吉川　マサル

あの....上位の方が非常に早いのが気になるのですが、これって有名問題なんでしょうか？それとも簡単すぎでしょうか？（いえ、難問とは思っていませんでしたが、標準的な問題くらいに思っていたもので）

PowerBook　　 9月20日（木） 0:06:30　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30752

きょろ文

前回の問題に微妙につながってる？？

√2の隣　　 9月20日（木） 0:07:49　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30753

ミキティ

簡単なんでしょうけど、計算が遅かったです……。 正ｍ角形、正ｎ角形として、 360−180(m-2)/m−180(n-2)/n＝60 (m-6)(n-6)＝36 m＝7, n＝42 (またはその逆)

9月20日（木） 0:08:13　　 　　30754

Holly

n角形,m角形として 360/n+360/m=60 6/n+6/m=1 n+m が最大になるのは n=7,m=42(またはその逆) ----- 今回もそうなのですが、最近、正しい解答を送った後で、勘違いして慌てて誤った解答を送ってしまう事があります。 マサルさん、お手数お掛けして大変申し訳ありません。今後気をつけます。

9月20日（木） 0:10:15　　 　　30755

ちゃーみー

この問題自体は初めて見ましたが，「外角の和が 60°」 に相当する 立式さえできればあとは典型的な問題かなぁ。暗算でできました。

自宅　　 9月20日（木） 0:10:57　　 MAIL:ojamaru@amber.plala.or.jp 　　30756

きょろ文

1/n+1/m=1/6を満たすm+nが最大となる整数の組み合わせ 一番近い1/7を引けば一番いいかなと思ってやったらあたりました

√2の隣　　 9月20日（木） 0:11:03　　 MAIL:kyorofumi@msn.com HomePage:きょろ文ランド　　30757

むらい

#30752 私は勉強不足につき初見の問題でした。 外角の和が60度になる組み合わせを考えました。 ア…６以下はありえないので、７としたらアの外角は360/7 たして60度になるには、イの外角は60/7＝360/42 なので　42角形 ア＋イ＝49

およそ東経約140度くらい　　 9月20日（木） 0:11:12　　 　　30758

みかん

正○角形、正☆角形と置いて、 （３６０÷○）＋（３６０÷☆）＝６０ ただし、○と☆は６より大きい。 割り切れる８から順に調べていって○と☆の和が徐々に小さくなるのを確認して、 ８＋２４＝３２で送信したら沈没。そうか、割り切れなくてもいいのかと 考え直して７＋４２＝４９に考えが行きました。

9月20日（木） 0:13:57　　 　　30759

ミキティ

外角で計算するのが常識なんすね。 そりゃダメなわけだ……。＼(^o^)／

9月20日（木） 0:15:00　　 　　30760

呑ちゃん

#30752 ピタゴラスさんが教えてくれました。

酔っぱらい天国　　 9月20日（木） 0:15:39　　 MAIL:hopes@mba.ocn.ne.jp HomePage:HOPESよいとこ一度はおいで　　30761

banyanyan

私も３２で沈没していましたorz。

京都市　　 9月20日（木） 0:16:44　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30762

カノン

方程式を使わずに表をひたすら書いても10分でできました。 まさかn=7とは予測できませんでしたが。。

9月20日（木） 0:24:50　　 　　30763

小西孝一

これは、簡単でした。めずらしく、起きてました。

ど田舎　　 9月20日（木） 0:25:35　　 　　30764

小西孝一

既出ですが、外角を考えて (m-6)(n-6)=36 を満たす最大のものですよね。

ど田舎　　 9月20日（木） 0:28:01　　 　　30765

tl

#30753　＃30757 これは、すごい洞察ですね。意図的な出題でしょうか。

9月20日（木） 0:30:43　　 　　30766

スモークマン

#30754 ミキティさんと同じです♪ 前回のと絡んでますね。。。 1/2+1/3+1/7=(1-1/6)+1/7=1-1/42 1/6=1/7+1/42

金光＠岡山　　 9月20日（木） 0:34:03　　 　　30767

小西孝一

ちょっと片付けをしていた時にビデオを多量にぶっちゃけて、整理してたので 参加が遅れてしまった。orz それにしても、マサルさん私のＯＳでは#xxxxxをクリックすると エラーが発生しましたで、ＰＯＰＵＰしてくれません。 確か、ＳＰ２をインストールしてからこうなるんですが、 javascriptをどうにか、私の環境でも働くようにできませんか？ おねがいします。m(__)m

ど田舎　　 9月20日（木） 10:13:01　　 　　30768

みかん

#30759　に追加。 式の条件として「○と☆は６より大きい整数」というのが必要でした。 考えられる（○、☆）の組み合わせは、順序を考えなければ （７，４２）、（８，２４）、（９，１８）、（１０，１５）、（１２，１２）の５組しかないわけですね。 整数条件の方程式で手ごろな問題なので、有名問題なんでしょうか？ 高校入試あたりでも使えそう。

9月20日（木） 0:41:01　　 　　30769

小西孝一

マサルさん寝たの？じゃ私も寝るか。

ど田舎　　 9月20日（木） 0:48:02　　 　　30770

吉川　マサル

#30768 　えと、申し訳ありませんが、当方Mac使いでして、Windowsは滅多に使わないもので状況がよく分からないのです...。ちなみにお使いのOSは、WindowsXPですかね？（Home? Professional? どちらでしょう？）SP2というと、リリースはずいぶん前かと思いますが、最近インストールした、ということでよろしいでしょうか？ # 他の参加者の方へ 　Windowsをお使いの方で、小西孝一さんと同様の症状を体験されたことのある方がいらっしゃれば、お知恵を拝借できれば幸いなのですが..。

iMac　　 9月20日（木） 0:58:18　　 MAIL:masaru-y@sansu.org HomePage:算チャレ　　30771

小西孝一

あ、マサルさん起きてた。 ＯＳはWindowsXPHomeEditionです。 もう、少なくても３年いや、４年くらいかな？は経ちますね。 ずっと、我慢してました。 ＩＥのインターネットオプションで色々セキュリティをあまく してみたり、ググって調べて色々試したのですが、 どうしても変らず、もう、javascriptを全部のＯＳに有効なように してもらうしかないのだろうという結論に達しました。 そうですか、Ｍａｃですか、私も本当はＭａｃ派だったのですが、 多数派に負けました。 ＳＥ／３０だけは未だに宝物です。

ど田舎　　 9月20日（木） 1:13:54　　 　　30772

小西孝一

限界がきました。おやすみなさい。Zzzzz

ど田舎　　 9月20日（木） 1:22:51　　 　　30773

ダンディ海野

外角からじゃなく内角から式を作ったおかげで、計算ミス ｍｎ＝6ｍ＋6ｎ まで出してから　(ｍ−6)(ｎ−6)＝36 に変形することも思いつかず、力ずく。 だいぶ、頭がかたくなっとる！

