ようせん
4桁の場合までを書き出す途中で、1、2、6、12・・・となりそうだったので「n(>1)桁のとき最大n(n-1)枚になる」と思いました。4×5=20枚
　　 12月5日（木） 0:14:09　　 　　41177
Ｍ
問題の意味を理解するのに５分ほどorz
１２０から３個一致　２個一致を引きました
３個一致　5Ｃ3 × ３！＝６０
２個一致　5Ｃ2 × ２！×２＝４０
１２０−１００＝２０
第２グループ　　 12月5日（木） 0:17:59　　 HomePage:出題中　　41178
スモークマン
ただやみくもに対角線論法を信じて…^^;
12345
23451
34512
45123
51234
13524
24135
35241
41352
51413
14253
25314
31425
42531
53142
15432
21543
32154
43215
54321
だけあるようですね…^^;
理屈は勉強させて頂きまっす ^^
　　 12月5日（木） 0:22:40　　 　　41179
Jママ
こんばんは。

Mさんの解法を試みるも行き詰まり
スモークマンさんとほぼ同じ考え方で…。
1度で入れてビックリするほど自信なかったです。
勉強させていただきます！
　　 12月5日（木） 0:58:27　　 　　41180
abcba@baLLjugglermoka
N桁のときは、N(N-1)通りですね。
　　 12月5日（木） 1:02:18　　 　　41181
数樂
先週の忘れてた…幾何だったんですね…
解きたかった…

今回はカンです。
たまたま合いました
徳島　　 12月5日（木） 3:49:50　　 HomePage:数樂　　41182
今年から高齢者
考えがまとまらず、まず全組合せを調べました。
その後で、同じものがない＋１つだけ同じ、全組合せ−３つ同じ−２つ同じ、と色々やりましたがうまくいっていません。掲示板を参考に勉強させてもらいます。
　　 12月5日（木） 9:37:47　　 　　41183
takasi
一般解ではないですが、5が素数であることを利用した解き方で

1≦a≦5,1≦b≦4である自然数a,bの組を(a,b)と表します
(a,b)を次のような操作と定義します
��1桁目はaとする
��(n+1)桁目はn桁目の数字にbを足した数とする。ただし6以上になる場合は5をひく

これで問題の条件を満たす数列を作ることができます
(a,b)は20通り作ることができるのでそれが答えです
　　 12月5日（木） 9:44:39　　 　　41184
石原ゼミ
1〜4でどの位も一致しないのは 1234,2143,3412,4321の4通り、それぞれの両端と間に5が入るので
4×5=20
　　 12月5日（木） 10:27:33　　 　　41185
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，今回はよく分かりませんでした。かなりいい加減，というか間違っている可能性大，と思いますが．．．

５桁の数は全部で 120 個できるので，このうちから，5 個，4 個，3 個，2 個，の数字が一致する場合を引けばいいかな，と思い，
5 個一致，自分自身しかないので無意味，
4 個一致，5 個一致と同じ，
3 個一致，自分自身を数えないように注意して，5C3 * 6 * 1 = 60，
2 個一致，自分自身を数えないように注意して，5C2 * 2 * 2 = 40，
120 - 60 - 40 = 20 個

この考え方が，あいまい，よく分からない，おかしい，ところは幾つかありますが，
自分自身を数えないように注意して，3 個一致，2 個一致，を数えるところ，
これで過不足なく条件を満たしているのか，
など，という点です。

