蜑埼�ｱ�育ｬｬ�包ｼ厄ｼ募屓�牙�縺ｮ驕主悉繝ｭ繧ｰ

ちゃーみー

実家から。知っている問題だったので瞬殺 (笑)。
いつもの日記へのリンク貼り忘れたー。

　　 9月13日（木） 0:05:05　　　　30671

吉川　マサル

スミマセン、有名問題だと思います...。

　実は別の問題を作成済みだったのですが、その問題が「過去に出題したことのある問題を簡単にしただけのもの」であることが直前（といっても23:30ごろ）に見つかり、急きょ差し替えということになってこのような出題になってしまいました..。m(__)m
　以前ですとこのようなことがあってももうちょっとマシな問題を作れていたのですが、今日は23:50くらいまで必死で考えるもなかなか良いものが出来ず...このようなことになってしまいました。m(__)m

PowerBook　　 9月13日（木） 0:06:27　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30672

長野　美光

部屋にインターネットが敷かれました。
今週から、リアルタイムでつながります。
今、こちらは、２２時を回ったところです。

じゃかるた　　 9月13日（木） 0:07:44　　 HomePage:ヨッシーの算数・数学の部屋　　30673

吉川　マサル

１位の欄に明らかに解答時間の異なる方の名前がありますが、私の作業ミスによるものです。後ほど取り除きますので...。m(__)m（応募してくる方の多い今の時間帯に作業すると、トラブルになる可能性があるため）

　というわけで、ちゃーみーさんが第１位です。（リンクは私のほうで貼っておきましたー）

PowerBook　　 9月13日（木） 0:09:36　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30674

それにしても1分以内にこれだけの人が…、さすがですね。

　　 9月13日（木） 0:09:40　　　　30675

むらかみ

ア＋イ＋ウの最大値だと思い、「そんなの無限じゃないかー」と悩んでしまいました。
４つだと41/42＋1/43ですよね？

　　 9月13日（木） 0:10:04　　　　30676

吉川　マサル

あ、ちゃーみーさんが２人...。これも後ほど作業しますので。m(__)m

PowerBook　　 9月13日（木） 0:10:11　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30677

ayaka

条件がこれで解けるのかと思ってしまいましたが、よく考えたら簡単ですね。
合計で1になる組み合わせを考えればいいのです。
その場合は(ア,イ,ウ)=(2,3,6)、(2,4,4)、(3,3,3)ですね。
その組み合わせのうちで一番大きな数に1加えれば、確実に逆数の和は1より小さくなりますね。
これで考えていくと、
(1/3)-(1/4)=1/12、(1/4)-(1/5)=1/20、(1/6)-(1/7)=1/42
で最後の組み合わせが最も減少幅が小さい、ということは一番大きくなる
∴組み合わせは(2，3，7)で逆数の和は41/42

地上の楽園　　 9月13日（木） 0:13:01　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30678

banyanyan

最初入れなかったので考え込んでしまいましたorz。

京都市　　 9月13日（木） 0:14:47　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画－算数　　30679

きょろ文

見たことないです・・・

41/42が最大値というのは
1/2+1/3=5/6 5/6+1/7=41/42
1/2+1/4=3/4 3/4+1/5=19/20
1/3+1/3=2/3 2/3+1/4=11/12
くらい書き出さないといけないのかなあ・・・？

√2の隣　　 9月13日（木） 0:18:50　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30680

きょろ文

#30678
なるほど、これなら3つだけ調べればいいということがはっきりわかりますね。

√2の隣　　 9月13日（木） 0:20:23　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30681

セクシー

有名な問題ですね。。

でもこれは算数というよりは整数論ですな。

次回に期待。

　　 9月13日（木） 0:24:45　　　　30682

スモークマン

#30678 ayakaさんに脱帽♪
そうか、、、^^;v

金光＠岡山　　 9月13日（木） 0:54:21　　　　30684

みかん

１／２＋１／３＋１／６＝１　というのは有名なので、ちょっといじって
即答。１分以内に送れるとは思えなかったけれど、出題を忘れていたのは
痛い…。

　　 9月13日（木） 1:17:53　　　　30685

doba

#30684 スモークマンさん

#30678のayakaさんの説明は、あくまでもあたりをつける方法であって．
41/42と1の間の値になる組合せが存在しないことの説明にはなっていないと思いますよ。

　　 9月13日（木） 1:40:41　　　　30686

ダンディ海野

#30686
>#30678のayakaさんの説明は、あくまでもあたりをつける方法であって． 41/42と1の
間の値になる組合せが存在しないことの説明にはなっていないと思いますよ。

同感です。

　　 9月13日（木） 7:30:23　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30687

小西孝一

大きい分数なので
1/2+1/3=5/6なのでもう1/7しか足せなくて
1/2+1/3+1/7=41/42
で深くは考えていません。
ログは後で読みます。
まいどまいどすみません。m(_)m

ど田舎　　 9月13日（木） 8:13:08　　　　30688

スモークマン

#30686,#30687
dobaさん、ダンディ海野さんへ。
そうなのかなあ。。。わたしには、分母ができるだけ小さいもので、その分母の数よりも1だけ大きな数を考察すれば充分のような気がしてますが、、、ま、気だけじゃいけないのですが、、、^^; Orz

金光＠岡山　　 9月13日（木） 9:06:13　　　　30689

ハラギャーテイ

おはようございます

最近、ボケの兆候、めんどうくさいが始まりました。
算チャレもこうすればできるとわかりながら面倒くさい
とパス。でもボケ防止にがんばらなければ！

山口　　 9月13日（木） 9:35:29　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　30690

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
どこかで解いたような気がします。半ば数学ですが，こんな感じでいいのかな。