9月20日（木） 2:28:33　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30774

ayaka

私は、ミキティさんと同じ考えでした。 片方が6角形の時は、もう一方の内角が180°になるので、7角形から11角形にして、7角形の時が成り立てばいいことに気づきました。 そうすれば、(7，42)で満たすことがわかりました。 (5/7)+(40/42)=(5/7)+(20/21)=(15+20)/21=35/21=5/3 ですね。 このあたりは少しずるしてラジアン単位を利用しました。

地上の楽園でもないな〜　　 9月20日（木） 1:36:10　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30775

ayaka

#30758、#30761 私も最近同じような事態が来ました。 ブロックのところで、ポップアップを許可するにすれば、ブロックされることはなくなると思いますが… ちなみに、私の症例は上記で解決しました。

地上の楽園でもないな〜　　 9月20日（木） 1:41:51　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30776

ayaka

また間違った、番号 #30768、#30771 ですね

地上の楽園でもないな〜　　 9月20日（木） 1:42:47　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30777

ayaka

ここに参考がありますよ http://www.citibank.co.jp/ja/popup/citibankonle/info/sign-on_screen_non-display.html

地上の楽園でもないな〜　　 9月20日（木） 1:44:52　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30778

ayaka

でも、考えたら、(2/ア)+(2/イ)=1/3を使った方が早かった。 気づくのが遅いわ!

地上の楽園でもないな〜　　 9月20日（木） 1:51:33　　 MAIL:jjyhr530@yahoo.co.jp 　　30779

tomh

過去ログ、復活してますね。 マサルさん、お疲れ様でした。 (^.^)

新潟市　　 9月20日（木） 2:11:18　　 MAIL:tomh@yahoo.co.jp HomePage:H to M　　30780

小西孝一

お早うございます。早すぎ？ #30776 ayakaさん うちは、ポップアップブロックー＞ポップアップブロックを無効にする をやったのですが、ダメです。(T T)

ど田舎　　 9月20日（木） 5:24:00　　 　　30781

小西孝一

ねんにはねんで再起動してみました。ポップアップブロックは無効に なっています。 しかし、やっぱりダメだ〜。・(ノД`)・。

ど田舎　　 9月20日（木） 5:45:23　　 　　30782

小西孝一

ayakaさん http://www.citibank.co.jp/ja/popup/citibankonle/info/sign-on_screen_non-display.html も見ました。 うちのＩＥは６を更新したので７かな？ で、やっぱりダメみたい〜。・(ノД`)・。

ど田舎　　 9月20日（木） 6:02:24　　 　　30783

小西孝一

Windows XP Service Pack (SP2) のInternet Explorer 7 だと思います。 どなたか同じ環境の方いませんでしょうか？

ど田舎　　 9月20日（木） 6:04:10　　 　　30784

小西孝一

よく考えたら算数板で聞くようなことじゃないですね。 外の板をあたってみます。 でも、万一ご存知の方がいらっしゃったら、ご一報お願いします。m(_)m

ど田舎　　 9月20日（木） 6:09:37　　 　　30785

mhayashi

#30785 http://www.sansu.org を「信頼済みサイト」ゾーンに追加されては？

関西　　 9月20日（木） 8:38:54　　 HomePage:M.Hayashi's Web Site　　30786

小西孝一

mhayashiさん 許可されたサイトに追加しました。 でも、ダメでした。 レスありがとうございました。

ど田舎　　 9月20日（木） 8:52:10　　 　　30787

小西孝一

インターネットオプションー＞セキュリティー＞信頼済みサイトに 追加しました。 下の私のとは、別でしたね。 でも、ダメでした。(T T)

ど田舎　　 9月20日（木） 8:57:33　　 　　30788

ダンディ海野

どうでもいいことなんだけど。（算数から外れます） ｍｎ＝Ｋ(＞0:一定)のとき、ｆ(ｍ)＝ｍ＋ｎ　とすると、ｆ(ｍ)＝ｍ＋Ｋ/ｍ 微分して増減表を書いてみると ｍ＞0 の範囲では、ｍ＝√Ｋのときに、ｆ(ｍ)は最小値をとり 　　　　　　　　　ｍが√Ｋ から離れるほど,ｆ(ｍ)は大きくなります。 すなわち、「２数(＞0)の積が一定のときは、小さいほうの数が小さいほど和は大きくなる」がいえます。 今回の場合、（ｍ−６)(ｎ−６）＝３６　から求める場合だと 「最大の ｍ+ｎ⇔ 最大の (ｍ-6)+(ｎ-6) 」 だから ｍ＜ｎ, 36=1*36　として、ｍ−6＝１　ときだけ計算すれば十分。 直感的には当然のようだし、こんなことを考えているうちに全てのパターンが計算できてしまいます。 ・・・ほんの数式のお遊びでした。・・・

9月20日（木） 9:59:33　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30789

25no12

m角形とn角形として、1/m+1/n=1/6を導いて解きました。真中（m=n）の12角形が例ででてるし、最大は端っこ（mが最大、nが最小）だろうと思いましたが、順番に(m,n)すべての場合を数え上げました。それでも5通りしかないので、簡単ですね。 ダンディ海野さんがおっしゃる通り、「こんなことを考えているうちに全てのパターンが計算できてしまいます」となりそうだと直感的に思ったので、迷わず数え上げ。 (m-6)(n-6)=36への変形は全く気づきませんでした。 むしろ、逆数の和ということで、他の方も指摘している通り、前回の問題に通じるなぁと思いつつ解きました。

9月20日（木） 11:05:30　　 　　30790

難波

ｍ<=ｎとする。このときｍ>=７ 正三角形→正方形→正五角形→正六角形→…と１辺の数を増やしていくと、 正三角形の１角＝60°→正方形の１角＝90°→正五角形の１角＝108°→正六角形の１角＝120°→…と角度は増えていくがその『増え方』は減っていく。 （ｍ、ｎ）、（ｍ'、ｎ'）が正三角形がつくれる条件を満たしｍ＜ｍ'とすれば　ｍ＜ｍ'＜ｎ’＜ｎ 『ｍ→ｍ’への角度の増分』＝『ｎ’→ｎ’への角度の増分』であり先に述べた角度の『増え方』を考えると　ｍ’−ｍ＜ｎ’−ｎ　 すなわち　ｍ＜ｍ’ならば　ｍ＋ｎ＞ｍ’＋ｎ’ よってｍを小さく考えればよい。 ｍ＝７のとき題意を満たすｎ＝42が存在するので求める答えは49