この後，試行錯誤で，どうやら 20 個ぽいな，と思って認証したら一発正解でしたが，
上記の考え方は偶然合った可能性があります。

もっとも，掲示板を読んだところ，#41178と全く同じですね。

想定解はどんなのかな？
ネコの住む家　　 12月5日（木） 13:27:21　　 　　41186
マサル
想定解ですが….「ある２枚の配置方法が、5Ｐ2=20通り」なので、21通りだと（鳩ノ巣原理で）必ず重なりが出来てしまうのでNG。よってありえるとしたら最大で20通り。あとは、実際のパターンを考えて…という感じです。ただ、実際のパターンを考えるのがなかなか面倒なのですが…。
会社　　 12月5日（木） 13:57:56　　 HomePage:算チャレ　　41187
ハラギャーテイ
sum(2n,n=1,5)かと思った.意外に少ないのにびっくりした。
山口　　 12月5日（木） 14:12:16　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　41188
uchinyan
#41187
＞「ある２枚の配置方法が、5Ｐ2=20通り」なので、21通りだと（鳩ノ巣原理で）必ず重なりが出来てしまうのでNG。
＞よってありえるとしたら最大で20通り。
なるほど，そういうロジックか。なかなかうまいですねぇ。ただ，十分性は試行錯誤になるんですね。
ネコの住む家　　 12月5日（木） 15:50:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41189
あめい
問題の意味が理解できず（トシだぁ〜）、夜はほっておいて、昼休みに考えました。（やり方もはっきりせず手作業です）
すべて異なるのはたとえば
１２３４５
２３４５１
３４５１２
４５１２３
５１２３４　の５つ
１つ異なるのはこの５つから斜めに一つずつ数を選んだ１３５２４
（１つめの１数目の１，２つめの２数目の３、３つめの３数目の５、４つめの４数目の２、５つめの５数目の４を採る）
よって斜め選びが（１３５２４，２４１３５，３５２４１，４１３５２，５２４１３）の５つ
斜め１つ飛ばし選びが（１４２５３，２５３１４，３１４２５，４２５３１，５３１４２）の５つ
斜め２つ飛ばし選びが（１５４３２，２１５４３，３２１５４，４３２１５，５４３２１）の５つ
斜め３つ飛ばしはすべて同じ数になってしまうのでなし
よって５＋５＋５＋５＝２０通りになりました。
　　 12月5日（木） 16:30:54　　 　　41190
あめい
打ち終わって改めてみると
#41179　スモークマンさんと全く同じでした。（余分な場所をとってすいません）
斜めに見ていく方法、対角線論法というんですか。
何となくやっている方法も（当然のことですが）誰かが考えた方法がほとんどなんですね。
　　 12月5日（木） 16:40:42　　 　　41191
uchinyan
ふむ。結局のところ．．．

マサルさんの#41187で最大個数の候補を示し，
スモークマンさんの#41179，Jママさんの#41180，あめいさんの#4119などの手法，対角線論法？，で実際の例を示す，

というのがよさそうですね。
ネコの住む家　　 12月5日（木） 17:19:09　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41192
おーちゃん
takasiさん#41184のおっしゃるとおり素数個（本題は N=5）なら
N-1個のループ (12345) (13524) (14253) (15432) をそれぞれローテーションさせて
一般的に N(N-1)個の解を構成できるんですよね。
素数でない N=6 の場合はどうするのか……具体的に考えようとして断念。
　　 12月5日（木） 18:07:25　　 　　41193
まるケン
ところで、問題の「例えば、」のところ、１〜６を使った６ケタの数字が例になっています。
で、N(N-1)が６ケタでも通用するのか、探してみたんですが、
どうやら６ケタの場合は１８個が限界のような気がしています。
ちなみに、７ケタは２１個、８ケタは２４個より多くは見つかっていません。
問題が５ケタでよかった。
ないしょ　　 12月6日（金） 11:13:04　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　41194
uchinyan
#41184
takasiさん，昨日はいろいろあって掲示板を斜め読みして理解不十分でしたが，
この解法は，素数の場合には必要十分な解を与えているようですね。失礼致しました。
また，スモークマンさんの#41179などの対角線論法の手法はこの解と等価になっているようです。

一方で，素数以外の場合はどうなるのでしょうね。確かに，n = 4 でもうまくいかないようです。
マサルさんの#41187の手法は素数でなくとも使えるので n(n-1) が最大個数の候補なのは間違いないですが，
これが実現できるのかどうか，実現できない場合には絞込みの一般論はあるのか，とか．
ネコの住む家　　 12月6日（金） 11:31:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41195
uchinyan
#41194
まるケンさん，６桁以上の調査，ありがとうございます。
６桁，８桁は，まぁ，そうなのかな，と思いますが，
７桁は 7 * (7 - 1) = 42 個 ではなくその半分の 21 個なのですか？
#41184の自然な拡張で 42 個かと思ったのですが，違うのかな？
ネコの住む家　　 12月6日（金） 11:45:20　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41196
まるケン
７ケタに関し、
１２３４５６７　の次に一つ置きに数字をとって、
１３５７２４６　さらに
１５２６３７４　とすると、その次には
１２３４５６７　と元に戻ってしまうので、７×３かと思いましたが、

１２３４５６７　のつぎに二つ飛ばして、
１４７３６２５　のようにすると、ベースの数が６通りできて、それぞれをローテーションして７×６＝４２個が作れることを確認しました。
失礼しました。