与えられた式は，ア，イ，ウに関して対称なので，ア <= イ <= ウとしても一般性を失いません。
また明らかに，ア，イ，ウは 2 以上の整数で，できるだけ小さな値の方が，逆数の和は大きくなります。
以下，これらを踏まえての場合分けです。
1) ア = 2 の場合
1-1) イ = 2 の場合
ウをどう取っても，逆数の和は 1 を超えてしまうので不可。
1-2) イ = 3 の場合
ウ = 6 のとき，逆数の和は 1 です。そこで，逆数の和が 1 より小さくて最大なのはウ = 7 のとき。
このとき，逆数の和 = 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42 です。
1-3) イ = 4 の場合
ウ = 4 のとき，逆数の和は 1 です。そこで，逆数の和が 1 より小さくて最大なのはウ = 5 のとき。
このとき，逆数の和 = 1/2 + 1/4 + 1/5 = 19/20 です。
1-4) イ >= 5 の場合
5 <= イ <= ウなので，これは明らかに，1-3)よりも小さくなり，考える必要はありません。
2) ア = 3 の場合
2-1) イ = 3 の場合
ウ = 3 のとき，逆数の和は 1 です。そこで，逆数の和が 1 より小さくて最大なのはウ = 4 のとき。
このとき，逆数の和 = 1/3 + 1/3 + 1/4 = 11/12 です。
2-2) イ >= 4 の場合
4 <= イ <= ウなので，これは明らかに，2-1)よりも小さくなり，考える必要はありません。
3) ア >= 4 の場合
3-1) イ >= 4 の場合
4 <= イ <= ウなので，これは明らかに，2-1)よりも小さくなり，考える必要はありません。
以上ですべてです。したがって，候補は，41/42, 19/20, 11/12 ですが，
41/42 = 410/420 > 399/420 = 19/20 = 57/60 > 55/60 = 11/12
なので，逆数の和が 1 より小さく最大なのは 41/42 になります。

ネコの住む家　　 9月13日（木） 10:27:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30691

難波

明らかに数学ですが

a<=b<=c　として一般性を失わない。
条件より
1/a＋1/b＋1/c＜1…(＃)
a,b,cを(＃)を満たす数で1/a＋1/b＋1/c　が最大のものとする。
このとき、1/c＜1/(c－1)　であるがa,b,cの条件から
1/a＋1/b＋1/(c－1)>=1…(＄)
(もし、1/a＋1/b＋1/(c－1)<1 であれば
1/a＋1/b＋1/c＜1/a＋1/b＋1/(c－1)＜1　となり　1/a＋1/b＋1/c　の最大性に矛盾)
(＄)より
1/a＋1/a＋1/(a－1)>=1/a＋1/b＋1/(c－1)>=1
すなわち
1/a＋1/a＋1/(a－1)>=1
これはaの２次不等式である。これを解くと、aは整数よりa＝1,2,3
1)a＝1のとき
　明らかに不適
2)a＝2のとき
　(＄)より　1/2＋1/b＋1/(c－1)>=1　
すなわち　1/b＋1/(c－1)>=1/2…(％)

以下、同様に(％)より　1/b＋1/(b－1)>=1/2
これを解き、bの候補を絞り(＃)と(％)からcを求める。

すると(a,b,c)＝(2,3,7),(2,4,5),(3,3,4)が求まる。
それぞれの逆数の和は　41/42, 19/20, 11/12　
それぞれを1から引くと 1/42, 1/20, 1/12　となりこの数が一番小さくなる41/42　が求める数である。

　　 9月13日（木） 11:00:33　　　　30692

uchinyan

掲示板を読みました。

#30671，#30672，#30682
＞スミマセン、有名問題だと思います...。
どうもそのようですね。答えを知っていた人も多かったのかも。
でも，いつもオリジナルばかりでは大変でしょう。たまにはこういうのもいいのでは (^^;

#30676
＞４つだと41/42＋1/43ですよね？
はい，確かに，41/42＋1/43 = 1805/1806 のようです。

#30678
最大性に関する議論が多少あいまいですが，多分，明らか，かな，結局は，私の#30691と同じのようです。

#30686，#30687
＞#30678のayakaさんの説明は、あくまでもあたりをつける方法であって．
＞41/42と1の間の値になる組合せが存在しないことの説明にはなっていないと思いますよ。
確かに厳密にはそうです。ただ．．．
#30689
＞そうなのかなあ。。。
＞わたしには、分母ができるだけ小さいもので、その分母の数よりも1だけ大きな数を考察すれば充分のような気がしてますが、、、
ayakaさんの説明は，そこらは，明らか，として省いている，ということでしょう。
直感を大事にする算数としては，これでもいいか，という感じかな。

#30691
私の解法。

#30692
真っ向から数学で取り組んだ解法。詳しく計算を追っていませんが，多分，正しいと思います。
ただ，そこまでやらなくても，私の#30691ぐらいで十分ではないかなぁ．．．

ネコの住む家　　 9月13日（木） 11:14:12　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30693

doba

#30693 uchinyanさん
＞ayakaさんの説明は，そこらは，明らか，として省いている，ということでしょう。
私があのように書いた真意は、次のようなものです。

求める答えを1/a+1/b+1/c （ただし、a≦b≦c）とします。
この場合、題意より明らかに
1/a+1/b+1/c＜1 かつ 1/a+1/b+1/(c-1)≧1です。

問題なのは、この時点ではあくまでも
1/a+1/b+1/(c-1)≧1
であって、
1/a+1/b+1/(c-1)＝1
という保証はないということです。

実際には、
1/a+1/b+1/c＜1 かつ 1/a+1/b+1/(c-1)≧1
を成立させるような(a,b,c)の組は
(3,3,4),(2,4,5),(2,3,7)
のみであって、このいずれの場合も実は
1/a+1/b+1/(c-1)＝1
が成立しているので、結果オーライとなっていますが、
最初から
1/a+1/b+1/c＜1 かつ 1/a+1/b+1/(c-1)＞1
となる可能性を無視してしまうのは、論理的に間違っています。

これが、３つではなく４つの数となると、例えば
1/3+1/3+1/5+1/8＜1
1/3+1/3+1/5+1/7＞1
のようなケースも考慮の対象とする必要があります。
（但し、実際の最大値は1/2+1/3+1/7+1/43のようなので、
ここでもまたしても結果オーライではあるのですが、
５つ以上でも同様のパターンでいけるという保証は
どこににない、ないしは、それを言うためには、
なんらかのきちんとした証明が必要です。）

　　 9月13日（木） 12:08:21　　　　30694

uchinyan

#30694
はい，おっしゃる通りなのは承知していると思います。
しかし，私の#30691からして，明らかにそのような場合はないと思いますが？

ネコの住む家　　 9月13日（木） 12:23:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30695

doba

#30695
＞しかし，私の#30691からして，明らかにそのような場合はないと思いますが？
その通りです。
つまり、#30691のような地道な場合分けこそが本質であって、
それをせずに最初から
＞合計で1になる組み合わせを考えればいいのです。
というのは間違いということです。

　　 9月13日（木） 12:57:49　　　　30696

uchinyan

#30696
なるほど，そのことが言いたかったのですね。結局，#30693の
＞最大性に関する議論が多少あいまいですが，多分，明らか，かな，
と書いた部分，私は，正しい裏づけがあり，ayakaさんは明らかだと思ったのだろう，と解釈したのですが，
そこをあいまいにしてはいけないよ，ということですね。