9月20日（木） 11:08:13　　 　　30791

難波

↓『ｍ→ｍ’への角度の増分』＝『ｎ’→ｎ’への角度の増分』ではなく 　　『ｍ→ｍ’への角度の増分』＝『ｎ’→ｎへの角度の増分』 　　でした。

9月20日（木） 11:11:49　　 　　30792

uchinyan

はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．． うーん，文字式を使ったりで純粋な算数の解法は分かりませんでした。数学ですが，一応。 それぞれ，正ア角形，正イ角形の外角 360/ア，360/イ を考えると，題意から， 360/ア + 360/イ = 60 1/ア + 1/イ = 1/6 です。ここで，対称性より ア >= イ > 0 の整数としていいですが，1/ア = 1/6 - 1/イ > 0 より，ア >= イ >= 7 です。 式を変形すると， ア * イ - 6 * ア - 6 * イ = 0 (ア - 6)(イ - 6) = 36 そこで，36 の正の約数を考えて， (ア,イ) = (42,7), (24,8), (18,9), (15,10), (12,12) になります，そこで，ア + イ の最大は 42 + 7 = 49 です。 算数解法は，掲示板を読んで勉強します (^^;

ネコの住む家　　 9月20日（木） 11:14:13　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30793

タカフミ

外角に持ち込みました。

9月20日（木） 11:21:24　　 　　30794

uchinyan

掲示板を読みました。 が，結局は 1/ア + 1/イ = 1/6 と等価な式を導き出す解法が多いようで，あまりうまい算数解法はなさそうですね。 #30752 ＞上位の方が非常に早いのが気になるのですが、これって有名問題なんでしょうか？それとも簡単すぎでしょうか？ 少なくとも私は初めて見ました。ただ，正多角形で平面を埋め尽くすという有名問題の類題ではありますね。 簡単すぎ，ということもないと思いますが．．． #30763(，#30775) ＞方程式を使わずに表をひたすら書いても10分でできました。 なるほど，算数としては，これが素直で着実だし一番いいかもしれないな。 #30753，#30766，#30767 ふむ，偶然だとは思いますが，確かに，前回の問題の顔ぶれが再登場か．．． #30789 すごく直感的には，相加相乗平均から明らかっぽいかな。 まぁ，確かに今回の問題にはあまり必要ないですが，入試の穴埋め問題対策には効果ありそう。 #30796 ＞思いっきり数学を使っているような気がしますが、算数風に解法を書いてみました。 う〜ん，文字の入ったこれだけ複雑な式だとやはり数学だと思います．．． また，数学としても，皆さん書かれているように，外角を使った方が簡単ですね。 #30798 これは一応算数の範囲かな，とも思いますが，考え方が少し面倒に思いました。 図的考察から，アの方がイより小さいとして構わないのと，明らかにアは正6角形以下はダメで正7角形以上正12角形以下なので， ア = 7, 8, 9, 10, 11, 12 を試して表を書く方が，より算数らしいと思いました。要するに，#30763の考え方ですね。

ネコの住む家　　 9月20日（木） 14:33:10　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30795

abcba

思いっきり数学を使っているような気がしますが、算数風に解法を書いてみました。 ア角形、イ角形として、180×(((ア-2)/ア)+((イ-2)/イ))=300, アを3の倍数と仮定します。 ((ア-2)/ア)+((イ-2)/イ)=5/3となるようにします。 アを3で割った数を、あ、とします。 ((3×あ-2)/3×あ)+((2×あ+2)/3×あ) 上から、6×あ/(あ-2)は6より大きくなるので、 最大の場合は、6×あ/(あ-2)＝7、よって、あ=14。 (5/3)=(40/42)+(30/42)=(40/42)+(5/7) 42+7=49 と解きました。

9月20日（木） 12:00:21　　 　　30796

uchinyan

#30748 25no12さん，先週の問題に関し，一般化の証明の紹介，ありがとうございます。ややこしそうですが，時間を見つけて読んでみますね。 小西さんへ： 私は，WindowsXP SP2 + IE6ですが，何の問題も発生していません。IE7とWindowsXP SP2との相性問題なのでしょうか？ もし可能ならば，IE6に戻してみる，というのも試されたらどうでしょうか？ IE7のFAQはこちら http://www.microsoft.com/japan/windows/products/winfamily/ie/iefaq.mspx こんな記事もあるようです。 Windows XP SP2 向け Windows Internet Explorer 7 http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyId=9AE91EBE-3385-447C-8A30-081805B2F90B&displaylang=ja わざわざ「Windows XP SP2 向け」とあるぐらいだから，IE7とWindowsXP SP2の相性はよくないのかもしれません。

ネコの住む家　　 9月20日（木） 14:36:57　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30797

Yoshi

外角の和が60度なので、360÷ア＋360÷イ＝60 360の約数を書き出して、外角の和が60になる組み合わせを探すと、 (ア,イ)＝(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)が見つかります。 和はこの順で小さくなっていきます。 外角は整数でなくてもいいとすると、和がなるべく大きくなるには アは6と8の間ということになるので、7とわかります。 60-360/7=60/7なので、分子を360に直すと360/42で、イは42となります。 だから答えは、7+42=49 式変形をして解くのは、どんなに算数っぽく書いても数学だと思います。

9月20日（木） 14:07:04　　 　　30798

小西孝一

uchinyanさん どうやっても無理なのであきらめました。

ど田舎　　 9月20日（木） 14:36:06　　 　　30799

名無しさん

#30798 ここは、算数にチャレンジですが、数学を使おうが、プログラムを 組もうが、山勘に頼ろうが、認証に頼ろうが、その人の自由なので 解き方については、黙認すべきだと思います。

不明　　 9月20日（木） 14:43:06　　 　　30800

banyanyan

#30798 ３６０÷６０＝６　→　正六角形 ３６０÷（６０÷２）＝１２　→　正１２角形 ６より大きく１２以下（７，８，９，１０，１１，１２）をしらみつぶしに調べていく方法は 別に算数としておかしいことではないと思いますが…… 私は３６０の約数だという思い込みで７と１１を排除して落とし穴にはまってしまったので えらそうなことは言えませんが(￣∇￣;)ハッハッハ

京都市　　 9月20日（木） 16:26:42　　 MAIL:banyanyanmi@yahoo.co.jp HomePage:明るい家族計画−算数　　30801

ｔｋ

#30799 IEに思い入れがあって、どうしてもIEじゃなければダメというのでなければ、他の無料のインターネットのブラウザを試してみては？ 根本的な問題は解決しませんが。

