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!!!
5cmの条件のせいで簡単過ぎることになってる気が
　　 3月12日（木） 0:03:32　　 　　43011
ベルク・カッツェ
少し時間かかっちゃいました、二等辺三角形に気づけば簡単したね。
なんか掲示板に入れないと思ったら、パスがまだ前回のままでした。
　　 3月12日（木） 0:10:43　　 　　43012
ベルク・カッツェ
BCの中点をNとするとAMとBMは垂直に交わり、相似な直角三角形ができます。
それでAからAPとBMの交点までの長さが4ｃｍと分かるので、そこからPまでは1ｃｍ。角度を考ええると二等辺三角形なのでPMも1ｃｍ、なので答えは4÷2-1＝1で1ｃｍ。

#43011
確かに、数学なら三平方の定理を使うと簡単ですね。
3、4、5の直角三角形は有名ですが、算数では直接それを解法には使えないので、問題ないかと。
　　 3月12日（木） 0:19:00　　 　　43013
!!!
http://www.sansu.org/doc/readme.html
これの算数の範囲って？のとこ見て貰ったらわかると思うんですけど
算チャレ的には345は普通に使って良いってことになってるんですよね
　　 3月12日（木） 0:21:39　　 　　43014
ゴンとも
AP=5cmは使わなくてできました。

座標にA(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),M(2,4)として
xmaxima で
trigexpand(tan(2*a))$
4-rhs(part(solve(4=ev(%,tan(a)=1/2)*x,x),1));1・・・・・・(答え)
豊川市　　 3月12日（木） 0:24:10　　 　　43015
baLLjugglermoka
AD上にBF=5となるFを取れば、3:4:5によりAF=4。BF⊥APよりPC=FD=1ですね。

細かい事ですが、正解者掲示板の数値設定が先週のになっています。
　　 3月12日（木） 0:27:52　　 　　43016
ベルク・カッツェ
#43014
算チャレでは数学でもプログラムでも特に禁止はされていません。
それぞれが好きな方法で算数の問題にチャレンジすればいいと思います。
　　 3月12日（木） 0:28:06　　 　　43017
ベルク・カッツェ
って、よく見たら算チャレでは3：4：5も算数の範囲と認めるって書いてありますね。
ちなみに受験算数では、3：4：5はだいたい教えますが、定理のような使い方はできません。算数の範囲ではないので、「知ってると便利なもの」って感じですね。
　　 3月12日（木） 0:33:43　　 　　43018
今年から高齢者
3:4:5なので、4-3=1。
答を送るのをためらって、何度も確認、角度の関係も確認しました。
現時点で、パスワードが更新されていないようですが．．．