なお，四つの場合は，おっしゃるとおりで，真面目にやるともっと細かい場合分けになります。
一応，結果の値は，プログラムでも確認しています。正しいと思います。

一般には，どうなんでしょうか。何かうまい方法があるのでしょうか。場合分けは難しそうだし．．．

ネコの住む家　　 9月13日（木） 13:24:37　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30697

？

「算数にチャレンジ！！」では、「算数」を数学的に厳密に解くことが必要なんですか？
dobaさんやuchinyanさんの議論は、算数しかできない僕には難しすぎます。

　　 9月13日（木） 14:36:22　　　　30698

uchinyan

#30698
＞「算数にチャレンジ！！」では、「算数」を数学的に厳密に解くことが必要なんですか？
あくまでも「個人的には」ですが，必要ない，と思っています。
＞dobaさんやuchinyanさんの議論は、算数しかできない僕には難しすぎます。
お気持ち，分かります。

えと，だから私は，#30693で，
＞ayakaさんの説明は，そこらは，明らか，として省いている，ということでしょう。
＞直感を大事にする算数としては，これでもいいか，という感じかな。
と書きました。

算数でもウソはダメですが，厳密さよりも直感の方を大事にしたいなぁ，というのが私の本音 (^^;
今回のは，微妙なところなんですかねぇ～

ネコの住む家　　 9月13日（木） 15:01:21　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30699

？

uchinyanさん、すぐに返信くださり、ありがとうございます。
証明というのは算数の範囲を超えていると思います。
算数しかできなくても一生懸命考えてることがわかってくれればいいです。

　　 9月13日（木） 15:17:16　　　　30700

英ちゃん

昨日は忘れて寝てました
場合分けをして考えました

居間　　 9月13日（木） 17:21:44　　 HomePage:虚数なページ　　30701

25no12

めずらしくとても易しいですね・・・。
uchinyanさんと殆ど同じですが、

アの逆数＋イの逆数＋ウの逆数をＳとする
また、アはイ以下、イはウ以下として一般性を失わない
少なくとも１つが１のとき、Ｓは１以上で題意を満たさないので、３つの数はすべて２以上

３つの数がすべて４以上のとき、Ｓは３/４以下
例えば（ア、イ、ウ）＝（２、４、５）とすると、Ｓ＝１９/２０＞３/４だから、３つの数のうち少なくとも１つは３以下
よって、ア＝２　または　３

ア＝２のとき
（ア、イ）＝（２、２）のとき、Ｓは１以上で題意を満たさない
（ア、イ）＝（２、３）のとき、順番に調べると、ウ＝７のときＳが最大で、このときＳ＝４１/４２・・・（＊）
（ア、イ）＝（２、４）のとき、順番に調べると、ウ＝５のときＳが最大で、このときＳ＝１９/２０＜４１/４２
イが５以上のとき、Ｓは９/１０以下で、これは（＊）より小さい

ア＝３のとき
（ア、イ）＝（３、３）のとき、順番に調べると、ウ＝４のときＳが最大で、このときＳ＝１１/１２＜４１/４２
イが４以上のとき、Ｓは５/６以下で、これは（＊）より小さい

以上により、（ア、イ、ウ）＝（２、３、７）のとき、Ｓが最大で、求める数は４１/４２

そういえば、「背理法」って、小学校の範囲ですかね・・・？
中学のときにクラスのみんなで、「ハイリ、ハイリ、フレ、ハイリホー」と歌って遊んでいた記憶があるので、中学で習ったような気がするのですが。

　　 9月13日（木） 17:39:25　　　　30702

25no12

ayakaさんの解答に関する、dobaさんとuchinyanさんの議論、dobaさんがおっしゃることに全面的に賛成します。

ayakaさんの解答は、「1/a+1/b+1/cが題意を満たすとき、（a<=b<=cとして）1/a+1/b+1/(c-1)=1になる」・・・（＊）ことを前提としています。
これって明らかですか？？
（＊）を証明せよって問題があったっていいと思います。

結果的には、場合分けして調べ尽くせば確かにそのようになっているようですが、そうすることによって初めて分かることですから、場合分けの部分を省いて「明らか」と言ってしまっては、ただ単に答えだけ書くのと大差ありません。

N=4の場合もまたまた（＊）が成立するようですが、N=5以上でも仮に（＊）が成立するとして、それを証明すること自体、高度な数学の問題だと思います。
例えば、（＊）がどのようなNのときに成立するか、なんて問題があったら、皆さん、エキサイトするのではないでしょうか？

　　 9月13日（木） 18:08:55　　　　30703

uchinyan

#30703
えと，誤解のないように書いておくと，私も，数学的にはdobaさんのおっしゃっていることには全面的に賛成です。
ayakaさんの議論があいまいだ，と書いたのはそのためです。

私が気にしたのは，？さんと同じで，算数でどこまでそれを追求すべきなのかな，という点でした。

なお，N = 4 の場合は，結構面倒になりますが，場合分けで実際に(＊)が正しいことは確認済みです。
N = 5 の場合は，場合分けは大変そうなのでやっていません。

いずれにせよ，一般的にそこらを議論するうまい方法はないのでしょうか？

ネコの住む家　　 9月13日（木） 18:33:17　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30704

doba

今回の答え、及び、Ｎ＝４の場合の答えは、まとめると次のような系列となります。

Ｎ＝１：　1/2（＝1 - 1/2）
Ｎ＝２：　1/2 + 1/3（＝1 - 1/6）
Ｎ＝３：　1/2 + 1/3 + 1/7（＝1 - 1/42）
Ｎ＝４：　1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43（＝1 - 1/1806）

この続きを考えると、次のような予想が立ちます。

「数列{a(n)},{b(n)}が次のような漸化式を満たすとする。
a(1)＝2
a(n+1)＝a(n)^2-a(n)+1
b(1)＝2
b(n+1)＝b(n)^2+b(n)

自然数Ｎについて、
x(1)≦x(2)≦…≦x(N)であり、
p=1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N)
がp＜1を満たすようなＮ個の自然数の組x(1)…x(N)を考えると、
その中でpが最大になるのは、
x(k)=a(k)（k=1,…,N）の場合で、
そのときp=1-1/b(N)となる。」

以下、あくまでも予想ですが、
このケースが他の場合と比べて特に言えることをさらにいくつか追加した上で、
全部ひっくるめてNに関する数学的帰納法で証明できそうな気はします。
が、数論的な、結構やっかいな議論になりそうです。