物読み小屋　　 9月20日（木） 16:47:02　　 　　30802

Yoshi

#30800 名無しさん、数学だからいけないとは言っていませんよ。 ただ、算数ではないと思っただけです。 解き方はいろいろでいいと思います。

9月20日（木） 16:47:15　　 　　30803

小西孝一

tkさん 有難うございます。 でも、いいんです。今までずっと我慢してきたし、ログは出尽くした後で見ればいいし。 他に勉強しなきゃいけないこともいっぱいあって、ぶっちゃけ あまり、ここ見て無いし（汗 レス有難うございました。（ペコリ

ど田舎　　 9月20日（木） 17:01:11　　 　　30804

uchinyan

#30804 ＞他に勉強しなきゃいけないこともいっぱいあって 同感．．．

ネコの住む家　　 9月20日（木） 18:19:46　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30805

SEMTEX

360/ア + 360/イ = 60で調べました ７に気付くのが遅かったorz

9月20日（木） 18:50:41　　 　　30806

なか

私も　1/a + 1/b = 1/6 を解きました。 実際の図は、円と７角形に挟まれた正三角形に見えます。 http://www3.sansu.org/tables/san566_49.gif

北国　　 9月20日（木） 20:42:54　　 MAIL:naka@sansu.org HomePage:naka's Home Page　　30807

圭太

サーバーダウン（9/21/am２：１５分ごろ） cgiでなにかやらかした？＾＾；＞マサルさん

アルビレックス　　 9月21日（金） 2:26:52　　 HomePage:圭太の研究所　　30808

アイス

2つの多角形の角の和が300度になればよいわけですね。 で調べてみたら正7角形と正42角形の時が題意を満たしました。 それにしても正42角形ってどんな物なんでしょうね。

9月21日（金） 20:57:16　　 　　30809

吉川　マサル

テスト

かいしゃ　　 9月21日（金） 22:33:38　　 HomePage:算チャレ　　30811

吉川　マサル

#30808 　いえ、何も。(^^; 　サーバのログを見てもそれらしき部分がなかったので管理会社に聞いてみました。おそらく電源まわりのトラブルだろうとのことです。再度発生するようならばサーバ交換になる、とのことでした。

かいしゃ　　 9月21日（金） 22:33:42　　 HomePage:算チャレ　　30812

ダンディ海野

今回の問題についての議論も一段落したところで、暇つぶし問題を１つ。 [問題] ある１０進数が２の倍数であるかは、２で割らなくとも明らか。 では、ある２進数が十の倍数であるかを、１０進数に直さずに見分ける方法は？ （２進数どうしの加減は出来るとします） こういう問題をつくってみたのですが、皆さんならどうされますか？ （いろいろな方法が出てくるかな？）

9月22日（土） 15:10:20　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30813

doba

#30813 ダンディ海野さん 十の倍数＝二と五の倍数であり、二の倍数かどうかは 二進法で一番下のケタが0かどうかを見ればよいので、 あとは、五の倍数の見分け方ですね。 例えば、次のような考え方はどうでしょう。 （以下、数字は全部二進数です。） 与えられた二進数を、下から二桁ずつに区切ります。 それを、右からでも左からでもよいですが、交互に符号を入れ替えて足していきます。 （つまり、xx−xx＋xx−xx＋…というように、引くと足すを交互に繰り返します。） その結果から符号を取ったものが三桁以上ならば、同じ操作を繰り返します。 最終的に0になれば、与えられた二進数は101（＝五）の倍数です。 例えば、111001001111001001101100110 であれば、 1/11/00/10/01/11/10/01/00/11/01/10/01/10 と区切って、 1-11+00-10+01-11+10-01+00-11+01-10+01-10＝-1010 符号を取って四桁なので、さらに 10/10 と区切ると 10-10＝0 なので、五の倍数と言えます。 これは、十進法の十一の倍数の判定法を、四進法に応用して、 それを二進数で表現しただけです。

9月22日（土） 16:42:44　　 　　30814

25no12

#30813ダンディ海野さん 以下、出題者の表記に従って、特に断らない限り2進数で表記、漢数字は十進数とする 明らかに、 十で割り切れる⇔二つの素数二と五で割り切れる・・・（Ａ） 二で割り切れる⇔1の位が0である・・・（Ｂ） 五で割り切れる条件について考える 五の二進数表記は101 1111=101*11より、1111は五の倍数 1+1111=10000より、 10000≡1 (mod 101) よって、ある二進数Ｎについて、 Ｎ’=四の倍数の桁の合計×1000+四で割って三余る桁の合計×100+四で割って二余る桁の合計×10+四で割って一余る桁の合計 とすると、 Ｎ’≡Ｎ (mod 101) さらに、Ｎ-101×n≡Ｎ (mod 101)なので、計算を簡単にするため、Ｎ’の計算に先立ち、飛び石で二つ並んだ1をすべて取り除く（二通り以上の取り除き方がある場合があるが、どちらでもよい） この操作で0となる場合は五の倍数・・・（Ｃ） 計算されたＮ’について、上記操作を繰り返すことにより、五の倍数であるか判定できる （Ｂ）と（Ｃ）から、十の倍数であるか判定する 分かりにくいので、例えば・・・ Ｎ=110010　（十進数の50）のとき、Ｎ’=0×1000+0×100+(1+1)×10+1=101 （Ｃ）の操作で飛び石の1が取り除けて0となるので、五の倍数 また、1の位が0なので（Ｂ）より二の倍数 よって、（Ａ）から、Ｎは十の倍数 dobaさんのやり方はシンプルでいいですね−。 こちらは足し算だけでできるのが「強み」といえるか・・・。

9月22日（土） 17:22:18　　 　　30815

uchinyan

#30813他 私が思い付いた解法は，dobaさんの#30814と同じでした。 要するに，2^(2n) = 4^n = (5 - 1)^n = (5の倍数) + (-1)^n の利用ですね。 10進法の場合の倍数の判定法で使う手法の自然な延長で考えられるので，考えやすいと思います。

ネコの住む家　　 9月22日（土） 18:33:44　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30816

ダンディ海野

dobaさん,25no12さん,uchinyanさん、早速の回答有難うゴザイマス。 私の想定していたのは、dobaさんの#30814と同じものでした。 ただし、私も説明にはそう書き 「実際に計算をするときは、偶数番目のブロックと奇数番目のブロックに同じものがあれば消去（00にする）、 もしくは和が同じものが作れればセットで消去（00にする）していき、最後に０ばかりになれば楽に出来る。」 ・・・との注釈を入れるつもりでした。 25no12 さんの#30815 ですが、位を４桁ずつ下げていくという考えですね。 ２^4−１＝１５より、１０進法での９や 99の倍数の倍数の見分け方と同じ要領でですね。 ならば、下位から４桁ずつのブロックに分けて、その和を求めるとしたら表現がすっきりするように思えました。 それから、25no12 さんの説明の中の「１つ跳びの２つの'１'はすべて０にしてしまう」というのは、どの方法 でも初めにこれをしておけば、楽にできることになりますね。Ｇet！

