紫の薔薇の人
座標入れて計算しました。
最初17/11で入れなかったので、あれって思った。
他の解き方は、少し考えます。
　　 10月1日（木） 0:17:28　　 　　49572
吉川　マサル
すみません、AP:PB=2:1として解答作成していたのですが、問題を書く際に3:1とミスって書いてしまっていました...。m(__)m

この問題、中学受験生にとっては何てことはない問題なのですが、某超有名大学の「数学選抜」（数学のみで入試が行われます）の問題をそのまま使わせていただいています。全国の受験生の自信になればと...
Mac　　 10月1日（木） 0:19:06　　 HomePage:算チャレ　　49573
吉川　マサル
#49751　ここのところは、毎日オープン前から、オープン後1時間程度は、居ます。（その後は授業があるので...）よろしければ、声をおかけくださいませ！
Mac　　 10月1日（木） 0:20:02　　 HomePage:算チャレ　　49574
量子論
相似な三角形がたくさん見つかる。相似比を使うと
AH＝4/3cm, PQ＝2/3cm, AR:RP＝9:2で, AP＝3cm なので、
PR＝6/11cm. よって, 17/11cm
　　 10月1日（木） 0:29:10　　 　　49575
Mr.ダンディ
QからABにおろした垂線の足を　Sとすると
△OAM∽△MAH∽△MPQ∽△QPS　となるので
AH=2ｘ(2/3)=4/3
QP=AH/2=2/3
PS=(2/3)x(2/3)=4/9　→　MS=5/9
OM::QS=OA:QP=9:2
△ORM∽△QRS　　より
SR=(5/9)x(2/11)=10/99
よって
BR=10/99+4/9+1=17/11 ........としました。
　　 10月1日（木） 0:32:09　　 　　49576
EG
相似でわりと簡単にできますね。
しかし、もともと想定されていたというＡＰ：ＰＢ＝2：1だと、
解答は52/31になると思うんですが、こっちの数字はもっと不安になります。
　　 10月1日（木） 0:33:06　　 　　49579
紫の薔薇の人
△AOM∽△AMHより、AH＝2*2/3＝4/3
△AMH∽△PMQより、PQ＝1/2AH＝2/3
△OAR∽△QPRより、AR:PR＝AO:PQ＝3:2/3=9:2
よって、RP＝3*2/11＝6/11
BR＝BP+PR＝17/11
//
　　 10月1日（木） 0:34:36　　 　　49580
ベルク・カッツェ
よく見ないでAP:PB=2：1と思って計算していて、間違いに気づいて最初からやり直せばよかったものを、中途半端に直してまた間違えて・・・とかなり苦戦しました。
まさかもとの問題が2：1だったとは。
　　 10月1日（木） 0:35:29　　 　　49581
ベルク・カッツェ
#49580
全く同じ解き方でした。
　　 10月1日（木） 0:37:21　　 　　49582
今年から高齢者
相似形で計算するだけなのに、どうしてこんなに時間がかかってしまったのだろう！
最近どうも調子が悪い！
　　 10月1日（木） 0:38:42　　 　　49583
UFO
図が 1:3 に見えないのでフェイクかと思ったら転記ミスだったんですね
　　 10月1日（木） 1:11:08　　 　　49584
「数学」小旅行
QP=2/3がわかったので相似比から計算しました。
暗算でしました。
　　 10月1日（木） 1:30:27　　 　　49585
ゴンとも
座標でO(0,sqrt(5)),A(-2,0),B(2,0),M(0,0),P(1,0)とすると
直線OH:y=-2*sqrt(5)*x/5,直線IO:y=sqrt(5)*(x-1)/2
この2直線の交点は
-2*sqrt(5)*x/5=sqrt(5)*(x-1)/2
-4*sqrt(5)*x/5=5*sqrt(5)*(x-1)
5*sqrt(5)=9*sqrt(5)*x より x=5/9 より　
y=-2*sqrt(5)/9 よりQ(5/9,-2*sqrt(5)/9) より
直線OQ:y=-(sqrt(5)+2*sqrt(5)/9)*x/(5/9)+sqrt(5)
=-11*sqrt(5)*x/5+sqrt(5)
この直線でy=0とすると
0=-11*sqrt(5)*x/5+sqrt(5) より　x=5/11　より
R(5/11,0) より BR=2-5/11=17/11・・・・・・(答え)
豊川市　　 10月1日（木） 2:03:00　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49586
ゴンとも
#49586