追加する命題として、これが言えればいいなと思っているのは、
次のようなものです。

「自然数の組x(1)…x(N)が、x(1)≦x(2)≦…≦x(N)であり、
1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N) ＜１
1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/(x(N)-1) ≧１
を満たすとき、
1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N)＝1-m/n（ただし、m/nは既約分数）
とおくと、n≦b(N)」

今回は、ちょっとこれ以上検討する根性はありません(^^;
ただ、直感的に、b(N)が、すごい勢いで大きくなるので、
反例が見つかるとはなかなか思えません。

　　 9月13日（木） 19:20:50　　　　30705

25no12

（a1,a2,...,an）
rn=1/a1+1/a2+...+1/an<1
max(rn)=Rnとして、そのときの（a1,a2,...,an）=(An1,An2,...,Ann)とすると（An1<=An2<=...<=Ann）
（一般のn個への拡張）

予想としては、
A(n+1)i=Ani　（i=1,2,...,n）・・・（＊）
Pn=An1An2・・・Ann （An1からAnnまでの積）として、A(n+1)(n+1)=(Pn)+1・・・（＊＊）
が成立しそうです。

実際、
n=1でA11=2
n=2で(A21,A22)=(2,3)
n=3で(A31,A32,A33)=(2,3,7)
n=4で(A41,A42,A43,A44)=(2,3,7,43)
ここまでは場合分けで分かっていますが、見てのとおり（＊）は成立していて、
さらに、3=2+1, 7=2*3+1, 43=2*3*7+1で（＊＊）も成立しています。

で、上の予想が数学的帰納法で証明できるといいのですが、難しいです。
とりあえず、（＊）を仮定すれば自動的に（＊＊）となりますが、（＊）が今のところできません。

ちなみに上の式が成立するとき、
1/An1+1/An2+...+1/An(n-1)+1/((Ann)-1)=1も成立してます。

n=4まで成立するし、この後も行けそうに思いますが・・・。

あ、ちなみにuchinyanさんが数学的にはそのようにお考えであることは承知していました。私がdobaさんに全面的に賛成というのは、算数的にもということです。

　　 9月13日（木） 20:37:56　　　　30706

uchinyan

#30705 dobaさん
#30706 25no12さん
問題，予想のまとめなど，ありがとうございます。
基本的には同じだと思いますが，私は，#30706の方向で予想していました。

すごく粗いアイディアですが．．．
p(n) = 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(n)
として，p(n) = k/(k+1) と書けるならば，p(n) + 1/(k+1) = 1 なので，
1 より小の最大には，a(n+1) = k+2 とおくことになり，
p(n+1) = p(n) + 1/a(n+1) = k/(k+1) + 1/(k+2) = (k^2 + 3k + 1)/(k+1)(k+2) = {(k+1)(k+2) - 1}/(k+1)(k+2) = 1 - 1/(k+1)(k+2)
となるので，
p(1) = 1 - 1/2 = 1/2, p(2) = 1 - 1/6 = 5/6, p(3) = 1 - 1/42 = 41/42, p(4) = 1 - 1/(42*43) = 1 - 1/1806 = 1805/1806
と合わせて，この系列に入る候補は，皆さんの予想に合致すると思われます。
しかしもちろん，dobaさんのご指摘のように，この系列から外れるものがあるので話はそう簡単にはいきません。
ただ，実際に場合分けを行った経験からすると，
こうした理想的でない候補は分母が予想の値より小さい k/(k+1) 又はそれを含むある種の形式，になりそうで，
そうならば，予想の値より小さくなることが示せそうです。
しかし，最後の部分は不明な部分も多く，予想外の形式での出現の可能性も否定できず，証明は闇の中，という感じです．．．

ネコの住む家　　 9月13日（木） 21:50:15　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30707

アイス

1/2+1/3+1/6=１に偶然にも気付きました。
ということはここからちょっと減らせばいいんですね。
一番効果的な減らし方は1/6→1/7にすることです。
と言うことで正解は41/42！

　　 9月13日（木） 21:35:39　　　　30708

25no12

　　 9月13日（木） 21:50:28　　　　30709

25no12

すみません、重複投稿になってしまいました。
（IEの「更新」がいけないみたいですね）
パスワード設定してないので消せないです。消してもらえるのかな・・・。

uchinyanさん、そう、「この系列から外れるものがあるので話はそう簡単にはいきません」の部分が難しいんですよね。
ちなみに帰納法の仮定に立つと(30706の記号をそのまま用いて)、
A(n+1)(n+1)<=(Pn)+1までは言えます。
これを利用して何か言えないかなぁと模索してますが、堂々めぐりになって進みません。
しらみつぶしにするプログラムでも組む場合の役には立ちそうですが・・・。

　　 9月13日（木） 22:00:13　　　　30710

SUPER SPECIAL SEMTEX

簡単すぎた
1/2+1/3+1/6＝１に気付けばすぐできますね

　　 9月13日（木） 23:20:10　　　　30711

スモークマン

ちょっと考えてみました。^^
1を1/m の和で一番近く表すことを考える。
1個のときは、k 個に分割したうち、k-1/k=1/m となる最小のmを求めればよい。
k-1 と k は互いに素なので、k-1=1、k=2
2個のときは、残りの1/2 をk 等分して、そのk-1個分が、1/m になる最小のmを求めればよい。
つまり、(k-1)/2k=1/m なので、同様に、k-1=2 となり、このとき、m=k=2+1=3
つぎに、1/2*3 を k 等分して、その k-1 個が、1/m になる最小の k を求めればよい。
つまり、(k-1)/2*3*k=1/m だが、同様に、k-1=2*3、m=k=2*3+1=7
つぎは、m=2*3*7+1=42
以下同様に、2*3*7*42+1、、、、と考えればいいのかな？

金光＠岡山　　 9月14日（金） 2:27:47　　　　30712

banyanyan

シルベスター数列って有名なんですか。
a(n+1) = a(n)^2 - a(n) + 1, with a(0) = 2
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_sequence

京都市　　 9月14日（金） 3:23:10　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画－算数　　30713

ばち丸

いつになく易しかった。この程度なら私にもできます。マサルさん最近の頑張りスゴイ！！！

　　 9月14日（金） 7:21:16　　　　30714

uchinyan

#30712
＞2個のときは、残りの1/2 をk 等分して、そのk-1個分が、1/m になる最小のmを求めればよい。
などですが，えと，数学なので少し厳しく。
それらで十分なことをちゃんと示すのが証明の肝です。それを言わないと意味がないです。
言えてしまえば，後は，まぁ，明らか，でしょう。