9月22日（土） 19:55:43　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30817

小西孝一

うんうん、みんな頑張ってる。関心関心。

ど田舎　　 9月22日（土） 20:53:07　　 　　30818

ダンディ海野

#30818 こういうのは、感心しない感心しない。

9月23日（日） 18:43:05　　 MAIL:cacrh525@hcn.zaq.ne.jp 　　30819

25no12

#30817 ダンディ海野さん ＞下位から４桁ずつのブロックに分けて、その和を求めるとしたら表現がすっきり ＞するように思えました。 なるほど、おっしゃる通りですね。 ありがとうございました。

9月23日（日） 11:27:23　　 　　30820

def

>uchinyan氏 見ていただきたい問題があるのですが、よろしいでしょうか？ 別サイトでの問題となりますのでメールにてお知らせします。 お忙しいようでしたら、いつでもかまいませんし、このままスルーされてもかまいません。 ぶしつけで失礼かもしれませんがよろしくお願いできないでしょうか。

9月24日（月） 1:10:17　　 　　30821

小西孝一

#30819 あちゃ、おこられちゃった。(/ー＼) 今、オペラで見てます。 #XXXXX ばっちりです。 #30802 tkさんＴｈａｎｋｓです。

ど田舎　　 9月24日（月） 8:15:47　　 　　30822

uchinyan

#30821 ＞>uchinyan氏 ＞見ていただきたい問題があるのですが、よろしいでしょうか？ はい，いいですよ， もっとも，私に分かるかどうか．．．分からなかったら，皆さんに考えてもらった方がいいかも (^^; #30822 Operaでうまくいったようでよかったです。 やはり，IE7の問題なのかなぁ．．．IE7って見られないサイトもあるみたいですし。

ネコの住む家　　 9月24日（月） 9:00:47　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30823

def

こんばんは。uchinyan氏のご提案により多くの方の意見を参考されてはどうかおっしゃられたので、ここで質問させてください。 「1辺の長さが1の正四面体の4頂点を中心とする半径1の4つの球面が共有する領域が点の存在範囲をAとするとき次の問に答えよ。 問 いかなるＡについても，一辺の長さtの立方体の周および内部にＡが必ず含まれるとき，tの最小値を求めよ．」 こちらの問題なのですが、どなたか妙案がありましまたら助言していただけないでしょうか。

9月24日（月） 17:21:09　　 　　30824

uchinyan

#30824 defさんから質問があったのですが，一見して，自由度が大きく考えづらそうな問題です。 対称性をうまく使って何か工夫できるかな，とも思うのですが，なかなか思いつかなかったので，皆さんのお知恵を拝借したく思います。 なお，立体 A は，俗に，ルーローの四面体とも呼ばれる，ルーローの三角形の３次元版です。 しかし，ルーローの三角形とは違って，定幅(今の場合は 1 が期待される)立体にはならないことが知られています。 http://www25.tok2.com/home/toretate/d020104.html したがって，ナイーブに最小値は 1 とは言い切れないようです。 宜しくご教示願えれば幸いです。

ネコの住む家　　 9月24日（月） 18:14:43　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30826

スモークマン

#30824 直感ですけど、、、^^; 立方体に正四面体はねじれた対角点の対を取れば嵌まるから、しかも、正四面体の各頂点から等距離の点は、立方体の対角線上に存在できるので、対角線が1の正方形、つまり、1辺が1/√2 であればよい？

金光＠岡山　　 9月24日（月） 20:17:27　　 　　30827

uchinyan

#30827 正四面体は確かにそれで収まりますが，ルーローの四面体は，球面が交差する部分，縁ということにします，が，はみ出してしまいます。 なお，うまくいくかどうかは分かりませんが，その位置から，縮小，回転，移動などをするアプローチはありえると思います。

ネコの住む家　　 9月24日（月） 20:45:59　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30828

doba

#30824 defさん ルーローの四面体の４つの頂点が次の位置に来るように置くと、 -1/2≦x≦1/2，-1/2≦y≦1/2，-1/2≦z≦1/2の立方体に収まる気がします。 （厳密な検証はまだできてません。） (-1/2,(√2-1)/2,0) ((√2-1)/2,-1/2,0) (√2/4,√2/4,1/2) (√2/4,√2/4,-1/2) なお、この立体が平行な２つの平面に１点で接するとき、その２平面間の距離の最小値が１であることは、比較的容易（？）に示せそうなので、もし、上記が正しければ、tの最小値は１であると言えそうなのですが．．．。

9月25日（火） 0:51:43　　 　　30829

doba

#30829の追記： ざっと確認しましたが、前半部分の方が簡単に示せそうです。 後半はどう説明すればよいのでしょうね。 なお、一辺１の立方体の中で、このルーローの四面体はある範囲で連続的に移動することができるようです。