　　 3月12日（木） 0:41:59　　 　　43019
Mr.ダンディ
「面白い問題ができたと思っていたら、想定していたものと違う瞬時にできる別解があった」
....というパターンでしょうか　？（私はそういうミスをよくしました）
　　 3月12日（木） 1:20:19　　 　　43020
数樂
3:4:5です。
はじめ角の二等分線かと思い間違えましたが。
3:4:5に気付き事なきを得る。
徳島県　　 3月12日（木） 1:42:52　　 HomePage:数樂　　43021
吉川マサル
し、しまった、3:4:5か...。（もちろん想定していたのは別の解法です。）m(__)m
iMac　　 3月12日（木） 1:49:17　　 HomePage:ARENA　　43022
4329日目の解答者
今回は楽勝だったな
てかAPが5�造辰鴇魴錣い蕕覆�ね？
　　 3月12日（木） 2:02:32　　 　　43023
あめい
気の弱い（自信がない）ので、いつものようにこちらで確かめてから解答しようとしたところ１でけられ、ということはＡＰ＝５が間違い、ＡＰの長さがわかっていない問題だろうと予想して解き直しても１・・・・で固まってました。
ホッとしました。
もしかして想定解は∠ＢＡＰの二等分線で折るとＢとＡＰ，ＢＭの交点が一致する・・・といった感じで求めるものだったのでしょうか？
お馬崎　　 3月12日（木） 2:12:24　　 　　43024
Goosehouse大好き
三平方で解いてしまいました。
　　 3月12日（木） 2:22:50　　 　　43025
「数学」小旅行
AＰの長さを求めよ、という問題だったのでは？
　　 3月12日（木） 3:55:49　　 　　43026
巷の夢
図をよく見て補助線を引くと、あら不思議、定番の直角三角形が・・・・。
本当に良いのか？
真白き富士の嶺　　 3月12日（木） 5:48:28　　 MAIL:本当に・・・・？ 　　43027
小西孝一
寒いは眠いは。・・・
私も３：４：５全然問題になってないような^^;
　　 3月12日（木） 5:56:33　　 　　43028
ハラギャーテイ
おはようございます。寝ぼけた頭でも解けました。
条件が多すぎるような気がしています。
山口　　 3月12日（木） 6:08:00　　 HomePage:制御工学にチャレンジ　　43029
三宅ロース
まず最初に直線apと直線bmの交点をqとおく
三角形abqについて
角qbaが(90ー赤丸)度であることから、
角aqbも(90ー赤丸)度であるため、
三角形qabはab=aqの二等辺三角形。
よりaq=4で、qp=5ー4=1
また三角形abqと三角形pmqは相似の三角形なので、
ab:pm=4:1であるので、pm=1cm
2-1=1cm
でいいのかな？
マサラタウン　　 3月12日（木） 6:28:27　　 　　43030
ばち丸
あれ。マサルさん。何か勘違いされたか。
ピタゴラスの定理で３秒でできましたが。（下にも書いてあるな）
　　 3月12日（木） 6:31:58　　 　　43031
ばち丸
つまんないから自作のどっかで発表したかもしれない問題

３辺が整数の直角三角形の内接円の半径も整数であることを証明せよ
　　 3月12日（木） 6:34:48　　 　　43032
まるケン
あれ？三角形ＡＰＤは３：４：５じゃん！
ＰＣ＝ＣＤ−ＰＤ＝４−３＝１

答え：１ｃｍ

って、これじゃ簡単すぎるので、５ｃｍの条件を取り除いて考えました。

∠ＢＡＰの二等分線を引き、ＢＣとの交点をＮとします。
また、ＡＰとＢＭの交点をＥ、ＡＮとＢＭの交点をＦとします。

△ＡＢＦにおいて、∠ＦＡＢ＋∠ＡＢＦ＝∠ＭＢＣ＋∠ＡＢＦ＝９０度。
したがって、∠ＡＦＢも９０度となります。
ということは、△ＡＢＦと△ＡＥＦは合同、ＡＥ＝ＡＢ＝４ｃｍ、
また、ＡＦ：ＦＢ＝２：１、ＡＦ＝ＢＥとわかります。

次に、ＥとＣを結ぶと、△ＡＢＦと△ＢＣＥは、
ＡＦ＝ＢＥ、ＡＢ＝ＢＣ、∠ＦＡＢ＝∠ＥＢＣですから合同、
∠ＣＥＢも９０度なります。

今度は、△ＣＭＥも仲間に入れて考えると、これは相似形。
ＭＥ：ＥＣ＝ＥＣ：ＢＥ＝１：２ですから、
△ＣＭＥ：△ＢＣＥ＝１：４となります。

で、最後に△ＰＭＥと△ＡＢＥとを見比べると、
これも相似比１：４であることがわかり、ＭＰ＝１ｃｍと判明。
ＭはＣＤの中点でしたから、ＭＣ＝２ｃｍ。
よって、ＰＣ＝２−１＝１ｃｍ。