４２個、張っておきます。

1234567 2345671 3456712 4567123 5671234 6712345 7123456
1473625 4736251 7362514 3625147 6251473 2514736 5147362
1357246 3572461 5724613 7246135 2461357 4613572 6135724
1765432 7654321 6543217 5432176 4321765 3217654 2176543
1526374 5263741 2637415 6374152 3741526 7415263 4152637
1642753 6427531 4275316 2753164 7531642 5316427 3164275

ないしょ　　 12月6日（金） 15:36:54　　 HomePage:まるケンの部屋　　41197
uchinyan
#41197
まるケンさん，７桁の確認，ありがとうございます。やはり 42 個ありましたか。
takasiさんの#41184は，桁数 n が素数の場合には理論的に正しいと思うので，おかしいな，と思いました。
多分，n が素数の場合は n(n-1) 個で決まりでしょう。
問題は n が素数でない場合で，まるケンさんの結果を見ると，一般には n(n-1) よりは小さくなりそうですが，
これは自然な気がします。ただ，正確な個数を求めるのは難しいのかな。
ネコの住む家　　 12月6日（金） 15:54:24　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41198
今年から高齢者
#41199訂正するところを間違えて削除してしまいました。書き直しました。
この問題の規則性の判りにくいところは、おなじ数の桁のない数のセット（５個のセット）がたくさん有り、その各々のセットに対して、１桁だけ同じ数のあるもの１５個が対応しているというところにあるのかなと感じています。

いくつかの桁数について、同じ物がない個数、１つだけ同じ数の桁がある個数を求めてみました。同じものがない数のセットに対して、１桁のみ同じ数があるものとして求めましたので、１桁のみおなじ数同士は比較できていません。ただ同じものがない数のセットは各桁に１〜ｎまで数を含んでいますので、この方法でよいのではないかと思いました（間違っていたらごめんなさい）
４桁　　同じ数の桁がないもの　　４個、　１桁だけ同じ数があるもの　　０個　　合計　４個
６桁　　同じ数の桁がないもの　　６個、　１桁だけ同じ数があるもの　　０個　　合計　６個
７桁　　同じ数の桁がないもの　　７個、　１桁だけ同じ数があるもの　３５個　　合計　４２個
１１桁（数字は１１種類もないので、文字で行ったと考えれば良いでしょう）
　　　　同じ数の桁がないもの　１１個、　１桁だけ同じ数があるもの　９９個　　合計　１１０個
　７桁と１１桁は、#41179スモークマンさん、#41184takasiさん、#41190あめいさんたちの記載されている方法で抽出した数についてのみ確認したものです。

桁数が素数の場合は、ｎ（ｎ−１）が成り立ちそうですね。

何か規則性が無いかと思ってやってみた結果ですが、さっぱりです。

　　
　　 12月7日（土） 0:11:46　　 　　41200
巷の夢
ずっと、問題の意味を取り違え、どうして８９ではないのかと・・・・。
日本語の勉強が必要だと痛感した次第です。
真白き富士の嶺　　 12月7日（土） 15:50:38　　 　　41201
takasi
12345678 13574286 14768523 15487362 16253847 17826435 18632754
21436587 24683175 23857614 26378451 25164738 28715326 27541863
34127856 31752468 32586741 37265184 38471625 35648217 36814572
43218765 42861357 41675832 48156273 47382516 46537128 45723681
56781234 57138642 58324167 51843726 52617483 53462871 54276318
61872143 68247531 67413258 62734815 61528374 64351782 63185427
78563412 75316824 76142385 73621548 74835261 71284653 72458136
87654321 86425713 85231476 84532637 83746152 82173564 81367245