9月25日（火） 1:16:59　　 　　30830

ばち丸

ここしばらく例を見ないくらい、定型的で易しかったです。今度は少し厳しいかもな。

9月25日（火） 13:01:14　　 　　30831

doba

#30829の前半部分の証明です。 (-1/2,(√2-1)/2,0)を中心とする半径１の球体をＰ ((√2-1)/2,-1/2,0)を中心とする半径１の球体をＱ (√2/4,√2/4,1/2)を中心とする半径１の球体をＲ (√2/4,√2/4,-1/2)を中心とする半径１の球体をＳ とし、ＲとＳの両方に含まれる領域をＴ、 Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓのいずれにも含まれる領域をＵとします。 Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓは，次のような領域と言えます。 Ｐ＝{(x,y,z)|(x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2+z^2≦1} Ｑ＝{(x,y,z)|(x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2+z^2≦1} Ｒ＝{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2+(z-1/2)^2≦1} Ｓ＝{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2+(z+1/2)^2≦1} 明らかに Ｐ⊂{(x,y,z)|x≦1/2} Ｑ⊂{(x,y,z)|y≦1/2} Ｒ⊂{(x,y,z)|z≧-1/2} Ｓ⊂{(x,y,z)|z≦1/2} なので、 Ｕ⊂{(x,y,z)|x≦1/2 かつ y≦1/2 かつ -1/2≦z≦1/2}　…(1) (x,y,z)がＴに含まれるとき、 　z＞0なら、Ｓに含まれることから 　　(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦1-(z+1/2)^2≦3/4 　z＜0なら、Ｒに含まれることから 　　(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦1-(z-1/2)^2≦3/4 よって、 Ｔ⊂{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4} また、明らかに Ｐ⊂{(x,y,z)|(x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2≦1} Ｑ⊂{(x,y,z)|(x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2≦1} よって、 Ｕ⊂{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4 　　かつ　(x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2≦1 　　かつ　(x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2≦1} (x,y,z)がＵに含まれるとき 　y＞(√2-1)/2なら、(x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2≦1より 　　(x-(√2-1)/2)^2≦1-(y+1/2)^2≦1/2 　　-1/2≦x≦√2-1/2 　y＜(√2-1)/2なら、(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4より 　　(x-√2/4)^2≦3/4-(y-√2/4)^2＝3/4-(√2/4-y)^2≦3/4-(√2/4-(√2-1)/2)^2＝(3+2√2)/8 　　(x-√2/4)^2≦((2+√2)/4)^2 　　-1/2≦x≦(1+√2)/2 　よって，yの値によらずx≧-1/2 　x＞(√2-1)/2なら、(x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2≦1 　　(y-(√2-1)/2)^2≦1-(x+1/2)^2≦1/2 　　-1/2≦y≦√2-1/2 　x＜(√2-1)/2なら、(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4より 　　(y-√2/4)^2≦3/4-(x-√2/4)^2＝3/4-(√2/4-x)^2≦3/4-(√2/4-(√2-1)/2)^2＝(3+2√2)/8 　　(y-√2/4)^2≦((2+√2)/4)^2 　　-1/2≦y≦(1+√2)/2 　よって，xの値によらずy≧-1/2 これらより Ｕ⊂{(x,y,z)|x≧-1/2 かつ y≧-1/2}　…(2) (1),(2)より Ｕ⊂{(x,y,z)|-1/2≦x≦1/2 かつ -1/2≦y≦1/2 かつ -1/2≦z≦1/2}

9月25日（火） 16:22:13　　 　　30832

doba

#30829の後半部分、すなわち 「この立体が平行な２つの平面に１点で接するとき、その２平面間の距離の最小値が１であること」 の証明ですが、結構面倒ですね。 多分、次のような流れで示せそうですが。 この立体の表面は、次の３つに分類できます。 (I) ４頂点 (II) ４頂点を中心とした半径１の球面のうち２つの共通部分（４頂点を除く） (III) (I),(II)以外 この立体が平行な２つの平面α，βとそれぞれ１点で接するとき、 (1) 接点のうちの片方が(III)のとき、α，β間の距離は１以上であることを示す (2) 接点のうちの片方が(I)で、もう片方が(II)となることはありえないことを示す (3) 接点のいずれも(I)のとき、α，β間の距離は１であることを示す (4) 接点のいずれも(II)のとき、α，β間の距離は１より大きいことを示す (1)は簡単です。(3)はちょっと面倒、(2),(4)はかなり面倒です。

9月25日（火） 16:46:08　　 　　30833

uchinyan

#30829，#30832，#30833 dobaさん，考察ありがとうございます。 私は難しくて，直感的にしかイメージできなかったのですが， 1)　ルーローの三角形の類推から，ルーローの四面体が幅 1 の定幅立体ならば，一辺 1 の立方体にきっちりと収まりそうなこと。 　　(どのみち，証明は必要ですが。) 2)　しかし，定幅立体ではなく若干膨らんでいることをdefさんの事前の考察及び提示したWebで知って， 　　うまくいかないことを思い知らされたのですが，若干傾ければ，一辺 1 の立方体に入りそうな感じがしたこと。 3)　幅が 1 よりも小さくなることがなければ，立方体の一辺は 1 よりも小さくはできそうにないこと。 を示せばいいのかなぁ，と，defさんの事前の考察も踏まえて，単に想像していました。 dobaさんの#30832は私のイメージの2)を証明しており，#30833は私のイメージの3)を証明しようとしている，との理解でいいのでしょうか。 defさん，どうでしょうか。 dobaさんの考察を踏まえて，何か，ご意見，コメント，発展させるためのアイディアなど，ありますか？ defさんの事前の考察もご披露なさってはいかがでしょうか？

ネコの住む家　　 9月25日（火） 18:01:41　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30834

def

uchinyan氏、スモークマン氏、doba氏ありがとうございます。 #30827 スモークマン氏 #30828 uchinyan氏 縁部分は球の一部なので回転しても平行移動してもA,B,C,Dが全て面上に存在することはできませんね。ここがいやらしい。 >doba氏 ありがとうございます。 これどうやら1より小さくできそうです。後ほど別サイトに書いたものを整理して書き直してみます。

9月25日（火） 18:03:54　　 　　30835

def

#30834 uchinyan氏 そうですね、今間違い部分を訂正していますが、整理できたら書いてみます。

9月25日（火） 18:07:21　　 　　30836

def

Reuleaux tetrahedronを構成する正四面体の頂点をABCDとし、頂点I(=A,B,C,D)を中心とする半径1のReuleaux tetrahedronの面をS[I]とする。 立方体の頂点のひとつを原点、これに隣り合う頂点をx,y,z軸上のx>0,y>0,z>0で配置する。 yz平面から最も遠いReuleaux tetrahedronを構成する正四面体ABCDの頂点をAとする。 Aからxy平面に垂直に降ろした線分が交わる点をHとする。 ここでHがReuleaux tetrahedron上の点であるなら立方体の最小値はたかだか1である。なぜならばHはAを中心とする半径1の球面S[A]上あるいは Reuleaux tetrahedronのS[A]と向かいある面S[B]上であるから。 ここでtを1より小さくするにはHが上記のいずれも満たさないときであればよい。 立方体の一辺を小さくするにはReuleaux tetrahedronはxy,yz,zx上にいずれかと接する場合を考えればよい。 Reuleaux tetrahedronの面上でA,B,C,Dの球のちょうど境界にあたる部分を縁とする。 tを1より小さくするにはReuleaux tetrahedronは縁で接しなければならない。(なぜならば縁でないReuleaux tetrahedron上の面S[1]とHで接するときAH=1となるから) したがって立方体が最小になるとき立方体の面とReuleaux tetrahedronのどの縁にも接している・・・(*) 立方体のどの向かい合う面に接するReuleaux tetrahedronが接するので弧AB,弧CD上でReuleaux tetrahedron上のそれぞれの点をP,QとするとPQの最小値はCB,CA,DA,DBのいずれかであるがどれも1である。このときA,B,C,Dで立方体の面と接することになる。この状態を＠とよぶことにする A,B,C,Dのいずれか2点は立方体の辺上にあることを示す。 (i)(A,B),(C,D)がそれぞれ立方体の向かいあう対面(辺、頂点をのぞく)にあるとするとA、Cは隣り合う立方体の対面上にないので(*)より縁ACは立方体の面と接する。これは＠に反する。 (ii)(A,B)が立方体の向かいあう対面、(A,C),(C,B),(B,D),(C,D)が隣りあう面上にあるとき (A,B)が立方体の向かいあう対面にあるので(i)より＠に反する。 以上から Tを一辺の長さ1からなる正四面体ABCDで構成されるReuleaux tetrahedronとし、立方体のねじれの辺上に2点A,B,他の2点C,DをA,Bを含まない立方体の辺、頂点をのぞいた面上にとるとき,立方体の辺の長さの最小値を求めよ。 と帰着できるわけですが、ここからが大変です。＠の状態でA,B,C,Dを立方体の頂点にとることはできないので、できるだけ立方体の頂点に近づけた位置なのだろう、という予想しかまだ立たないわけです。 [http://www.kent-web.com/pubc/book/test/uploader/uploader.cgi?mode=downld&no=315]