答え：１ｃｍ
ないしょ　　 3月12日（木） 10:19:11　　 MAIL:take4310@mobile.email.ne.jp HomePage:まるケンの部屋　　43033
数樂
いやいや僕自身も問題作ってるとこういうミスは結構あります。
作る方は大変だと思いますよ。
いつも木曜の午前0:00に問題が解けるだけありがたいものです。
感謝ですよ。
徳島県　　 3月12日（木） 10:29:32　　 HomePage:数樂　　43034
数樂
で先週の問題は、前の6文字しか考えていませんでした。
残念
徳島県　　 3月12日（木） 10:30:19　　 HomePage:数樂　　43035
uchinyan
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
うーむ，マサルさん数値設定をミスったかな。角度の条件を使わなくてよいかなりの易問になってしまいましたね。
こんな感じで。

P から BC に平行な線を引き AB との交点を Q とします。
すると，QP = BC = 4 cm，∠AQP = 90°，△AQP は 3：4：5 の直角三角形，AQ = 3 cm，BQ = 1 cm，で，
CP = BQ = 1 cm，になります。

3：4：5 の直角三角形，を使えない数値設定になっていれば，
三平方の定理を使わず角度の条件を使った算数解法としては，例えば，こんなのがありますね。

BC の中点を N とします。
すると，AB = BC，BN = CM，∠ABC = 90°= ∠BCM，△ABN ≡ △BCM，∠NAB = ∠MBC = ∠BAP/2 = ∠NAP，です。
そこで，△ABN を AN に関して折り返すと B の移動先 E は AP 上にあり，
∠AEN = ∠ABN = 90°，∠NEP = 90°= ∠NCP，NE = NB = NC，△NPE ≡ △NPC，となって，
CP = EP = AP - AE = AP - AB，になります。
この問題では，AP = 5 cm，AB = 4 cm，で，CP = 5 - 4 = 1 cm，になります。

これでも，算チャレとしては，やや易，かな。
ネコの住む家　　 3月12日（木） 17:50:14　　 　　43036
塚本
倍角の公式は、算数でない。使ってシマッタ。
　　 3月12日（木） 13:29:06　　 　　43037
uchinyan
掲示板を読みました。
まぁ，今回は分類はいいでしょう。

うっかりしましたが，私の#43036の E は AP と BM の交点でしたね。

皆さんの解法＋αを見て面白いなと思ったのは，#43033の 5 cm を使わない算数解法です。
確かに，この問題は条件過多になっているので，このようなことが可能なんですね。
これからすると，一般に，CP = AB/4，になりそう。

この 5 cm を与えない問題だったら算チャレらしくてよかったかも知れませんね。
ネコの住む家　　 3月12日（木） 14:25:32　　 　　43038
GOJU
角の二等分線の比は算数範囲でしたっけ？
BCの中点NとしてANがBPを4:5に分割するのでANの延長とCDの延長の交点をLとして、
AB:LP=4:5、AB:LC=1:1よりLC=4,LP=5、CP=1と解くのもありかなあと。
　　 3月12日（木） 15:31:53　　 　　43039
uchinyan
私も，私の#43036の後半の解法を少し改良して，AP の長さが与えられない場合の算数解法を考えてみました。

BC の中点を N とします。すると，
AB = BC，BN = CM，∠ABC = 90°= ∠BCM，△ABN ≡ △BCM，∠NAB = ∠MBC = ∠BAP/2 = ∠NAP
そこで，△ABN を AN に関して折り返すと B の移動先 E は AP 上にあり，
∠AEN = ∠ABN = 90°，∠NEP = 90°= ∠NCP，NE = NB = NC，△NPE ≡ △NPC，∠ENP = ∠CNP
これより，
∠ANB + ∠CNP = ∠ANE + ∠ENP = 90°，∠CNP = 90°- ∠ANB = ∠BAN，△NCP ∽ △ABN，CP：NC = BN：AB = 1：2
となって，
CP = NC/2 = BC/4 = AB/4
になります。
この問題では，AB = 4 cm，で，CP = AB/4 = 1 cm，になります。