すみません訂正で・・・
>-4*sqrt(5)*x/5=5*sqrt(5)*(x-1)
は正しくは
-4*sqrt(5)*x=5*sqrt(5)*(x-1)　でした!!
豊川市　　 10月1日（木） 2:13:11　　 MAIL:fttnm528@ybb.ne.jp 　　49587
UFO
図が 1:3 に見えないのでフェイクかと思ったら転記ミスだったんですね
　　 10月1日（木） 7:57:51　　 　　49588
みかん
△ＯＡＭと△ＭＡＨと△ＭＰＱが相似→ＡＨ＝４／３、ＰＱ＝２／３
△ＰＲＱと△ＡＲＯが相似→ＡＲ：ＲＱ＝９：２、ＡＲ＝２７／１１
ですね。素直に#49580と同じやり方です。

(#49573)マサルさん
こういう「高校での数学が必要ない問題」って、受験生には誰でも解ける
サービス問題（解けないとアウトともいえるけど）なんでしょうか？
　　 10月1日（木） 12:01:56　　 　　49589
しおぱぱ
とにかく正確な図を描いてみたら９：２がでました。
　　 10月1日（木） 12:43:12　　 　　49592
蜻蛉
座標から計算しました。どれとどれがどういうふうに相似なのか混乱しまくりで図形的にやれませんでした……
　　 10月1日（木） 13:58:53　　 　　49593
かっちゃん
△ＯＡＭと△ＭＡＨと△ＭＰＱが相似より，メネラウスの定理で計算しました
　　 10月1日（木） 16:59:50　　 　　49594
吉川　マサル
#49589 そうは言えない気がします。数学が得意な子はともかく、平均的な大学受験生は、中学受験生や高校受験生にこの手の問題では負けているケースが多い気がします。
Mac　　 10月1日（木） 17:06:03　　 HomePage:算チャレ　　49595
スモークマン
気づくの遅すぎ...^^;
相似な△、２通りから...
QP=2/3
MR:x
RP:y
x+y=1
3/(2+x)=(2/3)/y
9y=2(2+x)=2(2+1-y)
11y=6
so...BR=1+6/11=17/11♪

幾何は気付ければ(これが慣れなのか、才能なのか ^^;)本当に計算が少なくて嬉しいものです ^^
　　 10月1日（木） 17:37:55　　 　　49596
にこたん
大学の課題が大変で、余裕が無く、座標でやりました。
余裕があっても、大して変わらないかも(汗
超ど田舎　　 10月2日（金） 22:01:02　　 　　49597
みかん
(#49595)マサルさん
「某大学の数学選抜」、大学が問題をホームページで公表していたので実物を
確認しました。入試では図が与えられていませんが、特に解法の誘導はありませんね。
掲示板では「座標で解いた」という書き込みも見られるので、数学が得意な受験生は
「数学らしい解法」に頭が向きやすいかもしれません。

就活でも「算数的問題」の対策に苦労する人は多いようです。「小６でも解ける」
というのは知ったほうがいいのか、知らないほうがいいのか・・・。
算数の範囲で処理できる問題に限れば、子どもの方があっさりクリアしそうです。
　　 10月3日（土） 13:13:41　　 　　49598
くらげ
今回の問題は特に面白かったです。
　　 10月6日（火） 16:32:48　　 　　49599
だいすけ
超久々にリアルタイム参加、と思ったら出題されず無念・・・
京都　　 10月8日（木） 0:12:18　　 　　49600
だいすけ
超久々にリアルタイム参加、と思ったら出題されず無念・・・
京都　　 10月8日（木） 0:12:24　　 　　49601
紫の薔薇の人
F5押す　カウンタ増える　一人だけ
今日はお休みかな。
　　 10月8日（木） 0:16:39　　 　　49602
おすまん
マサルさんもボランティアですからね♪　
適当に過去問を見繕って勉強します！

