、初め12種類という条件を見落としていて、このようなことを考えたのでした。
　　 8月19日（日） 18:01:02　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30524
fumio
こんばんは
　　 8月19日（日） 21:57:27　　 　　30525
スモークマン
#30523
「面積が最大になるとき、その値は？」
いただきました。^^
明らかに、1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233-377-610 だから、、、
610(610+377)=610*987=602070 cm^2
ですね。^^
金光＠岡山　　 8月20日（月） 18:19:34　　 　　30526
小西孝一
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
に１ずつ加える場合と１と２加える場合と
３加える場合でかんがえました。
ログは読んでません。忙しくって考える時間がなかったけど。
正解できてよかった。（ホッ）
ど田舎　　 8月22日（水） 21:08:48　　 　　30527
小西孝一
誰か群論に詳しい人いないかな〜・・・
ど田舎　　 8月22日（水） 21:30:58　　 　　30528