#30713
情報ありがとうございます。
2, 3, 7, 43, 1807, ... のことですね。シルベスター数列って言うんですか。知らなかった。
ふーむ，この記事を読む限りでは，証明は載っていませんが(文献は載っている。)，どうやら我々の予想は正しいようですね。

ネコの住む家　　 9月14日（金） 12:34:15　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30715

スモークマン

"30715
uchinyanさん、Orz～
そうなんですか。。。
線分1を1/m を加えて行ってその和を1に限りなく近づけて行くことを考えたら、、、
1/2+残りの1/2を1/mで表せるものを次に考えればいいと思うんですが、、、
そのときは、1/2 を k 等分したとき、(k-1)/k=1/m のときが最大に取れるので、、、以下略。
その繰り返しになると思います。
これでは証明になってないんでしょうか。。。？ ^^;

金光＠岡山　　 9月14日（金） 10:25:28　　　　30716

uchinyan

#30716
dobaさんの#30694をご覧ください。

ネコの住む家　　 9月14日（金） 10:56:39　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30717

スモークマン

#30707
>p(n) = 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(n)
として，p(n) = k/(k+1) と書けるならば，p(n) + 1/(k+1) = 1 なので，
1 より小の最大には，a(n+1) = k+2 とおくことになり，
p(n+1) = p(n) + 1/a(n+1) = k/(k+1) + 1/(k+2) = (k^2 + 3k + 1)/(k+1)(k+2) = {(k+1)(k+2) - 1}/(k+1)(k+2)

つまり、p(n)=(k-1)/k と表せ、a(n+1)=k+1 とすると、
p(n+1)=(k(k+1)-1)/k(k+1)
なので、
k=a(1)*a(2)*・・・*a(n)　とすれば、
a(n+1)=a(1)*a(2)*・・・*a(n)+1　となり、
a(n)=a(1)*a(2)*・・・*a(n-1)+1 だから、
a(n+1)-1=(a(n)-1)*a(n) から、
a(n+1)=a(n)^2-a(n)+1
と、、、
シルベスター数列の一般式
a(n+1) = a(n)^2 - a(n) + 1, with a(0) = 2
ってのが求まりますけどね。。。^^;

金光＠岡山　　 9月14日（金） 18:13:45　　　　30718

大岡　敏幸

久しぶりに来ました（＾＾）　ちゃーみーさん１位おめでとうございます。ヒデー王子さんとＴａｒｏさんを抑えてのトップ。お見事です。
今回は算数っぽく解けました。異分母で１になる式から考えました。

１／２＋１／３＋１／６＝１　問題は１より小さくなるので、１／６を１／７にして計算。
１／２＋１／３＋１／７＝４１／４２

最近は湿度が高いですね。ビールの量に拍車がかかります（＾＾；

石川県　　 9月14日（金） 18:59:16　　　　30719

カイン

逆数の考え方自体、算数の範囲ではないような。

1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 も完全数ですね。

　　 9月15日（土） 0:57:24　　　　30720

nno

やっと入れた。　　自分の汚い答案(?)に、
きっと算数で鮮やかな答えがあるんだろうと期待してきたんですけど…
ちょっとザンネン。

　　 9月15日（土） 1:02:19　　　　30721

ayaka

よく考えたら、#30678で大丈夫ですね。
確かに逆数の合計が1より大きくなる組み合わせは
(2,3,3)、(2,3,4)、(2,3,5)と(2,2,x)xは自由という場合がありますね。
(2,2,x)の場合は、2を3に変えない限り1より大きくなる。
(2,3,x)：x=3，4，5の場合、ウに相当する部分を変える場合は、自ずから7まで変えない限り逆数の和は1以上になりますね。
3の部分を変えた場合は、(2，3，4)、(2,4,4)、(2,4,5)となり不可能ですね。
実は、解答を書いてから、(ア,イ,ウ-1)の逆数の和が1より大きくて、、(ア,イ,ウ)の逆数の和が1より小さい場合をどう説明しようかと考えあぐねていました。ひょっとしたらそんな場合もあるのかなと思って。

地上の楽園　　 9月15日（土） 3:04:21　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30722

ayaka

#30722
(2,4,5)は大丈夫でしたが、既に結論は出ていますね。
表示されてから、あれっと思ってしまいました。

地上の楽園　　 9月15日（土） 3:06:09　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30723

ayaka

それにしてもシルベスタの数列って凄いと思いました。
5月に放映されていた「博士の愛した数式」という映画を妹が見たらいいというので、見ましたが、数式の見事さでは、その映画以来の感動ものでした。

地上の楽園　　 9月15日（土） 3:08:24　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30724

スモークマン

#30721
>1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 も完全数ですね。

これが反例になりますね。
ようは、=1 だからって、一番大きい分母＋1のものの和が最大になることとは違うってことは言えるんだ。^^; 1との差をできるだけ小さくなるようにするっていう考え方でいいということを証明しなけりゃいけないんですよね。わたしには、#30707の考え方でいいように思えるんですけど。。。

金光＠岡山　　 9月15日（土） 9:05:05　　　　30725

uchinyan

#30725
はい，そういうことです。
#30707は，それまでの和が k/(k+1) になっている場合にはうまくいくと思いますが，場合分けを実際にやってみると，それから外れる候補も出てきます。
N = 4 の場合は，それらも小さくなることが計算で分かりますが，一般の N に議論をうまく拡張できないそうにないです．．．

#30722
えと，dobaさんの#30678へのご指摘は，結論が間違っているのではなくて，
議論が不十分で，数学的に厳密に見ると論理的におかしい，ということです。
ただ，算数として，どこまで論理に拘って解答を書くかには，議論の余地があると，私は思います。
ここらは，実際に算数を扱っておられる方々のご意見を待つしかないのでしょうかね。

ネコの住む家　　 9月15日（土） 12:21:26　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30726

スモークマン

#30726
>それまでの和が k/(k+1) になっている場合にはうまくいくと思いますが，

和がそれ以上で表されることってありますかね。。。？

金光＠岡山　　 9月15日（土） 13:18:39　　　　30727

uchinyan

#30727
＞和がそれ以上で表されることってありますかね。。。？
「それ以上」ではなくて「それ以外」です。
面倒なので書きませんが，ご興味があるならば，N = 4 で実際に場合分けをやってみてください。
1/a + 1/b + 1/c までで，k/(k+1) の形にならない場合の検討が必要になります。
もちろん，結果としては，1/a + 1/b + 1/c + 1/d がシルベスター数列の場合よりも小さくなりますが，
最初からこの場合を捨ててしまうのは無理そう，捨てていい理由が分からない，です。