9月25日（火） 20:34:19　　 　　30837

def

#30835訂正 ABCDを「全て面上」ではなく全て立方体の頂点に取ることはできない

9月25日（火） 20:55:04　　 　　30838

doba

#30837 defさん まだ、議論を全て読んだわけではないのですが、 ＞A,B,C,Dのいずれか2点は立方体の辺上にある というのが途中の結論であるならば、その時点で矛盾が生じ、tを１より小さくすることはできないという結論が得られると思います。 この図形を、なるべく丁寧にいろんな角度から書いてやればわかりますが、頂点のとがり方や、エッジのなす角は、かなり鈍いものとなっています。この図形の頂点の部分を、どの向きの平面に投影しても、頂点のなす角は90°を超えてしまうので、頂点は立方体の辺上にはきません。 立方体に収めるということは、３方向から平行な面で挟むということなので、私としては、まずは１組の平行な面で挟むときの面間の距離を小さくする議論から始めたのですが、私の検討した範囲では、それが１より小さくなる可能性が存在するとしても、それはかなり限られた条件の場合であり、３方向についてそれを同時に実現するのは無理だと思っていたので、上記結論は予想通りです。 私としては、むしろ、２つの平行な面で挟むというだけの条件であっても、面間の距離が１より小さくなることはないという、より強い結論が得られるかどうかに興味があります。

9月25日（火） 21:05:14　　 　　30839

スモークマン

#30828 uchinyanさん。defさんの図で、、、 縁が外側にはみでるって意味がやっと分かりました。。。^^; はみ出た部分は、√3/2-√2/2 だから、単純に計算すると、2*(√3/2-√2/2 )+√2/2=√3-√2/2=1.025 となって、、、1以上になりますね。。。 上手く傾ければ1以内にできるんでしょうか。。。^^;;

金光＠岡山　　 9月25日（火） 21:26:35　　 　　30840

def

#30839 doba氏 助言ありがとうございます。 ＞A,B,C,Dのいずれか2点は立方体の辺上にあることを示す。 訂正です。 A,B,C,Dのいずれか2点は立方体のねじれの辺上にあることを示す。 どうあっても辺上に取ることができないならばあとは一本道なのですが。 ＞この図形の頂点の部分を、どの向きの平面に投影しても、頂点のなす角は90°を超えてしまうので、頂点は立方体の辺上にはきません。 え、そうなのですか。 #30840　スモークマン氏 そうですね。もう少し考えてきます。

9月25日（火） 22:20:10　　 　　30841

25no12

こんにちは。 難しい問題ですね。ちょっと考えてみてます。 ひとまず、t=1を取り得ることは分かりました。 私の場合はdobaさんとは少し違って、元になる四面体の一つの面と平行な二つの平面を考えて、領域Ａがこの二つの平面にぴったりと挟まる（つまり接する）ときの二つの平面の距離が１であり（明らかですよね）、また領域Ａを二つの平面に投影した図形がルーローの三角形となることからこれを内接させる一辺が１の正方形が作図できるので、Ａがこの正方形を底面とする高さ１の立方体にぴったりと挟まる、と考えました。 私が考えた立方体と、dobaさんが考えた立方体は異なる（各面が平行にならない）ことから考えると、t<1となる場合を考えるのはなかなか難しそうだと、直感的には感じてます（一生懸命にいろいろ傾けても結局1になるのかなぁという感覚です）。 しかしながら、領域Ａの「縁」（みなさんと同じ定義）を考えて、６つの縁がそれぞれ立方体の面と接する場合が考えられれば、ちょっと傾けることでt<1とできるのかな・・・という気もしてます。 さて、 defさんの議論でちょっと分からない部分があります。 ＞立方体のどの向かい合う面に接するReuleaux tetrahedronが接するので弧AB,弧CD上Reuleaux ＞tetrahedron上のそれぞれの点をP,QとするとPQの最小値はCB,CA,DA,DBのいずれかであるがどれも1 ＞である。このときA,B,C,Dで立方体の面と接することになる。この状態を＠とよぶことにする この部分、まず１行目は単純ミスタイプ（コピペミス？）らしく、意味が分かりません。 また、PQの最小値が1⇒「A,B,C,Dで立方体の面と接する」が分かりません。「最小値をとる場合にP,QがA,B,C,Dのいずれかと一致」なのだと思いますが、PQ>1であっても弧ABと弧CDが接する二つの平行な平面の距離が1未満となることは可能だと思います。 PQが二つの平面と直交する必要はないですよね？（←この部分、私が勘違いしてる？） ご教示いただければ幸いです。

9月25日（火） 22:31:02　　 　　30842

uchinyan

#30840　スモークマンさんへ ＞上手く傾ければ1以内にできるんでしょうか。。。^^;; これを実際にやって見せたのが，dobaさんの#30832だと思います。 一応議論を追ってみましたが，正しそうです。したがって，一辺 1 の立方体に収めるのはOKといえそうです。 (ここの部分は，25no12さんの#30842の方が簡単そうです。) となると，次に問題になるのは，立方体の一辺を 1 よりも小さくできるか，です。 私の理解では， ・dobaさんの#30833は，ルーローの四面体の幅は最小でも 1 で，立方体の一辺は 1 以上でないとダメそう，というアプローチ。 ・defさんの#30837は，立方体の一辺を 1 より小とするのが可能ならば，ルーローの四面体がどういう位置関係にないといけないかを探るアプローチ。 なのではないかな，と思っています。 ただ，どちらも難しく，私には理解が不十分です．．．(^^;

ネコの住む家　　 9月26日（水） 15:07:42　　 MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 　　30843

スモークマン

#30843 uchinyanさんへ。 だいぶ視界が晴れてきました Orz〜^^ でも空間図形って頭に浮かびにくくってピンと来ないです。。。 ^^;