8桁の場合は56通りできますね
　　 12月7日（土） 19:01:07　　 　　41202
takasi
すいません。所々ミスがありました
正しくは
12345678 13574286 14768523 15487362 16253847 17826435 18632754
21436587 24683175 23857614 26378451 25164738 28715346 27541863
34127856 31752468 32586741 37265184 38471625 35648217 36814572
43218765 42861357 41675832 48156273 47382516 46537128 45723681
56781234 57138642 58324167 51843726 52617483 53462871 54276318
65872143 68247531 67413258 62734815 61528374 64351782 63185427
78563412 75316824 76142385 73621548 74835261 71284653 72458136
87654321 86425713 85231476 84512637 83746152 82173564 81367245
となります
　　 12月7日（土） 19:20:09　　 　　41204
kitaji
既出でしたらすいません。
樹形図は一回目の枝分かれまで考えればよいので、5×4と考えました。
　　 12月8日（日） 1:58:36　　 　　41207
今年から高齢者
#41204のtakasiさんの結果をみて4桁と8桁を見直してみました。
お互いに各桁の数字が異なる数の組合せ（組）は複数組あり、この組はお互い等価と思っていましたが、どうも等価ではないようです。
8桁についての、例えば12345678, 21436587, 34127856, 43218765, 56781234, 65872143, 78563412, 87654321の組からスタートすると、確かに56個の結果になりますが、最も作りやすい組である、12345678, 23456781, 34567812, 45678123, 56781234, 67812345, 78123456, 81234567の組では、8個しかありません（8桁の全部40320個の数との対比結果・・・意地になってやりました）。
このことは4桁でも12個［4*(4-1)]が確認できました。1234, 2341, 3412, 4123の組では4個だけでした。#41200の4桁（おそらく6桁も）間違いです。
また、確認できた4桁、5桁、8桁の数では、お互いに各桁の数字が異なる数の組合せ（組）で構成されていました。6桁はまだやっていません。
4桁
組(1) 1234, 2143, 3412, 4321
組(2) 1342, 2314, 2431, 4213
組(3) 1423, 2314, 3241, 4132
5桁
組(1)順番 12345, 23451, 34512, 45123, 51234
組(2)1つ飛び 13524, 24135, 35241, 41352, 52413
組(3)2つ飛び 14253, 25314, 31425, 42531, 53142
組(4)3つ飛び 15432, 21543, 32154, 43215, 54321
8桁
#41204の数表の縦が各組になっていますね
　　 12月8日（日） 12:19:31　　 　　41208
uchinyan
#41204
takasiさん，８桁の場合をありがとうございます。56 個ありましたか。
４桁の場合は，例えば，
1234 1342 1423
2143 2431 2314
3124 3241 3412
4132 4321 4213
の 12 個があるので，一般に n(n-1) 個の可能性も出てきましたね。

６桁の場合はどうなんだろう。
ネコの住む家　　 12月8日（日） 12:39:34　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41209
今年から高齢者
#41208の4桁の場合の数字を写し間違えていました。
4桁
組(1) 1234, 2143, 3412, 4321
組(2) 1342, 2431, 3124, 4213
組(3) 1423, 2314, 3241, 4132
　　 12月8日（日） 14:57:25　　 　　41210
おーちゃん
takasiさんの#41204は
一番左のブロックの8個が
01234567 の各桁に 0,1,2,3,……,7 を XOR して +1 して得られるもので、
それらにさらに 2→3→5→4→7→8→6→2 の置換を1回、2回、……と繰り返しかけていくことで
2番め〜7番めのブロックも得られるんですね。
一般に N=2^n ならば N(N-1)個作れそうな予感。
　　 12月8日（日） 22:16:09　　 　　41211
おーちゃん
takasiさんの#41204は
一番左のブロックの8個が
01234567 の各桁に 0,1,2,3,……,7 を XOR して +1 して得られるもので、
それらにさらに 2→3→5→4→7→8→6→2 の置換を1回、2回、……と繰り返しかけていくことで
2番め〜7番めのブロックも得られるんですね。
一般に N=2^n ならば N(N-1)個作れそうな予感。
　　 12月8日（日） 22:56:34　　 　　41212
おーちゃん
N=2^n の場合を考えてみました。
（以下、XOR を取りやすいように
　N桁の数 の代わりに 0,1,2,……,N-1 を並べ替えた数列で考えます）

{0,1,2,3,……,N-1} に対して {0,0,…,0},{1,1,…,1},……,{N-1,N-1,…,N-1} を XOR して
　{0,1,2,3,……,N-1}
　{1,0,3,2,……,N-2}
　{2,3,0,1,……,N-3}
　{3,2,1,0,……,N-4}
　　……
　{N-2,N-1,N-4,N-3,……,1}
　{N-1,N-2,N-3,N-4,……,0}
の N個を得るところまでは OK。

次にこれらに 0 を除く 1,……,N-1 を置換する操作 f を順次加えて N(N-1)個に増やします。
この置換操作 f の求め方を以下のように考えました：

　(1) a(0)=1, a(1)=2, a(2)=4, ……, a(n-1)=2^(n-1) とする
　(2) a(n) 以降は次の漸化式で決定する
　　　　a(k) = a(k-n) XOR a(k-n+1)
　(3) f(a(n)) = a(n+1) とする