なお，k/(k+1) の形になったとしても，その k がシルベスター数列の対応する場合よりも小さくなることを示す必要があります。

ネコの住む家　　 9月15日（土） 13:56:00　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30728

スモークマン

#30728
それ以外が、それ以下なら考える必要は、この問題の場合はないんじゃないのかな。。。?
有理数だから、、、最大値はこの形で表されるはずだと・・・
何か考え違いしてたらご免なさい。^^;

金光＠岡山　　 9月15日（土） 13:52:40　　　　30729

uchinyan

#30729
＞それ以外が、それ以下なら考える必要は、この問題の場合はないんじゃないのかな。。。?
そもそも，「以下」と断定できるかどうかは分かりません。
＞有理数だから、、、最大値はこの形で表されるはずだと・・・
結果としてはそれで正しいのですが，それをちゃんと示すことが，証明のポイントだと思います。

ネコの住む家　　 9月15日（土） 13:59:01　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30730

大岡　敏幸

#30720
言われてみれば逆数は算数で使わない気がします（＾＾；
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 　これはお見事ですね。勉強になりました（＾＾）

石川県　　 9月15日（土） 15:56:43　　　　30731

スモークマン

#30730
有理数の和が1にもっとも近いときの形は、n/m で表され、
1<=n<=m-1 だから、n/m の最大値は、明らかに(m-1)/m
つまり、この形で表されるものがあるなら、これ以外に考える必要はないですよね？^^;
まだ、誤解してるところがあるのかな。。。
また、シルベスター数列が(k-1)/k を満たしているなら、すくなくとも解答の一つになりますよね。だって、その和は最大なんだから。ただ、和の表し方が、それ以外にないかっていわれたら、、、分からないとしか言えませんけど、、、^^;

金光＠岡山　　 9月15日（土） 20:08:17　　　　30732

25no12

スモークマンさんの「勘違い」の本質的な問題は、(n+1)個の自然数(a(1), a(2), ..., a(n+1))の逆数の和が最大となるとき、(a(1), a(2), ..., a(n))の逆数の和はn個の自然数の逆数の和の最大値であると「決め付けている」（ことばが悪いかもしれませんが）ことだと思います。

結果的には、n=1～3では確かに、上で述べたようになっていて、より大きいnに対しても同じことが成立しそうだとは予想しています（uchinyanさんも文面からそのようにお考えだと思います）。
しかし、「予想すること」と「証明すること」は別のことです（フェルマーの大定理を考えていただければよろしいかと思います；結果的に長い期間をかけて証明されたみたいですけど）。

>>それまでの和が k/(k+1) になっている場合にはうまくいくと思いますが，
>
>和がそれ以上で表されることってありますかね。。。？

ですが、「それまでの和が」の部分をよく見てください。「それまでの和」は、n個の自然数の逆数の和の最大値であるとは限らないので、k/(k+2)とかk/(k+3)とかの形になっている場合だって考えなければいけません。

また、m/(m+2)>k/(k+1)なるmが存在することは明らかですよね？単にmを2kより大きくすればいいだけです。

また、#30732ですが、n/mの形で表される有理数のうち、1未満のもののうち最大のものは確かに(m-1)/mで、これは「明らか」でいいと思いますが、ある与えられたmに対して、n個の自然数の逆数の和で(m-1)/mを表せるとは限りません。

　　 9月15日（土） 21:05:15　　　　30733

25no12

追記です。

＞すくなくとも解答の一つになりますよね
証明が無いので、「解答」ではなく、「候補」です。

ちなみに、最大値がuchinyanさん始めみなさん（私も）の予想通りなら、n個の自然数の組み合わせは、2, 3, 7, 43, 1807, ...のただ１通りになることは簡単に証明できます。
最大値の予想が正しければ、
「(n+1)個の自然数(a(1), a(2), ..., a(n+1))の逆数の和が最大となるとき、(a(1), a(2), ..., a(n))の逆数の和はn個の自然数の逆数の和の最大値である」が成立します。
このとき、(n+1)個目の自然数は一意的に決まるので、数学的帰納法から、1通りに決まることがいえます。

　　 9月15日（土） 21:13:10　　　　30734

スモークマン

#30733,#30734 250n12 さんへ。Orz～
>(n+1)個の自然数(a(1), a(2), ..., a(n+1))の逆数の和が最大となるとき、(a(1), a(2), ..., a(n))の逆数の和はn個の自然数の逆数の和の最大値であると・・・

とは言ってないつもりですけど、、、
わたしは、決めつけてるつもりは無くって、、、(k-1)/k という最大値になるkが存在すればそれが求めるものになるでしょ？っていってるわけです。実際に、それは存在するわけで、、、それ以外の組み合わせが無いかどうかまでは分からないとも言ってます。

また、
>m/(m+2)>k/(k+1)なるmが存在することは明らかですよね？
も、真意が伝わってないようですが、、、最大値があるとすれば (k-1)/k 以上のものはありませんよね？　しかも、わたしが思うに、m/(m+2)<(m+1)/(m+2) =(k-1)/k じゃあないでしょうか？

>ちなみに、最大値がuchinyanさん始めみなさん（私も）の予想通りなら、n個の自然数の組み合わせは、2, 3, 7, 43, 1807, ...のただ１通りになることは簡単に証明できます。
最大値の予想が正しければ、
「(n+1)個の自然数(a(1), a(2), ..., a(n+1))の逆数の和が最大となるとき、(a(1), a(2), ..., a(n))の逆数の和はn個の自然数の逆数の和の最大値である」が成立します。
このとき、(n+1)個目の自然数は一意的に決まるので、数学的帰納法から、1通りに決まることがいえます。

この部分はわたしには良く分かってませんって言うか、、、ついて行けてません。Orz～^^;

金光＠岡山　　 9月15日（土） 23:20:34　　　　30735

スモークマン

追記です。
与えれたmを考えてるんではなくって、nこの自然数の逆数の和の最大値は、あるkが存在し、
(k-1)/k で表されるといっているつもりです。
そのk こそが、k=a(1)*a(2)*・・・*a(n)　を考えれば成立してるんじゃありませんかって^^

あら、、、今気付いちゃったけど、、、そうか、その k よりも大きな k' で (k'-1)/k' って存在がないとどうして言えるのかってことをおっしゃっておられるんですね？
やっと分かりました。。。了解です。
uchinyanさん、250on12さんはじめ、みなさまお騒がせいたしました。Orz～ ^^;;