ちなみに，△NPE ∽ △ANE，PE：NE：AE = 1：2：4，AB = AE = AP * 4/5，CP = AP/5，です。

なお，△ABN と △BCM は 90°回転した位置にあるので AN⊥BM で，AP と BM の交点を F とすれば，
△ABF は AB = AF の二等辺三角形で，AF = AB = AE より E と F は一致します。
このように，確かに E は AP と BM の交点なのですが，特にそれに触れなくとも解けてしまいますね。

やはり，AB = 4 cm 又は AP = 5 cm のいずれか一つだけを与える問題の方がよかったと思います。
ネコの住む家　　 3月13日（金） 11:59:36　　 　　43040
river
条件を減らした方が良いと思う。
　　 3月12日（木） 20:58:03　　 　　43041
新井貴浩
関係ない話で辛いですが、誰かHölderの定理の使い方教えてください・・・いつ使えばいいか分からないです・・・
広島東洋カープ　　 3月12日（木） 22:01:31　　 HomePage:新井貴浩ＨＰ　　43042
Goosehouse大好き
三平方以外で出してみました。まさるさんの意図した問題の解き方なんでしょうか。

APとBMの交点をNとすると、
∠ABN＝90-∠CBN…��
また、錯角なので
∠MPN＝２∠CBN…��
さらに、三角形BCMは直角三角形なので、
∠PMN＝90-∠CBN…��
よって、�◆Ν�より
∠MNP=180-（∠MPN＋∠PMN）
　　 =180-（2∠CBN＋90-∠CBN）
=90-∠CBN…��
対頂角は等しいので、�い茲�
∠ANB＝∠MNP
　　 ＝90-∠CBN…��

ここで、�　Νイ茲蝓■桶僂�等しいので、
三角形ABNは∠Aを頂角とする二等辺三角形である。
また、三角形ABCと三角形PMNは2角がそれぞれ等しいので、
相似なので、三角形PMNも同様に二等辺三角形である。
よって、AN＝AB
　　　　　＝4cm
AP=5cmなので、NP＝1cm
よって、MP=NP＝1cm
MCは2cmなので、2−1で、MC＝1cm
　　 3月13日（金） 4:29:39　　 　　43043
あめい
ＡＰ＝５を使わない方法を何人かの方が書かれているので、（回りくどいかもしれませんが）#43024で「もしかして想定解は∠ＢＡＰの二等分線で折るとＢとＡＰ，ＢＭの交点が一致する・・・といった感じ」とした方法は、
∠ＢＡＰの二等分線とＢＣの交点をＥ，折ったときＢと重なる点（ＡＰ，ＢＭの交点：合同を使って確認）をＦ、ＡＥ，ＢＭの交点をＧとすると、
△ＥＦＢは底角が赤丸の二等辺三角形、
△ＡＢＧ≡△ＢＣＦより∠ＡＢＧ＝∠ＢＣＦ，よって∠ＰＣＦ＝９０°−∠ＢＣＦ＝９０°−∠ＡＢＧ＝赤丸、
すると△ＰＣＦの外角∠ＡＰＭは∠ＢＡＰの錯角なので∠ＡＰＭ＝２赤丸より∠ＰＦＣ＝２赤丸−赤丸＝赤丸
よって△ＰＣＦも底角赤丸の二等辺三角形になり△ＥＦＢと相似
ここでＢＦ＝２ＣＦより相似比が１：２、△ＡＢＥ≡△ＢＣＭよりＢＥ＝２からＰＣ＝1/2ＢＥ＝１と求めました。
　　 3月13日（金） 18:25:00　　 　　43044
DIRK NOWITZKI
三平方思いついた時点で他の解き方諦めた
でもいつもは良問だし、たまにこんなのもありだよね
　　 3月13日（金） 21:14:38　　 　　43045

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