金光＠岡山　　 9月25日（火） 23:34:36　　 　　30844

小西孝一

uchinyanさん 凄いですね。私には知力も体力もないので、自分の勉強で精一杯です。 といっても２ちゃんで遊んだりして、時間を無駄にしてますが（汗 話は変わりますが、私も，前はWindowsXP SP2 + IE6でした。 その頃からもうダメでした。 ちなみに、うちのマシンはＮＥＣのＬａＶｉｅＴ　ＬＴ５００／６です。 あと、また算数と関係ないのですがＰＡＲＫＥＲ買いました。 税込み２８３５０円。書き味抜群です。昔、セーラーのスターリング シルバーを部室で無くして、買いなおしたら、モデルチェンジをして 値段も上がってたのにインクの出が悪くて使い物にならなくて、 ただの置物状態でした。 やっぱり、万年筆だと、またやる気が増します。 いつもいつも、変な書き込みで皆様すいません。ｍ（＿）ｍ

ど田舎　　 9月25日（火） 23:35:51　　 　　30845

doba

色々検討したことを書いておきます。 議論の準備： この立体の４頂点を Ａ(0,0,0),Ｂ(√2/2,√2/2,0),Ｃ(√2/2,0,√2/2),Ｄ(0,√2/2,√2/2) とする。 エッジＡＢは、ＣＤの中点(√2/4,√2/4,√2/2)を中心とした、半径√3/2の円弧なので、 2*(x-√2/4)^2+(z-√2/2)^2＝3/4, y=x と書ける。 この曲線（エッジＡＢ）の、点ＡにおけるＢに向かう側への方向ベクトルは(1,1,-1)である。 同様に エッジＡＣの点ＡにおけるＣに向かう側への方向ベクトルは(1,-1,1) エッジＡＤの点ＡにおけるＤに向かう側への方向ベクトルは(-1,1,1) となる。 （このことが、頂点Ａを立方体の辺上に置けないことの根拠となります。） #30833の(1) この立体が平行な２つの平面α，βとそれぞれ１点で接するとき、 αとエッジ以外(III)で接しているとき、接している球面の中心となる頂点は αから１離れているが、その頂点はαとβの間にあるので、αβ間の距離は１以上。 （１を超えることもある。） #30833の(3) この立体が、頂点Ａでαと、頂点Ｂでβと接しているとき、 図形全体を、ＡＢの中点を中心とした点対称の位置に移し、 α→α'、β→β'、立体ＡＢＣＤ→立体Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'とすると、 α'＝β、β'＝α、Ａ'＝Ｂ、Ｂ'＝Ａである。 このとき、立体ＡＢＣＤと、立体Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'（＝ＢＡＣ'Ｄ'）は、 ともに、点Ａ（＝Ｂ'）でα（＝β'）の同じ側と接している。 立体ＡＢＣＤのエッジＢＣの点ＢにおけるＣに向かう側への方向ベクトルは(1,-1,1)なので、 立体Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'のエッジＢ'Ｃ'の点Ｂ'におけるＣ'に向かう側への方向ベクトルは-(1,-1,1)＝(-1,1,-1) また、立体ＡＢＣＤのエッジＡＣの点ＡにおけるＣに向かう側への方向ベクトルは(1,-1,1) ここで、αの法線ベクトルが(1,-1,1)と垂直でなければ、エッジＢ'Ｃ'もエッジＡＣもαの同じ側にあることと矛盾 よって、αの法線ベクトルは(1,-1,1)と垂直。 同様の議論をエッジＡＤ，Ｂ'Ｄ'について行い、αの法線ベクトルは(-1,1,1)と垂直。 よって、αの法線ベクトルは(1,1,0)と平行⇔αは直線ＡＢと直交 したがって、αβ間の距離は、ＡＢ間の距離と等しく、１となる。 #30842 25no12さん ＞元になる四面体の一つの面と平行な二つの平面を考えて たしかに、それが一番わかりやすいですね。 なんであんな面倒なのを考えてたのだろう（汗） #30843 uchinyanさん ＞私の理解では，〜 その通りだと思います。

9月26日（水） 1:03:39　　 　　30846

def

＞25no12氏 PQ>1であっても弧ABと弧CDが接する二つの平行な平面の距離が1未満となることは可能だと思います。 PQが二つの平面と直交する必要はないですよね？（←この部分、私が勘違いしてる？） PQが直交するとは限りませんが前者はそうですね。少し勇み足でした。 もう少し考えてきます。 >doba氏 考察ありがとうございます。今#30846を読みながら考えています。

9月26日（水） 0:13:22　　 　　30847

doba

#30833の(2)と(4)について、 #30846で設定した頂点で言うと、ＡＢの中点をＭ、ＣＤの中点をＮ、エッジＡＢの中点をＥとして、 平面αがこの立体と、点Ａを除くエッジＡＥ上にある点Ｐで接する場合を考えます。 そのとき、エッジＡＢの曲線の点Ｐにおける方向ベクトルを法線とし、点Ｐを通る平面をγとすると、 α⊥γで、γは正三角形ＰＣＤを含みます。 この平面γへの投影図を書くと、平面αとβは平行線として表され、この立体の投影された図形と いずれも１点で接することになります。 投影図を丁寧に書くと、正三角形ＰＣＤは固定されるので、点Ａ，Ｍ，Ｂの移動範囲を考えて 細かい議論を重ねると、この(2)と(4)も言えるようです。 立体の投影された図形の輪郭を、正三角形ＰＣＤからできるルーローの三角形と比較すると、 弧ＰＣと弧ＰＤについては一致するので（←これもちょっと議論が必要）、 あとは、ＣＤを結ぶ曲線が必ずルーローの三角形の外側を通ることが言えればよいです。 ＣＤを結ぶ曲線は、Ａを中心とした球面の投影である、Ａを中心とした半径１の円周と、 エッジＣＤの投影である、Ｍを中心とした点Ｃ，Ｄを通る長径√3の楕円の組合せで出来ています。 この２つの曲線の関係により、少し場合分けが必要です。

9月26日（水） 2:13:54　　 　　30848

25no12

こんなサイトを見つけました http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/4319/quasi_Rouleau/quasirurotetragon.html これによると、ルーローの四面体の縁の部分を少し削ってまるめることで、定幅立体にすることができるそうです。 ワイヤーフレームの立体をマウスでドラッグして動かして、確かめることができるようになっています。 この「改良ルーロー四面体」が定幅であることから、もとのルーロー四面体（改良ルーロー四面体を含む）でも幅1未満の二つの平行な平面で挟み込むことができないことになります。 「改良ルーロー四面体」の証明に関しては、一部推測（？）を含んでいるような記述になっていますが、いずれにせよ、1をはっきりと下回るようなtを取ることは無さそう・・・と言って良さそうに思います。 なんか、先週のシルベスター問題に引き続き、自分で解けずにサイト見つけてばっかりです・・・。

9月26日（水） 19:01:49　　 　　30849