もしくは、賢人の誰かが代わりに出題されるのかもしれませんね！
somewhere in the world　　 10月8日（木） 0:39:46　　 　　49603
Mr.ダンディ
今日は休みになりそうですね。
最近面白い問題をみかけたので紹介してみます。（暇つぶしになれば幸いです）
【問題】
流れのないところで進む速さが一定のボートがあります。このボートが、ある
川の上流へ向かって進んでいます。途中、ボートに乗っている女の子のぼうし
が川に落ちて下流へ流されていきました。ぼうしを落としてから10分後にボー
トの進行方向を変え、ぼうしを追いかけたところ、しばらくして追いつくこと
ができました。ぼうしに追いついた地点は、ぼうしを落とした地点から1km下
流のところでした。この川の流れの速さは毎時何kmですか。ただし、進行方向を変えるときの時間は考えないものとします。
　　 10月8日（木） 1:03:10　　 　　49604
ベルク・カッツェ
ボードが10分進んで10分戻ったので20分。それで1ｋｍ流されたので時速3ｋｍでしょうか。
　　 10月8日（木） 1:12:18　　 　　49605
「数学」小旅行
帽子に対するボートの相対速度は船の速さに他ならないので10分間で
離れた距離は10分間で戻れる距離だということですね。
　　 10月8日（木） 12:05:05　　 　　49606
マサル
すみません、お休みにさせていただいたのですが、日付を間違ってました。m(_ _)m　いま、訂正させていただきました。申し訳ありません。
iMac　　 10月8日（木） 12:21:25　　 HomePage:算チャレ　　49607
紫の薔薇の人
同じ現象を、最初、帽子からの相対座標系で見て、絶対座標系に読み替える問題。船の速さには依らない。
　　 10月8日（木） 18:09:23　　 　　49608
紫の薔薇の人
私の受験時代にはなかった某書のパクリ。（40歳未満は通過済み？）
どの３つの対角線も１点では交わらない凸10角形の全ての対角線を結んだ図形がある。
この図形の”辺”（隣り合う「10角形の頂点」または「対角線の交点」を両端とする線分）は何本でしょうか？
4角形＝＞8本
5角形＝＞20本
　　 10月8日（木） 18:37:33　　 　　49609
吉川　マサル
本日、どなたか分かりませんが、算チャレを見てカレー屋さん（東京コロンボ）に行ってくださった方がいらっしゃったようです。本当にありがとうございました！（美味しいでしょう？＞その方）
Mac　　 10月8日（木） 18:56:29　　 HomePage:算チャレ　　49610
スモークマン
#49604 ボート
頭固くて...やっとわかりましたわ ^^;v
川の速さ：x
ボートの速さ：y
帰りの時間=(10x+10(y-x)/(y+x-x)=10分 !なのねぇ!
so...
1km/20分=3km/h になるのですねぇ ^^

#49609 対角線
今までに算チャレにも出題されてた気がしますが...

対角線の数...10C2-10=45-10=35
交点の数...10C4=10*9*8*7/(4*3*2)=210個
交点1個で線分+2なので...
so...35+2*210+10=465本

ちなみに...
5角形...
対角線：5C2-5=10-5=5
交点：5C4=5
so...5+2*5+5=20本

#コロンボ
カレー大好きなので、上京できるようになった折りは　是非ともお邪魔させていただきとうございます♪
　　 10月8日（木） 20:48:28　　 　　49611
Mr.ダンディ
ベルク・カッツェさん、「数学」小旅行さん、紫の薔薇の人さん、スモークマンさん
取り組んでいただき有難うございます。
私は初め　川の速さ、静水でのボートの速さを　文字で置いて式をたてて　解いたのですが
よく考えてみれば　静水での速さは川の水に対する速さのことだから（みなさんが説明されておられる通り）
帽子から見れば　離れていく速さも近づいてくる速さも同じとなり　離れる時間と近づいてくる
ときの時間も　10分と気づき　3ｋｍ/時でいいと判断しました。
数学がある程度できると　すぐに方程式に飛びつきがちですが　、視点を少し変えるだけで
簡単に解ける問題があるものだとが感心し　紹介させてもらった次第です。
みなさんにとっては　暇つぶしにもならなかったようですね。　さすがです。
　　 10月8日（木） 22:01:54　　 　　49612
おすまん
#49604 Mr. ダンディさま

催促したようでございましたね (^^;
トライします！！

somewhere in the world　　 10月8日（木） 22:05:37　　 　　49613
ベルク・カッツェ
>49609
辺と対角線が10×9÷2＝45、
交点が、10個の点から4点を選ぶごとに1つできるので10×9×8×7÷（4×3×2×1）＝210
交点1つで線分が2つ増えるので、45+210×2＝465本となりました。
　　 10月10日（土） 0:16:53　　 　　49614
ベルク・カッツェ
#49609
間違って　#　を　>　にしてしまいました。
　　 10月10日（土） 0:18:28　　 　　49615
ベルク・カッツェ
#49612
動かない帽子を同じ速さで取りに戻るだけなのが、流水算に惑わされると難しくなってしまいますね。算数の面白いところだと思います。
式を立てれば川の流速が消去できるのは数学の優れたところですね。
　　 10月10日（土） 0:25:34　　 　　49616
ベルク・カッツェ
連投になってしまってすみません。
Mr.ダンディさん、紫の薔薇の人さん、出題ありがとうございました。
　　 10月10日（土） 0:27:45　　 　　49617
紫の薔薇の人
スモークマンさん、ベルク・カッツェさん正解です。