金光＠岡山　　 9月15日（土） 23:33:08　　　　30736

banyanyan

#30731
逆数が算数の範囲でないとすると、分数のわり算で困るような気がしますが……。

京都市　　 9月16日（日） 0:37:42　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画－算数　　30737

小西孝一

uchinyanさん難波さんへ。
まだ勉強中なので非常に大雑把なのですが位数１５の群について・・・
まず、一般的に群Ｇの部分群の位数は、つねにＧの位数の約数になりますが、
その逆は言えません。
しかし、約数が素数冪の場合は、その部分群を持ちます。
１５の場合は３と５の位数の部分群を持ちます。
位数が素数だから明らかに巡回群です。
シローの定理より、位数５（ｑ）の部分群は（５＞３だから）共役が一つ
だけとなり、正規部分群になります。
正規部分群ＨはＧの任意の元ｇに対しＨｇ＝ｇＨが成り立つ群です。
位数３のほうですが、シローより共役の数はｋｐ＋１（ｐ＝３）で、
これが、ｑの約数に等しくなります。
したがって、ｑか１です。
ｋｐ＋１＝ｑならｋｐ＝（ｑ－１）なので、ｑ－１がｐの倍数になります。
この場合は５－１＝４で３の倍数にならないのでｋｐ＋１＝１で、
ｋ＝０となり、共役が一つだけとなり、位数３のほうも正規部分群に
なります。
そして、部分群Ｈが正規部分群で尚且つＧ／Ｈが可換群（アーベル群）
の時は、交換子群Ｋを含みます。（交換子から生成される群）
交換子とはａｂａ’ｂ’（ａ’，ｂ’は逆元）の形の群Ｇの元です。
位数５の群をＡ、その元をａｉ。
位数３の群をＢ、その元をｂｉとしたとき、
ＡもＢも正規部分群は既に示しましたので、
（といっても説明になってませんが汗）
Ｇ／Ａを考えると、Ａｂｉｂｊ＝Ａｂｊｂｉ
つまり、ＡｉＡｊ＝ＡｊＡｉ
でＧ／Ａはアーベル群
Ｂは巡回群なのでｂｉｂｊ＝ｂｊｂｉは明らか。
同様にＧ／Ｂもアーベル群。
よって、Ａの生成元をａ、Ｂの生成元をｂとした時、
交換子aba'b'をＡもＢも含みます。
Ａ且つＢ＝ｅ（単位元）しかないので、
ａｂａ’ｂ’＝ｅ
ａｂ＝ｂａとなり
（ａｂ）＾ｎ＝ａ＾ｎｂ＾ｎとなり
これがｅとなるには１５でないといけません。
よってａｂの位数は１５
∴群Ｇはａｂから生成される位数１５の巡回群になります。
え～と私の説明より、下のＨＰを見て下さい。
ttp://www32.ocn.ne.jp/~graph_puzzle/1no48.htm
長々と申し訳ありませんでした。ｍ（＿）ｍ

ど田舎　　 9月17日（月） 18:27:10　　　　30738

uchinyan

#30738
小西さん，ご説明ありがとうございます。私はまだまだ勉強が足らないので今一つですが．．．

交換子群が出てくるまでは，シローの定理からの直接の結果だと思います。
(共役が一つならば正規部分群は，共役及び正規部分群の定義から言えることですが。)
後半は，同じことかもしれませんが，直積の考えを使って，位数15の群 G が H3×H5 と同型なこと，
H3，H5 はそれぞれ位数 3，位数 5 の巡回群 C3，C5 であること，C3×C5 は C15 と同型であること，
などを使っても言えるようです。
「ようです」というのは受け売りで，まだよく証明できていないので (^^;

なお，ここはやはり算数サイトですから，これ以上の議論は，宜しかったらメールを頂ければ幸いです。

ネコの住む家　　 9月17日（月） 21:07:33　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30739

小西孝一

uchinyanさん
そうですね。板違いですね。^^;
ただ、お二人が考えてくれたので、ちょっとご報告ということでした。
もう、満足です。^^
レスありがとうございました。
他の皆様、すんまそんれす。m(_)m

ど田舎　　 9月17日（月） 22:00:00　　　　30740

難波

小西孝一さんへ
解説ありがとうございました。
位数が15と具体的に判明しているので、シローの定理やら部分群やらを使わずに証明できないかなーと頑張ってみましたが、今のところ進展なしです。

　　 9月18日（火） 7:38:40　　　　30741

25no12

第565回問題の一般のnへの拡張、「n個の自然数の逆数の和が1未満で最大となるのは、n個の数がシルベスター数列（2, 3, 7, 43, 1809, ...）となるときである」ですが、どうやら証明されているようです。

Googleで"Sylvester's sequence"で検索するとWikipediaなどいろいろヒットしますが、
"The sum of the first k terms of the infinite series provides the closest possible underestimate of 1 by any k-term Egyptian fraction."
（ここでいう"the infinite seriese"がシルベスター数列の逆数（の和）を指しています）
とあります。何人かの数学者が証明しているようで、Referencesもついています。
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0502/0502247v1.pdf
ただし、さらに別の定理（Muirheadの定理だそうです；私はそんなの知りません）を利用した証明です。
（他にも文献はありましたが、残念ながら読めませんでした）

Muirhead's theoremは現在解読中・・・、私に理解できるは不明。

　　 9月18日（火） 19:20:19　　　　30742

スモークマン

#30742
25 no 12さん（今気づきましたが名前を間違えてたみたいです。。。Orz いつも気付くのが遅い、、、^^; ）、すごいね！
その証明ってのを是非知りたいですね ^^
分かれば教えて下さいませ Orz～
下の論文のReferenceには、あのラマヌジャンを発見したと言われてるハーディ（リトルウッドの名前も）の名前が載ってますね♪

金光＠岡山　　 9月18日（火） 22:14:02　　　　30743

小西孝一

#30742
25 no 12さん
私もさっそくpdfファイル落しました。
時間があれば読みます。
情報Thanksです。

ど田舎　　 9月19日（水） 4:19:32　　　　30744

小西孝一

追伸
ＳＰ２だっけな（名前忘れました）をインストールしたら
セキュリティー強化の為か、#XXXXXをクリックしてもエラー
になります。
ＩＥのオプションをいじればいいのかな～