すると、a(k) は周期がたかだか N-1 の周期的数列になります。
もし a(k) の周期が N-1 になっていれば、f は 1,……,N-1 全体を巡回する置換操作となります。

たとえば
n=3 (N=8) のときは f : 1→2→4→3→6→7→5→1 （周期 7）
n=4 (N=16) のときは f : 1→2→4→8→3→6→12→11→5→10→7→14→15→13→9→1 （周期 15）
となります。
この f を使って 1個の {0,1,2,3,……,N-1} から
　{0,1,2,3,……,N-1}
　{0,f(1),f(2),f(3),……,f(N-1)}
　{0,f^2(1),f^2(2),f^2(3),……,f^2(N-1)}
　　……
　{0,f^<N-2>(1),f^<N-2>(2),f^<N-2>(3),……,f^<N-2>(N-1)}
の N-1個に増やすことが出来ます。

こうして作った N(N-1)個の数列は互いにたかだか 1箇所しか重複しません。（これの証明は略）

さて問題は置換操作 f が常に存在するかなのですが……
n=3,4 は上記のとおりOKなのですが、それ以降は
　n=5 は周期 21（≠31） で NG
　n=6 は周期 63 で OK
　n=7 は周期 127 で OK
　n=8 は周期 63（≠255）で NG

　n=9 は周期 73（≠511）で NG
　n=10 は周期 889（≠1023）で NG
　n=11 は周期 1533（≠2047）で NG
　n=12 は周期 3255（≠4095）で NG
　n=13 は周期 7905（≠8191）で NG
　n=14 は周期 11811（≠16383）で NG
　n=15 は周期 32767 で OK
と結果は良くありません。
f を求めるときの漸化式をちょっと変えてやれば
　n=5 は、漸化式 a(k) = a(k-n) XOR a(k-n+2) で周期 31
　n=9 は、漸化式 a(k) = a(k-n) XOR a(k-n+4) で周期 511
　n=10 は、漸化式 a(k) = a(k-n) XOR a(k-n+3) で周期 1023
　n=11 は、漸化式 a(k) = a(k-n) XOR a(k-n+2) で周期 2047
と適切な f を得られる場合もありますが、
n=8,12,13,14 では漸化式の若干の変更でも f は得られませんでした。

というわけで、N=2^n での一般解（または解の不在の証明）は簡単ではないようです。

　　 12月10日（火） 11:35:22　　 　　41213
uchinyan
#41213
おーちゃんさん，N = 2^n の場合の詳しい考察をありがとうございます。
結局，N(N-1) 個となる場合もあるが，そうなるかよく分からない場合も結構ある，ということでしょうか。

この問題も，素数の場合以外は，この間の碁石を置く問題と同様に一般化は難しそうですね。
ネコの住む家　　 12月10日（火） 17:59:02　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　41214
a
７桁の場合
　　７！＝５０４０

�。祁紊垢戮篤韻検。�
�■況綟韻検。�
��５桁同じ　５！×２×1/2×７Ｃ５＝２５２０
�ぃ慣綟韻検。粥�×６×2/6×７Ｃ４＝１６８０
�ィ碍綟韻検。魁�×２４×3/24×７Ｃ３＝６３０
�Γ卸綟韻検。押�×１２０×4/120×７Ｃ２＝１６８

∴　５０４０−２５２０−１６８０−６３０−１６８＝４２個
　　 12月11日（水） 8:56:42　　 　　41215
大岡　敏幸
なかなかすぐに解けませんでした（＾＾；
ローテーションでの解法です。面倒いやり方です。
石川県　　 12月11日（水） 14:12:13　　 　　41216
kitaji
5桁の場合、1万の位が1の時、千の位は2〜5の4通り。
1万の位が2の時、千の位は1,3,4,5の4通り‥と考えて1万の位には5通りの数字がこれるので、5×4と考えました。n桁の場合も同様に考えれば、n(n-1)です。
　　 12月11日（水） 15:26:04　　 　　41217
kitaji
すいません、nは9以下の自然数の場合です。
　　 12月11日（水） 15:34:12　　 　　41218
kitaji
度々すいません、nはどんな数でもn(n-1)でいけます。
　　 12月11日（水） 21:08:54　　 　　41219