算チャレの過去問とは知りませんでした。

模範解(パクリ元の解)
交点の数　10C4＝210
各辺の両端に内向きの矢印をつけて、矢印の合計を2で割る。
(9*10+210*4)/2＝465

これは、少し技巧的かなと思ったので、皆さんどう解くのか見てみたいと思いました。

私の泥臭い解
各頂点から出ている各対角線上の辺の数を合計して2で割り、10角形自身の辺を足す。
{(1*7+1)+(2*6+1)+(3*5+1)+(4*4+1)+(5*3+1)+(6*2+1)+(7*1+1)}*10/2+10
=91*10/2+10
=465

/2は対角線をダブルカウントしているからだけど、
4点で決まる交点について4倍カウントしたのを2で割っているのだから、
{(1*7)+(2*6)+(3*5)+(4*4)+(5*3)+(6*2)+(7*1)}*10/2
がスモークマンさんの交点の数*2にあたり、

残りの、+1部分は対角線数のダブルカウントだから
{(+1)+(+1)+(+1)+(+1)+(+1)+(+1)+(+1)}*10/2
がスモークマンさんの対角線の数にあたるのか。

ベルク・カッツェさんの解も切れ味いいですね。

＞交点1つで線分が2つ増えるので

そうやって考えれば、早かったのか。
　　 10月10日（土） 2:06:29　　 　　49618
Mr.ダンディ
#49609の紫の薔薇の人さんの問題
ベルク・カッツェさんの#49616 と同様に解きました。
#49609の問題で「2か所だけ3本の対角線が1点で交わっていたとすると何本に
なるか」とするのも　発展問題としてありですねとする。
　　 10月10日（土） 10:33:42　　 　　49619
Mr.ダンディ
#49619の最後
「・・・発展問題としてありですね」のミスです。
　　 10月10日（土） 10:36:12　　 　　49620
紫の薔薇の人
#49619

＞「2か所だけ」3本の対角線が1点で交わっていたとする

3本の対角線が1点で交わっていないとする局所図から、
一本の対角線が他の対角線の交点に近づいて行って
3交点が1点に縮退する構図を考えると、
局所的に
面が-1、辺が-3、点が-2が起きることになるから、

2か所で起きているならば、辺の数は、465-3*2=459になりそうだけど。

わざわざ2か所と書いてあるのは、もしかして、
3本の対角線が1点で交わる事象が起きるときには、他でも起きているよ
とかの話しがあるのでしょうか？

オイラー的にはΔv-Δe+Δf＝0で調和保たれるから、３重点1か所でも矛盾なさそうに感じちゃうが、
ある3重点で何らかの指標が+1したら、別の3重点でその指標が-1する必要がある関係にあるとか？
　　 10月11日（日） 3:58:12　　 　　49621
Mr.ダンディ
#49621紫の薔薇の人　さん
私も同じ答え(459通り)になりました。
1か所で3つの交点が1つになるので、3本の対角線が集まる交点が　2個
2本の対角線が交わる点が　210−3ｘ2＝204個となることより
45+2ｘ3+204ｘ2＝459
としました。
紫の薔薇の人さんのように　2カ所において辺が　3本ずつ減少するから
465-3*2=459　とするほうがスマートですね。(勉強になりました）

＞「わざわざ2か所と書いてあるのは・・」については何の根拠もなく2カ所に
しただけです
はじめは　1カ所が　3本の対角線が1点交わり、1カ所は4本の対角線が1点で
交わり・・としようとしたのですが気がかわったまでです）。
（単なる思い付きで余分なことを考えさせたようで申し訳ないです）
　　 10月11日（日） 17:56:08　　 　　49622
ベルク・カッツェ
#49622
４本の対角線が１点で交わる場合、4×3÷（2×1）＝6個の交点が一つにまとまる訳ですね。
バラバラなら各交点がそれぞれ2本の線分を2分割するので2×6＝12本線分が増える。
一つになると、4本の線分を2分割するだけなので線分は4本しか増えない。
よってバラバラの場合に比べて線分は8本減るということでよろしいでしょうか。
　　 10月12日（月） 0:39:27　　 　　49623
Mr.ダンディ
#49623
その考え方　及び「8本減るということ」で正しいと思います。
また
どれもが平行でない4直線を描いたとき6つの交点ができますが、それら6つの
点を結ぶ線分が　8本できています。
その6点が1点で交わるように直線が移動したとき、その8本の線分が　なくな
るのでバラバラの場合に比べて線分は8本減る。
としてもいいと思います。
　　 10月12日（月） 1:07:01　　 　　49624
今年から高齢者
遅ればせながら、#49609。第935回問題と類似でした。
一般解：(nC2)+2*(nC4)
　　 10月14日（水） 22:23:28　　 　　49625