ど田舎　　 9月19日（水） 4:21:55　　　　30745

小西孝一

色々やったけど、やｐっぱりエラー
#XXXXXクリックでウインドウを出したい、どなたか
ご存知ないですか？

ど田舎　　 9月19日（水） 4:33:05　　　　30746

25no12

#30742に追記です。

引用したPDFの要点は、n個の自然数の積をkとして、kがシルベスター数列の積Kより小さいときは、n個の自然数の逆数の和s=m/k<(k-1)/k<(K-1)Kからsはシルベスター数列の逆数の和S=(K-1)/Kより小さく、kがKより大きいときはMuirhead's theoremを上手に用いる（対数を利用；すごく上手いと思いました）ことでs<=Sとなる（等号成立はn個の自然数がシルベスター数列と一致するとき）ことが数学的帰納法で言えるというものでした。

Muirhead's theorem (Muirhead's inequality)は下記の通り

Let s1 ≥ s2 ≥ ... ≥ sn ≥ 0, and
t1 ≥ t2 ≥ ... ≥ tn ≥ 0, and
Σsi = Σti (i=1～n)
and for all k < n, Σsi ≥ Σti (i=1～k)

Then for all nonnegative numbers x1, x2, ..., xn,
Σx1^sσ(1) x2^sσ(2) ... xn^sσ(n) ≥ Σx1^tσ(1) x2^tσ(2) ... xn^tσ(n)
where the sums run over all the permutations σ of {1, 2, 3, ..., n}　※
（※例えば、n=3なら、(σ(1),σ(2),σ(3))=(1,2,3）, (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)、つまり並べ替えn!通りのすべてについてのΣ）

ちなみに、si=(1,0,...,0), ti=(1/n,1/n,...,1/n)とすると、相加平均>=相乗平均となり、「平均に関する様々な不等式の一般化」と解説されています。

証明は下記サイトにありました。
http://mcraeclan.com/MathHelp/BasicNumberIneqMuirheadsInequality.htm
n=2の場合は加重付き相加相乗平均（これも知らなかった・・・）を利用して証明、nが3以上のときは、siとtiの中間的な数列を作って(n-1)項の比較でできるようにして数学的帰納法で証明するというもののようです（まだ骨格が（多分）分かっただけで、きっちりと検証はしていません）。

（Wikipediaにも解説（証明はなし）はあるのですが、sとtに関する不等式の向きが逆になっています）

数学なんて大学の教養以来、こんなの勉強した記憶ないです・・・（当時はεδが好きだった・・・）。
まだちゃんと消化できていないですが、いい勉強になりますね－。

スモークマンさん、「ラマヌジャン」って何？と調べてみましたが、インドの「天才」数学者なんですね。
世の中、猛烈にすごい人がいるものですね。

　　 9月19日（水） 14:05:42　　　　30747

25no12

すみません、文字化けしたので再送します。

#30742に追記です。

引用したPDFの要点は、n個の自然数の積をkとして、kがシルベスター数列の積Kより小さいときは、n個の自然数の逆数の和s=m/k<(k-1)/k<(K-1)Kからsはシルベスター数列の逆数の和S=(K-1)/Kより小さく、kがKより大きいときはMuirhead's theoremを上手に用いる（対数を利用；すごく上手いと思いました）ことでs<=Sとなる（等号成立はn個の自然数がシルベスター数列と一致するとき）ことが数学的帰納法で言えるというものでした。

Muirhead's theorem (Muirhead's inequality)は下記の通り

Let s1 >= s2 >= ... >= sn >= 0, and
t1 >= t2 >= ... >= tn >= 0, and
Σsi = Σti (i=1～n)
and for all k < n, Σsi >= Σti (i=1～k)

Then for all nonnegative numbers x1, x2, ..., xn,
Σx1^sσ(1) x2^sσ(2) ... xn^sσ(n) >= Σx1^tσ(1) x2^tσ(2) ... xn^tσ(n)
where the sums run over all the permutations σ of {1, 2, 3, ..., n}　※
（※例えば、n=3なら、(σ(1),σ(2),σ(3))=(1,2,3）, (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)、つまり並べ替えn!通りのすべてについてのΣ）

ちなみに、si=(1,0,...,0), ti=(1/n,1/n,...,1/n)とすると、相加平均>=相乗平均となり、「平均に関する様々な不等式の一般化」と解説されています。

証明は下記サイトにありました。
http://mcraeclan.com/MathHelp/BasicNumberIneqMuirheadsInequality.htm
n=2の場合は加重付き相加相乗平均（これも初見でしたが、微分を使って比較的簡単に証明できました）を利用して証明、nが3以上のときは、siとtiの中間的な数列を作って(n-1)項の比較でできるようにして数学的帰納法で証明するというもののようです（まだ骨格が（多分）分かっただけで、きっちりと検証はしていません）。

（Wikipediaにも解説（証明はなし）はあるのですが、sとtに関する不等式の向きが逆になっています）

数学なんて大学の教養以来、こんなの勉強した記憶ないです・・・（当時はεδが好きだった・・・）。
まだちゃんと消化できていないですが、いい勉強になりますね－。

スモークマンさん、「ラマヌジャン」って何？と調べてみましたが、インドの「天才」数学者なんですね。
世の中、猛烈にすごい人がいるものですね。

　　 9月19日（水） 14:07:34　　　　30748

25no12

何度もすみません。
#30748の「引用したPDF・・・」の行の後半、
s=m/k<(k-)/kの部分、等号が抜けてました。正しくはs=m/k<=(k-1)/kです。
失礼しました。

　　 9月19日（水） 14:30:12　　　　30749

小西孝一

あーいくらやっても、ページでエラーが発生しました。
になる。ググって調べたけど、お手上げ。。・(ノД`)・。
管理者の、マサルさん助けてー！！

ど田舎　　 9月19日（水） 15:45:29　　　　30750

スモークマン

#30748
25 no 12 さんへ。
情報ありがとうございました Orz～ ^^

>n個の自然数の積をkとして、kがシルベスター数列の積Kより小さいときは、n個の自然数の逆数の和s=m/k<=(k-1)/k<(K-1)Kからsはシルベスター数列の逆数の和S=(K-1)/Kより小さく、kがKより大きいときはMuirhead's theoremを上手に用いる（対数を利用；すごく上手いと思いました）ことでs<=Sとなる（等号成立はn個の自然数がシルベスター数列と一致するとき）ことが数学的帰納法で言えるというものでした。

k がシルベスター数列より大きいときも、足す項の数が多ければ和sは大きくなりそうだし、
k がシルベスター数列より小さければ、和s はSより大きくなりそうに直感的には思ってしまうけど、、、証明できるんだ。。。^^;

金光＠岡山　　 9月19日（水） 23:30:05　　　　30751